材料力學(xué)公式大全機(jī)械

1、材料力學(xué)常用公式 1. 外力偶矩計(jì)算公式 （P功率，n轉(zhuǎn)速） 2. 彎矩、剪力和荷載集度之間的關(guān)系式 3. 軸向拉壓桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式 （桿件橫截面軸力FN，橫截面面積A，拉應(yīng)力為正） 4. 軸向拉壓桿斜截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力計(jì)算公式（夾角a 從x軸正方向逆時(shí)針轉(zhuǎn)至外法線的方位角為正）5. 縱向變形和橫向變形（拉伸前試樣標(biāo)距l(xiāng)，拉伸后試樣標(biāo)距l(xiāng)1；拉伸前試樣直徑d，拉伸后試樣直徑d1） 6. 縱向線應(yīng)變和橫向線應(yīng)變 7. 泊松比 8. 胡克定律 9. 受多個(gè)力作用的桿件縱向變形計(jì)算公式? 10. 承受軸向分布力或變截面的桿件，縱向變形計(jì)算公式 11. 軸向拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算公式 12.

2、許用應(yīng)力 ， 脆性材料 ，塑性材料 13. 延伸率 14. 截面收縮率 15. 剪切胡克定律（切變模量G，切應(yīng)變g ） 16. 拉壓彈性模量E、泊松比和切變模量G之間關(guān)系式 17. 圓截面對圓心的極慣性矩（a）實(shí)心圓 （b）空心圓 18. 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式（扭矩T，所求點(diǎn)到圓心距離r ） 19. 圓截面周邊各點(diǎn)處最大切應(yīng)力計(jì)算公式 20. 扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) ，（a）實(shí)心圓 （b）空心圓 21. 薄壁圓管（壁厚 R0 /10 ，R0 為圓管的平均半徑）扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式 22. 圓軸扭轉(zhuǎn)角與扭矩T、桿長l、 扭轉(zhuǎn)剛度GHp的關(guān)系式 23. 同一材料制成的圓軸各段內(nèi)的扭矩不同或各

3、段的直徑不同（如階梯軸）時(shí) 或 24. 等直圓軸強(qiáng)度條件 25. 塑性材料 ；脆性材料 26. 扭轉(zhuǎn)圓軸的剛度條件? 或 27. 受內(nèi)壓圓筒形薄壁容器橫截面和縱截面上的應(yīng)力計(jì)算公式, 28. 平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面應(yīng)力的一般公式 , 29. 平面應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力 , , 30. 主平面方位的計(jì)算公式 31. 面內(nèi)最大切應(yīng)力 32. 受扭圓軸表面某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力， ， 33. 三向應(yīng)力狀態(tài)最大與最小正應(yīng)力 , 34. 三向應(yīng)力狀態(tài)最大切應(yīng)力 35. 廣義胡克定律 36. 四種強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力 37. 一種常見的應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件 ， 38. 組合圖形的形心坐標(biāo)計(jì)算公式 ， 39. 任意截面圖

4、形對一點(diǎn)的極慣性矩與以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和的關(guān)系式 40. 截面圖形對軸z和軸y的慣性半徑? , 41. 平行移軸公式（形心軸zc與平行軸z1的距離為a，圖形面積為A） 42. 純彎曲梁的正應(yīng)力計(jì)算公式 43. 橫力彎曲最大正應(yīng)力計(jì)算公式 44. 矩形、圓形、空心圓形的彎曲截面系數(shù)? ， ， 45. 幾種常見截面的最大彎曲切應(yīng)力計(jì)算公式（為中性軸一側(cè)的橫截面對中性軸z的靜矩，b為橫截面在中性軸處的寬度） 46. 矩形截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處 47. 工字形截面梁腹板上的彎曲切應(yīng)力近似公式 48. 軋制工字鋼梁最大彎曲切應(yīng)力計(jì)算公式 49. 圓形截面梁最大彎曲切應(yīng)力

5、發(fā)生在中性軸處 50. 圓環(huán)形薄壁截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處 51. 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 52. 幾種常見截面梁的彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件 53. 彎曲梁危險(xiǎn)點(diǎn)上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力作用時(shí)的強(qiáng)度條件 或 ， 54. 梁的撓曲線近似微分方程 55. 梁的轉(zhuǎn)角方程 56. 梁的撓曲線方程? 57. 軸向荷載與橫向均布荷載聯(lián)合作用時(shí)桿件截面底部邊緣和頂部邊緣處的正應(yīng)力計(jì)算公式 58. 偏心拉伸（壓縮） 59. 彎扭組合變形時(shí)圓截面桿按第三和第四強(qiáng)度理論建立的強(qiáng)度條件表達(dá)式 ， 60. 圓截面桿橫截面上有兩個(gè)彎矩和同時(shí)作用時(shí)，合成彎矩為 61. 圓截面桿橫截面上有兩個(gè)彎矩和同時(shí)作用時(shí)強(qiáng)度計(jì)算公式 6

