自行車(chē)輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題

1、理工大學(xué)暑期數(shù)學(xué)建模強(qiáng)化訓(xùn)練專(zhuān)題四自行車(chē)輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題學(xué)員： 曹陽(yáng) 許佳利 倪迪杭學(xué)院：通信工程學(xué)院時(shí)間：2010.08.19自行車(chē)輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題摘要本文就自行車(chē)輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題，采用解析幾何的方法建立數(shù)學(xué)模型，求出了自行車(chē)在各種不同形狀的道路上行駛時(shí)飾物和橢圓板中心的運(yùn)動(dòng)軌跡方程，并且利用Matlab軟件模擬仿真出了兩者的運(yùn)動(dòng)軌跡。對(duì)于問(wèn)題1和問(wèn)題2,先運(yùn)用解析幾何方法求出自行車(chē)輪軸心的軌跡方程，而后利用飾物始終繞車(chē)輪軸心作圓周運(yùn)動(dòng)建立參數(shù)方程，求出飾物的軌跡方程。求出的曲線軌跡分別見(jiàn)圖2、圖4和圖5。對(duì)于問(wèn)題4,將“圓板”換為“橢圓板”，通過(guò)設(shè)定參數(shù)，結(jié)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的知識(shí)，將

2、轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中橢圓板中心的坐標(biāo)用該參數(shù)表示，求出了其運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程。其軌跡圖像見(jiàn)圖8。關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)軌跡，解析幾何，拋物線，橢圓，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換word完美格式一、問(wèn)題的提出為了改變平淡的自行車(chē)外表，給自行車(chē)添加一分美妙的動(dòng)感，同時(shí)，也為了 增加騎車(chē)人的“安全系數(shù)”，一些騎車(chē)人及自行車(chē)廠家在自行車(chē)的輻條上安裝一 塊亮麗的飾物。當(dāng)有這種飾物的自行車(chē)在馬路上駛過(guò)時(shí)，這種飾物就如游龍一樣， 對(duì)街邊的行人閃過(guò)一道波浪形的軌跡。這一波一閃的光亮游龍，也默默地維護(hù)著 騎車(chē)人的安全。建立數(shù)學(xué)模型解決以下問(wèn)題：1、這軌跡是什么曲線？試畫(huà)出它的圖形。2、當(dāng)這自行車(chē)又在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過(guò)時(shí)，或是在一拱一拱的正弦 曲

3、線（例如山地摩托車(chē)賽場(chǎng)）上通過(guò)時(shí)，這飾物又畫(huà)出一條曲中有曲的軌跡，這 軌跡是什么曲線？試畫(huà)出它的圖形。3、這種滾動(dòng)中圓盤(pán)中心的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？4、將問(wèn)題中“圓板”換為“凸形板”（例如橢圓板）時(shí)，其滾動(dòng)軌跡會(huì)有什么結(jié) 果？二、問(wèn)題的分析對(duì)于問(wèn)題1、2,裝有飾物的自行車(chē)在馬路上行駛過(guò)程中，飾物會(huì)形成一道 道曲線軌跡。而隨著路況的不同，如平坦的公路、拋物線形的拱橋、正弦曲線形 的山地摩托車(chē)賽場(chǎng)等，飾物會(huì)形成不同的曲線軌跡。不管形狀的道路怎么樣，不 管曲線軌跡有多復(fù)雜，都可以先運(yùn)用解析幾何方法求出自行車(chē)輪軸心的軌跡方 程，而后利用飾物始終繞車(chē)輪軸心作圓周運(yùn)動(dòng)建立參數(shù)方程，求出飾物的軌跡方程。飾物繞車(chē)輪

4、軸心的參數(shù)方程是較易得到的， 故問(wèn)題的關(guān)鍵在于求出不同形狀 的道路上自行車(chē)輪軸心的軌跡方程。求出飾物的軌跡方程后，設(shè)定合理的參數(shù)， 利用Matlab軟件就可以模擬仿真出飾物的曲線軌跡。對(duì)于問(wèn)題4,研究凸形板（橢圓板）中心的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，可以通過(guò)設(shè)定參數(shù)， 將轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中橢圓板中心的坐標(biāo)通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換用參數(shù)表示，求出其運(yùn)動(dòng)軌跡方 程，設(shè)定合理的參數(shù)，利用Matlab軟件就可以模擬仿真出橢圓板中心的曲線軌三、模型假設(shè)1、自行車(chē)在行駛過(guò)程中車(chē)輪不打滑；2、自行車(chē)在行駛過(guò)程中速度保持不變；3、自行車(chē)在行駛過(guò)程中車(chē)輪始終與地面接觸。四、模型的建立及求解1、符號(hào)說(shuō)明R自行車(chē)輪的半徑r飾物距車(chē)輪軸心的距離B自行車(chē)

