標(biāo)準(zhǔn)偏差與相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差公式

1、標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù)學(xué)表達(dá)式:B = 工1 - T2 +X戈一丞尸+ 九一丘嚴(yán)n-1一H - 1? S-標(biāo)準(zhǔn)偏差%? n-試樣總數(shù)或測(cè)量次數(shù)，一般n值不應(yīng)少于20-30個(gè)? i-物料中某成分的各次測(cè)量值，1n；標(biāo)準(zhǔn)偏差的使用方法六個(gè)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計(jì)算公式設(shè)對(duì)真值為X的某量進(jìn)展一組等精度測(cè)量，其測(cè)得值為|1、|2、|n。令測(cè)得值丨與該量真值X之差為真差占T ,那么有T 1 = l i - XT 2 = l 2 - X6 n =| n - X我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差也稱標(biāo)準(zhǔn)差6為1由于真值X都是不可知的，因此真差6占也就無法求得,故式只有理論意義而無實(shí)用價(jià)值。標(biāo)準(zhǔn)偏差(7的常用估計(jì)一貝塞爾公式由于

2、真值是不可知的，在實(shí)際應(yīng)用中，我們常用n次測(cè)量的算術(shù)平均值來代表真值。理論上也證明，隨著測(cè)量次數(shù)的增多，算術(shù)平均值最接近真值，當(dāng)時(shí)，算術(shù)平均值就是真值。于是我們用測(cè)得值1，與算術(shù)平均值之差一一剩余誤差也叫殘差V來代替真差 7,即設(shè)一組等精度測(cè)量值為 |1、|2、In那么通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差7與剩余誤差V的關(guān)系為將上式代入式(1)有(2)式 就是著名的貝塞爾公式(Bessel)。它用于有限次測(cè)量次數(shù)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算。由于當(dāng)時(shí)，可見貝塞爾公式與7的定義式(1)是完全一致的。應(yīng)該指岀，在n有限時(shí)，用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)準(zhǔn)偏差7的一個(gè)估計(jì)值。它不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差7。因此，我們稱式(2)為標(biāo)準(zhǔn)偏差 7的

3、常用估計(jì)。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，我們將7的估 計(jì)值用“ S " 表示。于是，將式(2)改寫為(2')在求S時(shí)，為免去求算術(shù)平均值的麻煩，經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(過程從略)有于是, 式(2')可寫為按式(2")求S時(shí)，只需求岀各測(cè)得值的平方和和各測(cè)得值之和的平方藝，即可標(biāo)準(zhǔn)偏差(T的無偏估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中定義S2為樣本方差數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明 S2是總體方差(T 2的無偏估計(jì)。即在大量重復(fù)試驗(yàn)中，S2圍繞(T 2散布，它們 之間沒有 系統(tǒng)誤差。而式(2')在n有限時(shí),S并不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差 (7的無偏估計(jì)，也就是說S和 (T之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計(jì)告訴我們，對(duì)于服從正態(tài)分布的正態(tài)

4、總體，總體標(biāo)準(zhǔn)偏差 7的 無偏估計(jì)值為令那么即S和S僅相差一個(gè)系數(shù) K., K。是與樣本個(gè)數(shù)測(cè)量次數(shù)有關(guān)的一個(gè)系數(shù)，K。值見表計(jì)算氐時(shí)用到r n + 1 = nnr1 = 14nn& 12I加31LW24301.0132601.0M33L128481.0362 ,251.0105nL003641.08549 :L0317301,0087血51.063810L02814L0064L002861.050915L01803/12 501.0051100!L0025由表1知，當(dāng)n>30時(shí)，。因此，當(dāng)n>30時(shí)，式(3')和式(2')之間的差異可略而不計(jì)。在 n=30

