第3講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)-簡(jiǎn)單難度-講義.

1、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)知識(shí)講解、三角函數(shù)的性質(zhì)1.三角函數(shù)的圖象2.函數(shù)？?= ? ?的圖像與函數(shù)？?= ?圖像的關(guān)系振幅變換：？?= ?> 0,?金1）的圖像,可以看成是？?= ?圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都伸長(zhǎng)（?> 1）或縮短（0< ?< 1）到原來的？?H （橫坐標(biāo)不變）而得到的.周期變換：？?= ?（?> 0,?金1）的圖像，可以看成是 ？?= ?圖像上各點(diǎn) 1的橫坐標(biāo)都縮短（？> 1）或伸長(zhǎng)（0 < ?< 1）到原點(diǎn)的？?倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的，由于？?= ?圖像得到？?= ? ?的圖像主要有下列兩種方法：相位變換?= ?周期變換振幅變換?

2、= ?+ ? -?= ?+ ? ?+ ?周期變換?= ?相位變換振幅變換?= ?= ?+ ? ?= ?(?+ ?3.三角函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)?= ?= ?= ?= ?定義域?|?E ?w? ? ?2,?|? ?w?e ?值域-1,1-1,1?奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)有界性有界函數(shù)| ?!?< 1有界函數(shù)| ?< 1無界函數(shù)無界函數(shù)周期性?= 2?= 2?= ?= ?單調(diào)性2? ?, 2? ? / (? ?) ?3?2?+ 2,2? - (? ?)(2?- 1)?,2? F (? ?)2?2?+ 1)? (? ?)(? ? ? ?ia . 22/(? ?)(? ?1 , J 、(?

3、£ ?)最值?= 2?2,? £ ?)? ?= 2?-? 一2? £ ?)x 2k兀?彼?？e ?= (2?+ 1)?(? £ ?)無無對(duì)稱軸?= ? ?(? £ ?)?= ?(?)無無對(duì)稱點(diǎn)(?0,)(? £ ?)?(?7? 2 ,0)(? £ ?)?(2 ,0)(? ?)? (-2,0)(? ?)典例精講一.選擇題(共16小題)1. (2018徵國(guó))要得到y(tǒng)=cosx,則要將y=sinx ()A.向左平移 幾個(gè)單位B.向右平移 幾個(gè)單位?c.向左平移萬個(gè)單位d.向右平移2個(gè)單位【分析】利用函數(shù)丫二人$的(葉小)的圖象變換

4、規(guī)律、誘導(dǎo)公式，得出結(jié)論.【解答】解：要將y=sinx的圖象向左平移2個(gè)單位，可得y=sin (x) =cosx的 圖象，故選：C.2. (2018春?惠農(nóng)區(qū)校級(jí)期中)設(shè)函數(shù) f (x) =sinx, xCR,將f (x)的函數(shù)圖 .一.?. 象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移Q個(gè)單包 得到g (x)的函數(shù)圖象，則g (x)是()A.最小正周期為冗的奇函數(shù)B.最小正周期為4冗的奇函數(shù)C.最小正周期為冗的偶函數(shù)D.最小正周期為4冗的偶函數(shù)【分析】利用函數(shù)y=Asin (葉小)的圖象變換規(guī)律求得g (x)的解析式，再根 據(jù)正弦函數(shù)的圖象的周期性和奇偶性，得出結(jié)論.【解答】

5、解：函數(shù)f (x) =sinx, xCR,將f (x)的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半(縱坐標(biāo)不變)，可得y=sin2x的圖象；,? .一 一一再向右平移2個(gè)單包得到g (x) =sin (2x-施=-sin2x的函數(shù)圖象，2?. . 一 一 則g （x）是周期為7=冗的奇函數(shù), ?3. （2018春花坪壩區(qū)校級(jí)期中）將y=3sin4x的圖象向左平移逐個(gè)單位長(zhǎng)度，再?向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=f （x）的圖象，則？?）=（）A.3B.一23sC.2【分析】由題意利用函數(shù)y=Asin （葉?。┑膱D象變換規(guī)律，得出結(jié)論.?解：將y=3sin4x的圖象向左平移 逐個(gè)單位長(zhǎng)度，得到 y=3

6、sin (4x+4X) =3sin (4x+)的圖象，123?再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=3sin (4x+-) -3的圖象,3貝U?!?=3sin (2?+|/) 3=3cos3? 3=-|,?.4. （2018春?t星區(qū)校級(jí)期中）將函數(shù)？?= ?（?的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)3一, ?.到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移三個(gè)3單位，所得函數(shù)的一條對(duì)稱軸為（一 ？B ?=-3一 一 ？C. ?= ?2【分析】利用函數(shù)y=Asin （葉?。┑膱D象變換規(guī)律可得所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式,再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得所得函數(shù)的一條對(duì)稱軸.? 一【解答】解：將函數(shù)？?= ?（?的圖象上各點(diǎn)的橫坐

