圓錐曲線的中點弦問題

1、第1頁關(guān)于圓錐曲線的中點弦問題直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題， 是解析幾何中的重要內(nèi)容之一， 也是高考的一個熱點問題。 這類問題一 般有以下三種類型：(1) 求中點弦所在直線方程問題；(2) 求弦中點的軌跡方程問題；(3) 求弦中點的坐標(biāo)問題。 其解法有代點相減法、 設(shè)而不求法、 參數(shù)法、 待定系數(shù)法及中心對稱變換法等。一、求中點弦所在直線方程問題2 2例 1 1、過橢圓 L L 厶1內(nèi)一點 M(M(2 2, 1 1)弓I一條弦，使弦被點 M M 平分，求這條弦所在的直線方程。164解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2)y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：2 2 2 2(4k1

2、)x8(2k k)x 4(2k1)160又設(shè)直線與橢圓的交點為 A(A(x-i, y1) ) , B B (x2, y2),則x1, x2是方程的兩個根，于是8(2k2k)2,4k 1兩式相減得x 2y 4由于過 A A、B B 的直線只有故所求直線方程為x 2y40。二、求弦中點的軌跡方程問題2 2例 2 2、過橢圓 L 1上一點 P P (-8-8 , 0 0)作直線交橢圓于6436解法一：設(shè)弦 PQPQ 中點M( x, y)，弦端點 P P (x1, y1), Q(Q(x2, y2),2 2則有9篤勵打576,9x216X1x2又 M M 為 ABAB 的中點，所以x1x2224(2k

3、k)4k21故所求直線方程為x2y 40。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點為A*, yj,B B (X2,y2), M(2M(2,所以x1x24,y1y22又 A A、B B 兩點在橢圓上， 則X124y1216,2 2X24y216,兩式相減得(x2X2)4(y12y22)0,所以也一y2X1X2-，即2kAB14( y1y2)2，x 2y 4A(A(x ,y) )，由于中點為 M(2M(2, 1 1),則另一個交點為B(4B(4- -X ,2 y) )，因為AB B 兩點在橢圓上,所以有(42Xx)24y24(216y)2160，條，Q Q 點，求 PQPQ 中點的軌跡方程。0。1 1)為 AB

4、AB 的中點,故所求直線方程為解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為1解得k -,2第2頁y2576第3頁兩式相減得9(x12x22) 16( y/ y22) 0,又因為XiX22x,yiy 2y，所以9 2x(xiX2) 16 2y(yiy2)0,即4(x 4)24 i，6436三、弦中點的坐標(biāo)問題 例 3 3、求直線y x i被拋物線y24x截得線段的中點坐標(biāo)。解：解法一：設(shè)直線y x i與拋物線y24x交于A(xi,yi)，B(X2, y?)，其中點P(Xo,y。)，由題意得y x i2y 4x消去 y y 得(x i)24x，即x26x i 0，所以yiy29xXiX2i6y而kpQy0

5、,9xy故x (8)i6y x 8化簡可得9x272xi6y20(x8)。解法二：設(shè)弦中點M( x, y)Q(Xi, yi),yiy7可得Xi2x8,yi2y,又因為 Q Q 在橢圓上，所以2Xi642yi36所以 PQPQ 中點 M M 的軌跡方程為(x 4)2i6i(X8)。第4頁yi24Xi，兩式相減得y22yi2y24x2所以Syi)yi)4x2xi所以x0XiX223，yoxoi2,即中點坐標(biāo)為(3,2)。解法二：設(shè)直線yx i與拋物線y24x交于A(xi, yi)，B(X2,y2)，其中點P(xo,yo)，由題意得4(x2Xi)，第5頁所以yiy 4，即y 2,X。y。13，即中點

6、坐標(biāo)為（3,2）。上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題的一些基本解法。下面我們看一個結(jié)論2 2設(shè)A、B B 是二次曲線C：AxCyDxEy F 上的兩點，pEpEyo）為弦AB的中點，則2AX0D（2Cy2CyE 引理kABE 0)2設(shè)A(XI,yJ、B B(x2,y2)則AxiAx22(2)得A(Xi2Ax(XiX2)X2)(XiX2)-(2Ax0-2Cy0(說明：2Ax2Cy0推論 ikAB則推論立。假設(shè)點推論D)(Xi當(dāng)AD乍)2設(shè)圓x2X0小2Cyi小2Cy2C(yiDxiEyiF 0.( i i)2Cyo(yiy2)D(xiX2) (2Cy0E)(yiXiX2DX2y2

7、)(yiX2)y2)Ey2F 0y2)D(xiE(yiy2)X2)yiy2xix22AX0D2CyE即kAB上面的結(jié)論就是過二次曲線 C C(2)E(yiy2)02 Ax0D2Cy0E。上的點 P P（Xo,yo）的切線斜率公式，即DXEy F 0的弦 ABAB 的中點為P(X0, y)(y00)2y。E2X設(shè)橢圓a2。（假設(shè)點 P P 在圓上時，則過點 P P 的2yb2i的弦 ABAB 的中點為2x0D2yE切線斜率為）P P 在橢圓上，則過點2X3設(shè)雙曲線a2kP P 的切線斜率為P(x0,y)(bl?晝2 a y)y。kAB0)，則b2?X02a y0。（注：對 a a b b 也成上

8、，則過 P P 點的切線斜率為推論 4設(shè)拋物線2y_b2i的弦 ABAB 的中點為k g?$ay）p p（x。，y。）(y0kAB0)則bl?Xc2a y0。（假設(shè)點 P P 在雙曲線2 px的弦 ABAB 的中點為 P P（X0，y0）（y。kAB0)則衛(wèi)y0。（假設(shè)點 P P 在拋物線上，則k ）過點 P P 的切線斜率為y0我們可以直接應(yīng)用上面這些結(jié)論解決有關(guān)問題，下面舉例說明。2Xi i、求橢圓252止ii6斜率為 3 3 的弦的中點軌跡方程。:設(shè) P P75、24i3y y）是所求軌跡上的任一點，則有75、X24i）i6 x?一25 y，故所示的軌跡方程為 i6x+75y=0i6x+

9、75y=0第6頁22第7頁X2例 2 2、已知橢圓a2 ,2a b求證:爲(wèi)1(a b b22 ,2a bX00)，A A、B B 是橢圓上兩點，線段 ABAB 的垂直平分線 I I 與 x x 軸相交于P P(x0,0)證明:a。設(shè) ABAB 的中點為 T T(X1，y1)b2a2_?生y1由題設(shè)可知 ABAB 與 x x 軸不垂直，y10,2ayiI I 的方程為:2aX1a2a2?X0b2b2X0/ I I 丄 ABAB2宀Xb X-!?Xi)/ I X1| ab2令 y=0y=02a Iyi2詁?(x0X1)a2例 3 3、已知拋物線C:y X，直線l:y k(x 1) 1,要使拋物線 C C 上存在關(guān)于l對稱的兩點，k的取值范圍是什么?解：設(shè)中點為kABC