2019年高考數學一輪復習：古典概型

1、2019年高考數學一輪復習：古典概型古典概型金考點梳理»多思題筆夯實基礎1 .基本事件在一次試驗中，我們常常要關心的是所有可能發(fā) 生的基本結果，它們是試驗中不能再分的最簡單的隨 機事件，其他事件可以用它們來描繪，這樣的事件稱 為.2 .基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是 的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和.3 .古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型：(1)試驗中所有可能出現的基本事件只有 個.(2)每個基本事件出現的可能性 .4 .古典概型的概率公式對于古典概型，其計算概率的公式為.(M,5),解：開機密碼的可能有(M, 1), (M

2、, 2), (M, 3),4), (M, 5), (I, 1), (I, 2), (I, 3), (I, 4), (I,(N,種可能,1), (N, 2), (N, 3), (N,由古典概型公式得所求概率(2017山東)從分別標有1 ,4), (N, 5),共 151 ，一P = 15.故選 C.2,-卡片中不放回地隨機抽取 2次，每次抽取到的2張卡片上的數奇偶性不同的概率是B.4C.5CKC1 5解：所求概率為p= CC5C4=5.故選C9C89C.(2017莆田質檢)拋擲一枚均勻的硬幣正面不連續(xù)出現的概率是(1B.2解：拋擲一枚均勻的硬幣= 24=16,正面不連續(xù)出現指:9的9張張，則抽4

3、次,1D.44次，基本事件總數 n 沒有正面，四次反面；有一個正面，三個反面；有兩個正面，兩個反面三種情況，包含的基本事件個數 m=1 + 4+ 3= 8.故概率為自查自糾1故選B.(2016四川)從2、3、8、9任取兩個不同的數1 .基本事件2 . (1)互斥(2)基本事件3 . (1)有限(2)相等A包含的基本事件的個數4 P(A)=一基本事件的總數值，分別記為a、b,則logab為整數的概率是 解：從2, 3, 8, 9中任取兩個數記為 a, b,作為對數的底數與真數，共有 A4=12個不同的基本事件，其中為整數的只有10g28, log39兩個基本事件,所以其概率Pnn1.故填1.12

4、 66金基礎自測小易金活牛刀小試(2016江蘇)將一顆質地均勻的骰子(一種各個面上分另1J標有1, 2, 3, 4, 5, 6個點的正方體玩具)號(2016全國卷出)小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是 M,I, N中的一個字母，第二位是 1, 2, 3, 4, 5中的一個數字，則 小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是()811A.A. 15B.8C.15D.30先后拋擲2次，則出現向上的點數之和小于10的概率是.解：將一顆質地均勻的骰子先后拋擲2次，有36種結果，其中點數之和不小于10的有(6, 6), (6, 5), (6, 4), (5, 6), (5, 5), (4

5、, 6),共 6 種，故所求概率為1_6 = 5故埴536 66.。典例解析»分類解析觸翦旁速類型一基本事件與基本事件空間的概念EE 將一枚均勻硬幣拋擲三次，觀察向上一面的正反.(i)試用列舉法寫出該試驗所包含的基本事件；(2)事件A: “恰有兩次正面向上”包含幾個基本 事件；(3)事件B: “三次都正面向上”包含幾個基本事 件.解：(1)試驗的所有基本事件有：(正，正，反)，(正, 反，正)，(正，反，反)，(正，正，正)，(反，反，反), (反，反，正),(反，正，反),(反，正，正)，共8種 等可能結果.(2)事件A包含的基本事彳有三個：(正，正，反), (正，反，正),(反，