7、標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的 2倍（縱 3坐標(biāo)不變），可得y=cos （1x-?的圖象；23=sinx的圖象.2再向右平移二個(gè)單位，可得y=cos （1x-?'-?） 326 3?一田一，求得x=2k加乃kCZ,令k=0,可得函數(shù)的一條對(duì)稱軸為x=為故選：D.?5. （2018春?興慶區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù) f （x） =sin+coscox（>0）在（一，6 '5?，一一一，。，一， ，一 八，石）上僅有一個(gè)最值，且為最大值，則實(shí)數(shù) 的值不可能為（7 7B. 一6【分析】利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象,"+一'<2keW？一+W2ke

8、一，kCZ 求得 的范圍，從而得出結(jié)論.6 4212 42，,，?,? 5?【解答】 解：函數(shù)f （x） =sin +cosx2sin （葉4）（>0）在（、,彳2）上3?2，k Z,僅有一個(gè)最值，且為最大值,春紇2k/紇 竺+?<2kd 6 4212 4“3令k=0,求得w< 2,故選：C.6. （2018春?杏花嶺區(qū)校級(jí)期中）為了得到函數(shù)？?= ?也為，？?C ?勺圖象, 3只需把函數(shù)y=cos2x, xCR的圖象上所有點(diǎn)（）一，JA.沿x軸向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度61B.沿x軸向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度6，,_ Jc .沿x軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度一.一 .？D .沿x軸向左平移；

9、:個(gè)單位長(zhǎng)度6【分析】由題意利用函數(shù)y=Asin （葉?。┑膱D象變換規(guī)律，得出結(jié)論.1.，、【解答】解：把函數(shù)y=cos2x, xCR的圖象上所有點(diǎn)沿x軸向左平移二個(gè)單包 61長(zhǎng)度，可得函數(shù)？?= ?（2?）, ? ?勺圖象，37. （2018春?5河子校級(jí)期末）要得到函數(shù)？?= ?（?的圖象，只需將？?= ?的圖象（）, ?A.向左平移一個(gè)單位4, 3?C.向左平移一個(gè)單位4?B.向右平移二個(gè)單位4,-3?，、D.向右平移7個(gè)單位4【分析】利用函數(shù)y=Asin （葉?。┑膱D象變換規(guī)律即可得解.? ?1 ,3?【解答】解： ？?= ?（4）=sin3 （x7）,將?= ?圖象向右平移3?）單位

10、即可得到函數(shù)？?= ?（穿的圖象. 3434故選：D.8. （2018部市區(qū)校級(jí)一模）函數(shù)f（x）=2sin3+1（>0）的圖象向右平移 M0<?< ? .c C ?C- 2， 12?個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象（如圖所?。?，直線AB平行于x軸，且|AB| 二 % 則以小的值分別為（）?D 2, 飛3【分析】根據(jù)函數(shù)y=Asin （葉小）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),求得以小的化?【解答】解：函數(shù)f（x）=2sin +1（0）的圖象向右平移 也0<?< ?個(gè)單 位，得到函數(shù)g （x） =2sin （x-$ +1的圖象（如圖所示），2?.根據(jù)直線AB平行于

11、x軸，且| AB| 二冗，可得丁=亍=兀，.=2故排除A、B選項(xiàng).1再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，可得 2sin （-2加+1=0,即sin2 心故排除D, 選項(xiàng)C滿足條件,故選：C. .?9. （2018砂陽區(qū)校級(jí)一模）要得到函數(shù)y=sin （2x+7）的圖象，需要把函數(shù)y=cos2x6的圖象（.一 ,？.一、A.向左平移n個(gè)單位 12.,?C.向右平移一個(gè)單位12.一,？.一、B.向左平移二個(gè)單位6?D.向右平移二個(gè)單位6【分析】根據(jù)函數(shù)丫二人$的（葉?。┑膱D象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式，得出結(jié)論.?【解答】解：把函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移6個(gè)單位,可得 y=cos (2x) =cos (二一2

12、x) =sin (2x+-) 的圖象, '336故選：D.10. （2018小心區(qū)校級(jí)二模）函數(shù)f （x） =Asin （葉?。ˋ>0,>0, 00 g2施（2018）的值為（B. -5fA.一5C. - 5D. 5【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出以由五點(diǎn)法作圖求出小的值,可得函數(shù)的解析式，再利用誘導(dǎo)公式求得f （2018）的值.解：根據(jù)函數(shù)f(x) =Asin (+ 小)(A>0,>0, 0<2 力 在 R上的部分圖象,可得 A=5 , 2?=11+1,?Cl)二6?結(jié)合五點(diǎn)法作圖可得-x6? ?(T) +(|)=0 ，魄，f (x)

