彈性力學第2章2ppt課件

1、彈性力學第2章 彈性力學平面問題的基本理論（第二講） 邊界條件與圣維南原理 平面問題的求解方法 常體力問題的應力函數(shù)解法 彈性力學平面問題的基本方程第2章 平面問題的基本理論 力平衡微分方程： 幾何方程： 物理方程： 構成定解問題 邊界條件00yxyyxyxxfxyfyxyuxvyvxuxyyx,xyxyxyyyxxGEE1),(1),(1第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 2.2 邊界條件？外力作用物體的形變相對物理量，導出量應力邊界位移邊界應變邊界2.2 .1位移邊界條件 平面問題中應有關于x方向和y方向的位移邊界條件第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 vvuu,其中， 和

2、 為指定的沿x方向和y方向位移(平面問題)，Su為給定的位移邊界。 （在Su上）uv2.2.2 應力邊界條件 在力邊界上取微小體元dxdy1(平面問題)并考察它的平衡問題, 如下圖。第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 由微小體元的x方向合力平衡，有 第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 這里，ds為邊界上斜邊的長度，邊界外法線n的方向余弦為l = dy/ds，m = dx/ds，則上式簡化為 01d1d1dspxyxxyxxxyxpml（在Sp上）第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 同樣，可建立微元體在y方向上合力和力矩的平衡方程，將微小體元的三個平衡方程匯總后，有 其中

3、，Sp為給定的力邊界，由于 ，則重寫上式，有 yxxyyyxyxxyxplmpmlyxxyyxyyxxyxplmpml（在Sp上）如圖所示彈性體，試寫出其上、下、左、右四個邊界上的應力邊界條件。例第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 【解】在上邊界y = -h/2上，不存在任何面力，即可以看出，上邊界的外法線方向為坐標軸y軸的負方向，因而，它的方向余弦為l = 0，m = -1。0|2/2/hyyhyxpp可以得到，在上邊界上應有第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 應用應力邊界方程 于是，上邊界的應力邊界條件為 yxyyxxyxplmpml,0|, 0|2/2/hyyhyxy注：

4、千萬不要想當然地認為是x和y為0，在不確定的情況下，一定要應用邊界方程推寫應力邊界條件！0|0|) 1(|0|) 1(|0|2/2/2/2/2/2/hyyhyxyhyyhyxhyxyhyxpp左邊界x = 0上外法線的方向余弦為l = -1，m = 0的應力邊界條件為第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 同理，可給出下邊界y = h/2上外法線的方向余弦為l = 0，m = 1 ）的應力邊界條件為 右邊界x = a上外法線的方向余弦為l = 1，m = 0 ）的應力邊界條件為 0|, 0|2/2/hyxyhyy0|, 0|axxyaxx0|, 0|00 xxyxx如圖所示薄板條，在y方向

5、受均勻拉力作用，試證明在板中間突出部分的尖端A處各應力分量為零。 例第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 【證】設AC和AB的方向余弦分別為(l1, m1)和(l2, m2)，可以給出邊界條件 由于A點是兩個邊界的交點，因此上述四個方程同時成立。然而，l1 l2 0，m1 m2 0，且取值具有任意性，因而，必有x = y = xy = 0，即板中間突出部分的尖端A處各應力分量為零。 在AC上：在AB上：0, 01111mlmlyxyxyx0, 02222mlmlyxyxyx在上面這個例題中，彈性體右端面上受到集中力P的作用，應如何給出其邊界條件？問題第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界

6、條件 【簡短的分析】 屬于分布力；外力P是集中力。因而，無法直接應用上面所建立的應力邊界方程。為了解決這個問題，就必須把集中力等效地轉(zhuǎn)化為分布力，或者把分布應力轉(zhuǎn)化為集中力進行處理。這種處理方法的正確與否就是圣維南原理所要論證的要點。yxpp 、2.2.3 圣維南原理第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 圣維南原理表明，如果物體一小部分邊界上的面力變換為分布不同，但靜力等效的面力主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么，近處的應力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以忽略不計。圣維南于1855年提出了局部效應原理，以后稱為圣維南原理。 圣維南原理并沒有嚴格的理論證明。第2章 平面問

