雙向思維 與 幾何證明

1、“雙向思維”與“幾何證明”東莞市石碣中學(xué) 付友文郵編523290“雙向思維”的模式是由已知向結(jié)論順向思維及由結(jié)論向已知逆向思維，兩條思維線路有機的銜接。幾何證明教學(xué)過程中若滲透 “雙向思維”，能培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)邏輯思維能力。一、“雙向思維”中的有效銜接點幾何圖形中，存在許多證明結(jié)論的隱性條件，如：“對頂角相等”、“公共邊相等”、“同弧所對的圓周角相等”但不是每個都需要在證題過程中列出來，因而必須通過逆向思維和順向思維，順理成章地找出對證題有用的條件，稱之為“雙向思維”的有效銜接點。BECAOD例一、如圖圓內(nèi)接ABC中，AB=AC，弦AE與BC交于點D，求證：AB·BD

2、=AB·BE（97廣東中考題）思路分析：逆向思維，要證明：AB·BD=AD·BE，就要證：即要證明ABEADB 圖形（一）由圖形（一）觀察BAE與DAB是相等的共公角，為有效銜接點之一，因而還需要證明ABE與ABD的另一對角相等。這時再由已知條件順向思維，因為AB=AC，所以ABC=ACB，ABC是ABD中的內(nèi)角，因而需要找一個角與ACB相等且是ABE中的角，觀察圖形（一），AEB與ACB同為弧AB所對的圓周角，這是思維過程中要找的第二個銜接點。鞏固提問：1、本題圖中哪些角是兩個三角形的公共角？2、圖中有多少對角相等？3、BAE=DAB，AEB=ACB這兩個有效銜

3、接點是怎樣找出來的？二、“雙向思維”的及時“轉(zhuǎn)向”進行順向思維或逆向思維的過程中，若出現(xiàn)哪個方向的思維受到阻礙，應(yīng)及時“轉(zhuǎn)向”，進行調(diào)整、拯救，使思維經(jīng)過順向逆向順向的“轉(zhuǎn)向”的深入，使兩個方向的思維順利地銜接上。CBDOATEGF例2、如圖，AB是半圓的直徑，D是AB上一點，CDAB，CD交半圓于點E，CT是半圓的切線，T是切點，求證：BE2+CT2=BC2思路分析：順向思維，因為CT為切線，所以CT2=CG·CB，思維受阻， 轉(zhuǎn)向逆向思維，要證明BE2+CT2=BC2，把CT2=CG·CB代入，就要證明BE2=BC2CG·CB=BC（BCCG）=BC·

4、;BG即：連接EG，因而需證明BECBEG觀察圖形，CBE=EBG，因此還需要證明另一對角相等，思維又受阻，轉(zhuǎn)為順向，因CDAB，所以DCB+CBD=900，又因為AB是直徑， 連AG，所以CBD+GAB=900，再因為GEB=GAB，故有GEB=BCD，銜接上了。三、“雙向思維中的岔路口CBDOATEH有時順向，逆向思維的線路不是唯一時，同學(xué)們探究時應(yīng)該注意前后呼應(yīng)進行選擇，不同的線路有時會出現(xiàn)不同的證明方法，得到不同的證明效果，有時也會誤入歧途，陷入思維誤區(qū)，兩個方向的思維匯合不到一起，銜接不上。如上例2中，若順向思維，因為CDAB，則CB2=BD2+CD2，BD2=BE2DE2，所以：C

5、B2=BE2+CD2DE2 =BE2+（CD+DE）（CDDE） =BE2+CE（CD+DE）再轉(zhuǎn)逆向：要證明BE2+CT2=BC2，找代入，即要證明：BE2+CT2=BE2+CE（CD+DE）即CT2=CE（CD+DE）AFBOCGED再轉(zhuǎn)為順向：CT是切線，要證明必需補充原圖形中的另一半圓，交CD的延長線于H，所以，CT2=CE·CH轉(zhuǎn)為逆向代入即要證CH=CD+DE，即：DE=DH，最后由已知：AB是直徑且CDAB可得。例3、已知：如圖以銳角ABC的邊BC為直徑的O交AB于點G，AD切O于點D在AB上截取AE=AD，EFAB于E，交AC的延長線于F，求證：AE·AF=

6、AB·AC思路分析：如果先逆向思維，要證明AE·AF =AB·AC，即要證明:連CE、BF， AFBOCGED觀察圖形，EAC=FAB，要證明：AECAFB只需再證一對角相等，此時再轉(zhuǎn)入順向思維，卻非常困難，進入思維陷阱。調(diào)整思想，先順向思維，因為AD為切線，所以AD2=AG·AB再轉(zhuǎn)入逆向，要證明AE·AF=AB·AC由式代入即要證明：AE·AF = · AC，即AF·AG=AE·AC，需證連CG，即需證明：CGEF，最后轉(zhuǎn)入順向，因為BC是直徑，所以GCAB，又因為EFAB，可證。四、“雙向

7、思維”的“逼斂”性通過“雙向思維”不但可以“逼斂”出有效銜接點，已知條件應(yīng)推出的結(jié)論，而且對難度較大的問題，能夠通過“逼斂”，得出輔助線的作法，降低難度，使思維步入順暢的軌道。例4、如圖，設(shè)凸四邊形ABCD對角線AC、BD的交點為M，過點M作AD的平行線分別交AB、CD于點E、F，交BC的延長線于點O，P是以O(shè)為圓心，OM為半徑的圓上一點，求證：OPF=OEP。（96年全國初中聯(lián)賽題）KPOBCFMEAD思路分析：先逆向，要證明OPF=OEP由圖形觀察，需要證OPFOEP因為有公共角POF=EOP，則只需證明即OP2=OE·OF，又因為OM=OP，即要證明OM2=OF·OE再由已知條件OEAD順向思維，由于OF、OM和OE同在一條直線上，因而要利用到OEAD證出，必須構(gòu)造出由平行證明比例線段的基本圖形（見右圖）使OF、OM、OE為圖形中的比例線段。觀察圖形，延長BO與AD并 相交于K，這樣右圖中有6個類似下圖的基本圖形，由OFDK得，再由OMAK得因而。同理由OEAK，OMAK可得，由、即可得出。 “雙向思維”是證明幾何題過程中行之有效的思維方式，能準確地找出證明過程中的有效銜接點，快速準確地確定已知應(yīng)推出的結(jié)論?！半p向思維”及時轉(zhuǎn)向能提