5、車(chē)輪上的飾物0自行車(chē)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)速度a,b定常量2、模型建立2.1 模型1 （問(wèn)題1）2.1.1 模型的分析自行車(chē)在馬路上行駛時(shí)，可以認(rèn)為馬路是平坦的，因此自行車(chē)輪軸心的運(yùn)動(dòng) 軌跡就是一條直線。求出這條直線方程后聯(lián)立飾物繞車(chē)輪軸心的參數(shù)方程，就可以容易的得到飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡。在檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性時(shí)，可以利用圖像求出幾個(gè) 特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，與利用軌跡方程求出的坐標(biāo)一一比較， 若兩者求出的坐標(biāo)都是相 同的，則驗(yàn)證了模型的正確性。2.1.2 模型的建立與求解設(shè)自行車(chē)輪的半徑為R,車(chē)輪上的飾物B距離車(chē)輪軸心為r o以自行車(chē)輪上 某一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，假設(shè)?物B的初始位置在y軸上，其示意圖如圖1所示，則飾物B

6、的初始坐標(biāo)B0為（0,R-r）。t后，飾Matlab設(shè)自行車(chē)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為缶，則自行車(chē)的速度為v = 6R。經(jīng)過(guò)時(shí)間 物B的繞自行車(chē)輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程:J_x - -rsin t,y - -rcos to而自行車(chē)輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡需滿足參數(shù)方程:x =，Rt, y = Ro所以，飾物B的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程:x - -r sin t Rt, y - -rcos t Ro根據(jù)一般自行車(chē)的規(guī)格，取R = 0.5m, r =0.4m, ® =20rad/s,使用 軟件畫(huà)出其圖像如圖2所示:圖2飾物在平坦道路上的軌跡2.1.3 模型的驗(yàn)證用飾物B在特殊點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)驗(yàn)證模型。假設(shè)自行車(chē)沿正 x

7、軸方向行駛，則自3行車(chē)輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。飾物B轉(zhuǎn)動(dòng)一、冗和3n時(shí)的坐標(biāo)分別為B1、B2和B3。22飾物B轉(zhuǎn)動(dòng)工時(shí)的圖像如圖3所示。2由圖像我們可以得到Bi的縱坐標(biāo)為Ro飾物B轉(zhuǎn)動(dòng)土?xí)r，車(chē)輪中心經(jīng)過(guò)的2距離為；R，故B的橫坐標(biāo)為；R - r。因此飾物B轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)為B 的坐標(biāo) B1' 1 R,R-r I,這,2Bi 'R,-R-r Io而把t = T=二帶入方程式求得的 24 2與B1的坐標(biāo)是相同的。用同樣的方法，我們可以把飾物B轉(zhuǎn)動(dòng)冗和立時(shí)的圖像作出，然后利用圖2像求得飾物B轉(zhuǎn)動(dòng)n和3兀時(shí)的坐標(biāo)，這與由方程式計(jì)算出飾物 B轉(zhuǎn)動(dòng)冗和3n22時(shí)的坐標(biāo)都是相同的。從而驗(yàn)證了我們的模型的正

8、確性。2.2 模型2 (問(wèn)題2)2.2.1 模型的分析當(dāng)這自行車(chē)在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過(guò)時(shí)，自行車(chē)輪軸心的軌跡是一個(gè)類(lèi)拋物線。在求飾物的軌跡時(shí)，先利用拱橋的拋物線方程求出自行車(chē)輪軸心的軌跡， 然后聯(lián)立飾物的坐標(biāo)的參數(shù)方程，就可以得到飾物的軌跡。當(dāng)這自行車(chē)在一拱一拱的正弦曲線上通過(guò)時(shí)，使用類(lèi)似的方法，先求出自行車(chē)輪軸心的軌跡，然后確定飾物的軌跡。2.2.2 模型的建立與求解(1)當(dāng)這自行車(chē)在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過(guò)時(shí)，設(shè)拱橋的拋物線方程為：Xi =x0,2y1 = ax0 bx0(a :二 0, b - 0)。拋物線上任意一點(diǎn)的切線斜率ki為： ' K =y1 L = 2ax0+b,則