6、正，正 ).(3)事件B包含的基本事件只有一個：(正，正，正).【點撥】基本事件是試驗中不能再分解的事件，是“最小”的“事件單位” .任何基本事件都是互斥的，任何復雜事件都可以分解為基本事件，所有基本事件的全體組成基本事件空間.百江做拋擲兩顆骰子的試驗，用(x, y)表示 結果，其中x表示第一顆骰子出現的點數，y表示第二顆骰子出現的點數，寫出：(1)試驗的基本事件；(2)事件“出現點數之和大于8” ；(3)事件“出現點數相等”；(4)事件“出現點數之和大于10” .解：(1)這個試驗的基本事件為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2

7、,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2), (5, 3), (5,4),(5, 5), (5, 6),(6,1),(6,2), (6, 3), (6,4),(6, 5), (6, 6).(2) “出現點數之和大于8”包含以下10個基本事件：(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).(3) “出現點數相等”包含以下6個基本事件：(1, 1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).(4) “出現點數之和

8、大于10”包含以下3個基本事件：(5, 6), (6, 5), (6, 6).類型二列舉基本事件求概率國臣 某校夏令營有3名男同學A, B, C和3 名女同學X, Y, Z,其年級情況如下表：一年級二年級三年級男同學ABC女同學XYZ現從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每 人被選到的可能性相同).(1)用表中字母列舉出所有可能的結果；(2)設M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有 1名男同學和1名女同學”，求事件 M發(fā)生的概率.解：(1)從6名同學中隨機選出 2人參加知識競賽 的所有可能結果為A, B, A, C, A, X, A, Y, A, Z,B,C, B, X,B,Y, B,Z,

9、C, X, C,Y,C, Z, X,Y,X, Z,Y,Z,共15種.(2)選出的2人來自不同年級且恰有 1名男同學和 1名女同學的所有可能結果為 A, Y, A, Z, B, X, B, Z, C, X, C, Y,共 6 種.因此，事件M發(fā)生的概率P(M)=-6=2.15 5【點撥】有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數.(1)基本事件總數較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),舉.(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數原理的

10、正確使用.度式(2015北京)A, B兩組各有7位病人,他們服用某種藥物后的康復時間 (單位：天)記錄如下:A 組：10, 11, 12, 13, 14, 15, 16B 組：12, 13, 15, 16, 17, 14, a假設所有病人的康復時間相互獨立，從 A, B兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的 人記為乙.(1)求甲的康復時間不少于14天的概率；(2)如果a=25,求甲的康復時間比乙的康復時間 長的概率；(3)當a為何值時，A, B兩組病人康復時間的方 差相等？(結論不要求證明)解：(1)甲有7種選法，康復時間不少于14天的有3種選法，所以所求概率為 7.(2)如果a =

11、 25,從A, B兩組隨機各選1人，共 有49種選法，甲的康復時間比乙的康復時間長的情形 列舉如下：(13, 12), (14, 12), (14, 13), (15, 12), (15, 13), (15, 14), (16, 12), (16, 13), (16, 15), (16, 14),有10種，所以所求概率為49.49(3)把B組數據調整為a, 12, 13, 14, 15, 16, 17,或 12, 13, 14, 15, 16, 17, a,可見當 a= 11 或a= 18時，B組數據與A組數據方差相等.類型三無放回抽樣問題區(qū)包 有10件產品，其中有 2件次品，每次抽取1件檢驗

12、，抽檢后不放回，共抽 2次.求下列事件 的概率：(1)兩次抽取的都是正品；(2)抽到的恰有一件為次品；(3)第1次抽到正品，第2次抽到次品.解：記=從10件產品中任抽2件,則n = 2card( Q )= C10.(1)記人=從10件產品中抽2件，都是正品,則 m1= card(A) = C8.所以 p(A)=Ct=48.(2)記B=從10件產品中抽2件，一件為正品， 一件為次品,則 m2= card(B) = C2c8.C2c8 16所以P(B) = W =布.(3)解法一：由于事件 B中包含“第1次為正品， 第2次為次品”和“第1次為次品，第2次為正品” 兩種等可能的情況.1 1 _1/2

