609數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課考試大綱

1、609 數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課考試大綱請(qǐng)考生注意：1、數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課試題含數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)二門課程的內(nèi)容。2 、每門課試題滿分 75 分。數(shù)學(xué)分析考試大綱一、基本內(nèi)容與要求( 一) 極限論1、透徹理解和掌握數(shù)列極限，函數(shù)極限的概念。掌握并能運(yùn)用 -N，-X ，-語言處理極限問題。2、掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)及運(yùn)算。掌握數(shù)列極限的存在條件 (單調(diào)有界準(zhǔn)則，迫斂性法則，柯西準(zhǔn)則)；掌握函數(shù)極限的性質(zhì)和歸結(jié)原則；熟練掌握利用兩個(gè)重要極限處理極限問題。3、理解無窮小量和無窮大量的定義、性質(zhì)和關(guān)系，掌握無窮小量階的比較和方法。4、理解與掌握一元函數(shù)連續(xù)性的定義 (點(diǎn)，區(qū)間 )，間斷點(diǎn)及其分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)；理

2、解單側(cè)連續(xù)的概念。5、掌握和應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性）；掌握初等函數(shù)的連續(xù)性，理解復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性。6、掌握實(shí)數(shù)連續(xù)性定理：閉區(qū)間套定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則、確界存在定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理。7、理解平面點(diǎn)集的基本概念，二元函數(shù)的極限，累次極限，連續(xù)性概念；了解閉區(qū)間的套定理，有限覆蓋定理，多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。( 二) 微分學(xué)1、理解和掌握導(dǎo)數(shù)與微分概念及其幾何意義；能熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (特別是復(fù)合函數(shù) )。2、理解單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系；掌握高階導(dǎo)數(shù)的求法，導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，微分在近似

3、計(jì)算中的應(yīng)用。3、熟練掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；熟練掌握泰勒公式及在近似計(jì)算中的應(yīng)用，能夠把某些函數(shù)按泰勒公式展開。4、能熟練地運(yùn)用羅必達(dá)法則求不定式的極限； 掌握函數(shù)的某些基本特性 (單調(diào)性、 極值與最值、凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線 )，能較正確地作出某些函數(shù)的圖象。5、掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)、極值等概念；搞清全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)之間的關(guān)系；掌握多元函數(shù)泰勒公式；會(huì)求多元函數(shù)的極值。6、掌握隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)的存在定理；會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；會(huì)求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；掌握條件極值概念及求法。( 三) 積分學(xué)1、掌握原函數(shù)和不定積分概念；熟練

4、掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法和三角有理式積分法，并能利用它們來求函數(shù)的積分；會(huì)計(jì)算簡單的無理函數(shù)的積分。2、掌握定積分概念及函數(shù)可積的條件；熟悉一些可積分函數(shù)類； 掌握定積分與可變上限積分的性質(zhì)；能熟練地運(yùn)用牛頓 -萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計(jì)算一些定積分。3、掌握定積分的幾何應(yīng)用；掌握定積分在物理上的應(yīng)用；掌握 "微元法 "。4、掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對(duì)收斂與條件收斂等概念； .能用收斂性判別法判斷某些反常積分的收斂性。5、掌握含參變量定積分的概念與性質(zhì)； 掌握含參變量廣義積分的收斂與一致收斂的概念；掌握含參變量廣義積分一致收斂的判別法；熟練應(yīng)

5、用歐拉公式。6、掌握兩類曲線積分的概念及計(jì)算；掌握兩類曲線積分的性質(zhì)；掌握兩類曲線積分的關(guān)系；掌握格林公式的證明某些應(yīng)用 ；會(huì)計(jì)算曲線積分。7、掌握二重、三重積分的概念、性質(zhì)；會(huì)計(jì)算重積分；會(huì)求圖形的面積，體積及物體的質(zhì)量與重心。8、掌握兩類曲面積分的概念及計(jì)算；掌握兩類曲面積分的性質(zhì)； 掌握兩類兩類曲面積分的關(guān)系；會(huì)計(jì)算曲面積分。9、掌握 Gauss 公式、 Stokes 公式及其應(yīng)用。10、理解場論中的基本概念（梯度、散度、環(huán)量、旋度、保守場和勢函數(shù)），掌握保守場的判別條件。（四）級(jí)數(shù)論1、理解無窮級(jí)數(shù)的收斂，發(fā)散，絕對(duì)收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)；能熟練應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)

