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文檔簡介

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上九年級數(shù)學(xué)反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題一、基礎(chǔ)知識(一)反比例函數(shù)的概念1()可以寫成()的形式,注意自變量x的指數(shù)為,在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時應(yīng)特別注意系數(shù)這一限制條件;2()也可以寫成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k,從而得到反比例函數(shù)的解析式;3反比例函數(shù)的自變量,故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點(二)反比例函數(shù)的圖象在用描點法畫反比例函數(shù)的圖象時,應(yīng)注意自變量x的取值不能為0,且x應(yīng)對稱取點(關(guān)于原點對稱)(三)反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)1函數(shù)解析式:()2自變量的取值范圍:3圖象:(1)圖象的形狀:雙曲線 越大,圖象的彎曲度越小,曲線越

2、平直越小,圖象的彎曲度越大(2)圖象的位置和性質(zhì):與坐標(biāo)軸沒有交點,稱兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近線當(dāng)時,圖象的兩支分別位于一、三象限;在每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小;當(dāng)時,圖象的兩支分別位于二、四象限;在每個象限內(nèi),y隨x的增大而增大(3)對稱性:圖象關(guān)于原點對稱,即若(a,b)在雙曲線的一支上,則(,)在雙曲線的另一支上 圖象關(guān)于直線對稱,即若(a,b)在雙曲線的一支上,則(,)和(,)在雙曲線的另一支上4k的幾何意義如圖1,設(shè)點P(a,b)是雙曲線上任意一點,作PAx軸于A點,PBy軸于B點,則矩形PBOA的面積是(三角形PAO和三角形PBO的面積都是)如圖2,由雙曲線的對稱性可知,P關(guān)于

3、原點的對稱點Q也在雙曲線上,作QCPA的延長線于C,則有三角形PQC的面積為 圖1 圖25說明:(1)雙曲線的兩個分支是斷開的,研究反比例函數(shù)的增減性時,要將兩個分支分別討論,不能一概而論(2)直線與雙曲線的關(guān)系: 當(dāng)時,兩圖象沒有交點;當(dāng)時,兩圖象必有兩個交點,且這兩個交點關(guān)于原點成中心對稱(3)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系(四)實際問題與反比例函數(shù)1求函數(shù)解析式的方法:(1)待定系數(shù)法;(2)根據(jù)實際意義列函數(shù)解析式2注意學(xué)科間知識的綜合,但重點放在對數(shù)學(xué)知識的研究上(五)充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題三、例題分析1反比例函數(shù)的概念(1)下列函數(shù)中,y是x的反比例函數(shù)的是( )Ay=3x B

4、 C3xy=1 D(2)下列函數(shù)中,y是x的反比例函數(shù)的是( )AB CD答案:(1)C;(2)A2圖象和性質(zhì)(1)已知函數(shù)是反比例函數(shù),若它的圖象在第二、四象限內(nèi),那么k=_若y隨x的增大而減小,那么k=_(2)已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,則函數(shù)的圖象位于第_象限(3)若反比例函數(shù)經(jīng)過點(,2),則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第_象限(4)已知a·b0,點P(a,b)在反比例函數(shù)的圖象上, 則直線不經(jīng)過的象限是( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限(5)若P(2,2)和Q(m,)是反比例函數(shù)圖象上的兩點, 則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過( )A第

5、一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限(6)已知函數(shù)和(k0),它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是( ) A B C D 答案:(1)1;(2)一、三;(3)四;(4)C;(5)C;(6)B 3函數(shù)的增減性(1)在反比例函數(shù)的圖象上有兩點,且,則的值為( )A正數(shù) B負(fù)數(shù) C非正數(shù) D非負(fù)數(shù)(2)在函數(shù)(a為常數(shù))的圖象上有三個點,則函數(shù)值、的大小關(guān)系是( )ABCD(3)下列四個函數(shù)中:; y隨x的增大而減小的函數(shù)有( )A0個 B1個 C2個 D3個(4)已知反比例函數(shù)的圖象與直線y=2x和y=x+1的圖象過同一點,則當(dāng)x0時,這個反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增