13、c88所以所求事件的概率 p=CT = 45.解法二：記 上從io件產品中，任取一件(放 入甲袋中)，再從剩下9件產品中任取一件(放入乙袋 中),記C= 第1次取出的是正品，第 2次取出的是 次品 = 甲袋中為正品，乙袋中為次品，所以card(Q') = A2o, card(C)= C1C2.1 1所以 P(C)=Cf=45.【點撥】請注意題(3)的兩種解法，一種是將試驗(抽取2件產品)看作是組合(無序的)，一種是將試驗看作是排列(有序的)，值得注意的是兩種解法的樣本空間不同，事件 C不屬于樣本空間 (C魚Q),因此不能用card(進行計算.樣本空間的選取會影響到解答的過程，因此解等可

14、能概型時，建議遵循以下步驟：判斷該問題是等可能概型；確定樣本空間(即試驗的方法，因為試驗的方法影響樣本空間)；用計數原card (A) 理確定 card (后 card(A),得到 P(A)=.card ( Q)變式(2015四川)某市A, B兩所中學的學生組隊參加其論賽，A中學推薦了 3名男生、2名女生,B中學推薦了 3名男生、4名女生，兩校所推薦的學 生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當，從參加 集訓的男生中隨機抽取 3人、女生中隨機抽取 3人組 成代表隊.(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率； (2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設X表示參賽的男生人數，求

15、X的分布列 和數學期望.解：（1）由題意，參加集訓的男、女生各有6名.代表隊的學生全從 B中學抽取（等價于A中學沒 有學生入選代表隊方勺概率為盥:看.因此，A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為1-志=黑即 P=i7iX看X 得=0.147;注意 7X10： 3 =0.147 與 親建=0.175的區(qū)肌變式（2017 山西四校聯考）不透明的袋子內裝有相同的五個小球,放回地隨機摸取三次,分別標有15五個編號，現有 則摸出的三個小球的編號乘積能被10整除的概率為（(2)根據題意，X的可能取值為1, 2, 3. c3c31P(X=1)=r=?2 /C3c3 3P(X=2)=T=?3 1C3c31P(

16、X=31菖=5.42A. 12518B.125解：由題意有三種情況:6 C.2512D.125號摸出兩次，2號或4號摸出一次；二是 5號摸出一次，2號或4號 摸出兩次；三是5號摸出一次，2號或4號摸出一次， 1號或3號摸出一次，總共有C2X2+C3X22+C1XC2 X2X2=42,故所求概率為 -42=-42 ,故選A.5X5X5 125X123131P555所以X的分布列為類型五間接計算因此，X的數學期望為E(X) = 1X P(X=1) + 2X P(X=2)+3X P(X=3) =1 X " 2X3+3X 1= 2.555 4位同學各自在周六、周日兩天中任選天參加公益活動,則

17、周六、周日都有同學參加公益活類型四有放回抽樣動的概率為1 A.8)3B.85C.87D.8解：4名同學各自在周六、周日兩天中任選一天EE 10個球，其中3個白球7個黑球，某人 有放回地進行抽球，求下列事件的概率：第3次抽到白球；（2）第3次才抽到白球.解：記Q= 第3次抽球,則n=10, A= 第一3 一一3次抽到白球, m=3.所以P（A） = =0.3.參加公益活動的情況有24=16（#）,其中僅在周六或周日參加公益活動的情況各有1種，所以所求概率為1果=7.故選D.168【點撥】間接計算是計算概率十分常用的方式,是“正難則反”策略的體現，對于含 “至多”“至少”等詞句的概率問題，一般情況