5、50時(shí)，最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)n<10時(shí)，由于K，值的影響已不可忽略，宜用式(3'),求標(biāo)準(zhǔn)偏差。這時(shí)再用貝塞爾公式顯然是不妥的。標(biāo)準(zhǔn)偏差的最大似然估計(jì)將(7的定義式(1)中的真值X用算術(shù)平均值代替且當(dāng) n有限時(shí)就得到(4)式 適用于n>50時(shí)的情況，當(dāng)n>50時(shí),n和(n-1)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響就很小了。2.5標(biāo)準(zhǔn)偏差7的極差估計(jì)由于以上幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式計(jì)算量較大，不宜現(xiàn)場(chǎng)采用，而極差估計(jì)的方法那么有運(yùn)算簡(jiǎn)便，計(jì)算量小宜于現(xiàn)場(chǎng)采用的特點(diǎn)。極差用"R"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的n個(gè)樣本測(cè)得值中的最大值與最小值之差。假設(shè)對(duì)某

6、量作次等精度測(cè)量測(cè)得I ",且它們服從正態(tài)分布，那么R = I max - I min概率統(tǒng)計(jì)告訴我們用極差來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式為(5)S稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差7的無偏極差估計(jì)，d2為與樣本個(gè)數(shù)n(測(cè)得值個(gè)數(shù))有關(guān)的無偏極差系數(shù)，其值見表2JHl/d2nrfj!-fVd221.414IJ280.886.203.735：0,2683L732L6W30.591I 213 Tli0.26542/0002,0590.4361220-26252.2362.326O>3013.8580.25962.4507.534243*895 0.25772.646|0370253,9310.254a2.

7、8470.351300,245910062.9700 3373542190.237103J623.0780:3251404,3220.231113.31734730315454 4150.226125.4643.2580307504,4980.222133.60633360.3001005,0250499143*23伽0.2W2005.4950.182153.8733.4720.28S4005.882A070164.0003.5320.2835006.0610J65174.1233*5880.2?97006.2890J59184.243330775100064940.1541943S93朋)0

8、.271一 一.由表2知，當(dāng)n< 15時(shí)因此，標(biāo)準(zhǔn)偏差 b更粗略的估計(jì)值為(5')還可以看岀，當(dāng)200< nW 1000時(shí)，因而又有(5")顯然，不需查表利用式(5')和(5") 了即可對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差值作岀快速估計(jì)，用以對(duì)用貝塞爾公式與其他公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)展校核。應(yīng)指岀，式(5)的準(zhǔn)確度比用其他公式的準(zhǔn)確度要低，但當(dāng)5W nW 15時(shí),式(5)不僅大大提高了計(jì)算速度,而且還頗為準(zhǔn)確。當(dāng)n>10時(shí)，由于舍去數(shù)據(jù)信息較多，因此誤差較大，為了提高準(zhǔn)確度，這時(shí)應(yīng)將測(cè)得值分成四個(gè)或五個(gè)一組 ，先求岀各組的極差R、，再由各組極差求岀極差平均值。極差平均值和

9、總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為需指岀，此時(shí)d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù) N(=nK)去查表2。再那么，分組時(shí)一定要按測(cè)得值的先后順序排列，不能打亂或顛倒。標(biāo)準(zhǔn)偏差(T的平均誤差估計(jì)平均誤差的定義為誤差理論給出(A)可以證明與的關(guān)系為(證明從略)于是(B)由式(A)和式(B)得從而有5值，由于right|Vright|不需平方，故計(jì)算較為簡(jiǎn)便。但該式的準(zhǔn)確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。標(biāo)準(zhǔn)偏差的應(yīng)用實(shí)例對(duì)標(biāo)稱值R = 0.160 < math >卩m< math >卩m 試求該樣塊 R的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差并判 斷其合格否。解：1)先求平均值L = 1

10、,60 I-12+5 I 0 I 7-8-14 + 12 I 9+17 I 4-4-10 + 4 I 4 I 315 x 100=L6O +2715 x WQL618(< math > 甘m < math >)2)再求標(biāo)準(zhǔn)偏差S假設(shè)用無偏極差估計(jì)公式式(5)計(jì)算，首先將測(cè)得的，15個(gè)數(shù)據(jù)按原順序分為三組，每組五個(gè)，見表3。組號(hào)l_1l_5R11.48 1.65 1.(50 1.671.520.1921.46 1.72 1.(59 1.771.640.3131.56 1.50 1.(64 1.741.630.24因每組為5個(gè)數(shù)據(jù),按n=5由表2查得故二 0.43 x 0.