6、大而(填“增大”或“減小”)答案:(1)A;(2)D;(3)B注意,(3)中只有是符合題意的,而是在“每一個象限內(nèi)” y隨x的增大而減小4解析式的確定(1)若與成反比例,與成正比例,則y是z的( )A正比例函數(shù) B反比例函數(shù) C一次函數(shù) D不能確定(2)若正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)的圖象有一個交點為 (2,m),則m=_,k=_,它們的另一個交點為_(3)已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點,反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限,求的值(4)已知一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)()的圖象在第一象限內(nèi)的交點為P (x 0,3)求x 0的值;求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式(5)為了預(yù)防“非典”,某學(xué)校對教室采用

7、藥薰消毒法進(jìn)行消毒 已知藥物燃燒時,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y (毫克)與時間x (分鐘)成正比例,藥物燃燒完后,y與x成反比例(如圖所示),現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢,此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克 請根據(jù)題中所提供的信息解答下列問題:藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_,自變量x 的取值范圍是_;藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_研究表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時學(xué)生方可進(jìn)教室,那么從消毒開始,至少需要經(jīng)過_分鐘后,學(xué)生才能回到教室; 研究表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10 分鐘時,才能有效殺滅空氣中的病菌,那么此次消毒是否有效?為什么?答案:

8、(1)B;(2)4,8,(,);(3)依題意,且,解得(4)依題意,解得 一次函數(shù)解析式為,反比例函數(shù)解析式為(5),; 30;消毒時間為(分鐘),所以消毒有效5面積計算(1)如圖,在函數(shù)的圖象上有三個點A、B、C,過這三個點分別向x軸、y軸作垂線,過每一點所作的兩條垂線段與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為、,則( )ABCD 第(1)題圖 第(2)題圖(2)如圖,A、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點O對稱的任意兩點,AC/y軸,BC/x軸,ABC的面積S,則( )AS=1 B1S2 CS=2 DS2(3)如圖,RtAOB的頂點A在雙曲線上,且SAOB=3,求m的值 第(3)題圖 第(4)題圖(4)已

9、知函數(shù)的圖象和兩條直線y=x,y=2x在第一象限內(nèi)分別相交于P1和P2兩點,過P1分別作x軸、y軸的垂線P1Q1,P1R1,垂足分別為Q1,R1,過P2分別作x軸、y軸的垂線P2 Q 2,P2 R 2,垂足分別為Q 2,R 2,求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周長,并比較它們的大小(5)如圖,正比例函數(shù)y=kx(k0)和反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點,過A作x軸垂線交x軸于B,連接BC,若ABC面積為S,則S=_ 第(5)題圖 第(6)題圖(6)如圖在RtABO中,頂點A是雙曲線與直線在第四象限的交點,ABx軸于B且SABO=求這兩個函數(shù)的解析式;求直線與雙曲線的兩個交

10、點A、C的坐標(biāo)和AOC的面積(7)如圖,已知正方形OABC的面積為9,點O為坐標(biāo)原點,點A、C分別在x軸、y軸上,點B在函數(shù)(k0,x0)的圖象上,點P (m,n)是函數(shù)(k0,x0)的圖象上任意一點,過P分別作x軸、y軸的垂線,垂足為E、F,設(shè)矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面積為S 求B點坐標(biāo)和k的值; 當(dāng)時,求點P的坐標(biāo); 寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式答案:(1)D;(2)C;(3)6;(4),矩形O Q 1P1 R 1的周長為8,O Q 2P2 R 2的周長為,前者大(5)1(6)雙曲線為,直線為; 直線與兩軸的交點分別為(0,)和(,0),且A(1,)和C(,1), 因此面積為4

11、(7)B(3,3),; 時,E(6,0),; 6綜合應(yīng)用(1)若函數(shù)y=k1x(k10)和函數(shù)(k2 0)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象沒有公共點,則k1和k2()A互為倒數(shù) B符號相同 C絕對值相等 D符號相反(2)如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例數(shù)的圖象交于A、B兩點:A(,1),B(1,n) 求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式; 根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍(3)如圖所示,已知一次函數(shù)(k0)的圖象與x 軸、y軸分別交于A、B兩點,且與反比例函數(shù)(m0)的圖象在第一象限交于C點,CD垂直于x軸,垂足為D,若OA=OB=OD=1 求點A、B、D的坐標(biāo); 求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式(4)如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第一象限C、D兩點,坐標(biāo)軸交于A、B兩點,連結(jié)OC,OD(O是坐標(biāo)原點) 利用圖中條件,求反比例函數(shù)的解析式和m的值; 雙曲線上是否存在一點P,使得POC和POD的面積相等?若存在,給出證明并

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