9、該點(diǎn)的法向量的斜率k2為：k2 = 一 o ki假設(shè)自行車(chē)輪白軸心坐標(biāo)為（X2,y2）,則自行車(chē)輪的軸心的軌跡方程為:2 2(y2 y) (X？ -xi)y2 - y1.X2 - x1二 k2。解之得:這就是自行車(chē)輪軸心的軌跡方程。拋物線上從原點(diǎn)到任意一點(diǎn)的距離為則有:=：1 (y；)2dx4akf ,1 k12 In k1. 1k12-bJi +b2 +ln(b +Jl + b2 )4a 又根據(jù)行駛路程與行駛時(shí)間之間的關(guān)系，有s = vt = Rt,令U =赳，貝U：su =一 oR而經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，飾物B的繞自行車(chē)輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程:,Lx = -r sin u,y 二-r cosuo

10、而自行車(chē)輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡需滿足參數(shù)方程：-Lx = X2,y 二 丫2。所以，飾物B的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程:x = -r sinu x2,y 二-rcosu y2。這就是當(dāng)這自行車(chē)在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過(guò)時(shí)飾物B的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。取a = -0.05, b = 2, R = 0.5m, r=0.4m,使用Matlab 軟件畫(huà)出其圖像如圖4所示:圖4飾物在拋物線拱橋上的軌跡(2)當(dāng)這自行車(chē)在一拱一拱的正弦曲線上通過(guò)時(shí)，設(shè)正弦曲線的方程為:X =%,y1 = asinbx0(a 0,b 0)。正弦曲線上任意一點(diǎn)的切線斜率ki為:ki =y11工= abcosxo,則該點(diǎn)的法向量的斜率k2為:k2-0

11、ki假設(shè)自行車(chē)輪白軸心坐標(biāo)為(X2,y2),則自行車(chē)輪的軸心的軌跡方程為:./、2/、2(y2 - y1( X2 -X1)R2y2» =k2x2 '為解之得:這就是自行車(chē)輪軸心的軌跡方程。設(shè)自行車(chē)在正弦曲線上行駛的距離為 s,則有：xo2-Ds= ( Jl+(yi) dx。這個(gè)定積分較為復(fù)雜，故在求解s的時(shí)候，運(yùn)用微積分的思想，將圖形等步長(zhǎng)微分成n份，對(duì)每一部分求出面積后累加即可得到 s的解。n越大，求出的s就卻精確。故有：s = ： .1 (yi')2dx x0立 xlSx, "(abcos。0-)2。id n 11-n同樣令u =8t ,根據(jù)s = vt

12、 =6Rt,得到飾物B的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程：_Lx - -r sinu x2,y - - r cosu y2。這就是當(dāng)這自行車(chē)在一拱一拱的正弦曲線上通過(guò)時(shí)飾物B的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。取a=1, b = 0.6, n=100, R=0.5m, r=0.4m,使用 Matlab 軟件畫(huà)出其圖像如圖5所示：圖5飾物在正弦曲線上的軌跡2.3模型3 (問(wèn)題4)2.3.1 模型的建立與求解將問(wèn)題中的“圓板”換為“橢圓板”之后，考慮在水平道路上運(yùn)動(dòng)。設(shè)初始狀態(tài)時(shí)橢圓的方程為:29y -ax22 + =1 (a>b>0),ab其參數(shù)形式為:lx = bsinB,y = a - acos則橢圓中心的坐標(biāo)為

13、O(0,a),坐標(biāo)原點(diǎn)為01(0,0),如圖6所示。word完美格式 thword完美格式設(shè)橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度X后，橢圓中心為O（x2, y2）,橢圓與x軸的切點(diǎn)為A（xo,y。）。嘗試通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，找出橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)角度 N后X2和y2關(guān)于卜的參數(shù)表 達(dá)式，即：I X2 = X2 I, L .1,y2= y2 ( N)P則過(guò)切點(diǎn)A（Xo，yo ）的切線方程為:yo -a y-axoLx.2, 21ab所以，該切線的斜率k2為:2k2 = _ 2 a x0_ =tan Lb yo -a從而可以推得:2(D(2)ay。-a = -2x)°b k2點(diǎn)A（x0,y。）在橢圓上，故又滿足:. 22(

14、y。-a)+x。_12,21 0a b聯(lián)立（1）、（2）可以得到:b2k2,a2k22b22 a這樣就得到了 x。和y。關(guān)于N的參數(shù)表達(dá)式。由于點(diǎn)A（%,y。）在橢圓上，亦滿足橢圓的參數(shù)方程:Xo =bsin 入，y0 = a - a cosu0。故得到：90 = arc cos 'l -y0 10a令直線OA與橢圓長(zhǎng)軸的夾角為口，則有：,X0tana =。a -y0故，x0« = arc tan。a y0令坐標(biāo)原點(diǎn)Q和切點(diǎn)A之間的弧長(zhǎng)01A為s,則有：s= f°Ja2sin2 8 +b2cos2HdH 。-0運(yùn)用微積分的思想求解s,將圖形等步長(zhǎng)微分成n份，對(duì)每一部