6、2. 彎拉扭或彎壓扭組合作用時(shí)強(qiáng)度計(jì)算公式 63. 剪切實(shí)用計(jì)算的強(qiáng)度條件 64. 擠壓實(shí)用計(jì)算的強(qiáng)度條件 65. 等截面細(xì)長壓桿在四種桿端約束情況下的臨界力計(jì)算公式 66. 壓桿的約束條件：（a）兩端鉸支 =l（b）一端固定、一端自由 =2（c）一端固定、一端鉸支 =0.7（d）兩端固定 =0.5 67. 壓桿的長細(xì)比或柔度計(jì)算公式 ， 68. 細(xì)長壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式 69. 歐拉公式的適用范圍 70. 壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的安全系數(shù)法 71. 壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的折減系數(shù)法 72. 關(guān)系需查表求得 1、 材料力學(xué)的任務(wù)：強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性；應(yīng)力 單位面積上的內(nèi)力。平均應(yīng)力 （1.1）全應(yīng)力 （1

7、.2）正應(yīng)力 垂直于截面的應(yīng)力分量，用符號(hào)表示。切應(yīng)力 相切于截面的應(yīng)力分量，用符號(hào)表示。應(yīng)力的量綱：線應(yīng)變 單位長度上的變形量，無量綱，其物理意義是構(gòu)件上一點(diǎn)沿某一方向變形量的大小。外力偶矩傳動(dòng)軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速n與傳遞的功率P來計(jì)算。當(dāng)功率P單位為千瓦（kW），轉(zhuǎn)速為n（r/min）時(shí)，外力偶矩為當(dāng)功率P單位為馬力（PS），轉(zhuǎn)速為n（r/min）時(shí)，外力偶矩為拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力，且為平均分布，其計(jì)算公式為 (3-1)式中為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。正負(fù)號(hào)規(guī)定 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。公式（3-1）的適用條件：（1）桿端

8、外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；（2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠(yuǎn)處的橫截面；（3）桿件上有孔洞或凹槽時(shí)，該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，橫截面上應(yīng)力分布很不均勻；（4）截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角時(shí)拉壓桿件任意斜截面（a圖）上的應(yīng)力為平均分布，其計(jì)算公式為全應(yīng)力 (3-2)正應(yīng)力 （3-3）切應(yīng)力 （3-4）式中為橫截面上的應(yīng)力。正負(fù)號(hào)規(guī)定：由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。 對脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩的為正，反之為負(fù)。兩點(diǎn)結(jié)論：（1）當(dāng)時(shí)，即橫截面上，達(dá)到最大值，即。當(dāng)=時(shí)，即縱截面上，=0。（2）當(dāng)時(shí)，即與桿

9、軸成的斜截面上，達(dá)到最大值，即12 拉（壓）桿的應(yīng)變和胡克定律（1）變形及應(yīng)變桿件受到軸向拉力時(shí)，軸向伸長，橫向縮短；受到軸向壓力時(shí)，軸向縮短，橫向伸長。如圖3-2。圖3-2軸向變形 軸向線應(yīng)變 橫向變形 橫向線應(yīng)變 正負(fù)號(hào)規(guī)定 伸長為正，縮短為負(fù)。（2）胡克定律當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即 （3-5）或用軸力及桿件的變形量表示為 (3-6)式中EA稱為桿件的抗拉（壓）剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。公式(3-6)的適用條件：(a)材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即；(b)在計(jì)算時(shí)，l長度內(nèi)其N、E、A均應(yīng)為常量。如桿件上各段不同，則應(yīng)分段計(jì)算，求其代數(shù)和得總變形。即

