圓錐曲線解題技巧和方法綜合全

1、圓錐曲線的解題技巧 、常規(guī)七大題型: (1)(1) 中點(diǎn)弦問(wèn)題 具有斜率的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求法(點(diǎn)差法) ：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(xi,yi)， (x2,y2)，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式(當(dāng)然在這里也要注意 斜率不存在的請(qǐng)款討論)，消去四個(gè)參數(shù)。 2 2 如：(1)篤 爲(wèi) 1(a b 0)與直線相交于 A、B,設(shè)弦 AB中點(diǎn)為 M(Xo,yo)，則有 a b (2)求|PF PF2I3的最值。Xo yo 2 X (2) a 2 與 1(a 0,b 0)與直線I相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(Xo,yo)則有 b Xo a yo (3)y2=2px( po)與直線 I相

2、交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(xo,yo),則有2yok=2p,即 yok=p. 典型例題 2 給定雙曲線X2 - 1。過(guò)A( 2，1)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) R 及F2， 2 求線段F1 P2的中點(diǎn)F的軌跡方程。 (2(2)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題 橢圓或雙曲線上一點(diǎn) P，與兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的三角形問(wèn)題，常用正、余弦定理搭 橋。 2 2 典型例題 設(shè)P(x,y)為橢圓 務(wù) 占 1上任一點(diǎn), a b c,o)， F2(c,o)為焦點(diǎn), PF1F2 ，PF2F1 (1)求證離心率e sin( )； sin sin (3) 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)

3、化為一元二次方程后利用判 別式、 根與系數(shù)的關(guān)系、 求根公式等來(lái)處理， 應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想， 通過(guò)圖形的直觀 性幫助分析解決問(wèn)題，如果直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定義去解。 典型例題 拋物線方程y2 p(x 1) (p 0)，直線x y t與x軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。 (1)求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn) (2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為 A、B,且0A丄0B,求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。 (4) 圓錐曲線的相關(guān)最值(范圍)問(wèn)題 圓錐曲線中的有關(guān)最值(范圍)問(wèn)題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來(lái)解決。 若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)

4、明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)(通常利用二次函 數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式)求最值。 (1)，可以設(shè)法得到關(guān)于 a的不等式，通過(guò)解不等式求出 a的范圍，即：“求范圍，找不 等式”或者將a表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出 a的范圍；對(duì)于(2)首 先要把 NAB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值 ，即：“最值問(wèn)題，函數(shù)思 想”。 最值問(wèn)題的處理思路： 1 、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān) 鍵是由方程求 x、 y 的范圍； 2、 數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想； 3、 利用判別式，對(duì)于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式

5、求最值； 4、 借助均值不等式求最值。 典型例題 已知拋物線y2=2px(p0),過(guò)M( a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn) A、B, |AB| 2p (1)求a的取值范圍；(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求厶N(yùn)AB面積的最大值。 (5) 求曲線的方程問(wèn)題 1曲線的形狀已知 - 這類問(wèn)題一般可用待定系數(shù)法解決。 典型例題 已知直線L過(guò)原點(diǎn)，拋物線 C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸正半軸上。若點(diǎn) A (-1, 0)和 點(diǎn)B ( 0, 8)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在 C上，求直線L和拋物線C的方程。 2曲線的形狀未知 求軌跡方程 典型例題 結(jié)合判別式來(lái)解決) X y2 典型例題 已知橢

6、圓 C的方程 1，試確定 m的取值范圍，使得對(duì)于直線 4 3 y 4x m，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱 (7 7)兩線段垂直問(wèn)題 圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問(wèn)題，常用 ki k2 運(yùn)算來(lái)處理。 典型例題 已知直線l的斜率為k ,且過(guò)點(diǎn)P( 2,0),拋物線C:y2 4(x 1)，直線I與 拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖)。 (1) 求k的取值范圍； (2) 直線I的傾斜角 為何值時(shí)，A、B與拋物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直。 四、解題的技巧方面： 在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問(wèn)題的計(jì)算量較大。 事實(shí)上，如果我們能夠充分利用 幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少

