柯西施瓦茨不等式

1、柯西施瓦茨不等式的應用及推廣作者：查敏 指導老師:蔡改香摘要 本文探討的是柯西施瓦茨不等式在不同數(shù)學領域的各種形式和內容及其多種證明方法和應用，并對其進行了一定程度上的推廣.通過一系列的例題，反映了柯西施瓦茨不等式在證明相關的數(shù)學命題時可以使得解題方法得以簡捷明快，甚至可以得到一步到位的效果，特別是在概率統(tǒng)計中的廣泛應用.關鍵詞 Cauchy-Schwarz不等式 Minkowski不等式 Holder不等式 Hermite陣1引言柯西施瓦茨不等式在數(shù)學中的應用比較廣泛，是異于均值不等式的另一個重要不等式，靈活巧妙的運用它，可以使一些較困難的實際問題得到比較簡捷地解決，這個不等式結構和諧，無論

2、代數(shù)、幾何，都可以應用.本文正是從實數(shù)域、微積分.內積空間、概率空間以及矩陣分析這五個方面的內容進行證明并舉例說明其應用，對實數(shù)域和微積分中的形式進行了一定程度的推廣.2 在實數(shù)域中的Cauchy不等式命題1 設，則 （1） 其中當且僅當（為常數(shù)）等號成立.證明 由則由于,因此上述不等式的判別式大于零，即：易得（1）式成立.例1 設求證證明 由不等式左邊的形式，很容易想到柯西不等式解之柯西施瓦茨不等式在實數(shù)域中的應用十分廣泛，而且許多著名的不等式就是用柯西施瓦茨不等式直接導出.下面介紹兩個著名的不等式.由上面的柯西施瓦茨不等式可以得到Minkowski不等式 定理1 任意的個實數(shù)，有 （2）事

3、實上，由（1）得 這就證明了（2）.將柯西施瓦茨不等式中的冪指數(shù)擴充，則有赫爾德不等式.定理2 對任意的非負數(shù)有其中，滿足且.證明 由楊格不等式，其中且得赫爾德不等式中，當時為柯西施瓦茨不等式，若將則可導出相應的無窮不等式.由定理2可將定理1的冪指數(shù)進行擴充定理3 若對任意的非負實數(shù)，且，則證明 由楊格不等式 化簡即得所要證得的不等式.還可將上述赫爾德不等式推廣到無限和不等式：推論1 若對任意非負實數(shù)，有，則下面將上命題1進行推廣：引理1 （算術-幾何平均值不等式）設為個正數(shù)，則 ，等號成立的充要條件為.引理2 設,作定義：則在中定義了的加法、數(shù)乘、內積作成上的線性空間一定構成歐幾里得空間，簡

4、稱歐氏空間 (在介紹柯西施瓦茨不等式在內積空間中的應用時會用到此定義).推論2 設是組實數(shù)，則有 （2） 等號成立的充要條件為 . 證明 為方便起見，不妨設從而由引理1有對上式進行的累次求和，可得即 （4）由于同理，這樣（4）式為再兩邊同時次冪，得故證得（3）式成立.注1 在命題1中，除，其余均為1，且，則不等式（3）就是不等式（1）的推廣.推論3 （將命題1推廣為無限和不等式）設且，則（證明過程可仿推論2的證法并結合引理2）.3 微積分中的Cauchy-Schwarz不等式命題2 設在可積，則 （5）證明 類似命題1可以利用判別式證明之.下面給出另一種證法:因為在上可積，則由定積分的性質均在

5、上上可積，對區(qū)間進行n等分，分點為.由定積分的定義，有由（1）式知再由極限的保號性易知（5）式成立.注2 若對，或成正比，則（5）式等號成立，但其逆不真.例如，除有限點外，有，但并不成比例.例2 利用柯西施瓦茨不等式求極限：設在上連續(xù)，有正下界，記，求證：.證明 為了分析的變化趨勢，研究鄰項之間的關系. 因為，平方得，即.因為在連續(xù)，所以存在，使得,故因為單調有上界，所以有極限.即在微積分中的柯西施瓦茨不等式也可以得到一些比較著名的不等式，如下面介紹的Minkowski不等式：定理4 設在可積，則Minkowski不等式證明 由（5）式因為兩邊都大于等于零，且右邊大括號也大于等于零，所以有將柯

