標準偏差與相對標準偏差公式

1、標準偏差數(shù)學表達式:B = 工1 - T2 +X戈一丞尸+ 九一丘嚴n-1一H - 1? S-標準偏差%? n-試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般n值不應少于20-30個? i-物料中某成分的各次測量值，1n；標準偏差的使用方法六個計算標準偏差的公式標準偏差的理論計算公式設(shè)對真值為X的某量進展一組等精度測量，其測得值為|1、|2、|n。令測得值丨與該量真值X之差為真差占T ,那么有T 1 = l i - XT 2 = l 2 - X6 n =| n - X我們定義標準偏差也稱標準差6為1由于真值X都是不可知的，因此真差6占也就無法求得,故式只有理論意義而無實用價值。標準偏差(7的常用估計一貝塞爾公式由于

2、真值是不可知的，在實際應用中，我們常用n次測量的算術(shù)平均值來代表真值。理論上也證明，隨著測量次數(shù)的增多，算術(shù)平均值最接近真值，當時，算術(shù)平均值就是真值。于是我們用測得值1，與算術(shù)平均值之差一一剩余誤差也叫殘差V來代替真差 7,即設(shè)一組等精度測量值為 |1、|2、In那么通過數(shù)學推導可得真差7與剩余誤差V的關(guān)系為將上式代入式(1)有(2)式 就是著名的貝塞爾公式(Bessel)。它用于有限次測量次數(shù)時標準偏差的計算。由于當時，可見貝塞爾公式與7的定義式(1)是完全一致的。應該指岀，在n有限時，用貝塞爾公式所得到的是標準偏差7的一個估計值。它不是總體標準偏差7。因此，我們稱式(2)為標準偏差 7的

3、常用估計。為了強調(diào)這一點，我們將7的估 計值用“ S " 表示。于是，將式(2)改寫為(2')在求S時，為免去求算術(shù)平均值的麻煩，經(jīng)數(shù)學推導(過程從略)有于是, 式(2')可寫為按式(2")求S時，只需求岀各測得值的平方和和各測得值之和的平方藝，即可標準偏差(T的無偏估計數(shù)理統(tǒng)計中定義S2為樣本方差數(shù)學上已經(jīng)證明 S2是總體方差(T 2的無偏估計。即在大量重復試驗中，S2圍繞(T 2散布，它們 之間沒有 系統(tǒng)誤差。而式(2')在n有限時,S并不是總體標準偏差 (7的無偏估計，也就是說S和 (T之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計告訴我們，對于服從正態(tài)分布的正態(tài)

4、總體，總體標準偏差 7的 無偏估計值為令那么即S和S僅相差一個系數(shù) K., K。是與樣本個數(shù)測量次數(shù)有關(guān)的一個系數(shù)，K。值見表計算氐時用到r n + 1 = nnr1 = 14nn& 12I加31LW24301.0132601.0M33L128481.0362 ,251.0105nL003641.08549 :L0317301,0087血51.063810L02814L0064L002861.050915L01803/12 501.0051100!L0025由表1知，當n>30時，。因此，當n>30時，式(3')和式(2')之間的差異可略而不計。在 n=30

5、50時，最宜用貝塞爾公式求標準偏差。當n<10時，由于K，值的影響已不可忽略，宜用式(3'),求標準偏差。這時再用貝塞爾公式顯然是不妥的。標準偏差的最大似然估計將(7的定義式(1)中的真值X用算術(shù)平均值代替且當 n有限時就得到(4)式 適用于n>50時的情況，當n>50時,n和(n-1)對計算結(jié)果的影響就很小了。2.5標準偏差7的極差估計由于以上幾個標準偏差的計算公式計算量較大，不宜現(xiàn)場采用，而極差估計的方法那么有運算簡便，計算量小宜于現(xiàn)場采用的特點。極差用"R"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機抽取的n個樣本測得值中的最大值與最小值之差。假設(shè)對某

6、量作次等精度測量測得I ",且它們服從正態(tài)分布，那么R = I max - I min概率統(tǒng)計告訴我們用極差來估計總體標準偏差的計算公式為(5)S稱為標準偏差7的無偏極差估計，d2為與樣本個數(shù)n(測得值個數(shù))有關(guān)的無偏極差系數(shù)，其值見表2JHl/d2nrfj!-fVd221.414IJ280.886.203.735：0,2683L732L6W30.591I 213 Tli0.26542/0002,0590.4361220-26252.2362.326O>3013.8580.25962.4507.534243*895 0.25772.646|0370253,9310.254a2.