18、下應首先考慮利用這一（2）記上連續(xù)從10個球中有放回地抽 3次球, 貝U n=103, B= 第3次才抽到白球,貝U m=7X7X 3.策略.高考概率大題對間接計算的考查也比較常見,._ _7X7X3所以 P（B）=一方=0.147.【點撥】第一問中的樣本空間也可以擴大為（2）尤其是計算含個別比較復雜概率的分布列或期望問題.中的Q；此時（1）中的m有變化，但結果為1。二0-3=0.3不變；運用獨立性概念也可以計算（2）的概率,(2016 金華模擬)從 1, 2, 3, 4, 5, 6六個數中任取2個數，則取出的兩個數不是連續(xù)自然數的概率是（3A.5)2B.51C.32D.3。課時作業(yè)查漏補續(xù)拓

19、展延伸解：取出的兩個數是連續(xù)自然數的有5種情況,則取出的兩個數不是連續(xù)自然數的概率_5P=1-C52=11.（2016中山二模）袋子里有3個白球，4個黑球, 5個紅球，某人一次抽取 3個球，若每個球被抽到的機會均等，則該人抽到的球顏色互異的概率是52 ,77=1.故選D.15 3。名師點睛揭示規(guī)律總結方法1 .古典概型是概率論中最簡單而又直觀的模型， 在概率論的發(fā)展初期曾是主要研究對象，許多概率的 運算法則都是在古典概型中得到證明的（遂謂之“古典”）.要判斷一個試驗是否為古典概型，只需要判斷這個試驗是否具有古典概型的兩個特征一一有限性和 等可能性.2.求古典概型的概率（1）對于事件A的概率的計

20、算，關鍵是要分清基本 事件總數n與事件A包含的基本事件數 m.因此必須解 決以下三個方面的問題：第一，本試驗是否是等可能 的；第二，本試驗的基本事件數有多少個；第三，事 件A是什么，它包含的基本事件總共有多少個.（2）如果基本事件的個數比較少，可用列舉法把古典概型試驗所含的基本事件一一列舉出來，然后再求 出事件A中的基本事件數，利用公式 P（A）=m求出事 件A的概率，這是一個形象直觀的好方法，但列舉時 必須按照某一順序做到不重不漏.（3）如果基本事件個數比較多，列舉有一定困難 時，也可借助列表法、畫樹形圖、兩個計數原理及排 列組合知識直接計算 m, n,再運用公式P（A）=mn求概 率.（4

21、）較為簡單的問題可以直接使用古典概型概率 公式計算，較為復雜的概率問題的處理方法有：轉化為幾個互斥事件的和，利用互斥事件的加 法公式求解；采用間接法，先求事件A的對立事件A的概率,再由P（A）=1 P（ A）求事件A的概率.1Aq1B.3C.7()D.：Ti解：基本事件總數為C：2= 220（種）,該人抽到的球顏色互異的情況有 3X4X5= 60（種）,故所求概率為603220=6.故選 D.2.若有2位老師，2位學生站成一排合影，則每位老師都不站在兩端的概率是1A.1B.6解：依題意，所求概率為()1C.42 2c A2A2P = T-=A41D.216.故選B.3.從集合A=2, 3, 4

22、中隨機選取一個數記為k,從集合B=-2, 3, 4中隨機選取一個數記為b,則直線y=kx+ b不經過第二象PM的概率為（）2A.91B.35D.9解：依題意k和b的所有可能的取法一共有3X3=9（種），當直線y=kx+b不經過第二象限時，應有 k>0, b<0, 一共有2X2 = 4（種），所以所求概率為 49故選C.4. （2017廣東海珠區(qū)測試）某食品廠為了促銷, 制作了 3種不同的精美卡片，每袋食品中隨機裝入一張卡片，集齊3種卡片可獲獎，現購買該食品能獲獎的概率為（4)BaB.27C4C.9解：由題意3種不同的精美卡片隨機放進4袋,D.84袋食品袋中，根據分步計數原理可知共有