7、計(jì)算量。 下面舉例說(shuō)明： (1)(1) 充分利用幾何圖形 解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，除了運(yùn)用代 數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算量。 2 2 典型例題 設(shè)直線3x 4y m 0與圓x y x 2y 0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為 坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP OQ，求m的值。 -y2 - 1來(lái)處理或用向量的坐標(biāo) y1 x1 x2 M (2)(2) 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略 我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它， 而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中 點(diǎn)等問(wèn)題中常常用到。 典型例題 已知中心在原點(diǎn) O,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線

8、 y x 1相交于P、Q兩點(diǎn)，且OP OQ , |PQ| ，求此橢圓方程。 2 (3)(3) 充分利用曲線系方程 利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。 2 2 2 2 典型例題 求經(jīng)過(guò)兩已知圓 C1: x y 4x 2y 0和C2: x y 2y 4 0的 交點(diǎn)，且圓心在直線 丨：2x 4y 1 0上的圓的方程。 (4)(4) 充分利用橢圓的參數(shù)方程 橢圓的參數(shù)方程涉及到正、 也是我們常說(shuō)的三角代換法。 余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問(wèn)題.這 X2 典型例題 P為橢圓巧 2 y 1上一動(dòng)點(diǎn)，A為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，求四 邊形OAPB面積的最大

9、值及此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)。 (5)(5) 線段長(zhǎng)的幾種簡(jiǎn)便計(jì)算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過(guò)程 般地，求直線與圓錐曲線相交的弦 AB長(zhǎng)的方法是：把直線方程 y kx b代入圓錐 2 曲線方程中，得到型如 ax bx c 0的方程，方程的兩根設(shè)為 xA，xB，判別式為、 - - 則|AB| .1 k2 |xA xB| 1 k2 - ，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算 |a| 過(guò)程。 例 求直線x y 1 0被橢圓x2 4y2 16所截得的線段AB的長(zhǎng)。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算 在求過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí)， 由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)， 結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線 的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算

10、。 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，AB是經(jīng)過(guò)F1的弦，若|AB| 8，求值 | F2A| |F2B| 禾U用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離 例 點(diǎn)A (3, 2)為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y2 4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y2 4x上 移動(dòng)，若|PA| |PF|取得最小值，求點(diǎn) P的坐標(biāo)。 x2 F1、F2是橢圓 25 圓錐曲線解題方法技巧歸納 第一、知識(shí)儲(chǔ)備: 1.1. 直線方程的形式 (1) 直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、 一般式。 (2) 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容 傾斜角與斜率k tan , 0,) 點(diǎn)到直線的距離d Axo By。羋 夾角公式： VA2 B2 tan Ji

11、1 k2k1 (3) 弦長(zhǎng)公式 直線y kx b上兩點(diǎn)A(X|, yj, B(x2, y2)間的距離： AB 71 |為x2 J(1 k2)(xi X2)2 4X1X2或 AB 斤1 y2 (4) 兩條直線的位置關(guān)系 l1 l2 k1k2= =- -1 1 l1 /12 k1 k2且 b1 b2 2 2、 圓錐曲線方程及性質(zhì) (1)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？(三種形式) 2 2 標(biāo)準(zhǔn)方程：1(m 0, n 0 且 m n) m n 距離式方程：.(x c)2 y2 . (x c)2 y2 2a 參數(shù)方程： x a cos , y bsin (2)(2)、雙曲線的方程的形式有兩種1， 2

12、2 標(biāo)準(zhǔn)方程：-1(m n 0) m n 距離式方程：|；(x c)2 y2 (x c)2 y2 | 橢圓焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)為 a exo；焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)為 a ey ，可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減”。 雙曲線焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)為 e|x01 a 拋物線焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)為| x, | -|,焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)為| y1 | * (6)(6) 、 橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？ _ 第二、方法儲(chǔ)備 1 1、點(diǎn)差法(中點(diǎn)弦問(wèn)題) 2 2a 、 三種圓錐曲線的通徑你記得嗎? 、 圓錐曲線的定義你記清楚了嗎? 如: 已知Fi、 2 2 F2是橢圓L 1的兩個(gè)焦點(diǎn), 4 3 平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn) M