10、(3-7)(3)泊松比 當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對值。即 (3-8)表1-1 低碳鋼拉伸過程的四個(gè)階段階 段圖1-5中線段特征點(diǎn)說 明彈性階段oab比例極限彈性極限為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力為不產(chǎn)生殘余變形的最高應(yīng)力屈服階段bc屈服極限為應(yīng)力變化不大而變形顯著增加時(shí)的最低應(yīng)力強(qiáng)化階段ce抗拉強(qiáng)度為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力局部形變階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂表1-2 主要性能指標(biāo)性能性能指標(biāo)說明彈性性能彈性模量E當(dāng)強(qiáng)度性能屈服極限材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強(qiáng)度材料的最大承載能力塑性性能延伸率材料拉斷時(shí)的塑性變形程度截面收縮率材料的塑性變形程度強(qiáng)度計(jì)算

11、許用應(yīng)力 材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。塑性材料 = ； 脆性材料 =其中稱為安全系數(shù)，且大于1。強(qiáng)度條件：構(gòu)件工作時(shí)的最大工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力。對軸向拉伸（壓縮）桿件 （3-9）按式（1-4）可進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)、確定許克載荷等三類強(qiáng)度計(jì)算。2.1 切應(yīng)力互等定理受力構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)兩個(gè)相互垂直面上，切應(yīng)力總是成對產(chǎn)生，它們的大小相等，方向同時(shí)垂直指向或者背離兩截面交線，且與截面上存在正應(yīng)力與否無關(guān)。2.2純剪切單元體各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2.3切應(yīng)變切應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應(yīng)變或切應(yīng)變

12、，用表示。2.4 剪切胡克定律在材料的比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即 (3-10) 式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)（另兩個(gè)彈性常數(shù)為彈性模量E及泊松比）,其數(shù)值由實(shí)驗(yàn)決定。對各向同性材料,E、 、G有下列關(guān)系 (3-11)切應(yīng)力計(jì)算公式橫截面上某一點(diǎn)切應(yīng)力大小為 (3-12)式中為該截面對圓心的極慣性矩，為欲求的點(diǎn)至圓心的距離。圓截面周邊上的切應(yīng)力為 (3-13)式中稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，R為圓截面半徑。 切應(yīng)力公式討論（1） 切應(yīng)力公式（3-12）和式（3-13）適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時(shí)的等圓截面直桿；對小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用，其誤差在工程允

13、許范圍內(nèi)。（2） 極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)是截面幾何特征量，計(jì)算公式見表3-3。在面積不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力愈強(qiáng)。因此，設(shè)計(jì)空心軸比實(shí)心軸更為合理。 表3-3實(shí)心圓（外徑為d）空心圓（外徑為D，內(nèi)徑為d）強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，全軸中最大切應(yīng)力不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強(qiáng)度條件為 (3-14) 對等圓截面直桿 （3-15）式中為材料的許用切應(yīng)力。中性層的曲率與彎矩的關(guān)系 (3-16)式中，是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；是橫截面對中性軸Z軸的慣性矩。橫截面上各點(diǎn)彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式 (3-17)式中，M是橫截面上的彎矩；

14、的意義同上；y是欲求正應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處 （3-18）式中，稱為抗彎截面系數(shù)。對于的矩形截面，；對于直徑為D的圓形截面，；對于內(nèi)外徑之比為的環(huán)形截面，。若中性軸是橫截面的對稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值相等，若不是對稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值不相等。3.2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作應(yīng)力不得超過材料的容許應(yīng)力，其表達(dá)式為 （3-19）對于由拉、壓強(qiáng)度不等的材料制成的上下不對稱截面梁（如T字形截面、上下不等邊的工字形截面等），其強(qiáng)度條件應(yīng)表達(dá)為 （3-20a） （3-20b）式中，分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許壓應(yīng)力；分別是最大拉應(yīng)力點(diǎn)和最大壓應(yīng)力

15、點(diǎn)距中性軸的距離。3.3梁的切應(yīng)力 （3-21）式中，Q是橫截面上的剪力；是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩；是整個(gè)橫截面對中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面寬度。矩形截面梁切應(yīng)力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。切應(yīng)力計(jì)算公式 （3-22）最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點(diǎn)處，。工字形截面梁切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的9597%，因此截面上的剪力主要由腹板部分來承擔(dān)。切應(yīng)力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計(jì)算公式為 (3-23)近似計(jì)算腹板上的最大切應(yīng)力： d為腹板寬度 h1為上下兩翼緣內(nèi)側(cè)距圓形截面梁橫截面上同一高度各點(diǎn)的切應(yīng)力匯交于一點(diǎn)，