7、題的基本理論2.2 邊界條件思考題：為什么圣維南原理所提到的是“物體一小部分邊界上的面力而非“集中力”？什么是靜力等效？主矢量和主矩所指的是什么？ 圣維南原理解決了什么問題？ 重新回到前面所提出的問題上來。 彈性體右端面上的集中力P可以轉(zhuǎn)化為與其靜力等效的力系，如下圖。第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 顯然，轉(zhuǎn)化為分布力的靜力等效力系，可以應用應力邊界條件方程表示為axxyaxxyaxyyaxxaxxyaxxxlmpmlp|,|LPMyypMPyppPyppxxPhhxxpyhhyyxhhxx)(d)(,d,d2/2/2/2/2/2/考慮靜力等效條件，應有 代入彈性體右端面的彈性體右

8、端面的力邊界條件力邊界條件2.2.4 力積分的應力邊界條件這樣一來，就給出了應用應力邊界方程來處理集中力邊界的基本方法。第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 圣維南原理給出了答案。問題是：這種處理方法是否正 確？可以看出，這里的邊界條件不同于前面所提到的應力邊界條件，它與合力相關，因此稱之為力邊界條件。它也被稱之為積分的應力邊界條件。 【p32習題28(2)】試列出圖214所示問題的全部邊界條件。在其端部邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件。 例第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 它的外法線方向余弦為0, -1，由此可得，其應力邊界條件為 【解】在上邊界y = -h/

9、2上，有 qpphyyhyx2/2/)(, 0)(0)(,)(2/2/hyxyhyyq在下邊界y = h/2上，有 第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 在左端面x = 0，分別作用有沿水平方向和垂直方向的集中力FN與FS，以及彎曲力矩M，無法直接利用應力邊界方程給出應力邊界條件，只能利用圣維南原理建立力積分的應力邊界條件。該端面的外法線方向余弦為-1, 0，由x方向上的力平衡條件，有 它的外法線方向余弦為0, 1，由此可得，其應力邊界條件為 12/2/)(, 0)(qhyxyhyy0)(,)(2/12/hyyhyxpqp第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 從上述關系可得，端部邊

10、界上的三個力積分應力邊界條件為 由y方向上的力平衡條件，有 N2/2/002/2/00d0)() 1()(d)()(FyymlhhxxyxxhhxxyxxS2/2/002/2/00d)1()(0)(d)()(Fyylmhhxxyxyhhxxyxy由力矩平衡條件，有 Myyyymlhhxxyxxhhxxyxx2/2/002/2/00d0)() 1()(d)()(MyyFyFyhhxxhhxxyhhxx2/2 . /0S2/2/0N2/2/0d)(,d)(,d)(右端面x = l為一固定端，有位移邊界條件 第2章 平面問題的基本理論2.2 邊界條件 利用圣維南原理，考慮到該面的外法線方向余弦為1,

11、 0，可以得到其三個積分應力邊界條件為 根據(jù)彈性體的力平衡條件，可以得到作用在該面上的合力與合力矩分別為 0)(, 0)(lxlxvu21SS1N2121,qlhqlFMMqlFFlqFFlyx21S2/2 . /0S2/2/01N2/2/2121d)(,d)(,d)(qlhqlFMyyqlFylqFyhhxxhhxxyhhlxx第2章 平面問題的基本理論2.3 平面問題的求解方法 2.3 平面問題的求解方法迄今，已經(jīng)建立了求解彈性力學平面問題的基本方程?？梢钥闯?，它一共涉及到8個變量，是8個變量組成的一個偏微分方程組。從理論上講，聯(lián)合所給問題的邊界條件，就能對問題進行求解。為了便于求解，需對

12、方程作適當簡化。由此提出了平面問題的求解方法。)e()(,)d()(,)c(1),(1),(1)b(,)a(0,0上在上在邊界條件：物理方程：幾何方程：力平衡方程：基本方程pyxyyxxyxuxyxyxyyyxxxyyxyyxyxxyxSplmpmlSvvuuGEExvyuyvxufyxfyx問題的實質(zhì)和核心就是減少變量的個數(shù)！問題的實質(zhì)和核心就是減少變量的個數(shù)！通常采用類似于代數(shù)方程中的消元法進行求解通常采用類似于代數(shù)方程中的消元法進行求解第2章 平面問題的基本理論2.3 平面問題的求解方法 位移法是按位移求解方法的簡稱。它是以位移分量位移法是按位移求解方法的簡稱。它是以位移分量為基本未知函

13、數(shù)，從基本方程和邊界條件中消去應為基本未知函數(shù)，從基本方程和邊界條件中消去應力和形變分量，導出只含位移分量的方程和邊界條力和形變分量，導出只含位移分量的方程和邊界條件。并由此解出位移分量，再求出形變分量和應力件。并由此解出位移分量，再求出形變分量和應力分量。分量。應力法是按應力求解方法的簡稱。它是取應力分量應力法是按應力求解方法的簡稱。它是取應力分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和形變分量，導出只含應力分量的方程和邊界條件。形變分量，導出只含應力分量的方程和邊界條件。并由此解出應力分量，再求出形變分量和位移分量。并由此解出應力分量，再求出