6、西施瓦茨不等式的冪指數(shù)進行擴充，有Holder不等式定理5 ，且，則證明 得證.利用定理5，將定理4的冪指數(shù)進行擴充，有證明可參考定理3 的證明，且p=2即為定理4中的不等式.同樣將上命題2進行推廣.推論4 設是閉區(qū)間上為正的個可積函數(shù)，則 （6）證明 不妨設則由引理1可得這樣就證得不等式（6）成立.注3 在推論4中，取，則得到柯西施瓦茨不等式，即不等式（5）.注4 不等式（5）可寫成受此啟發(fā)，易于得到柯西施瓦茨不等式更為一般的推廣形式：設是閉區(qū)間上的可積函數(shù)，則有即為并且等號成立的充要條件為：存在不全為零的常數(shù)使得.推論5 （將命題2再推廣）設則 （7） （可仿推論4并結合反常積分理論即證）

7、.4 維歐氏空間中Cauchy-Schwarz不等式在維歐氏空間中，對任意的向量定義內積定義的長度或范數(shù)為.命題3 對任意的向量有 （8）當且僅當線性相關時等號才成立.證明 若，則，（8）式顯然成立.若，則令，則，且當線性相關時等號顯然成立.反之，如果等號成立，由以上證明過程可以看出，或或，即也就是說線性相關.根據上述在維歐氏空間中的柯西施瓦茨不等式，我們有三角不等式 （9）因為所以（9）式成立.用柯西施瓦茨不等式不等式有時可很巧妙地解決相關數(shù)學命題，如下例3 求證.證明 這里可取由柯西施瓦茨不等式整理即得5 概率空間中的Cauchy-Schwarz不等式命題4 設為任意隨機變量，若存在，則也

8、存在，且 （10）式中等號成立當且僅當存在常數(shù)，使得 （11）證明 定義實變量的二次函數(shù)為因為對一切，必然有,從而有，于是方程要么無實根，要么就有一個實根，亦即重根，即判別式非正，從而即 當?shù)忍柍闪r，方程有一個重根，使從而 即 且 于是 即 反之，若存在常數(shù)，使得（11）式成立，即從而 ，于是 ，即 ，且故 即在（10）式中等號成立.例4 設隨機變量與的相關系數(shù)存在，則且的充要條件為與以概率1線性相關.即存在常數(shù)，使，其中當時，；當時.證明 對隨機變量與應用柯西施瓦茨不等式，有即，所以，此時等式成立當且僅當存在，使得其中是方程當時的解.顯然，當時，即當時，即該定理表明：當時，與之間存在線性關

9、系，從而相關系數(shù)作為“標準尺度下的協(xié)方差”是隨機變量與之間的線性強弱程度的度量，更確切地說應該是線性相關系數(shù).在統(tǒng)計教學中，求直線趨勢方程的兩個待定系數(shù)時，用到最小二乘法.柯西施瓦茨不等式在求方程系數(shù)和判斷極值中起到了補充說明的作用，增強了預測模型的準確性、科學性、嚴密性.例5 （求方程系數(shù)中的應用）當函數(shù)，是由實驗或觀察得到的，建立直線趨勢方程的模型時，要求實際觀察值與趨勢值離差的平方和必須為最小.解 設，這里令整理得到：消去,.由柯西施瓦茨不等式知，當且僅當時取等號.由于是時間變量，故，所以所以.在直線回歸方程中，均為回歸系數(shù).在求回歸系數(shù)時，同樣用Cauchy不等式證明得到.事實上，如果