13、 M 足MFi MF2 2則動(dòng)點(diǎn) M M 的軌跡是( A A、雙曲線; B B、雙曲線的一支；C C、兩條射線; D D、一條射線 (5)(5)、焦點(diǎn)三角形面積公式：P 在橢圓上時(shí)，SFPF. b2% (其中 F1PF2 ,cos 円|2 |PF2|2 4c2 咲 uuu UULT UUJir |PFj|PF2| ,PF1?PF2|PF1|PF2品 (6)(6)、 記住焦 半 徑公式 1的弦AB中點(diǎn)則有 1， 2 2 爭(zhēng)亍1 ；兩式相減得 2 Xi 2 X2 4 2 2 y1 y2 0 3 設(shè) Axy1、Bx2,y2，M a,b 為橢圓 4 xi X2 xi X2 yi y2 yi y? 3a

14、 kAB = = 4 3 4b 2 2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問(wèn)題嗎？ 經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？ 設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到 一個(gè)二次方程，使用判別式 0,以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦 長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)A(N, yj, B(X2, y2)，將這兩點(diǎn)代入曲線方 程得到兩個(gè)式子，然后 - -，整體消元 . ,若有兩個(gè) 字母未知數(shù)，貝 S 要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過(guò)焦點(diǎn)， 則可以利用三點(diǎn) A A、B B、F F 共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋 找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。 一旦設(shè)直線 為y kx

15、 b，就意味著 k k 存在。 例 1 1、已知三角形 ABCABC 的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓4x2 5y2 80上，且點(diǎn) A A 是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)(點(diǎn) A A 在 y y 軸正半軸上). . (1) 若三角形 ABCABC 的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線 BCBC 的方程； (2) 若角 A A 為900 , ADAD 垂直 BCBC 于 D D，試求點(diǎn) D D 的軌跡方程. . 分析：第一問(wèn)抓住“重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn) 弦BCBC 的斜率，從而寫出直線 BCBC 的方程。第二問(wèn)抓住角 A A 為900可得 出 ABAB 丄ACAC,從而得xg 河2 14(yi y2)16

16、 0，然后利用聯(lián)立消元 法及交軌法求出點(diǎn) D D 的軌跡方程； 解：(1 1)設(shè) B B ( xi, ,yj ,C(,C(X2, ,y2 ),BC ),BC 中點(diǎn)為( (x。, y。),F(2,0),F(2,0)則有 2 2 2 2 XL 1 1 20 16 ，20 160 0 0 (1)0 (1) 5 4 2，代入(1 1)得 k k - - 5 直線 BCBC 的方程為6x 5y 28 兩式作差有 (Xi X2)(Xi X2) (y1 y2)( y1 y) X0 yk 20 16 F(2,0)F(2,0)為三角形重心，所以由 X1 X2 3 得X0 yo 2)2)由 AB AB 丄 AC

17、AC 得 x1x2 y1 y2 14(y1 y2) 16 (2)(2) 直 線 BCBC 方 5k2 2 2 )x 10bkx 5b 80 X2 10kb ,X1X2 5b 4 5k2 4 y2 8k 2 ,y1 y2 4b2 kx b,代入 4x2 80 直線過(guò)定點(diǎn) 2 2 9y 9X 32 y 所以所求點(diǎn) D D 筍代入 (2)(2) 式得 0 ,解得b 4(舍)或b (0(0，自，設(shè) D D y (x,y(x,y)，則- 16 0 4 4、設(shè)而不求法 例 2 2、如圖，已知梯形 ABCDABCD 中AB 設(shè) (4 0 程為 y 0 0 0 (1)0 (1) 5 4 成的比為，雙曲線過(guò) C

18、 C、D D、E E 三點(diǎn)，且以 A A、B B 為焦點(diǎn)當(dāng)2 3時(shí), 3 4 求雙曲線離心率e的取值范圍。 分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念 和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。建2 2 1 1 , 立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，若設(shè) C C C ,h ,代入冷爲(wèi)1，求得h L , 2 a b 2 2 進(jìn)而求得XE L ,yE L ,再代入篤爲(wèi)1 ,建立目標(biāo)函數(shù) a b f(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0 ,此運(yùn)算量可見是難上加難我們對(duì)h可 米取設(shè)而不求的解題策略， 建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c, ) 0 ,整理f(e, ) 0, ,化繁為簡(jiǎn)