6、數(shù)的斂散性判別法判斷級(jí)數(shù)的（絕對(duì)）斂散性；熟悉幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)與p 級(jí)數(shù)。2、掌握收斂域、極限函數(shù)與和函數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)列的一致收斂等概念；掌握極限函數(shù)與和函數(shù)的分析性質(zhì) (會(huì)證明 )；能夠比較熟練地判斷一些函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)列的一致收斂。3、掌握冪級(jí)數(shù)，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)及函數(shù)的可展成冪級(jí)數(shù)等概念；掌握冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)；會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與一些冪級(jí)數(shù)的收斂域；會(huì)把一些函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，包括會(huì)用間接展開法求函數(shù)的泰勒展開式。4、掌握三角函數(shù)系的正交性與函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的概念；能正確地?cái)⑹龈道锶~級(jí)數(shù)收斂性判別法；能將一些函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)。高等代數(shù)考試大綱一、基本內(nèi)容與要求1、 整數(shù)與數(shù)域上多項(xiàng)式

7、的基本理論掌握整數(shù)與多項(xiàng)式（包括對(duì)稱多項(xiàng)式）的基本概念和求最大公因式的 Euclid 算法，整除與最大公因式的基本性質(zhì) , 復(fù)數(shù)域及實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式因式分解定理 , 多項(xiàng)式函數(shù)的特點(diǎn)及根與系數(shù)的關(guān)系，有理系數(shù)多項(xiàng)式基本性質(zhì)及 Eisenstein 準(zhǔn)則，了解多元多項(xiàng)式基本概念 , 代數(shù)基本定理及其應(yīng)用。2、 線性方程組掌握求解線性方程組的 Guass 消元法，有解判定準(zhǔn)則和解的結(jié)構(gòu)定理；熟練掌握行列式性質(zhì)與運(yùn)算, 用行列式解線性方程組的方法 , 初等變換的性質(zhì) , 運(yùn)算以及在求秩、逆矩陣及解線性方程組等方面的應(yīng)用。 熟練掌握線性方程組的秩 , 齊次線性方程組的解空間維數(shù) , 非齊次線性方程組的

8、一般解之間的關(guān)系 , 性質(zhì)及求法 .3、 矩陣運(yùn)算了解矩陣及其運(yùn)算以及和數(shù)域 F 上向量空間nF 上的線性映射的關(guān)系；熟練掌握矩陣的計(jì)算方法和基本性質(zhì)及計(jì)算技巧 , 矩陣的秩與線性方程組的秩的關(guān)系 , 矩陣法解線性方程組的技巧； 初等矩陣與初等變換的關(guān)系及運(yùn)用技巧 , 學(xué)會(huì)線性方程組問題和矩陣問題的對(duì)應(yīng)關(guān)系。熟練掌握矩陣的等價(jià)、相似、合同的概念和性質(zhì)，以及與線性方程組、線性變換、二次型的關(guān)系，會(huì)利用它們解決相關(guān)問題。4、線性空間基本理論熟練掌握線性空間、線性映射的基本概念和理論，如向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)及其性質(zhì)、判斷條件，向量組的秩相關(guān)性質(zhì)及其靈活運(yùn)用，子空間、不變子空間和直和的定義與性質(zhì)，

9、空間的同態(tài)、同構(gòu)、向量的坐標(biāo)及其在線性映射的性質(zhì)。掌握空間的分解和分塊陣的關(guān)系，線性空間在解線性方程組中的應(yīng)用。5、線性變換的基本性質(zhì)和理論熟練掌握線性變換的運(yùn)算性質(zhì)及特征值、特征向量和特征多項(xiàng)式的定義和計(jì)算，線性變換與矩陣的關(guān)系， 矩陣相似的概念和判定方法， Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算應(yīng)用， 矩陣對(duì)角化的條件和判定方法；掌握線性變換的像與核的概念、性質(zhì)，維數(shù)定理及其應(yīng)用；了解線性變換的最小多項(xiàng)式、 矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用及有理標(biāo)準(zhǔn)形的定義。6、歐幾里得空間基本理論掌握歐幾里得空間的基本性質(zhì)，正交基和 Schmidt 正交化方法以及實(shí)對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)，正交變換的性質(zhì)及應(yīng)用，掌握將實(shí)對(duì)稱矩陣通過正交變換化成對(duì)角陣的方法；了解最小二乘法及酉空間的定義；學(xué)會(huì)將線