慣性導航基礎知識

1、第二章 慣性導航基礎知識21 慣性空間與慣性參照系21重 慣性空間及物體在慣性空間的運動 任何物體的運動和變化都是在空間和時間中進行的。物體的運動或靜止及其在空間中的位置，均指它相對另一物體而言，因此在描述物體運動時，必須選定一個或幾個物體作為參照物，當物體相對參照物的位置有變化時，就說明物體有了運動。 牛頓定律揭示了在慣性空間中物體的運動和受力之間的基本關系： (1)若物體不受力或受力的合力為零，則物體保持靜止或勻速直線運動； (2)若物體受到的合力為F，則該物體將以加速度a相對慣性空間運動：這里m為物體的質(zhì)量。 牛頓定律描述的運動或靜止均是相對于一個特殊的參照系慣性空間。慣性空間是牛頓定律

2、的空間 212 慣性參照系 慣性空間可理解為宇宙空間，由于宇宙是無限的，要描述相對慣性空間的運動，需要有具體的參照物才有意義。即要在宇宙空間找到不受力或受力的合力為零的物體，它們在慣性空間絕對保持靜止或勻速直線運動，以它們?yōu)閰⒄瘴飿嫵傻膮⒄障稻褪菓T性參照系。然而在宇宙中不受力的物體是不存在的，絕對準確的慣性參照系也就找不到。另一方面，在實際的工程問題中，也沒有必要尋找絕對準確的慣性參照系。在慣性導航系統(tǒng)中，用加速度計敏感載體相對慣性空間的加速度信息，用陀螺儀敏感載體的轉動運動，加速度計和陀螺儀總會有誤差，只要選擇的慣性參照系的精度遠高于加速度計和陀螺儀的量測精度，滿足慣性導航的需求即可宇宙中，

3、運動加速度較小的星體是質(zhì)量巨大的恒星，由于恒星之間的距離非常遙遠，萬有引力對恒星運動的影響也就較小。太陽是我們比較熟悉的恒星，以太陽中心為坐標原點，以指向其他遙遠恒星的直線為坐標軸，組成一坐標系，就可以構成一太陽中心慣性參照系。在牛頓時代，人們把太陽中心參照系就看作為慣性坐標系，根據(jù)當時的測量水平，牛頓定律是完全成立的。后來才認識到，太陽系還在繞銀河系中心運動，只不過運動的角速度極小。銀河系本身也處于不斷的運動之中，因為銀河系之外，還有許多像銀河系這樣的星系(統(tǒng)稱為河外星系)，銀河系和河外星系之間也有相互作用力。太陽中心慣性坐標系是一近似的慣性參照系，近似在于忽略了太陽本身的運動加涼席。為衡量

4、太陽中心慣性坐標系的精度，給出太陽系繞銀河系中心的運動參數(shù)如下：太陽至銀河系中心的距離：22X1017km； 太陽繞銀河系中心的旋轉周期：190 x106年； 太陽的運動速度：233kM/s； 太陽繞銀河系中心運動的旋轉角速度：0001 年； 太陽繞銀河系中心運動的向心加速度：24X10-11g(g為地球上的重力加速度)。 由此可見，太陽繞銀河系中心運動的旋轉角速度和向心加速度是非常小的，遠在目前慣性導航系統(tǒng)中使用的慣性元件陀螺儀和加速度計所能測量的最小角速度和加速度的范圍之外。因此，分析慣性導航系統(tǒng)時，使用太陽中心慣性坐標系具有足夠的精度。地球中心慣性坐標系是另一種常用的近似慣性參照系。將太

5、陽中心慣性坐標系的坐標原點移到地球中心，就是地球中心慣性坐標系。地球中心慣性坐標系與太陽中心慣性坐標系的差異就在于地少的平移運動加速度。在太陽系中，地球受到的主要作用力是太陽的引力，此外還有月亮的作用力、太陽系其他行星的作用力等。地球中心慣性坐標系的原點隨地球繞太陽公轉，但不參與地球自轉，要估算地球中心慣性坐標系作為慣性坐標系的近似誤差，除了要考慮太陽系的運動角速度和加速度外，還要考慮地心繞太陽公轉的加速度。地球中心距離太陽中心的平均距離約為15x108km，地球繞太陽公轉的周期為一年，由此可算出地球公轉運動的平均向心加速度約為605X104g。月亮對地球的萬有引力引起的地心平移加速度約為34