7、8470.351300,245910062.9700 3373542190.237103J623.0780:3251404,3220.231113.31734730315454 4150.226125.4643.2580307504,4980.222133.60633360.3001005,0250499143*23伽0.2W2005.4950.182153.8733.4720.28S4005.882A070164.0003.5320.2835006.0610J65174.1233*5880.2?97006.2890J59184.243330775100064940.1541943S93朋)0

8、.271一 一.由表2知，當n< 15時因此，標準偏差 b更粗略的估計值為(5')還可以看岀，當200< nW 1000時，因而又有(5")顯然，不需查表利用式(5')和(5") 了即可對標準偏差值作岀快速估計，用以對用貝塞爾公式與其他公式的計算結(jié)果進展校核。應指岀，式(5)的準確度比用其他公式的準確度要低，但當5W nW 15時,式(5)不僅大大提高了計算速度,而且還頗為準確。當n>10時，由于舍去數(shù)據(jù)信息較多，因此誤差較大，為了提高準確度，這時應將測得值分成四個或五個一組 ，先求岀各組的極差R、，再由各組極差求岀極差平均值。極差平均值和

9、總體標準偏差的關(guān)系為需指岀，此時d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù) N(=nK)去查表2。再那么，分組時一定要按測得值的先后順序排列，不能打亂或顛倒。標準偏差(T的平均誤差估計平均誤差的定義為誤差理論給出(A)可以證明與的關(guān)系為(證明從略)于是(B)由式(A)和式(B)得從而有5值，由于right|Vright|不需平方，故計算較為簡便。但該式的準確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。標準偏差的應用實例對標稱值R = 0.160 < math >卩m< math >卩m 試求該樣塊 R的平均值和標準偏差并判 斷其合格否。解：1)先求平均值L = 1

10、,60 I-12+5 I 0 I 7-8-14 + 12 I 9+17 I 4-4-10 + 4 I 4 I 315 x 100=L6O +2715 x WQL618(< math > 甘m < math >)2)再求標準偏差S假設(shè)用無偏極差估計公式式(5)計算，首先將測得的，15個數(shù)據(jù)按原順序分為三組，每組五個，見表3。組號l_1l_5R11.48 1.65 1.(50 1.671.520.1921.46 1.72 1.(59 1.771.640.3131.56 1.50 1.(64 1.741.630.24因每組為5個數(shù)據(jù),按n=5由表2查得故二 0.43 x 0.

11、247 = 0.10621(< math > /tm < math >)假設(shè)按常用估計即貝塞爾公式式(2'), 那么=0.0962( < math > fim < math >)假設(shè)按無偏估計公式即式(3')計算，因n=15，由表1查得K. = 1.018, 那么Si = KaS = 1.018 x 0.0962 = 0-09793(< math > pm < math >)假設(shè)按最大似然估計公式即式(4')計算，那么=0.09296( < math > 卩 m< math >

12、; )假設(shè)按平均誤差估計公式即式(6),那么=L2533 xL176VI5 V14=0J017(< jnath > ftm < math >)現(xiàn)在用式(5')對以上計算進展校核1 - 1R = x 0,247 = 0.0637( V math > jim < math >)V15可見以上算得的 S、S、S、S和S沒有粗大誤差。由以上計算結(jié)果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062即 S < S <S <S <s可見，最大似然估計值最小，常用估計值S稍大，無偏估計值

13、S又大，平均誤差估計值 S 再大，極差估計值 S最大?？v觀這幾個值，它們相當接近，最大差值僅為 0.01324卩m從理論 上講，用無偏估計值和常用估計比較適宜 ，在本例中，它們僅相差0.0017卩m可以相信，隨著 的增大，S、S、S、S3和S之間的差異會越來越小。就本例而言，無偏極差估計值 S和無偏估計值 S僅相差0.0083卩m 這說明無偏極差估計是 既可以保證一定準確度計算又簡便的一種好方法。JJG102-89?外表粗糙度比較樣塊?規(guī)定R的平均值對其標稱值的偏離不應超過+12% 17%,標準偏差應在標稱值的4%12%之間。已得本樣塊二產(chǎn)，產(chǎn)均在規(guī)定圍之，故該樣塊合格。標準偏差與標準差的區(qū)別

14、標準差(Standard Deviation)各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離 離均差丨的平均數(shù)，它是離差平方和平 均后的方根。用(T表示。因此，標準差也是一種平均數(shù)。標準差是方差的算術(shù)平方根。標準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)一樣的，標準差未必一樣。例如，A B兩組各有6位學生參加同一次語文測驗，A組的分數(shù)為95、85、75、65、55、45, B組的分數(shù)為 73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是 70，但A組的標準差為 17.08 分，B組的標準差為 2.16分，說明A組學生之間的差距要比B組學生之間的差距大得多。標準偏差(Std Dev,Standard Deviation)