15、分求出面積后累加即可得到s的解。n越大，求出的s就卻精確。故有：s= 0 , a2 sin2b2cos2 d 二00'U 二一=Z 一1a sin +b cos。t n nn切點(diǎn)A(x0,y0 )到橢圓中心O(0,a)的距離d = Jx。2 +(y0 -a )2。觀察圖7,容易得到橢圓中心O'在坐標(biāo)軸中滿足：| x2 = 01A + O A sin (N u ),y2 = O A cos( N - a )。所以，橢圓中心O'在橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程當(dāng)中的軌跡方程為：x2 = s d sin P :工)，y2 = d cos( N a '圖7取a =4.5, b=2.5,使

16、用Matlab 軟件畫(huà)出其圖像如圖8所示:圖8橢圓中心在水平道路上運(yùn)動(dòng)軌跡五、模型的評(píng)價(jià)本文通過(guò)對(duì)自行車(chē)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中飾物以及圓板（凸形板）的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并通過(guò)一定的物理和數(shù)學(xué)思想及方法，借助于 MATLAB軟件模擬了問(wèn)題中所需的各點(diǎn)的軌跡。在解決問(wèn)題二時(shí)，我們巧妙地運(yùn)用了數(shù)值積分的方法，自行車(chē)在拋物線軌道上通過(guò)時(shí)飾物的軌跡方程求解出來(lái)，從而模擬出了其軌跡。對(duì)于問(wèn)題四，我們?cè)O(shè)定了橢圓參數(shù)方程，通過(guò)對(duì)其運(yùn)動(dòng)過(guò)程物理狀態(tài)的分析，完 成了對(duì)其中心軌跡的求解。本文的缺點(diǎn)在于由于時(shí)間有限，對(duì)于問(wèn)題 4的求解，只考慮橢圓板在水平直 線上的運(yùn)動(dòng)。七、模型的推廣可以將問(wèn)題4拓展為較為簡(jiǎn)單的凸形板在常見(jiàn)平

17、滑曲線上的運(yùn)動(dòng)， 通過(guò)設(shè)定 參數(shù)，結(jié)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的知識(shí)，將轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中簡(jiǎn)單的凸形板中心的坐標(biāo)用該參數(shù)表 示，從而求出其運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程。參考文獻(xiàn)1.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)第六版上冊(cè)高等教育出版社2007年4月出版word完美格式附錄一圖2的程序：t=0:0.01:3;r=0.4;R=0.5;a=3;v=a*tw=v./Rx =-r*sin(w.*t)+w.*R.*t ;y =R-r*cos(w.*t);piot(x,y)axis(0 7 0 1.2)附錄二圖4的程序：x0=-1:0.01:40;a=-0.05;b=2;R=0.5;r=0.4;x1=x0;y1=a*x0.A2+b*x0k1=2*a

18、*x0+b;plot(x1,y1)hold onk2=-1./k1;%法線的斜率；x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).A2)+x1;y2=R./sqrt(1+(1./k2).A2)+y1%plot(x2,y2)hold onu=1/R*(1/(4*a)*(k1.*sqrt(1+k1.A2)+log(k1+sqrt(k1.A2+1)-1/(4*a)*(b*sqrt(1+bA2)+lo g(b+sqrt(1+bA2);x=-r*sin(u)+x2;y=y2-r*cos(u);plot(x,y);axis(-2 45 0 30)圖5程序:x0=-2:0.01:18;a=1;b=0.6

19、;R=0.5;r=0.4;x1=x0;y1=a*sin(b*x0);k1=a*b*cos(b*x0)；plot(x1,y1)hold onk2=-1./k1;%法線的斜率；x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).A2)+x1;y2=R./sqrt(1+(1./k2).A2)+y1;%plot(x2,y2)hold onfor x3=-2:0.01:18s=0;fo門(mén)=1:100s=s+sqrt(1+(a*b*cos(b*i*(x3+2)/100-2)A2)*(x3+2)/100 endu=s/Ry1=a*sin(b*x3);k1=a*b*cos(b*x3);k2=-1./k1;x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).A2)+x3;y2=R./sqrt(1+(1./k2).A2)+y1;x=-r*sin(u)+x2;y=y2-r*cos(u);plot(x,y);hold onendaxis(-3 14 -2.5 2.5)附錄三 圖8的程序:clcfor u=0:0.001:1/2*pia=4.5;b=2.5;k2=tan(u