物理奧賽輔導(dǎo)：第2講_運(yùn)動和物體系的相關(guān)速度

1、第2講運(yùn)動和物體系的相關(guān)速度、知識點(diǎn)擊1. 直線運(yùn)動和曲線運(yùn)動勻變速直線運(yùn)動：勻變速直線運(yùn)動包括勻加速直線運(yùn)動和勻減速直線運(yùn)動兩種情況, 它的特點(diǎn)是加速度 a=恒量，并與速度在同一直線上.勻變速運(yùn)動的基本公式為:atr r sot勻變速曲線運(yùn)動:勻變速曲線運(yùn)動的特點(diǎn)是a=恒量，但與速度 的方向不在同一直線上,如斜拋運(yùn)動，研究斜拋運(yùn)動可以有多種方法，既可以將它看成是水平方向的勻速運(yùn)動和豎 直方向的（上或下）拋運(yùn)動的合成；也可以看做是拋出方向的勻速運(yùn)動和一個自由落體運(yùn)動的合成.勻速圓周運(yùn)動：勻速圓周運(yùn)動的特點(diǎn)是 a與的大小為恒量，但它們的方向無時無刻不在改變，它是一種特殊的曲線運(yùn)動，但卻是研究曲線

2、運(yùn)動的基礎(chǔ)，一般曲線運(yùn)動的任何一個位置，都可以作為一個瞬時的圓周運(yùn)動來研究。22 我們經(jīng)常將圓周運(yùn)動分解成法向和切向兩個方向來研究，法向加速度anR ,R對于勻速圓周運(yùn)動，其切向的加速度為零，如果是變速圓周運(yùn)動，那么它在切向上也有加r r r速度ai.此時它的合加速度是：a an ai。2. 相對運(yùn)動：在大多數(shù)情況下，我們都習(xí)慣于以地面作為參照物，但在某些場合，我們選擇其他一些相對地面有速度的物體作為參照物，這樣會給解決問題帶來方便，所以相對運(yùn)動就是研究物體對于不同參考系的運(yùn)動以及它們之間的聯(lián)系，比如A物體相對于地面的速度為A地，如果取另一個相對地面有速度B地的B物體作參照物，那么 A物體相對

3、B物體的速度為:r r rABA地B地r r r或 ABA地B 地通常把物體相對“固定”參考系的速度稱為絕對速度，把相對于“運(yùn)動”參考系的速度稱為相對速度，而把運(yùn)動參考系相對固定參考系的速度稱為牽連速度，所以上式我們可以表述為“相對速度等于絕對速度和牽連速度之差”速度的合成必須用平行四邊形定則進(jìn)行計算.3. 剛體的平動和轉(zhuǎn)動剛體：剛體是指在任何條件下，形狀和大小不發(fā)生變化的物體。這樣的物體實(shí)質(zhì)上是不存 在的，但固體在一般情形下可視為剛體平動：剛體在運(yùn)動過程中，其上任一直線段在各個時刻的位置始終保持平行，這種運(yùn)動稱 為平動做平動的物體可視為質(zhì)點(diǎn).轉(zhuǎn)動：剛體所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動，這種運(yùn)動

4、稱為轉(zhuǎn)動，這一直線稱為轉(zhuǎn)軸。 如果轉(zhuǎn)軸固定不動，就稱為定軸轉(zhuǎn)動.角速度：.即單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度（角位移）求出剛體在 t時間內(nèi)的平均角速度，對于瞬時角速度，對于非勻速轉(zhuǎn)動，上式只是lim t角加速度：單位時間內(nèi)角速度的變化量limt對于勻變速轉(zhuǎn)動，可以類比勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律，有ot定軸轉(zhuǎn)動中與線速度RaiR，切向加速度ai和法向加速度an的關(guān)系為an22R -Rt24. 關(guān)聯(lián)速度所謂關(guān)聯(lián)速度就是兩個通過某種方式聯(lián)系起來的速度.比如一根桿上的兩個速度通過桿發(fā)生聯(lián)系，一根繩兩端的速度通過繩發(fā)生聯(lián)系.常用的結(jié)論有： 桿（或張緊的繩）上各點(diǎn)沿桿（或張緊的繩）方向的速度分量相同； 如果桿（或張緊的繩）

5、圍繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動，那么桿（或張緊的繩）上各點(diǎn)相對轉(zhuǎn)動軸的角速度相同二、方法演練類型一、勻速直線運(yùn)動的問題本來是物理學(xué)中最基本的知識，但往往當(dāng)基本模型隱藏得比較深的時候，就成為一種比較難解的題，要解這類題目時，一般都要進(jìn)行某種轉(zhuǎn)換把其本 來的模型突顯出來才能找出簡便的解題方法。例1.在聽磁帶錄音機(jī)的錄音磁帶時發(fā)覺，帶軸于帶卷的半徑經(jīng)過時間ti=20 min減小一半問此后半徑又減小一半需要多少時間？分析和解：本題的關(guān)鍵在于要弄清錄音磁帶轉(zhuǎn)動時是轉(zhuǎn)軸勻速，還是帶速恒定，這要系實(shí)際聽樂音所需的效果就可以確定應(yīng)該是帶速恒定，然后再把磁帶卷過的長度轉(zhuǎn)換到帶卷的面積來考慮問題即可解題。4r，于是當(dāng)半徑減少一半

