如何學(xué)好數(shù)學(xué)-函數(shù)與方程

1、.如何學(xué)好數(shù)學(xué)-函數(shù)與方程函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。方程思想，是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型方程、不等式、或方程與不等式的混合組，然后通過(guò)解方程組或不等式組來(lái)使問(wèn)題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，到達(dá)解決問(wèn)題的目的。笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題方程問(wèn)題。宇宙世界，充滿(mǎn)著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問(wèn)題是通過(guò)解方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的等等；不等式問(wèn)題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒(méi)有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)yf(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方

2、程f(x)y0?？梢哉f(shuō)，函數(shù)的研究離不開(kāi)方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)展研究。它表達(dá)了“聯(lián)系和變化的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對(duì)所給的問(wèn)題觀察、分析

3、、判斷比擬深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題和某些代數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問(wèn)題。函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考察的重點(diǎn)。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見(jiàn)題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類(lèi)的問(wèn)題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，選定適宜的主變量，從而提醒其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答；等差、等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可以

4、看成n的函數(shù)，數(shù)列問(wèn)題也可以用函數(shù)方法解決。、再現(xiàn)性題組：1.方程lgxx3的解所在的區(qū)間為_(kāi)。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)2.如果函數(shù)f(x)xbxc對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，都有f(2t)f(2t)，那么_。A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1)3.函數(shù)yf(x)有反函數(shù)，那么方程f(x)a (a是常數(shù)) _。A.有且僅有一個(gè)實(shí)根 B.至多一個(gè)實(shí)根 C.至少一個(gè)實(shí)根 D.不同于以上結(jié)論4.sincos，(，)

5、，那么tg的值是_。A. B. C. D. 5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且SS (pq，p、qN)，那么S_。6.關(guān)于x的方程sinxcosxa0有實(shí)根，那么實(shí)數(shù)a的取值X圍是_。7.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°，那么此棱錐的側(cè)面積為_(kāi)。8. 建造一個(gè)容積為8m，深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低造價(jià)為_(kāi)?！竞?jiǎn)解】1小題：圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個(gè)數(shù)特值法或代入法，選C；2小題：函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為2，結(jié)合其單調(diào)性，選A；3小題：從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B；4小題：設(shè)tgx (x>0，那

6、么，解出x2，再用萬(wàn)能公式，選A；5小題：利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)SSm，x，那么,p、(,q)、(x，p+q)在同一直線(xiàn)上，由兩點(diǎn)斜率相等解得x0，那么答案：0；6小題：設(shè)cosxt，t-1,1，那么att1,1，所以答案：,1；7小題：設(shè)高h(yuǎn)，由體積解出h2，答案：24；8小題：設(shè)長(zhǎng)x，那么寬，造價(jià)y4×1204x×80×801760，答案：1760。、示X性題組：例1. 設(shè)a>0，a1，試求方程log(xak)log(xa)有實(shí)數(shù)解的k的X圍。(89年全國(guó)高考)【分析】由換底公式進(jìn)展換底后出現(xiàn)同底，再進(jìn)展等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程組，別離參數(shù)后分析式子特點(diǎn)，從而

7、選用三角換元法，用三角函數(shù)的值域求解。【解】將原方程化為：log(xak)log，等價(jià)于a>0,a1 k ( |>1 , 設(shè)csc，(,0)(0,)，那么 kf()csc|ctg|當(dāng)(,0)時(shí)，f()cscctgctg<1，故k<1；當(dāng)(0,)時(shí)，f()cscctgtg(0,1)，故0<k<1；綜上所述，k的取值X圍是：k<1或0<k<1。 y C C -ak -a a x【注】求參數(shù)的X圍，別離參數(shù)后變成函數(shù)值域的問(wèn)題，觀察所求函數(shù)式，引入新的變量，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題，在進(jìn)展三角換元時(shí)，要注意新的變量的X圍。一般地，此種思路可以解決

8、有關(guān)不等式、方程、最大值和最小值、參數(shù)X圍之類(lèi)的問(wèn)題。此題還用到了別離參數(shù)法、三角換元法、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法。另一種解題思路是采取“數(shù)形結(jié)合法：將原方程化為：log(xak)log，等價(jià)于xak (xak>0)，設(shè)曲線(xiàn)C：yxak，曲線(xiàn)C：y (y>0)，如下圖。由圖可知，當(dāng)ak>a或a<ak<0時(shí)曲線(xiàn)C與C有交點(diǎn)，即方程有實(shí)解。所以k的取值X圍是：k<1或0<k<1。還有一種思路是直接解出方程的根，然后對(duì)方程的根進(jìn)展討論，具體過(guò)程是：原方程等價(jià)變形為后，解得：，所以>ak，即k>0，通分得<0，解得k<1或0&l

