圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題

1、第1頁(yè)關(guān)于圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問(wèn)題， 是解析幾何中的重要內(nèi)容之一， 也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。 這類問(wèn)題一 般有以下三種類型：(1) 求中點(diǎn)弦所在直線方程問(wèn)題；(2) 求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題；(3) 求弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題。 其解法有代點(diǎn)相減法、 設(shè)而不求法、 參數(shù)法、 待定系數(shù)法及中心對(duì)稱變換法等。一、求中點(diǎn)弦所在直線方程問(wèn)題2 2例 1 1、過(guò)橢圓 L L 厶1內(nèi)一點(diǎn) M(M(2 2, 1 1)弓I一條弦，使弦被點(diǎn) M M 平分，求這條弦所在的直線方程。164解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2)y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：2 2 2 2(4k1

2、)x8(2k k)x 4(2k1)160又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為 A(A(x-i, y1) ) , B B (x2, y2),則x1, x2是方程的兩個(gè)根，于是8(2k2k)2,4k 1兩式相減得x 2y 4由于過(guò) A A、B B 的直線只有故所求直線方程為x 2y40。二、求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題2 2例 2 2、過(guò)橢圓 L 1上一點(diǎn) P P (-8-8 , 0 0)作直線交橢圓于6436解法一：設(shè)弦 PQPQ 中點(diǎn)M( x, y)，弦端點(diǎn) P P (x1, y1), Q(Q(x2, y2),2 2則有9篤勵(lì)打576,9x216X1x2又 M M 為 ABAB 的中點(diǎn)，所以x1x2224(2k

3、k)4k21故所求直線方程為x2y 40。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A*, yj,B B (X2,y2), M(2M(2,所以x1x24,y1y22又 A A、B B 兩點(diǎn)在橢圓上， 則X124y1216,2 2X24y216,兩式相減得(x2X2)4(y12y22)0,所以也一y2X1X2-，即2kAB14( y1y2)2，x 2y 4A(A(x ,y) )，由于中點(diǎn)為 M(2M(2, 1 1),則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4B(4- -X ,2 y) )，因?yàn)锳B B 兩點(diǎn)在橢圓上,所以有(42Xx)24y24(216y)2160，條，Q Q 點(diǎn)，求 PQPQ 中點(diǎn)的軌跡方程。0。1 1)為 AB

4、AB 的中點(diǎn),故所求直線方程為解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為1解得k -,2第2頁(yè)y2576第3頁(yè)兩式相減得9(x12x22) 16( y/ y22) 0,又因?yàn)閄iX22x,yiy 2y，所以9 2x(xiX2) 16 2y(yiy2)0,即4(x 4)24 i，6436三、弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題 例 3 3、求直線y x i被拋物線y24x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：解法一：設(shè)直線y x i與拋物線y24x交于A(xi,yi)，B(X2, y?)，其中點(diǎn)P(Xo,y。)，由題意得y x i2y 4x消去 y y 得(x i)24x，即x26x i 0，所以yiy29xXiX2i6y而kpQy0

5、,9xy故x (8)i6y x 8化簡(jiǎn)可得9x272xi6y20(x8)。解法二：設(shè)弦中點(diǎn)M( x, y)Q(Xi, yi),yiy7可得Xi2x8,yi2y,又因?yàn)?Q Q 在橢圓上，所以2Xi642yi36所以 PQPQ 中點(diǎn) M M 的軌跡方程為(x 4)2i6i(X8)。第4頁(yè)yi24Xi，兩式相減得y22yi2y24x2所以Syi)yi)4x2xi所以x0XiX223，yoxoi2,即中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)。解法二：設(shè)直線yx i與拋物線y24x交于A(xi, yi)，B(X2,y2)，其中點(diǎn)P(xo,yo)，由題意得4(x2Xi)，第5頁(yè)所以yiy 4，即y 2,X。y。13，即中點(diǎn)

6、坐標(biāo)為（3,2）。上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問(wèn)題的一些基本解法。下面我們看一個(gè)結(jié)論2 2設(shè)A、B B 是二次曲線C：AxCyDxEy F 上的兩點(diǎn)，pEpEyo）為弦AB的中點(diǎn)，則2AX0D（2Cy2CyE 引理kABE 0)2設(shè)A(XI,yJ、B B(x2,y2)則AxiAx22(2)得A(Xi2Ax(XiX2)X2)(XiX2)-(2Ax0-2Cy0(說(shuō)明：2Ax2Cy0推論 ikAB則推論立。假設(shè)點(diǎn)推論D)(Xi當(dāng)AD乍)2設(shè)圓x2X0小2Cyi小2Cy2C(yiDxiEyiF 0.( i i)2Cyo(yiy2)D(xiX2) (2Cy0E)(yiXiX2DX2y2

7、)(yiX2)y2)Ey2F 0y2)D(xiE(yiy2)X2)yiy2xix22AX0D2CyE即kAB上面的結(jié)論就是過(guò)二次曲線 C C(2)E(yiy2)02 Ax0D2Cy0E。上的點(diǎn) P P（Xo,yo）的切線斜率公式，即DXEy F 0的弦 ABAB 的中點(diǎn)為P(X0, y)(y00)2y。E2X設(shè)橢圓a2。（假設(shè)點(diǎn) P P 在圓上時(shí)，則過(guò)點(diǎn) P P 的2yb2i的弦 ABAB 的中點(diǎn)為2x0D2yE切線斜率為）P P 在橢圓上，則過(guò)點(diǎn)2X3設(shè)雙曲線a2kP P 的切線斜率為P(x0,y)(bl?晝2 a y)y。kAB0)，則b2?X02a y0。（注：對(duì) a a b b 也成上

8、，則過(guò) P P 點(diǎn)的切線斜率為推論 4設(shè)拋物線2y_b2i的弦 ABAB 的中點(diǎn)為k g?$ay）p p（x。，y。）(y0kAB0)則bl?Xc2a y0。（假設(shè)點(diǎn) P P 在雙曲線2 px的弦 ABAB 的中點(diǎn)為 P P（X0，y0）（y。kAB0)則衛(wèi)y0。（假設(shè)點(diǎn) P P 在拋物線上，則k ）過(guò)點(diǎn) P P 的切線斜率為y0我們可以直接應(yīng)用上面這些結(jié)論解決有關(guān)問(wèn)題，下面舉例說(shuō)明。2Xi i、求橢圓252止ii6斜率為 3 3 的弦的中點(diǎn)軌跡方程。:設(shè) P P75、24i3y y）是所求軌跡上的任一點(diǎn)，則有75、X24i）i6 x?一25 y，故所示的軌跡方程為 i6x+75y=0i6x+

9、75y=0第6頁(yè)22第7頁(yè)X2例 2 2、已知橢圓a2 ,2a b求證:爲(wèi)1(a b b22 ,2a bX00)，A A、B B 是橢圓上兩點(diǎn)，線段 ABAB 的垂直平分線 I I 與 x x 軸相交于P P(x0,0)證明:a。設(shè) ABAB 的中點(diǎn)為 T T(X1，y1)b2a2_?生y1由題設(shè)可知 ABAB 與 x x 軸不垂直，y10,2ayiI I 的方程為:2aX1a2a2?X0b2b2X0/ I I 丄 ABAB2宀Xb X-!?Xi)/ I X1| ab2令 y=0y=02a Iyi2詁?(x0X1)a2例 3 3、已知拋物線C:y X，直線l:y k(x 1) 1,要使拋物線 C C 上存在關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)，k的取值范圍是什么?解：設(shè)中點(diǎn)為kABC