13、=5sin qx+底)，, f (2018) =5sin(20：?+!? =5sin(336 +? =5sin|?=5,故選：D.11. (2018匈谷灘新區(qū)校級(jí)二模)已知函數(shù) f (x) =3sinx+2cosx, g (x) =3sinx-2cosx,若將函數(shù)f (x)的圖象向右平移 小個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，A- - 143B- 19312 C.13_5D. 13【分析】化函數(shù)f (x)、g (x)為正弦型函數(shù)，根據(jù)圖象平移知 小滿足的解析式, 利用三角包等變換計(jì)算cos的值.【解答】 解：函數(shù) f (x) =3sinx+2cosx=v13sin (x+8),2g (x) =3s

14、inx - 2cosx=v13sin (x- 8), tan 柱3若將函數(shù)f (x)的圖象向右平移 小個(gè)單位后得到函數(shù)g (x)的圖象,422 1-?1- 9 5cos 小=cos2 0 =(2os sin2 0 =-=9=131+? 1+ 9故選：D.12. (2018硯里市校級(jí)四模)定義運(yùn)算:? ?|? ?尸aa4a2a3,將函數(shù) f (x)?v3 ?=|2?的圖象向左平移m1?2,(m>0)的單位后，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則m的最小值是(?A. 一 32?B.一34?C.一37?D.一3【分析】由條件利用三角包等變換、y=Asin (葉小)的圖象變換規(guī)律，可得y=2sin11? 一

15、一一 一一 1?-(2x+2m-6)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得尹6=k啜，心心由此求得m的V3 ? _【解答】解：將函數(shù)f (x) =|2-=v31? rR sin-?- cos?=2sin22? ? .(2-6)的圖象向左平移m (m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后,?所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為 y=2sin12 (x+m)-旨=2sin再根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得qm-丁=卜叱；即m=2k 2621 1?(一 x m ).2 264?+"3", kCz,4?則m的最小值是3故選：C. ?13. (20187K樂縣校級(jí)模擬)已知函數(shù)f(x) =asinx-cosx的一個(gè)對(duì)稱中心

16、為(一，41.0),若將函數(shù)f (x)圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的一,再將所3?得圖象向右平移逐個(gè)單位，得到函數(shù)g (x)的圖象，則g (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(?A. 2k：i； 2k ：+- , (kZ)2? 2?C。 3，3 +6(k Z)B. , 2k7+2? 2k +耳，kC Z2? 2? 卜 e z 3 733JV2即 a=1, f (x)若將函數(shù)f (x)【分析】由題意利用正弦函數(shù)的對(duì)稱中心求出 a的值，可得函數(shù)的解析式；再利用函數(shù)y=Asin (葉型的圖象變換規(guī)律求得g (x)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)g (x)的增區(qū)間. 二,一*,.?v2【解答】解

17、：二,函數(shù)f (x) =asinx-cosx的一個(gè)對(duì)稱中心為(一，0),.a?一42?=sinxcosx=v2sin (x 一)41?可得y=v2sin (3x- 4)的圖象;?3? ?再將所得圖象向右平移12個(gè)單位，得到函數(shù)g (x) =v2sin(3x-12-4圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的 3,?=v2sin （3x-2） = - v2cos3x的圖象.2?2?令2k志3x<2k +兀，求得<x< 3故函數(shù)g （x）的增區(qū)間為不32? 2?,虧+3,叱乙故選：D.14. （2018?t山二模）函數(shù)y=sin （葉小）（0）的部分圖象如圖，則 以小可能的值是（A

18、. 1,3B. 1,3【分析】根據(jù)圖象求出周期，可得,2?C. 2, 35?圖象過頂點(diǎn)（-,?» 2,二1）帶入即可求解加2?解：（1）由題設(shè)圖象知，周期T=5? ?-=?4, ?- 7一一一 5?從圖象過頂點(diǎn)（12，1），可得 1=sin （2 x +（） 12?5?2,?小=2k：r 3，?當(dāng)k=0時(shí)，可得小二耳.3故選：D.15. （2018利陽區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)?f (x) =sin ( w +-)(0)的最小正周6期為冗，將f （x）的圖象向右平移小（） 0）個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱，則小的一個(gè)值是（2?A.一3?B. 一3?C. 一4?D. 一8【分析】由題意