9、t;k<1。所以k的取值X圍是：k<1或0<k<1。例2. 設(shè)不等式2x1>m(x1)對(duì)滿(mǎn)足|m|2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立。求x的取值X圍。【分析】此問(wèn)題由于常見(jiàn)的思維定勢(shì)，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，假設(shè)變換一個(gè)角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x1)m(2x1)<0在-2,2上恒成立的問(wèn)題。對(duì)此的研究，設(shè)f(m)(x1)m(2x1)，那么問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)f(m)的值在-2,2內(nèi)恒為負(fù)值時(shí)參數(shù)x應(yīng)該滿(mǎn)足的條件?！窘狻繂?wèn)題可變成關(guān)于m的一次不等式：(x1)m(2x1)<0在-2,2恒成立，設(shè)f(m)(x1)m(2x1),那么

10、解得x,【注】此題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)m作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式問(wèn)題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題。此題有別于關(guān)于x的不等式2x1>m(x1)的解集是-2,2時(shí)求m的值、關(guān)于x的不等式2x1>m(x1)在-2,2上恒成立時(shí)求m的X圍。一般地，在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，確定適宜的變量和參數(shù)，從而提醒函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題更明朗化?；蛘吆袇?shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問(wèn)題。例3. 設(shè)等差數(shù)列a的前n項(xiàng)的和為S，a12，S>0，S<0 。.求公差d的取值X圍；.指出S、S、S中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由。(92年全

11、國(guó)高考)【分析】問(wèn)利用公式a與S建立不等式，容易求解d的X圍；問(wèn)利用S是n的二次函數(shù)，將S中哪一個(gè)值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時(shí)S取最大值的函數(shù)最值問(wèn)題。【解】由aa2d12,得到a122d，所以S12a66d12(122d)66d14442d>0，S13a78d13(122d)78d15652d<0。解得：<d<3。 Snan(n11)dn(122d)n(n1)dn(5)(5)因?yàn)閐<0，故n(5)最小時(shí)，S最大。由<d<3得6<(5)<6.5，故正整數(shù)n6時(shí)n(5)最小，所以S最大。【注】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)上是定義在自

12、然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來(lái)分析或用函數(shù)方法來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題。也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量，建立等式關(guān)系即方程，將問(wèn)題進(jìn)展算式化，從而簡(jiǎn)潔明快。由次可見(jiàn)，利用函數(shù)與方程的思想來(lái)解決問(wèn)題，要求靈活地運(yùn)用、巧妙的結(jié)合，開(kāi)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性。此題的另一種思路是尋求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>>a，由S13a<0得a<0，由S6(aa)>0得a>0。所以，在S、S、S中，S的值最大。例4. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)BAC，PAAB=2r，求異面直線(xiàn)PB和AC的

13、距離。【分析】異面直線(xiàn)PB和AC的距離可看成求直線(xiàn)PB上任意一點(diǎn)到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值。 P MA H B D C【解】在PB上任取一點(diǎn)M，作MDAC于D，MHAB于H，設(shè)MHx，那么MH平面ABC，ACHD 。MDx(2rx)sin(sin1)x4rsinx4rsin(sin1)x即當(dāng)x時(shí)，MD取最小值為兩異面直線(xiàn)的距離?！咀ⅰ看祟}巧在將立體幾何中“異面直線(xiàn)的距離變成“求異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)之間距離的最小值，并設(shè)立適宜的變量將問(wèn)題變成代數(shù)中的“函數(shù)問(wèn)題。一般地，對(duì)于求最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，先將文字說(shuō)明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言后，再建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，然后利用

14、函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識(shí)進(jìn)展解答。比方再現(xiàn)性題組第8題就是典型的例子。例5. ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tgA·tgC2，又知頂點(diǎn)C的對(duì)邊c上的高等于4,求ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角?！痉治觥苛艘粋€(gè)積式，考慮能否由其它得到一個(gè)和式，再用方程思想求解?！窘狻坑葾、B、C成等差數(shù)列，可得B60°；由ABC中tgAtgBtgCtgA·tgB·tgC，得tgAtgCtgB(tgA·tgC1) (1)設(shè)tgA、tgC是方程x(3)x20的兩根，解得x1，x2設(shè)A<C，那么tgA1，tgC2，A，C由此容易得到a8，b4，c