19、. . 解法一：如圖，以 ABAB 為垂直平分線為y軸，直線 ABAB 為x軸， 建立直角坐標(biāo)系xOy ,則 CDCD 丄y軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) C C、D D，且以 A A、 程得 b2 由式得 B B 為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知 C C、D D 關(guān)于y軸對(duì)稱 依題意，記 A A c, 0 , C C C, h ,E Ex。，其中c | AB |為雙 曲線的半焦距, h是梯形的咼, 由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 x0 c c 2 _2c 1 2 1 h y0廠 2 2 設(shè)雙曲線的方程為當(dāng) 1, 則離心率e - a 由點(diǎn) C C、E E 在雙曲線上，將點(diǎn) C C、 E E 的坐標(biāo)和 e -代入雙曲線方

20、a e2 h2 e2 b2 4 X 2 2 1 1 , 將式代入式，整理得 2 e 4 4 1 2 , 4 3 e2 1 . 7 e ,10 所以雙曲線的離心率的取值范圍為,7,.J0 分析：考慮|AE,AC為焦半徑，可用焦半徑公式，|AE,|AC用E,C的橫坐 標(biāo)表示，回避h的計(jì)算，達(dá)到設(shè)而不求的解題策略. 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 .7, J0 5 5、判別式法 例 3 3 已知雙曲線c工 藝1，直線|過(guò)點(diǎn)A、2,0，斜率為k，當(dāng)0 k 1 2 2 時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn) B B 到直線l的距離為 2，試求k的 值及此時(shí)點(diǎn) B B 的坐標(biāo)。 分析 1 1:解析幾何是用代數(shù)方法

21、來(lái)研究幾何圖形的一門學(xué)科，因 此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段. .從“有且僅有” 這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn) B B 作與l平行的直線，必 與雙曲線C C 相切. .而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式 0. .由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路:解得 解法二：建系同解法一, XE c c 2 2 c 1 2 1 設(shè)I 3得，I 1 解得 AE 3 3 e2 2 4 .7 e .10 a exE , AC 廠代入整理 exC , 亠，由題 e 1 I: y k(x .2) 0 k 1 解題過(guò)程略. . 直線 i在 i的上方且到直線 I的距離為J2 V 分析 2 2:如果

22、從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式 表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)1 1 的営到直線方的距離為令判別式相當(dāng)于化歸 V 的方程有唯一解. .據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路： 問(wèn)題 _ I I 支上任一點(diǎn)，則點(diǎn) M M 到直 關(guān)于 x的方程 _ _I J2 0 k 1有唯一 線1的距離為：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題 于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于X的方程. . 由于0 k 1，所以2 x2 x kx,從而有 于是關(guān)于x的方程 由0 k 1可知： _ _ _ _ 2 方程 k2 1x2 2k. 2(k2 1) . 2k x . 2(k2 1) . 2k 2 0 的二根同 正，故； 2(k21) 、2k

23、kx 0恒成立，于是 等價(jià)于 - - | - 2 k2 1 x2 2k 2(k2 1) . 2k x .2(k2 1) 2k 2 0. . 由如上關(guān)于x的方程有唯一解，得其判別式 0，就可解得 , 2.5 k . . 5 點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了 全局觀念與整體思維的優(yōu)越性. . 例 4 4 已知橢圓 C C：x2 2y2 8和點(diǎn) P P(4 4， 1 1)，過(guò) P P 作直線交橢圓于 I: y k(x .2) 0 k 1 A A、B B 兩點(diǎn)，在線段 ABAB 上取點(diǎn) Q Q，使 AP PB AQ QB 求動(dòng)點(diǎn) Q Q 的軌跡所 在曲線的方程. . 分析：這是

24、一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往 往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解 . .因 此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn) Q Q 的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表 達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的. . 由于點(diǎn)Q(x,y)的變化是由直線 ABAB 的變化引起的，自然可選擇直線 ABAB 的斜率k作為參數(shù)，如何將x,y與k聯(lián)系起來(lái)？ 一方面利用點(diǎn) Q Q 在 P P、Q Q 四點(diǎn)共線，不難得到x 4(XA XB) 2XAXB，要建立X與k的關(guān)系，只需 8 (XA XB) 將直線 ABAB 的方程代入橢圓 C C 的方程，利用韋達(dá)定理即可. . 通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我