19、利用正弦函數(shù)的周期性求得以根據(jù)函數(shù)y=Asin （葉?。┑膱D象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的奇偶性，求得4的值.2?的最小正周期為不/2?【解答】解：二,函數(shù)f （x） =sin （葉一）（0）6？將f （x）的圖象向右平移 小（小0）個(gè)單包長(zhǎng)度，可得y=sin （2x-2（+6）的圖? ?26'象;根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得-2 +=k +: kCZ,即小。62?令k=-1,可得小可，3故選：B.?. . ?. .（2018所齊哈爾三模）將函數(shù)y=sin （2作）的圖象向右平移個(gè)單包長(zhǎng)度,則平移后的圖象對(duì)稱中心為（A 苫? ? 0)(“) 28C (筍三 0)(kez) 28? ?B

20、.£ 0) (kCZ)26?D. (y+g, 0) (kCZ)【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系求出函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.?【解答】解：將函數(shù)y=sin（2x+-）的圖象向右平移6個(gè)單包長(zhǎng)度,得 y=sin 2 (x - 6) +12 =sin? ?(2x- -+-) =sin (2x )，3 124由2x ?=卜兀，彳3x=?+ 4'2? ?即對(duì)稱中心為（行+?0),kC Z,故選：C.二.填空題（共5小題） ?17. （2018春沂麓區(qū)校級(jí)期末）已知直線 x=4是函數(shù)f （x） =sin （2x+（|）的圖象上的一條對(duì)稱軸，則實(shí)數(shù) 3的最小正值為1.

21、【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱性，即可求出小的最小正值.【解答】解：直線x=函數(shù)f （x） =sin （2x+（|）的圖象上的一條對(duì)稱軸, 4? - 2X+（J）=-+k兀，kC Z；42解得小=k/kez； 實(shí)數(shù)小的最小正值為冗.故答案為：冗.?18. （2018祝明二模）已知函數(shù) f （x） =sin （葉小），（0<?<3, |?|<?）,若一 ?(- 12)=?【分析】根據(jù)題意求出和小的值，寫出f （x）的解析式，再計(jì)算f （冗）的值.【解答】解：函數(shù)f （x） =sin （葉?。? 若？?(-帝=?52?= 0,貝 u?-cc+(|)=mq m Z,5?12-+4 =

22、n / nC Z；?二(n m) 國(guó) n、 cd =2?二(|)=nm+-；6'?又1 d <2, ? 6 三-6，? . f (x) =sin (2x),6? 1 . f ( tt) =sin (2t+) =sin=-.1故答案為：219. (2018?T蘇二模)已知函數(shù) f (x) =sin ( nt +(|) (0< 歸2施 在x=2時(shí)取得 ?最大值，則小一萬.【分析】把x=2代入f (x)求得f (x),利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得小的值.【解答】解：函數(shù)f (x) =sin (九+6的周期為T=2?=2,x=2 時(shí) f (x) =sin (2/() =sin 椒得

23、最大值，?由 0<(|)< 2 % 得小.?故答案為：.?20. (2018?M侖春自治旗二模)函數(shù)？?(?= 1 - 3?(2目的值域?yàn)?-2, 4L.【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解值域.?【解答】 解：函數(shù)？?(?= 1 - 3?(2劄,v -3<3sin (2x+? <36，' -2<f (x) <4.故答案為-2, 4.21. (2018?!海模擬)已知函數(shù) y=Asin (肝小)，其中A>0,>0, |4乃 在一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)？?= 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取彳#最小值-2；當(dāng)？?= 72?寸，函數(shù)取得最 2?大值2,由上面的條件可知，該函

24、數(shù)的解析式為y=2sin (2x.3?【分析】根據(jù)函數(shù)的最大值求得 A=2,相鄰的最大值最小值之間的距離為萬，求 ?得T=%=2將（行，-2）,2?代入y=2sin （2x+（|）,求得（）=-,即求得解析式.3【解答】解：由函數(shù)的最小值為-2,. . A=2,?27?12- 12 ，T= %?=2?一 e函數(shù)圖形過點(diǎn)?12-, 2）,代入 y=2sin （2x+（|）,2?2?函數(shù)的解析式為：y=2sin （2x）,32?故答案為：y=2sin （ 2x - ）-3三.解答題（共3小題）22. （2018?®淀區(qū)二模）如圖，已知函數(shù) f （x） =Asinx （葉小）（?>0, ?>0,i?i< ?在一個(gè)周期內(nèi)的圖象經(jīng)過？?, 0）, ?2?, 0）, ?5?, 2）三點(diǎn)（I）寫出A,以小的值；（I）若？C （穿 2?,且