11、247 = 0.10621(< math > /tm < math >)假設(shè)按常用估計(jì)即貝塞爾公式式(2'), 那么=0.0962( < math > fim < math >)假設(shè)按無偏估計(jì)公式即式(3')計(jì)算，因n=15，由表1查得K. = 1.018, 那么Si = KaS = 1.018 x 0.0962 = 0-09793(< math > pm < math >)假設(shè)按最大似然估計(jì)公式即式(4')計(jì)算，那么=0.09296( < math > 卩 m< math >

12、; )假設(shè)按平均誤差估計(jì)公式即式(6),那么=L2533 xL176VI5 V14=0J017(< jnath > ftm < math >)現(xiàn)在用式(5')對(duì)以上計(jì)算進(jìn)展校核1 - 1R = x 0,247 = 0.0637( V math > jim < math >)V15可見以上算得的 S、S、S、S和S沒有粗大誤差。由以上計(jì)算結(jié)果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062即 S < S <S <S <s可見，最大似然估計(jì)值最小，常用估計(jì)值S稍大，無偏估計(jì)值

13、S又大，平均誤差估計(jì)值 S 再大，極差估計(jì)值 S最大?？v觀這幾個(gè)值，它們相當(dāng)接近，最大差值僅為 0.01324卩m從理論 上講，用無偏估計(jì)值和常用估計(jì)比較適宜 ，在本例中，它們僅相差0.0017卩m可以相信，隨著 的增大，S、S、S、S3和S之間的差異會(huì)越來越小。就本例而言，無偏極差估計(jì)值 S和無偏估計(jì)值 S僅相差0.0083卩m 這說明無偏極差估計(jì)是 既可以保證一定準(zhǔn)確度計(jì)算又簡(jiǎn)便的一種好方法。JJG102-89?外表粗糙度比較樣塊?規(guī)定R的平均值對(duì)其標(biāo)稱值的偏離不應(yīng)超過+12% 17%,標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)在標(biāo)稱值的4%12%之間。已得本樣塊二產(chǎn)，產(chǎn)均在規(guī)定圍之，故該樣塊合格。標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別

14、標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation)各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離 離均差丨的平均數(shù)，它是離差平方和平 均后的方根。用(T表示。因此，標(biāo)準(zhǔn)差也是一種平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)一樣的，標(biāo)準(zhǔn)差未必一樣。例如，A B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測(cè)驗(yàn)，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45, B組的分?jǐn)?shù)為 73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是 70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為 17.08 分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為 2.16分，說明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。標(biāo)準(zhǔn)偏差(Std Dev,Standard Deviation)

15、-統(tǒng)計(jì)學(xué)名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度之標(biāo)準(zhǔn)，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值的程度。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，這些值偏離平均值就越少， 反之亦然。標(biāo)準(zhǔn)偏差的大小可通過標(biāo)準(zhǔn)偏差與平均值的倍率關(guān)系來衡量。有人經(jīng)?；煊镁礁`差RMSE 與標(biāo)準(zhǔn)差Standard Deviation，實(shí)際上 者并不是一回事 1.均方根誤差 均方根誤差為了說明樣本的離散程度。均方根誤差root-mean-square error 亦稱標(biāo)準(zhǔn)誤差，其定義為，i = 1，2, 3，n。在有限測(cè)量次數(shù)中，均方根誤差常用下式表示：，式中，n為測(cè)量次數(shù)； di為一組測(cè)量值與平均值的偏差。如果誤差統(tǒng)計(jì)分布是正態(tài)分布，那么隨機(jī)誤差 落在土 er以