6、X106g，其方向沿地球與月球的連線方向。太陽系中離地球最近的行星是金星，它對地球的引力引起的地心平移加速度最大值約為189x10-8g。太陽系中質(zhì)量最大的行星是木星，它對地球的引力引起的地心平移加速度最大值約為37X108g。根據(jù)上面的數(shù)據(jù)可知，以地心為原點的坐標系的原點平移加速度大約為6X10-4g，慣性導航系統(tǒng)中使用的加速度計的最小敏感量可至104g106g，上述地心的平移加速度顯然不能忽略。因此，一般情況下地球中心坐標系不能看作慣性坐標系。但是，當一個物體在地球附近運動時，如果我們只關心物體相對地球的運動，由于太陽等星體對地球有引力，同時對運動物體也有引力，太陽等星體引起的地心平移加速

7、度與對地球附近運動物體的引力加速度基本相同，兩者之差很小，遠在目前加速度計的所能敏感的范圍之外。這樣，研究運動物體相對地球的運動加速度時，我們可以同時忽略地心的平移加速度與太陽等星體對該物體的作用力。換句話說，可以把地球中心慣性坐標系當成慣性坐標系使用，使用這種慣性坐標系”時，要認為物體受到的引力只有地球的引力，而沒有太陽、月亮等星體的引力。213 物體在非慣性參照系中的運動 相對慣性空間有運動加速度的參照系就是非慣性參照系。物體相對慣性空間的運動稱為絕對運動，物體相對非慣性空間的運動稱為相對運動。物體絕對運動加速度與物體所受力之間酌關系符合牛頓第二定律，在非慣性參照系的相對運動與所受力之間的

8、關系該如何描述呢?下面作一簡單分析。 如圖21所示。設一物體M質(zhì)量為m，受力F作用，M在非慣性參照系中的運動加速度為a1，而該非慣性參照系相對慣性空間的加速度為a0，顯然，M絕對運動加速度a為 a=a0+a1式(216)左面是物體M的真實受力F與假想的慣性力巧之和，右面是物體質(zhì)量與物體相對非慣性參照系加速度的乘積，此關系式與牛頓定律在形式上是一樣的。如果我們“認為”慣性力是物體受力的一部分，那么，根據(jù)式(216)，物體所受的合力與物體的相對運動加速度之間的關系就符合牛頓定律所描述的力與運動的關系形式。有了慣性力的概念，我們就可以在非慣性參照系中運用牛頓定律來研究物體的運動，只不過是在作物體的受

9、力分析時，除了要考慮物體的真實受力外，還要認為物體還受慣性力的作用。由式(214)，慣性力的大小等于物體質(zhì)量與非慣性參照系相對慣性空間的運動加速度的乘積，慣性力的方向與非慣性參照系相對慣性空間的運動加速度的方向相反。注意，慣性力不是物體的真實受力，引入慣性力的概念是為了研究相對運動方便。研究同一物體相對不同的非慣性系的運動時，物體“所受”的慣性力也是不同的。 牛頓定律也可寫成：這表明，若將物體的絕對運動加速度與其質(zhì)量的乘積“-ma”看著是慣性力的話，物體的受力是“平衡”的。研究相對運動時的“動靜法”就是運用了這種思想，即通過引入慣性力，把動力學問題轉化為靜力學問題，這就是達倫貝爾原理，慣性力的