25、們還沒有開始解題，但對(duì)于 解之得：X 4(Xi X2)2xiX2 ( 1 1) 8 (X1 X2) 設(shè)直線 ABAB 的方程為：y k(x 4) 1，代入橢圓 C C 的方程，消去y 直線 ABAB 上；另一方面就是運(yùn)用題目條件: AP PB AQ QB 來(lái)轉(zhuǎn)化. .由 A A、B B、 如何解決本題，已經(jīng)做到心中有婁 在得到x f k之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參, 目的不過(guò)是得到關(guān)于x,y的方程(不含k)，則可由 k 一，直接代入X x 4 程。 y k(x 4) 1 解得 將直線方程代入橢圓方程，消去 y，利用韋達(dá)定理 IW得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò) 利用點(diǎn) Q滿足直

26、線 AB的方程：y = k (X 4)+1，消去參數(shù) k 簡(jiǎn)解：設(shè)A Xi ,yi , B(點(diǎn)2Q 的軌跡方程y)，則由空 PB AQ可得：4 QB X2 Xi x x1 x2 X 得出關(guān)于 x x 的一元二次方程: 2k2 2 1 x 4k(1 4k)x 2(1 4k)2 8 0 (2 2) 4k(4k X X2 2 2k 1) 1 ， 2(1 4k)2 X X 8 代 入 (1 1 ), 化 簡(jiǎn) 得 ： 4k 3 X . k 2 與y k(x 4） 1聯(lián)立， 消去k得: 2x y 4 (x 4) 0. 在(2 2) 中, 由 642 64k 24 0, 解得2 10 k 2 10 結(jié)合 （

27、3 3） 4 4 可求得 16 2押x 16 2押 9 9 故知點(diǎn) Q Q 的軌跡方程為：2x y 4 0 （ 16 2 10 x 16 2 10 ） 9 9 點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元 二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到這當(dāng)中，難點(diǎn)在 引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參，而“引參、用參、消參” 三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道 . . 6 6、求根公式法 2 2 例 5 5 設(shè)直線I過(guò)點(diǎn) P P （0,30,3）,和橢圓-乂 1順次交于 A A、B B 兩點(diǎn), 9 4 試求空的取值范圍. . PB 分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到： 竺

28、=2=2，但從此后卻一 PB XB 籌莫展，問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. .事實(shí)上，所謂求取 值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)） 參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則 是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系 分析 1 1：從第一條想法入手， 醤=直已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于 PB XB 有兩個(gè)變量XA,XB ,同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利 用第 3 3 個(gè)變量直線AB的斜率k. .問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將XA,XB轉(zhuǎn)化 為關(guān)于k的表達(dá)式，至吐匕為止，將直線方程代入橢圓方程，消去 y y 得 4 0, ,解得k2 2 2 出關(guān)于X的一元二

29、次方程，其求根公式呼之欲出 y 0時(shí), 27k 6 9k2 5 XI X2 所以 AP PB 9k2 4 9k 2.9k2 5 - =1 x2 9k 2.9k2 5 XI 27k 6 9k2 5 2 ， 9 k2 4 18k = = 9k 2.9k2 5 1 9 2 18 9 5k2 往往是產(chǎn)生不等的根源. .由判別式值的非負(fù)性可以很快確定 k的取值 范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與 k聯(lián)系起來(lái). .一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá) 定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因所以 綜上 分析 2:2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式， 則應(yīng)該考慮到：判別式 在于AB殳不是關(guān)于也的對(duì)稱關(guān)系式. .