15、-統(tǒng)計學名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度之標準，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值的程度。標準偏差越小，這些值偏離平均值就越少， 反之亦然。標準偏差的大小可通過標準偏差與平均值的倍率關(guān)系來衡量。有人經(jīng)?；煊镁礁`差RMSE 與標準差Standard Deviation，實際上 者并不是一回事 1.均方根誤差 均方根誤差為了說明樣本的離散程度。均方根誤差root-mean-square error 亦稱標準誤差，其定義為，i = 1，2, 3，n。在有限測量次數(shù)中，均方根誤差常用下式表示：，式中，n為測量次數(shù)； di為一組測量值與平均值的偏差。如果誤差統(tǒng)計分布是正態(tài)分布，那么隨機誤差 落在土 er以

16、的概率為68%。2.標準差標準差是方差的算術(shù)平方根。標準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)一樣的，標準差未必一樣。標準差也被稱為標準偏差，或者實驗標準差。均方根值也稱作為效值，它的計算方法是先平方、再平均、然后開方。比方幅度為100V而占空比為0.5的方波信號，如果按平均值計算，它的電壓只有50V，而按均方根值計算那么有70.71V。這是為什么呢？舉一個例子，有一組 100伏的電池組，每次供電 10分鐘之后停 10分鐘，也就是說占空比為一半。如果這組電池帶動的是10Q電阻，供電的10分鐘產(chǎn)生10A的電流和1000W的功率，停電時電流和功率為零。那么在20分鐘的一個周期其平均功率為 500W這

17、相當于70.71V的直流電向10Q電阻供電 所產(chǎn)生的功率。而50V直流電壓向10Q電阻供電只能產(chǎn)生的 250W的功率。對于電機與變壓 器而言，只要均方根電流不超過額定電流，即使在一定時間過載，也不會燒壞。PMTS1.0抽油機電能圖測試儀對電流、 電壓與功率的測試計算都是按有效值進展的，不會因為電流電壓波形畸變而測不準。這一點對于測試變頻器拖動的電機特別有用。均方根誤差 為了說明樣本的離散程度。對于N1,.Nm,設(shè)N=(N1+.+Nm)/m;那么均方根誤差記作： t=sqrt(NA2-N1A2)+.+(NA2-NmA2)/(m(m-1);比方兩組樣本：第一組有以下三個樣本： 3，4，5第二組有一

18、下三個樣本： 2，4，6這兩組的平均值都是 4,但是第一組的三個數(shù)值相對更靠近平均值，也就是離散程度小，均方差就是表示這個的。同樣，方差、標準差(方差開根，因為單位不統(tǒng)一)都是表示數(shù)據(jù)的離散程度的。幾種典型平均值的求法1算術(shù)平均值這種平均值最常用。設(shè)XI、x2、x n為各次的測量值，n代表測量次數(shù)，那么算術(shù)平均值為2均方根平均值3幾何平均值4對數(shù)平均值5加權(quán)平均值準確度精密度鉅對誤差S - x -或 8-X-/1平均偏差標準偏差(n>5)& - 1-1:弘討UrV沖一1相對誤差(弟相對平均偏差相對標1隹備差-X1010 %100%X相對標準方差的計算公式準確度:測定值與真實值符合

19、的程度絕對誤差：測量值或?qū)掖螠y定的平均值與真實值之差稱為絕對誤差，用 S表示。相對誤差：絕對誤差與真值的比值稱為相對誤差。常用百分數(shù)表示。絕對誤差可正可負，可以說明測量儀器的準確度，但不能反映誤差在測量值 中所占比例，相對誤差反映測量誤差在測量結(jié)果中所占的比例， 衡量相對誤差更 有意義。例：用刻度0.5cm的尺測量長度，可以讀準到0.1cm,該尺測量的絕對誤差 為0.1cm；用刻度1mn!勺尺測量長度，可以讀準到 0.1mm該尺測量的絕對誤差 為 0.1mm例：分析天平稱量誤差為0.1mg,減重法需稱2次，可能的最大誤差為0.2mg, 為使稱量相對誤差小于0.1%，至少應稱量多少樣品？coooxiao% < antw > 0. 2g答：稱量樣品量應不小于0.2g。真值卩：真值是客觀存在的，但任何測量都存在誤差，故真值只能逼近而不