10、概念也可以推廣到剛體的轉動運動中。剛體中各質(zhì)點所受的慣性力相對轉動軸構成的矩的總和稱為慣性力矩。 將牛頓力學定律應用到轉動問題中，可得剛體相對慣性空間的轉動角加速度a與所受力矩的關系為式中：J為剛體繞轉動軸的轉動慣量。 當研究剛體相對非慣性參照系的轉動時，若認為由非慣性參照系引起的慣性力矩Mi也是剛體所受力矩的一部分，那么，剛體相對此非慣性參照系的轉動角加速度a與所受力矩的關系在形式上與式(218)相同：應注意的是，當非慣性參照系相對慣性參照系有轉動運動時，剛體各質(zhì)點的絕對加速度中有相對加諫度牽連加速度與哥氏加速度三種成分，牽連加速度與哥氏加速度相應的慣性力都會形成慣性力矩。利用式(219)時

11、，Mi項顯然要包括這兩種慣性力矩。 22 地球參考橢球和重力場 地球附件載體的定位是相對于地球的，地球的某些特性，如自轉運動、垂線及緯度定義、引力場等，在慣導系統(tǒng)中是必須要考慮的，因此要了解地球的這些特性。221 地球的形狀與參考橢球 人類賴以生存的地球，實際上是一個質(zhì)量分布不均勻、形狀不規(guī)則的幾何體。從整體上看，地球近似為一個對稱于自轉軸的扁平旋轉橢球體，其截面的輪廓近似為一扁平橢圓，沿赤道方向為長軸、沿極軸方向為短軸。這種形狀的形成與地球的自轉有密切的關系。地球上的每一質(zhì)點，一方面受到地心引力的作用，另一方面又受自轉造成的離心力的作用。越靠近赤道，離心作用力越強，正是在此離心力的作用下，地

12、球靠近赤道的部分向外膨脹，這樣，地球就成了扁平形狀了。 從局部看來，地球表面有高山、有盆地，加上內(nèi)部結構異常復雜，地球表面是一相當不規(guī)則的曲面，無法用數(shù)學模型表達。 在海洋上，各處的海平面均與該處重力向量垂直，若假想地球表面全部被海水包圍，在風平浪靜、沒有潮汐的情況下，由海水水面組成的曲面就是地球重力場的等墊面，稱為大地水準面。大地水準面不像真正的地表那樣有明顯的起伏，雖然也不規(guī)則，但是光滑的。通常所說的海拔高度就是相對大地水準面的。大地水準面包圍的體積稱為大地水準憂簡稱大地體。大地水準面也是不規(guī)則的，大地體也無法用一數(shù)學表達式準確描述。 對于精度要求不高的一般工程問題，常用圓球體代替大地體，

13、地球的平均半徑為637102kin土005km(這是1964年國際天文學會通過的數(shù)據(jù))。若再精確一些，可以將大地體近似為一旋轉橢球體，旋轉軸就是地球的自轉軸，這種旋轉橢球體稱為參考橢球。參考橢球的短軸與地球表面的交點就是地球的兩極，在地球自轉角速度向量正向的極點為北極，另一端為南極。參考橢球的赤道平面是一圓平面，其半徑即為參考橢球的長軸半徑A，沿地球極軸方向的參考橢球半徑為短軸半徑月D。有了長短軸半徑，就可以確定出參考橢球了(圖22)，圖23示出了地球實際表面、大地水準面、參考橢球三者之間的關系。大地水準面與參考橢球在橢球法線方向上的誤差稱為大地起伏，若參考橢球選取合適，大地起伏一般不超過15

14、0m，參考橢球的法線與當?shù)卮蟮厮疁拭嬷g法線方向的夾角一般不超過3”。慣性導航中就是以參考橢球禾代替大地體米描述地球形狀的。 選取參考橢球的基本準則是使測定出的大地水準面的局部或全部與參考橢球之間貼合得最好，即差異最小。由于所在地區(qū)不同，各國選用的參考橢球也不盡相同，表21列出了目前世界上常用的參考橢球。我國在1954年前采用過美國海富特橢球元素，建國后很長一段時間采用的1954年北京坐標系，是基于蘇聯(lián)克拉索夫斯基參考橢球的。1980年開始使用1975年國際大地測量與地球物理聯(lián)合會第16屆大會推薦的參考橢球。在本書以后的分析當中，我們均以參考橢球來代替地球的形狀。222 參考橢球的曲率半徑 導