16、其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其大小為 （3-25）圓環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布與圓截面類似。3.4切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力，即 (3-26)式中，是梁上的最大切應(yīng)力值；是中性軸一側(cè)面積對中性軸的靜矩；是橫截面對中性軸的慣性矩；b是處截面的寬度。對于等寬度截面，發(fā)生在中性軸上，對于寬度變化的截面，不一定發(fā)生在中性軸上。4.2剪切的實(shí)用計(jì)算名義切應(yīng)力：假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的 ，則名義切應(yīng)力為 （3-27）剪切強(qiáng)度條件：剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過材料的 許用切應(yīng)力,即 （3-28）5.2擠壓的實(shí)用計(jì)算名義擠壓應(yīng)力 假設(shè)

17、擠壓應(yīng)力在名義擠壓面上是均勻分布的，則 （3-29）式中，表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當(dāng)擠壓面為平面時(shí)為接觸面面積，當(dāng)擠壓面為曲面時(shí)為設(shè)計(jì)承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的 投影面積。擠壓強(qiáng)度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過材料的許用擠壓應(yīng)力 （3-30）1， 變形計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，任意兩個(gè)橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角。相距為l的兩個(gè)橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角為 (rad) (4.4)若等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數(shù)，則上式化為 (rad) (4.5) 圖4.2 式中稱為圓軸的抗扭剛度。顯然，的正負(fù)號(hào)與扭矩正負(fù)號(hào)相同。公式（4.4）的適用條件：（1） 材料在

18、線彈性范圍內(nèi)的等截面圓軸，即；（2） 在長度l內(nèi)，T、G、均為常量。當(dāng)以上參數(shù)沿軸線分段變化時(shí)，則應(yīng)分段計(jì)算扭轉(zhuǎn)角，然后求代數(shù)和得總扭轉(zhuǎn)角。即 (rad) (4.6)當(dāng)T、沿軸線連續(xù)變化時(shí),用式(4.4)計(jì)算。2， 剛度條件扭轉(zhuǎn)的剛度條件 圓軸最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角不得超過許可的單位長度扭轉(zhuǎn)角,即 (rad/m) (4.7)式 （） （4.8）2，撓曲線的近似微分方程及其積分 在分析純彎曲梁的正應(yīng)力時(shí)，得到彎矩與曲率的關(guān)系 對于跨度遠(yuǎn)大于截面高度的梁，略去剪力對彎曲變形的影響，由上式可得 利用平面曲線的曲率公式，并忽略高階微量，得撓曲線的近似微分方程，即 （4.9）將上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程為 （

19、4.10）再積分得撓曲線方程 （4.11）式中，C,D為積分常數(shù)，它們可由梁的邊界條件確定。當(dāng)梁分為若干段積分時(shí)，積分常數(shù)的確定除需利用邊界條件外，還需要利用連續(xù)條件。3，梁的剛度條件 限制梁的最大撓度與最大轉(zhuǎn)角不超過規(guī)定的許可數(shù)值，就得到梁的剛度條件，即 ， （4.12）3，軸向拉伸或壓縮桿件的應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得 當(dāng)桿件的橫截面面積A、軸力FN為常量時(shí)，由胡克定律，可得 （4.14）桿單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度，用表示。線彈性范圍內(nèi)，得 （4.15） 4，圓截面直桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原 將與代入上式得 （4.16） 圖4.5根據(jù)微體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于微

20、體上的內(nèi)力功，得應(yīng)變能的密度： （4.17） 5，梁的彎曲應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，純彎曲時(shí)，由功能原理得將與代入上式得 （4.18） 圖4.6橫力彎曲時(shí)，梁橫截面上的彎矩沿軸線變化，此時(shí)，對于微段梁應(yīng)用式（4.18），積分得全梁的彎曲應(yīng)變能，即 （4.19）2截面幾何性質(zhì)的定義式列表于下：靜 矩慣性矩慣性半徑慣性積極慣性矩3慣性矩的平行移軸公式靜矩：平面圖形面積對某坐標(biāo)軸的一次矩，如圖-1所示。定義式： ， （-1）量綱為長度的三次方。由于均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐標(biāo)和。則由此可得薄板重心的坐標(biāo) 為 同理有 所以形心坐標(biāo) ， （-2）或 ，由式（-2）得知，若某坐標(biāo)軸通過形心軸，則圖形對該軸的靜矩等于零，即 ， ； ，則 ；反之，若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心。靜矩與所選坐標(biāo)軸有關(guān)，其值可能為正，負(fù)或零。如一個(gè)平面圖形是由幾個(gè)簡單平面圖形組成，稱為組合平面圖形。設(shè)第 I 塊分圖形