30、原因找到后，解決問(wèn)題的 方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于 Xi,X2的對(duì)稱關(guān)系式. . 范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值 變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等 本題 也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法 解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能 說(shuō)明問(wèn)題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，只有 見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里 簡(jiǎn)解 2 2: 把直線 I的方程 y = kX+3代入橢圓方程，消去 y 得到關(guān)于 X的一元二次方程 設(shè)直線I的方程為： y kX 圓方程, 韋達(dá)定理 消去y得 9k2 一 2

31、_ _ 4x 54kX45_0 XA+ XB = f( k)，XA XB = g( k) (*)(*) Xi 則 X2 X1 x2 _54k 9k2_ 45 9k2 4 AP/PB = ( XA / XB) 4 4 _ _ 構(gòu)造所求量與 k的關(guān)系式 由判別式得岀 k的取值范圍 令色 X2 在（* *） 中，由判別式 關(guān)于所求量的不等式 324 廠 45k2 20 0,可得k2 從而有 4 451? 2 324k 20 詈，所以 36，解得 5 5. . 結(jié)合0 綜上， 1得1 5 AP PB 1. . 點(diǎn)評(píng): 不等式法, 第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基 本思維形式，它

32、是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、 公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)， 得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必須注意所使用的命題 之間的相互關(guān)系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝密、推 理嚴(yán)密。通過(guò)編寫思維流程圖來(lái)錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。 例 6 6 橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A,B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)， 且 AF FB 1， OF 1 . (I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (H)記橢圓的上頂點(diǎn)為M ,直線I交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否 存在直線I，使點(diǎn)F恰為PQM的垂心？若存在，求出直線I的方程； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 思維流程: X2

33、故橢圓方程為y2 1 (H)假設(shè)存在直線I交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且F恰為PQM的垂心,umr uuu umr 由 AF?FB 1 , OF (a c)(a c) (a c)(a c) 1 1 , c 1c 1 解題過(guò)程:和, 兩根之積 (I)如圖建系，設(shè)橢圓方程為 x2 1(a b 0)則 c 1 解出m 又T AF FB 1 即(a c) (a c) c2 a2 2 由F為PQM的重心寫出橢圓方呈 得出關(guān)于 m的方程 設(shè) P(Xi,yJ,Q(X2,y2)，丁 M(0,1),F(1,0)，故 kPQ 1 , 于是設(shè)直線1為 y x m , 由2 x x m 得 2 彳得 , 3x2 4mx 2m

34、2 2 0 uur uuu T MP FQ 0 x,(x2 1) y2(% 1)又 y xi m(i 1,2) 得捲化 1)(X2 m)(X1 m 1) 0 即 2 2x2 (為 x2)(m 1) m m 0由韋達(dá)定理得 匚 4 4 解得m -或m 1 (舍) 經(jīng)檢驗(yàn)m -符合條件. 3 3 點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊， 然后轉(zhuǎn)化為兩 向量乘積為零. 例 7 7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò) (I)求橢圓E的方程: (n)若點(diǎn) D D 為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)( 1,0), H (1,0), 當(dāng)厶DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求 DFH內(nèi)心的坐

35、標(biāo); (n) 由 DFH解內(nèi)切閒面積最大 轉(zhuǎn)化為 DFH面積最大 -轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大 -D為橢圓短軸端點(diǎn) 3 f 得出 D 占坐標(biāo)為 0T 解題過(guò)程： 標(biāo)I)設(shè)橢圓方程為 mx2 ny2 1 m 0,n 0 .，將 A( 2,0)、 B(2,0)、 思維流程： 由橢圓經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn) 設(shè)方程為mx2 ny2 1 得到m, n的方程 AFT。)|、DFH0面、最大值為代入橢圓E|的J J 方程，得 4m 1, 2 2 9 解得m -,n -.二橢圓E的方程X - 1 m n 1 4 3 4 3 4 (H) | FH | 2，設(shè)ADFH 邊上的高為 S DFH - 2 h h

36、2 當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為.3，所以S DFH的最大值為x 3 . 設(shè)ADFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)?DFH的周長(zhǎng)為定值 6 6.所以, 2 所以R的最大值為 耳.所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為( ,豐) 點(diǎn)石成金： 1 / S的內(nèi)切圓 的周長(zhǎng) r的內(nèi)切圓 2 例 8 8 已知定點(diǎn)C( 1,0)及橢圓x2 3y2 5 ,過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓 相交于A, B兩點(diǎn). . (I)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 扌，求直線AB的方程； (H)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使MA MB為常數(shù)？若存在，求出 點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 思維流程: (I)解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為 y