15、航中經(jīng)常要從載體相對地球的位移或速度求取載體經(jīng)緯度的變化率，因此當把地球近似為參考橢球時必須研究參考橢球表面各方向的曲率半徑。顯然，橢球體表面上不同點的曲率半徑是不同的，同一點沿不同方向的曲率半徑也是不同的。1子午圈的曲率半徑 過極軸的任意平面與參考橢球相截，截平面為橢圓面，該橢圓面稱為子午面，子午面的輪廓線稱為子午圈或子午線，子午線都是過兩極的南北方向線，見圖24。 子午圈的曲率半徑丑lI稱為主曲率半徑。顯然，在兩極處子午圈的曲率半徑最大，在赤道附近子午圈的曲率半徑最小。在緯度甲處(甲為橢球法線與赤道面之間的夾角)，子午圈的曲率半徑為2等緯度圈的半徑 若以過橢球上任一點p且平行于赤道平面的平

16、面截參考橢球，截面是一個圓平面，其輪廓為圓，稱為等緯度圈(或等緯度圓)，見圖24。 顯然，p點緯度不同時等緯度圓半徑Rl也不同，可以證明，Rl與緯度的關系如下：載體繞等緯度圈運動時，緯度不變，經(jīng)度變化。若已知載體的東向速度ve則可根據(jù)等緯度圈曲率半徑及Rll求出載體經(jīng)度的變化率為3卯酉圈的曲率半徑 用過參考橢球表面任意一點p的法線且與過p點的子午面垂直的平面截取橢球，截平面的輪廓線稱為卯酉圈，卯酉圈的切線方向即為p點的東西方向。卯酉圈的曲率半徑只。也稱為主曲率半徑，見圖24。 可以證明，任意點戶處卯酉圈的曲率半徑，正好等于戶點與過戶點的橢球法線和橢球極軸的交點O之間的距離pO，于是p點處卯酉圈

17、的曲率半徑Rn與等緯度圈的曲率半徑RL之間的關系就是直角三角形的斜邊與一直角邊之間的關系(見圖25)：結合式(2210)，可得出卯酉圈的曲率半徑與緯度之間的關系在地球赤道上，卯酉圈就是赤道圓，此時卯酉圈的曲率半徑最小。在南北極，卯酉圈就是子午圈，此時卯酉圈的田翠半徑最大。 結合式(2211)、式(2212)，有：同時，根據(jù)載體東向速度和卯酉圈曲率半徑，可確定載體繞北向軸的運動角速度為若將橢球近似為圓球，則子午圈的曲率半徑與卯酉圈的曲率半徑均為圓球的半徑：23 垂線及緯度的定義 地球表面一點的緯度是過該點的垂線與地球赤道平面的夾角。由于地球形狀的不規(guī)則和質(zhì)量的不均勻，地球表面一點的垂線有幾種定義

18、，相應地，緯度也有幾種定義。 1地心垂線和地心緯度 參考橢球上任意一點戶與橢球中心O的連線戶O及其延伸線稱為戶點處的地心垂 線。地心垂線與橢球赤道平面的夾角稱為地心緯度(見圖26中的嘰)。 2引力垂線與引力緯度 地球表面某質(zhì)點所受地球引力的方向稱為引力垂線，引力垂線與橢球赤道平面的夾角稱為引力緯度。由于地球不是規(guī)則球體，引力垂線一般不通過地心，所以引力緯度是不 同于地心緯度的，但是兩者的差別極小(見圖26中的甲c)。3測地垂線與測地緯度 ， 參考橢球上任意一點的法線就是該點處的測地垂線，測地垂線可以通過大地測量的辦法獲得。測地垂線與橢球赤道平面的夾角稱為測地緯度。在大地測量和精確導航中，采用的

