數(shù)列極限的性質(zhì)

1、數(shù)列極限的性質(zhì)1.唯一性唯一性定理定理1 1 每個收斂的數(shù)列只有一個極限每個收斂的數(shù)列只有一個極限. .證明證明例例1.)1(1是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數(shù)數(shù)列列 nnx 在數(shù)列在數(shù)列 xn 中任意抽取無限多項并保持這些項在原中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為子數(shù)列：數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為子數(shù)列：,21knnnxxxknnxxkxxkknnnnkkk 顯然顯然項，項，中是第中是第在在項，而項，而是第是第中，中，在在定理定理2 2若數(shù)列若數(shù)列xn 收斂于收斂于a ，則它的任一子數(shù)列，則它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是也收斂，且極限也是a 這一定理表明的是收

2、斂的數(shù)列與其子數(shù)列之間的關(guān)這一定理表明的是收斂的數(shù)列與其子數(shù)列之間的關(guān)系。由此可知，若數(shù)列系。由此可知，若數(shù)列xn 有兩個子數(shù)列收斂于不同的有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限值，則極限值，則xn一定是發(fā)散的。一定是發(fā)散的。1)1( nnx如如112收斂于收斂于 kx12 收斂于收斂于kx例例2對于數(shù)列對于數(shù)列xn， )(2 kaxk若若)(12 kaxk)( naxn則則)(),()(| naxqpaNBABqxApxxnqpn則則趨趨于于同同一一極極限限值值其其中中與與：若若子子數(shù)數(shù)列列對對數(shù)數(shù)列列3.有界性有界性對對數(shù)數(shù)列列nx, 若若存存在在正正數(shù)數(shù)M, 使使得得一一切切自自 然然數(shù)數(shù)n, 恒

3、恒有有Mxn 成成立立, 則則稱稱數(shù)數(shù)列列nx有有界界, 否否則則, 稱稱為為無無界界. 例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列有界有界.2nnx 數(shù)數(shù)列列無界無界數(shù)數(shù)軸軸上上對對應(yīng)應(yīng)于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點點nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.定義定義 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .證明：證明：定理定理34.保號性保號性0,limxxxnn)0(x或NNn 0nx)0(nx或若若定理定理4，則存在正整數(shù)，則存在正整數(shù)當(dāng)當(dāng) 時，有時，有 推論推論對一切正整數(shù)對一切正整

4、數(shù) ，n0nx)0(nx或xxnnlim且且，則，則0 x)0(x或5.運算性質(zhì)運算性質(zhì)若若 ，定理定理5aannlimbbnnlim，則，則bababannnnnnnlimlimlim1）2）kaakkannnnlim)(lim3）為常數(shù)其中kbababannnnnnnlimlimlim4）babannnlim0limbbnn這里均為正整數(shù)這里求srbnbnbananasssrrrn,lim110110例例30,00都不為都是與無關(guān)的數(shù)并且babasrkk6.運算性質(zhì)運算性質(zhì)定理定理6設(shè)設(shè)是非空有上界數(shù)集是非空有上界數(shù)集 ，且且supcncaann使得則必存在推論推論設(shè)設(shè)是非空有界集是非空有界集 ，supc，則，則存在互不相同的數(shù)列，存在互不相同的數(shù)列， Aaanncannlim使得使得小結(jié)小結(jié)收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :有界性，唯一性，