16、的概率為68%。2.標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)一樣的，標(biāo)準(zhǔn)差未必一樣。標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。均方根值也稱作為效值，它的計(jì)算方法是先平方、再平均、然后開方。比方幅度為100V而占空比為0.5的方波信號(hào)，如果按平均值計(jì)算，它的電壓只有50V，而按均方根值計(jì)算那么有70.71V。這是為什么呢？舉一個(gè)例子，有一組 100伏的電池組，每次供電 10分鐘之后停 10分鐘，也就是說占空比為一半。如果這組電池帶動(dòng)的是10Q電阻，供電的10分鐘產(chǎn)生10A的電流和1000W的功率，停電時(shí)電流和功率為零。那么在20分鐘的一個(gè)周期其平均功率為 500W這

17、相當(dāng)于70.71V的直流電向10Q電阻供電 所產(chǎn)生的功率。而50V直流電壓向10Q電阻供電只能產(chǎn)生的 250W的功率。對(duì)于電機(jī)與變壓 器而言，只要均方根電流不超過額定電流，即使在一定時(shí)間過載，也不會(huì)燒壞。PMTS1.0抽油機(jī)電能圖測(cè)試儀對(duì)電流、 電壓與功率的測(cè)試計(jì)算都是按有效值進(jìn)展的，不會(huì)因?yàn)殡娏麟妷翰ㄐ位兌鴾y(cè)不準(zhǔn)。這一點(diǎn)對(duì)于測(cè)試變頻器拖動(dòng)的電機(jī)特別有用。均方根誤差 為了說明樣本的離散程度。對(duì)于N1,.Nm,設(shè)N=(N1+.+Nm)/m;那么均方根誤差記作： t=sqrt(NA2-N1A2)+.+(NA2-NmA2)/(m(m-1);比方兩組樣本：第一組有以下三個(gè)樣本： 3，4，5第二組有一

18、下三個(gè)樣本： 2，4，6這兩組的平均值都是 4,但是第一組的三個(gè)數(shù)值相對(duì)更靠近平均值，也就是離散程度小，均方差就是表示這個(gè)的。同樣，方差、標(biāo)準(zhǔn)差(方差開根，因?yàn)閱挝徊唤y(tǒng)一)都是表示數(shù)據(jù)的離散程度的。幾種典型平均值的求法1算術(shù)平均值這種平均值最常用。設(shè)XI、x2、x n為各次的測(cè)量值，n代表測(cè)量次數(shù)，那么算術(shù)平均值為2均方根平均值3幾何平均值4對(duì)數(shù)平均值5加權(quán)平均值準(zhǔn)確度精密度鉅對(duì)誤差S - x -或 8-X-/1平均偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差(n>5)& - 1-1:弘討UrV沖一1相對(duì)誤差(弟相對(duì)平均偏差相對(duì)標(biāo)1隹備差-X1010 %100%X相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方差的計(jì)算公式準(zhǔn)確度:測(cè)定值與真實(shí)值符合

19、的程度絕對(duì)誤差：測(cè)量值或?qū)掖螠y(cè)定的平均值與真實(shí)值之差稱為絕對(duì)誤差，用 S表示。相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與真值的比值稱為相對(duì)誤差。常用百分?jǐn)?shù)表示。絕對(duì)誤差可正可負(fù)，可以說明測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)確度，但不能反映誤差在測(cè)量值 中所占比例，相對(duì)誤差反映測(cè)量誤差在測(cè)量結(jié)果中所占的比例， 衡量相對(duì)誤差更 有意義。例：用刻度0.5cm的尺測(cè)量長(zhǎng)度，可以讀準(zhǔn)到0.1cm,該尺測(cè)量的絕對(duì)誤差 為0.1cm；用刻度1mn!勺尺測(cè)量長(zhǎng)度，可以讀準(zhǔn)到 0.1mm該尺測(cè)量的絕對(duì)誤差 為 0.1mm例：分析天平稱量誤差為0.1mg,減重法需稱2次，可能的最大誤差為0.2mg, 為使稱量相對(duì)誤差小于0.1%，至少應(yīng)稱量多少樣品？coooxiao% < antw > 0. 2g答：稱量樣品量應(yīng)不小于0.2g。真值卩：真值是客觀存在的，但任何測(cè)量都存在誤差，故真值只能逼近而不