19、都是測地緯度。通常描述地球上位置點的經(jīng)緯度坐標中的緯度指的就是測地緯度，測地緯度又叫地理緯度、大地緯度(見圖26中的t。4重力垂線與天文緯度 參考橢球上任一點處的重力方向線稱為重力垂線。由于地球的質(zhì)量不均勻，重力垂線不一定落于子午面內(nèi)。重力垂線在子午面內(nèi)的投影與橢球亦道面之間的夾角稱為天文緯度，天文緯度可以用天文測量的方法來測定。重力垂線與測地垂線之間的偏差極小，一般不超過30”，通?？梢院雎?。因此一般將重力垂線(天文緯度)與測地垂線(測地緯度)也不加區(qū)別，都稱為地理垂線(地理緯度)，地理緯度簡稱緯度。 地理垂線與地心垂線的夾角0(即地理緯度與地心緯度之間的夾角)為224 地球的重力場 地球周

20、圍的物體都受到地球的引力作用，同時由于要跟隨地球自轉，引力的一部分需要用來作為向心力產(chǎn)生向心加速度，引力的其余部分就是重力。如圖27所示，記物體受到的引力為J，跟隨地球自轉所需的向心力為F，重力為G，則有：由于地球形狀不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻，實測的重力加速度數(shù)據(jù)與理mt算值往往不一致，大地測量中把這兩者在數(shù)值上的差別叫做重力異常，兩者在方向上的不一致叫做垂線偏斜。對工作在水平狀態(tài)的平臺式慣導來說，重力加速度的數(shù)值變化對定位精度影響較小，所以與重力異常的關系不大。但垂線偏斜不僅直接造成導航誤差，還會引起隨時間增長的水平誤差。地球表面各點的重力異常和垂線偏斜沒有規(guī)律性，只能將地球表面劃分為許多個區(qū)

21、域，事先加以測量，然后在系統(tǒng)中加以補償。對一般精度的慣性導航系統(tǒng)這種影響可以忽略。若慣導系統(tǒng)在某地區(qū)的導航誤差總是比較大時，就可能與垂線偏斜有關系。23 計時標準及地球自轉角速度 描述物體運動時，除了空間的概念以外，還要引入時間的概念。時間和空間是物質(zhì)存在的基本形式。時間表示物質(zhì)運動的連續(xù)性，空間表示物質(zhì)運動的廣延性。時間的概念我們早就具備了，但是對于如何精確地度量時間卻不一定很清楚。在慣性導航系統(tǒng)中，陀螺儀和加速度計所能測量的角速度和加速度已經(jīng)達到了相當?shù)木?，因此具有明確的時間單位，運動的角速度和加速度才有確切的意義。 度量時間時，一船用物質(zhì)的周期性運動來作為計時標準，為保證計量具有一定的

22、精確度，要求這種周期性運動必須是均勻的、連續(xù)的。在自然界中，地球的自轉運動是非常穩(wěn)定的，具有連續(xù)、均勻的特點，所以人們自然地將它作為計時標準。但是在地球上觀察地球的自轉運動，可以有兩種參照系，一是把太陽作為參考物，二是以別的恒星作為參照物，于是就出現(xiàn)了兩種計時標準太陽時計時系統(tǒng)和恒星時計時系統(tǒng)。把相對恒星測得的地球白轉運動周期作為計時單位，就是恒星日。把一個恒星日分成24等份，就是恒星時。 利用太陽的視運動來計量時間，就是另一個計時單位太陽日。地球相對于太陽自轉一周的時間叫做真太陽日。由于地球圍繞太陽公轉的軌道為橢圓，使得真太陽日不是很均勻，一年中最長和最短的太陽日相差51s，這樣按照真太陽日

23、來計時就很不準確，于是天文學家假想了一個太陽，其視運動速度是均勻的，為真太陽視運動速度的全年平均值，這個假想的太陽稱為“平太陽”，地球相對平太陽自轉一周的時間叫做平太陽日。一個平太陽日可等分為24個平太陽時，這就是我們?nèi)粘Ｉ钪胁捎玫挠嫊r單位小時。 恒星日與平太陽日之間如何換算呢?天文學上的測量表明地球圍繞太陽公轉一周需要3652422個平太陽日。由于地球除自轉外，還有圍繞太陽的公轉，一個平太陽日中，地球相對太陽轉動了一周，然而在相同的時間內(nèi)，地球相對恒星的轉動并不止360，而是比360多一點(見圖28)。地球繞太陽公轉一周，地球相對恒星轉動的轉數(shù)比相對太陽轉動的 24 慣性導航中常用的坐標系