14、形變分量和位移分量。平面問題有兩種求解方法：即位移法和應力法。第2章 平面問題的基本理論2.3 平面問題的求解方法 兩種求解方法: 位移法、應力法平面問題基本方程中分別涉及到三類變量，即應力分量、應變分量和位移分量。理論上，可以依據(jù)這三類變量建立三種求解方法。思考題：為什么在彈性力學平面問題中沒有按應變的求解方法？取u和v為基本未知函數(shù)。為了消元，將其它未知函數(shù)用基本未知函數(shù)u和v表示。形變分量用u和v表示，可以直接采用幾何方程(b)。 第2章 平面問題的基本理論2.3 平面問題的求解方法 2.3.1 位移法) e ()(,)d()(,) c (1),(1),(1)b(,)a (0, 0上在上

15、在邊界條件：物理方程：幾何方程：力平衡方程：基本方程pyxyyxxyxuxyxyxyyyxxxyyxyyxyxxyxSplmpmlSvvuuGEExvyuyvxufyxfyx對物理方程(c)進行聯(lián)合求解，得到用形變分量表示的應力分量，再將用u和v表示形變分量的幾何方程(b)代入，可得用u和v表示的應力分量 )()1 (2)1 (2)(1)(1)(1)(12222yuxvEExuyvEEyvxuEExyxxyyyxx(f)按位移求解的基本方程。 將所得到的應力分量(f)代入力平衡微分方程(a)，得到用位移分量u和v表示的平衡微分方程 第2章 平面問題的基本理論2.3 平面問題的求解方法 (h)0

16、)2121(10)2121(1222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuE(g)用位移分量表示的邊界條件。 將式(f)代入式(e)在Su上的應力邊界條件，得 yxpyuxvlxuyvmEpxvyumyvxulE)(21)(1)(21)(122 位移邊界條件即為式(d)。平面問題按位移求解的方法，就是要使位移分量u，v滿足所求解區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程(g)，并在邊界上滿足應力邊界條件(h)和位移邊界條件(d)。求出位移分量后，可由式(b)求出形變分量，由式(f)求出應力分量。 第2章 平面問題的基本理論2.3 平面問題d的求解方法 對于平面應變問題，只要將各方程中的E、分別作替

17、換 1,12EE取x，y和xy為基本未知變量 。為了消元，將其它未知函數(shù)用基本未知函數(shù)x，y和xy表示。第2章 平面問題的基本理論2.3 平面問題的求解方法 2.3.2 應力法) e ()(,) d ()(,) c (1),(1),(1) b(,) a (0, 0上在上在邊界條件：物理方程：幾何方程：力平衡方程：基本方程pyxyyxxyxuxyxyxyyyxxxyyxyyxyxxyxSplmpmlSvvuuGEExvyuyvxufyxfyx 形變分量的應力表示已由物理方程(c)給出。再由此形變分量去求位移分量時，需要通過積分。因而，位移分量用應力分量表示的式子，不僅表達式較為復雜，而且還包含積

18、分帶來的未定項。這樣使得位移邊界條件用應力分量來表示時既復雜又難以求解。所以在按應力求解函數(shù)式解答時，通常只需考慮全部為應力邊界的問題。 按應力求解的基本方程 。 兩個平衡微分方程中，只包含應力分量，可以作為求解應力分量的方程。由于應力分量有三個，因此還缺少一個方程。這個補充方程，可以從幾何方程和物理方程中消去位移和形變分量得出。首先從幾何方程中消去位移分量。幾何方程式(b)的第一式對變量y、第二式對變量x求二階偏導數(shù)相加，減去第三式對變量x和y的偏導數(shù)，得形變協(xié)調(diào)條件，即相容性方程 第2章 平面問題的基本理論2.3 平面問題的求解方法 (i)yxxyxyyx22222第2章 平面問題的基本理

19、論2.3 平面問題的求解方法 (j) 再將物理方程(c)代入上式，消去形變分量，便得出用應力表示的相容性方程其中應用平衡微分方程進行了簡化，但沒有消元為 )(1 ()(2yfxfyxyx 平衡微分方程(a)和相容性方程(j)便是在區(qū)域內(nèi)求解應力的基本方程。應力邊界條件 。 考慮全部邊界均為應力邊界條件的問題，因此式(e)給出了平面應力問題的應力邊界條件。 按應力求解平面應力問題時，應力分量x，y和xy必須滿足下列條件： 區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程； 區(qū)域內(nèi)的相容性方程； 在邊界上的應力邊界條件，其中假設只求解全部為應力邊界條件的問題； 對于多連體，還需考慮位移的單值條件。 第2章 平面問題的基本理論