23、34= 81種不同放法，4袋食品袋中3種不同的卡片都有的情況共有 3XC2XA2=36種，根據古典概型概率公式得能獲獎 的概率為86=；,故選C.5. （2015亳州質檢）已知集合 M=1 , 2, 3, 4,N = （a, b）|aCM, bCM, A是集合 N 中任意一點，O為坐標原點，則直線 OA與y = x2 + 1有交點的概率1B.3C.41D.81B.41C.O3是()1A.2解：易知過點(0, 0)與y= x2+1相切的直線為= 2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元 素，其中使OA斜率不小于2的有(1, 2), (1, 3), (1, ,* ,414), (2, 4

24、),共4個，故所求的概率為 誣=4.故選C.6. （2017山東實驗中學一診）已知直線11： x-2y-1 = 0,直線 12: ax-by+ 1 = 0,其中 a, b 1 , 2, 3, 4, 5, 6,則直線11與12的交點位于第一象限的概率為()1D.2解：12的斜率小于11斜率時，直線11與12的交點位于第一象限，此時共有六種：a=1, bC3, 4, 5,6; a=2, bC5, 6;因此概率為-67=1,故選 A.6X6 67. (2017廣州一模)在一個袋內裝有同樣大小、 質地的五個球，編號分別為1、2、3、4、5,若從袋中任意取兩個，則編號的和是奇數的概率為(結果用最簡分數表

25、示).解：從袋中任意取兩個球， 共有c5=10種.若編 號的和為奇數，則有c3c2= 6(種)，所以編號的和是奇 數的概率為今=3.故填3.10 558. 一顆質地均勻的正方體骰子，其六個面上的 點數分別為1,2, 3, 4, 5, 6,將這顆骰子連續(xù)拋擲 三次，觀察向上的點數，則三次點數依次構成等差數 列的概率是 (結果用最簡分數表示).解：連續(xù)拋擲三次，共有 63= 216種情況，記三 次點數分別為a, b, c,則a+c=2b,所以a+c為偶 數，則a, c的奇偶性相同，且 a, c允許重復，一旦 a, c確定，b也唯一確定，故a, c共有2X32= 18(種),1811所以所求概率為

26、需=112.故填12.9 .將一顆骰子先后拋擲 2次，觀察向上的點數， 求：(1)兩數中至少有一個奇數的概率；(2)以第一次向上的點數為橫坐標 x,第二次向上 的點數為縱坐標 y的點(x, y)在圓x2+y2= 15內部的 概率.解：將一顆骰子先后拋擲 2次，此問題中含有36 個等可能性基本事件.(1)記“兩數中至少有一個奇數”為事件B,則事 件B與“兩數均為偶數”互為對立事件，所以 P(B) =1縣=3，即兩數中至少有一個奇數的概率為 336 44(2)基本事件總數為36,點(x, y)在圓x2+y2=15 的內部記為事件 C,而滿足條件x2+y2<15的點(x, y) 為(1, 1)

27、, (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2),則C包含8個事件，所以P(C) = = 36即點(x, y)在圓x2+y2= 15內部的概率為日 9910 .現有8名北京馬拉松志愿者， 其中志愿者 Ai, A2, A3通曉日語，Bi, B2, B3通曉俄語，G, C2通曉 韓語.從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組.(1)求Ai被選中的概率；(2)求Bi和Ci不全被選中的概率.解：(1)從8人中選出通曉日語、俄語和韓語的志 愿者各1名的方法數是C；c3c2= 18, Ai被選中的方法 數是 c3c2= 6.一 一61用M表木事件A1被選中，則P(M)=".18 3(2) “Bi和Ci不全被選中”包括“選Bi不選Ci” “選Ci不選Bi” “Bi和Ci都不選”這三個事件，分 別記作事件 A, b, C,則A, b, C彼此互斥，且有c3 一二 p(B、_ c3C2i1 P(c- c3c：- P(A)=i-i-i 一 C P(BJi八i八i一 p(cj 一i八i八i 一 l C C3c3c2 6c3c3c2 3c3c3c21個，用N表小事件“Bi和Ci