24、 研究慣性導航問題時，常常要涉及到多種坐標系。本節(jié)介紹幾種經(jīng)常要遇到的坐標系及其變換。 241 慣性坐標系(簡稱t系) 慣性坐標系是描述慣性空間的一種坐標系，在慣性坐標系中，牛頓定律所描述的力與運動之間的關系是完全成立的。要建立慣性坐標系，必須找到相對慣性空間靜止或勻速運動的參照物，也就是說該參照物不受力的作用或所受合力為零。然而根據(jù)萬有引力原 理可知，這樣的物體是不存在的。通常我們只能建立近似的慣性坐標系，近似的程度根據(jù)問題的需要而定。慣性導航系統(tǒng)中我們常用的慣性坐標系是太陽中心慣性坐標系，若載體僅在地球附近運動，如艦船慣性導航系統(tǒng)，也可用地球中心慣性坐標系，此時要同時忽略太陽的引力和地球中

25、心的平移加速度。 242 確定載體相對地球位置的坐標系 1地球直角坐標系oxeyeze(簡稱e系) 坐標原點位于橢球中心，Ze軸為參考橢球的短軸,xe,ye軸位于地球赤道平面，xe指向格林威治子午線，ye軸與xe軸垂直，構成右手直角坐標系。這樣對地球附近任何一點p，其位置均可用一三維坐標P(x，y，z)來確定，見圖29。 地球中心慣性坐標系和地球直角坐標系的原點均為橢球中心，隨地球一起平移，區(qū)別在于，后者與地球固聯(lián)，隨地球轉動，而前者的坐標軸不隨地球轉動，指向相對慣性空間不變。地球上任一固定點在地球直角坐標系中的坐標是固定的，但在地球中心慣性坐標系中是變化的。地球直角坐標系oxeyeze相對慣

26、性參照系的轉動角速度就是地球的自轉角速度ie2經(jīng)緯度坐標 經(jīng)緯度坐標是我們比較熟悉的。地球表面任意一點的位置均可用經(jīng)度和緯度來確定。以參考橢球為基準，格林威治子午面與過該點的子午面之間的夾角(0-180)為經(jīng)度。點位處于東半球時為東經(jīng)，點位處于西半球時為西經(jīng)。緯度是當?shù)卮咕€與橢球赤道面的夾角(090)。點位處于赤道面以北時為北緯，點位處于赤道面以南時為南緯。前面已經(jīng)述及，由于垂線有幾種定義，緯度也有地理緯度和地心緯度之分。慣性導航中使用的是地理緯度。上面討論了在參考橢球上確定點位的方法。需要注意的是，不論是使用地球直角坐標系還是使用經(jīng)緯度坐標系，都是以某種參考橢球為基準的。我國現(xiàn)用的1980北

27、京大地坐標系選用了1975年國際第16屆大地測量與地球物理聯(lián)合會推薦的參考橢球參數(shù)，橢球相對地球的位置則是根據(jù)我國大地測量的結果確定的。這種適用于局部地區(qū)的大地坐標系也稱為局部大地坐標系。由于衛(wèi)星和遙感技術的發(fā)展，目前已經(jīng)可以利用衛(wèi)星測量的方法進行全球性的大地測量，從而擬合出適用于全球性的大地坐標系。美國國防部迄今為止已經(jīng)提供了WGS-60、WGS-66、WGS-72、WGS-84四種全球大地坐標系。因此，地球上的同一點在不同大地坐標系下的經(jīng)緯度或在地球直角坐標系的坐標可能是不同的。3地球直角坐標與經(jīng)緯度坐標的互換 設地球表面某一點戶在地球直角坐標系中的坐標為p(x，y，z)，經(jīng)緯度坐標為p(