37、k(x 1)， 將 y k(x 1)代入 x2 3y2 5， 消去y整理得(3k2 1)x2 6k2x 3k2 5 0. 設(shè) A(%，yj，B(X2, y2)， 36k4 4(3k2 1)(3k2 5) 6k2 3k2 1. 0, (1) 白線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 得 x1 X2 3k2 3k2 1 例 9 9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x x 軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 2 倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn) M M (2 2，1 1)，平行于 0M0M 的直線I在 y y 軸上的截距為 m m (m m 工 0 0), l交橢圓于 A A、B B 兩個(gè)不同點(diǎn) (I)求橢圓的方程；k空，符合題意。 3 所以直線

38、AB的方程為x 3y 1 0，或x、3y 1 0. . (H)解：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M (m,0)，使MA MB為常數(shù). . 直線 AB 與x軸不垂直時(shí)，由(I )知 x-1 x2 6k2 xX2 3k2 5 3k2 1 3k2 1 . 所以MA uur MB a m)(X2 m) yM (N m)(X2 m) k2 (x1 1)(x2 1) uur unr MA MB (6m 1)k2 5 3k2 1 1 2 14 (2m -)(3k2 1) 2m 3 3 3k2 1 2 c 1 6m 14 m 2m 2 - 3 3(3k2 1) 注意到MA MB是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)， 從而有6m 14 0,

39、m uur uur 4 MA MB -. 9 當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為 1,備，當(dāng)m 7 uur uur 4 3時(shí)，亦有MAMB 9 - 綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M -，0，使MA MB為常數(shù). . 3 點(diǎn)石成金: uuu nur MA MB (6m 1)k2 5 3k2 1 1 2 14 (2m -)(3k2 1) 2m - 3k2 1 (H)求 m m 的取值范圍； (皿)求證直線 MAMA、MBMB 與 x x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形 思維流程: 2 2 解：(i i)設(shè)橢圓方程為務(wù)爲(wèi)i(a b 0) a b 即可 則ki yi i ,k2 y2 i Xi 2

40、X2 2 由X2 2mX 2m2 4 0 可得 而ki k2 yi i y2 i (yi i) (X2 2) (y2 i)(Xi 2) Xi 2 X2 2 (Xi 2)(X2 2) 設(shè) A(Xi, yi), B(X2, y2),且 Xi 4 X2 2m, XiX2 2m2 a 2b 則4 i 解得 2 2 i a b a2 8 b2 2 橢圓方程為 2 y_ i 2 (H)v直線 I平行于 0M 0M , 又 KOM = 2 1 X 2 2 y 2 且在 y y 軸上的截距為 1 X 2 I 的方程為：y y 由2 X 8 x2 2mx 2m2 橢圓交 兩個(gè)不同點(diǎn)， (2m)2 4(2m2 解

41、得 2 m 2,且 m 4) 0 0, (皿)設(shè)直線 MAMA、MBMB 的斜率分別為 k ki, k k2,只需證明 k k1+k+k2=0=0 故直線 MAMA、MBMB 與 X X 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形. . 點(diǎn)石成金：直線 MAMA、MBMB 與 X X 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形 ki k2 0 例 1010、已知雙曲線 與 爲(wèi)1的離心率e ，過(guò)A(a,0), B(0, b)的直 a b 3 線到原點(diǎn)的距離是三. 2 (1 1)求雙曲線的方程； (2 2)已知直線y kx 5(k 0)交雙曲線于不同的點(diǎn) C C, D D 且C，D都 在以B為圓心的圓上，求k的值 思維流程： 解：

42、(1 1) 9 a 2廬原點(diǎn)到直線AB : 丄1的距離 3 a b d ab d 2 2 、a b b 1, a ,3. ab 、 3 c 2 . . 故所求雙曲線方程為 匚y2 1 3 (2(2) 把y kx 5代入x2 3y2 3中消去 y y，整理得 2 2 (1 3k )x 30kx 78 0. . 設(shè) C(X1,yJD(X2,y2),CD 的中點(diǎn)是 Eg y。)，則 即u 心 k 又k k2 7 故所求k= 士 7 . . 點(diǎn)石成金：C, D都在以B為圓心的圓上 BC=BD BEBC=BD BE 丄 CD;CD; 例 1111、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，橢圓C上的 點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 3 3,最小值為 1 1. (I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (II(II)若直線l ：y=k=kx+ +m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是 左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