10、，由柯西施瓦茨不等式我們得到這時，總體回歸直線就是一條平行于軸的直線了，這時與之間沒有線性關系，從統(tǒng)計學的角度講總體中沒有變異，就沒有必要進行統(tǒng)計了.例 6 （在判斷極值存在中的應用）證明存在極小值.證明 因為求二階偏導得 因為由柯西施瓦茨不等式我們得到所以又因為，所以存在極小值，可以證明也就是最小值.由以上幾個例子可以發(fā)現(xiàn)，柯西施瓦茨不等式不等式在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中有著廣泛的實際應用.6 矩陣分析中的Cauchy-Schwarz不等式定義1 設為n階方陣，記,即同時取共軛又轉置.若,則稱是一個Hermite陣.當為實矩陣時，Hermite陣就是實對稱陣.命題5 設，則(a) 等號成立當且僅當

11、與線性相關.證明 當與至少一個為零向量時，結論顯然不成立.不妨設，定義，則.于是此即等號成立與成比例.（b）設A為Hermite陣且,則等號成立當且僅當與線性相關.證明 因為，則由Hermite陣的性質，存在矩陣B,使得.命，對和應用(a),便得到(b).(c)設A為的Hermite陣且,則 ,等號成立當且僅當與線性相關.證明 因為,所以存在,對和應用(a),即得欲證的(c).由上可知為任意的一對列向量，我們要討論的是當它們?yōu)檎幌蛄繒r柯西施瓦茨不等式，是柯西施瓦茨不等式的另一種形式的推廣.推論6 表示復數(shù)域，表示的共軛轉置向量， 階正定矩陣的全體記為.設，A的特征值為，且都大于零，那么對于任

12、意一對正交向量，有證明 不失一般性，令，顯然只需要證明當正交向量對時，推論6成立.令那么，B是一個Hermite陣，令其特征值為，由Poincare定理，有所以.同時所以 又因為是單調遞減的函數(shù)，所以這樣定理得證.例7 設，A的特征值為，且都大于零，那么對于任意非零向量，有證明 令，這樣同時 （12） 由（12）式，我們可以得到，將（11）式帶入推論6，有因為，所以將上式用于，我們得到即這樣定理得證.注5 由柯西施瓦茨不等式的形式（b），我們可得到由推論6 （13）因此（13）式的結論較柯西施瓦茨不等式精確，所得結果更強.結束語本文從五個方面分別介紹了柯西施瓦茨不等式的五個等價形式，并進行了簡

13、潔的證明.并分別介紹了柯西施瓦茨不等式的簡單應用，特別是在概率統(tǒng)計中的實際應用，而且在實數(shù)域和微積分中進行了一定的推廣.由于知識所限，在對其他方面的柯西施瓦茨不等式沒有進入深入的分析，也沒有進行推廣.參考文獻1 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社, 2003.2吳傳生.數(shù)學分析（上冊）習題精解M.合肥:中國科技大學出版社，2004.3鄧天炎，葉留青.概率統(tǒng)計M.北京:中國礦業(yè)大學出版社，2004.4 王松佳,吳密霞,賈忠貞M.北京:科學出版社,2005.5 黃廷祝,楊傳勝.特殊矩陣分析及應用M.北京: 科學出版社, 2007.6K.G.賓莫爾.數(shù)學分析基

14、礎淺導M.北京：北京大學出版社，2006.7孫永生,王昆揚.泛函分析講義M.北京：北京師范大學數(shù)學科學學院，2007.8 羅俊麗,朱白. Cauchy-Schwarz不等式的幾中推廣形式J.商洛學院學報,23:4(2009),28-29.9常廣平，李林衫，劉大蓮.利用Cauchy-Schwarz不等式估計回歸系數(shù)J.北京聯(lián)合大學學報，22:4(2008),77-78.Application and promotion of the Cauchy-Schwartz inequalityAuthor:Zha Min Superviser: Cai GaixiangAbstract This paper explores all kinds of forms and content and a variety of ways of proof and applications of the Cauchy inequality in diffirent fields of mathematics,and makes some degrees of promotion of it. Through a series of examples,we can see that the Cauchy inequality makes th