28、，)，地球直角坐標與經(jīng)緯度坐標的互換公式如下： 經(jīng)緯度坐標到地球直角坐標的變換：上兩式中，為參考橢球的扁率。243 與載體位置或慣導系統(tǒng)本身有關的坐標系 1地理坐標系OXtytZt(簡稱t系) 如圖210所示，地理坐標系的原點就是載體所在點，Zt軸沿當?shù)貐⒖紮E球的法線指向天頂，xt軸與yt軸均與Zt軸垂直，即在當?shù)厮矫鎯?nèi)，Xt軸沿當?shù)鼐暥染€指向正東，yt軸沿當?shù)刈游缇€指向正北。按照這樣的定義，地理坐標系的Zt軸與地球赤道平面的夾角就是當?shù)氐乩砭暥?，Zt軸與yt軸構成的平面就是當?shù)刈游缑妗t軸與Xt軸構成的平面就是當?shù)孛厦?。Xt軸與rt軸構成的平面就是當?shù)厮矫?。地理坐標系的三根軸可以有不

29、同的選取方法。圖210所示的地理坐標系是按“東、北、天”為順序構成的右手直角坐標系。除此之外，還有按“北、西、天”或“東、北、地”為順序構成的右手直角坐標系。 當載體在地球表面運動時，載體相對地球的位置不斷發(fā)生變化，而地球上不同地點的地理坐標系相對地球的角位置是不同的。也就是說，載體的運動將引起地理坐標系相對地球坐標系轉動。如果考察地理坐標系相對慣性坐標系的轉動角速度，應當考慮兩種因素：一是地理坐標系隨載體運動時相對地球坐標系的轉動角速度；二是地球坐標系相對慣性參照系的轉動角速度。 假設載體沿水平面航行(如艦船)，所在地點的緯度為，航速為v，航向為H。將航速分解為沿地理坐標系北東兩個分量：航速

30、的北向分量vn引起地理坐標系繞著平行于地理東西方向的地心軸相對地球轉動，其轉動角速度為(見圖211)航速的東向分量ve引起地理坐標系繞著極軸相對地球轉動，其轉動角速度為將角速度今和入平移到地理坐標系的原點，并投影到地理坐標系各軸上，可得：式中：etx,ety,etz表示t系相對e系的角速度在t系xt軸(yt軸、Zt軸)上的分量。上式表明，航行速度將引起地理坐標系繞地理東向、北向和垂直方向相對地球坐標系轉動。 地球坐標系相對慣性參照系的轉動是由地球自轉引起的。把地球自轉角速度ie平移到地理坐標系的原點，并投影到地理坐標系的各軸上，可得：上式表明，地球自轉將引起地理坐標系繞地理北向和垂線方向相對慣

31、性參照系轉動。 綜合考慮地球自轉和載體的航行影響，地理坐標系相對慣性參考系的轉動角速度在地理坐標系各軸上的投影表達式為在分析陀螺儀和慣性導航系統(tǒng)時，地理坐標系是要經(jīng)常使用的坐標系。例如，陀螺羅經(jīng)用來重現(xiàn)子午面，其運動和誤差就是相對地理坐標系而言的。在指北方位平臺式慣導中，采用地理坐標系作為導航坐標系，平臺所模擬的就是地理坐標系。 2載體坐標系Oxbybzb(簡稱b系) 載體坐標系是與載體固聯(lián)的直角坐標系。慣性導航系統(tǒng)的載體可以是艦船、飛機、火箭等，這里以艦艇坐標系為例說明載體坐標系的定義。艦艇坐標系的yb軸在甲板平面內(nèi)指向艦艏方向，xb軸在甲板平面內(nèi)指向艦艇右舷，Zb軸垂直于甲板平面指向天頂(