20、2.3 平面問題的求解方法 形變協(xié)調(diào)條件相容性方程的物理意義：變形協(xié)調(diào)條件是連續(xù)體中位移連續(xù)性的必然結果；變形協(xié)調(diào)條件是形變對應的位移存在且連續(xù)的必要條件。第2章 平面問題的基本理論2.3 平面問題的求解方法 2.3.3 常體力問題的應力函數(shù)法 在常體積力情況下，fx和fy均為常數(shù)，按應力進行求解所導出的相容方程(j)簡化為0)(2yx此時，平衡微分方程的解可以直接導出。其實，根據(jù)微分方程理論知，非齊次微分方程的解是非齊次微分方程的特解和齊次微分方程的通解之和。在常體力情況下，非齊次方程(b)的任一特解可以表示為 0,xyyyxxyfxf而對于的齊次微分方程 第2章 平面問題的基本理論2.3

21、平面問題的求解方法 的通解，已由艾里在1862年導出。艾里指出一定存在著某個函數(shù)(x, y)，使得 0, 0 xyyxxyyxyxyxxyxyyx22222,顯然，上述應力分量表達式使得力平衡方程所對應的齊次微分方程自動滿足。 函數(shù)(x, y)稱之為艾里應力函數(shù)，也簡稱為應力函數(shù)關于它的導出過程，將在下次課作詳細講解）。 由此可見，平衡微分方程的全解為 第2章 平面問題的基本理論2.3 平面問題的求解方法 問題的解答就轉(zhuǎn)化為了求解一個應力函數(shù)(x, y)的情況，這個應力函數(shù)不僅滿足平衡微分方程，還使平面問題的求解大為簡化。從求解三個應力未知函數(shù)變?yōu)榍蠼庖粋€應力函數(shù)。 應該強調(diào)的是，導出應力函數(shù)

22、的過程本身就證明了它的存在性，因此我們可以用各種方法去尋求 的解答。 yxyfxxfyxyyyxx22222,應力函數(shù) 應當滿足的條件第2章 平面問題的基本理論2.2 平面問題的求解方法 F相容方程 ；F 將上面所得到的應力分量表達式代入以應力分量表示的相容方程，可得0)(22222222yfxxfyyxyx注意到fx和fy為常量，上式可以簡化為020, 0)(4422444422222222yyxxyxyx展開式應力函數(shù) 應當滿足的條件第2章 平面問題的基本理論2.2 平面問題的求解方法 F應力邊界條件 ；yxyyxxyxplmpmlF對于多連體，還需滿足位移的單值條件。 什么是單連體？什么

23、是多連體？什么是單連體？什么是多連體？只有一個連續(xù)邊界的物體稱為單只有一個連續(xù)邊界的物體稱為單連體；具有兩個以上連續(xù)邊界的連體；具有兩個以上連續(xù)邊界的物體稱為多連體。物體稱為多連體。第2章 平面問題的基本理論2.3 平面問題的求解方法思考題：【p33習題210】檢驗平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？【p33習題211】檢驗平面問題中的應力分量是否為正確解答的條件是什么？【p33習題212】檢驗平面問題中的應力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么？ 【p33習題213(a)】檢驗應力分量x = y2q/b2，y = xy = 0是否是圖示問題的解答。例第2章 平面問題的基本理論2.3 平

24、面問題的求解方法 【解】將題給應力分量代入力平衡方程，知0 xyxxfyx0yyxyfyx同時滿足。 再將它們代入相容方程 )(1 ()(2yfxfyxyx得到第2章 平面問題的基本理論2.3 平面問題的求解方法 而因而，它們不能滿足相容方程。 所給應力分量能夠滿足應力邊界條件0)(1 (yfxfyx222222222)0)()(bqqbyyxyx0)(, 0)(; 0)(,)(22bxxybxyaxxyaxxqby 然而，它們無法滿足相容方程，因此并不是所給問題的正確解答。 【p34習題216】設有任意形狀的等厚度薄板，體積力可以不計，在全部邊界上包括孔口邊界上受有均勻壓力q。試證x = y = -q及xy = 0能滿足平衡微分方程、相容方程和應力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答。例第2章 平面問題的基本理論2.3 平面問題的求