15、44?！咀ⅰ看祟}的解答關(guān)鍵是利用“ABC中tgAtgBtgCtgA·tgB·tgC這一條性質(zhì)得到tgAtgC，從而設(shè)立方程求出tgA和tgC的值，使問(wèn)題得到解決。例6. 假設(shè)(zx)4(xy)(yz)0,求證：x、y、z成等差數(shù)列?！痉治觥坑^察題設(shè)，發(fā)現(xiàn)正好是判別式b4ac0的形式，因此聯(lián)想到構(gòu)造一個(gè)一元二次方程進(jìn)展求解?！咀C明】當(dāng)xy時(shí)，可得xz，x、y、z成等差數(shù)列；當(dāng)xy時(shí)，設(shè)方程(xy)t(zx)t(yz)0，由0得tt，并易知t1是方程的根。t·t1 ，即2yxz ，x、y、z成等差數(shù)列【注】一般地，題設(shè)條件中如果已經(jīng)具備或經(jīng)過(guò)變形整理后具備了“xxa、

16、x·xb的形式，那么可以利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程；如果具備b4ac0或b4ac0的形式，可以利用根的判別式構(gòu)造一元二次方程。這種方法使得非方程問(wèn)題用方程思想來(lái)解決，表達(dá)了一定的技巧性，也是解題根本方法中的一種“構(gòu)造法。例7. ABC中，求證：cosA·cosB·cosC。【分析】考慮首先使用三角公式進(jìn)展變形，結(jié)合三角形中有關(guān)的性質(zhì)和定理，主要是運(yùn)用“三角形的內(nèi)角和為180°。變形后再通過(guò)觀察式子的特點(diǎn)而選擇和發(fā)現(xiàn)最適宜的方法解決?！咀C明】設(shè)kcosA·cosB·cosCcos(AB)cos(AB)·cosCcosCcos(

17、AB)cosC整理得：cosCcos(AB)·cosC2k0，即看作關(guān)于cosC的一元二次方程。cos(AB)8k0 即 8kcos(AB)1 k即cosA·cosB·cosC【注】此題原本是三角問(wèn)題，引入?yún)?shù)后，通過(guò)三角變形，發(fā)現(xiàn)了其等式具有“二次特點(diǎn)，于是聯(lián)想了一元二次方程，將問(wèn)題變成代數(shù)中的方程有實(shí)解的問(wèn)題，這既是“方程思想，也表達(dá)了“判別式法、“參數(shù)法。此題的另外一種思路是使用“放縮法,在放縮過(guò)程中也表達(dá)了“配方法，具體解答過(guò)程是：cosA·cosB·cosCcos(AB)cos(AB)·cosC cosCcos(AB)

18、83;cosC cosCcos(AB)cos(AB) 。例8. 設(shè)f(x)lg，如果當(dāng)x(-,1時(shí)f(x)有意義，XX數(shù)a的取值X圍?！痉治觥慨?dāng)x(-,1時(shí)f(x)lg有意義的函數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為124a>0在x(-,1上恒成立的不等式問(wèn)題?！窘狻坑深}設(shè)可知，不等式124a>0在x(-,1上恒成立，即：()()a>0在x(-,1上恒成立。設(shè)t(), 那么t，又設(shè)g(t)tta，其對(duì)稱(chēng)軸為t tta0在,+)上無(wú)實(shí)根，即 g()()a>0，得a>所以a的取值X圍是a>?！咀ⅰ繉?duì)于不等式恒成立，引入新的參數(shù)化簡(jiǎn)了不等式后，構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性進(jìn)展解決問(wèn)

19、題，其中也聯(lián)系到了方程無(wú)解，表達(dá)了方程思想和函數(shù)思想。一般地，我們?cè)诮忸}中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的嚴(yán)密聯(lián)系，將問(wèn)題進(jìn)展相互轉(zhuǎn)化。在解決不等式()()a>0在x(-,1上恒成立的問(wèn)題時(shí)，也可使用“別離參數(shù)法：設(shè)t(), t，那么有att(,，所以a的取值X圍是a>。其中最后得到a的X圍，是利用了二次函數(shù)在某區(qū)間上值域的研究，也可屬應(yīng)用“函數(shù)思想。、穩(wěn)固性題組：1. 方程sin2xsinx在區(qū)間(0,2)內(nèi)解的個(gè)數(shù)是_。A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 函數(shù)f(x)|21|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，那么_。A. a<0,b<0,c>0 B. a<0,b>0,c>0 C. 2<2 D. 22<23. 函數(shù)f(x)log(x4x8)， x0,2的最大值為2，那么a_。A. B. C.