32、圖212)。當然，這不是唯一的取法。若能獲知當?shù)卣?、正東的準確指向，即獲知當?shù)氐乩碜鴺讼档臏蚀_指向的話，根據(jù)艦船坐標系與地理坐標系的角度關系就可以確定艦船姿態(tài)角，即航向角、橫搖角和縱搖角。3平臺坐標系Oxpypzp(簡稱 p戶系) 在平臺式慣性導航系統(tǒng)中，加速度計放置于一三軸穩(wěn)定平臺上，穩(wěn)定平臺三根軸的指向可以用平臺坐標系oxpypzp來描述。平臺式慣導中的一種重要類型是指北方位平臺式慣導，這種慣導的穩(wěn)定平臺的三根軸分別指東、指北和指向天頂，也就是說，平臺的三根軸要模擬當?shù)氐乩碜鴺讼档娜S，oxp軸稱為平臺東，OyP軸稱為平臺北。由于誤差總是存在的，指北方位慣導平臺坐標系與當?shù)氐乩碜鴺讼抵?/p>

33、間的夾角就反映了平臺的誤差角。 4導航坐標系(簡稱n系) 導航坐標系是慣性導航系統(tǒng)求解導航參數(shù)時所采用的坐標系。例如，指北方位慣導的平臺，在理想情況下完全模擬了當?shù)氐乩碜鴺讼?，載體位置是根據(jù)平臺上加速度計輸出的加速度信息(正東、正北向加速度)在當?shù)氐乩碜鴺讼抵薪馑愕玫降模虼说乩碜鴺讼稻褪撬街副睉T性導航系統(tǒng)的導航坐標系。對捷聯(lián)式慣性導航系統(tǒng)來說，測得的載體加速度是沿載體坐標系軸向的，必須將加速度信息分解到某個便于求解導航參數(shù)的坐標系內(nèi)，再進行導航計算，這個坐標系就是導航坐標系。5計算坐標系(簡稱c系) 由于慣性導航系統(tǒng)只能根據(jù)系統(tǒng)本身計算獲得的載體位置來描述導航坐標系，該坐標系必然存在著誤差

34、，有時為了與理想的導航坐標系相區(qū)別，將這種根據(jù)慣導本身計算出的、由載體位置確定的導航坐標系稱作計算坐標系，在分析慣導誤差時要用到這種坐標系25 三維直角坐標系間的角度關系與方向余弦矩陣在分析慣性導航系統(tǒng)時，要用到多種空間直角坐標系。我們知道，向量可用坐標系中的坐標來描述。在不同的坐標系中，同一向量的坐標是不同的，但這些坐標之間是有聯(lián)系的，即向量在一種坐標系中的坐標可以轉化為在另一種坐標系中的坐標。轉化方法由坐標系之間的位置與角度關系決定。 兩空間直角坐標系之間的差異包括兩個方面：一是原點不同，即一坐標系的原點相對另一坐標系的原點有位移；二是坐標軸的指向不同，即一坐標系相對另一坐標系有旋轉。例如

35、，地球表面某點的地理坐標系OXtytZt與地球坐標系o xeyeze之間的關系就是這種情況，原點不同，指向也不同在慣性導航中，我們更關心的是兩組坐標系之間的角位置關系，這是因為： (1)慣性導航中使用的許多坐標系，如地理坐標系、載體坐標系、平臺坐標系、計算坐標系等，它們的原點是相同的，不存在原點位移問題； (2)與上述坐標系原點不同的常用坐標系，如地球坐標系，雖然原點不同，但原點的位移也可通過坐標系之間的角位置關系反映出來，如地球坐標系與地理坐標系之間的角度關系可由角度、決定，、同時又決定了地理坐標系原點在地球坐標系中的位置，所以弄清了兩坐標系的角度關系，就知道了載體位置(、)。 數(shù)學上兩空間坐標系之間的角度關系可用一矩陣來表示，即方向余弦矩陣。這里側重介紹三個問題：方向余弦矩陣的定義、性質(zhì)；通過歐拉角求方向余弦矩陣；方向余弦矩陣的微分。這說明方向余弦矩陣的逆就是其轉置陣，這是方向余弦矩陣重要性質(zhì)之一：正交性。 另外由于方向余弦矩陣的任一行或任一列的三個元素均為兩個坐標系中的某一根坐標軸在另一坐標系中的方向余弦，前已述及，任一向量的三個方向余弦的平方和為1，因此，方向余弦矩陣的每一行或每一列三個元素的平方和也就是1，這樣方向余弦矩陣C21或12的九個元素實際上有六個約束條件，也就是說