6、，成為2r時，帶卷的面積減少了S (16r2 4r2)12 r2這等于所繞帶的長度11，與帶的厚度211t1，于是有12 r t1d當(dāng)帶軸上半徑又減少一半(從2r到3 r2t2d設(shè)帶半徑的初半徑為d之乘積.在聽錄音時帶運(yùn)行的速度恒定，所以r)時，帶卷的面積減少了(4r2 r2) 3 r2，即由得t25min類型二、相對運(yùn)動的問題是運(yùn)動學(xué)中一種比較難處理的類型，一般來說，選擇不同的參考系物體的運(yùn)動狀態(tài)不同，但采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法也可以改變物體的運(yùn)動情況特別是可以把 直覺看來是曲線運(yùn)動的物體轉(zhuǎn)換成直線運(yùn)動的情況卻很少學(xué)生了解，解題時采用這樣的 方法可以使問題簡化很多。例2.由于汽車在冰面上行駛時摩擦因數(shù)

7、很小,所以其最大加速度不能超過a=0.5m/s2.根據(jù)要求，駕駛員必須在最短時間內(nèi)從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，直線AB垂直于汽車的初始速度，如圖2 一 1所示.如果A、B之間的距離 AB=375m ,而初速度 =10 m/s,那么這個最短時間為多少？其運(yùn)動軌跡是什 么？分析和解：本題是一個典型的相對運(yùn)動問題，而且用常規(guī)的方法是很B 圖21難解出此題的，然而如果才坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換法解此題，其難度卻可以大大降低。坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換：汽車在 A點(diǎn)不動，而讓B點(diǎn)以恒速 向汽車運(yùn)動的相 反方向運(yùn)動在此坐標(biāo)系內(nèi)汽車為了盡快與B點(diǎn)相遇，必須沿直線以恒加速度 a向B點(diǎn)駛?cè)ゼ僭O(shè)它們在D點(diǎn)相遇，如圖2 2所示設(shè)AB=b，我們可以列出:b2

8、 (t)2 (1at2)2由式可得：tala a將數(shù)據(jù)代人式得t = 50s。在地球坐標(biāo)系內(nèi)，它的運(yùn)動是兩個不同方向上的勻速直線運(yùn)動和勻加速直線運(yùn)動的合運(yùn)動，因而它的運(yùn)動軌跡是一條拋物線.類型三、關(guān)聯(lián)速度問題是運(yùn)動的合成和分解的一個基本模型，關(guān)聯(lián)的本質(zhì)是轉(zhuǎn)動和平動的關(guān)聯(lián)，分析時既要考慮運(yùn)動的獨(dú)立性原理，又要考慮物體實(shí)際的運(yùn)動軌跡，還要考慮連繩的長度，建立好正確的幾何模型對解題至關(guān)重要。例3 .線軸置于斜面上，斜面與水平面的夾角為a線的自由端固定住（如圖 2 3）.線繩為垂直線時的瞬間線軸的旋轉(zhuǎn)角速度等于3 求在這瞬間的: 線軸軸心的速度；線軸與斜面相切點(diǎn)的速度.線軸的半徑為R.分析和解：本題中

9、由于線繩不能伸長，所以垂直線最下面的點(diǎn)和與其相接觸的線軸上的A點(diǎn)的速度A相同，A的方向是水平方向線軸的運(yùn)動由兩個運(yùn)動合成：平行于斜面的直線運(yùn)動，其速度為0 ;繞軸心的順時針轉(zhuǎn)動,其角速度等于3。在題中情況下,A點(diǎn)的速度（圖2 4a)等于r rirA 0不難看出,R，且A，由此可得R0 sinC點(diǎn)的速度（圖24b)同理可以求出線軸與斜面相切uaC 0其速度在斜面方向的投影為將代人得C R1 sinsin圖24例4. AC BD兩桿均以角速度3繞A、B兩固定點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,方向如圖1 一 5所示，當(dāng)t=0時，a =3 =60°，試求t時刻交點(diǎn)M 的速度和加速度.分析和解：本題實(shí)質(zhì)

10、上也是關(guān)聯(lián)速度的問題，但其關(guān)聯(lián)的本質(zhì) 是兩桿的角速度相同，所以a+3 =120°不變，推知M點(diǎn)的軌跡在正三角形M外接圓上運(yùn)動.由此可重點(diǎn)在幾何模型上去探求AB=l，轉(zhuǎn)動解法。在t=0時刻， ABM為正三角形，則 AM=BM=|，兩桿旋轉(zhuǎn)過程中，因轉(zhuǎn)動的角速度相同，則a角增加量等于3角的減小量，a+ 3 =120°不變，則頂角M大小始終不變，即/ M=60°,則M點(diǎn)的軌跡在正三角形ABM外接圓上運(yùn)動(如圖2 一 6所示)。貝MOM' = 2 / MB M'，則3 m = 23M點(diǎn)作以半徑為R在任意t時刻速度為：2 R 乙"3 i ,3向心加

11、速度為：an (2 )2R 土 2|3類型四、物理學(xué)中特殊的曲線運(yùn)動主要有兩類，即圓周運(yùn)動和拋體運(yùn)動，其中拋體運(yùn)動 軌跡的曲率半徑是隨時變化的，所以在考慮拋體運(yùn)動時，如果要計算向心加速度，則必 須通過有關(guān)運(yùn)動的計算得出曲率半徑才能求解。r例5.以速度、與水平方向成角拋出石塊，石塊沿某一軌道飛行如果蚊子以大小恒定的速率0沿同一軌道飛行問蚊子飛到最大高度一半處具有多大加速度？空氣阻力不計.分析和解：蚊子的運(yùn)動實(shí)際上是勻速率曲線運(yùn)動它的加速度就是它運(yùn)動到不同位置時的向心加速度關(guān)鍵在于求出最大高度一半處時的曲率半徑R.我們可以根據(jù)軌道方程,求出曲率半徑 R.現(xiàn)在我們根據(jù)石塊的運(yùn)動來求曲率半徑石塊的運(yùn)動

12、為斜上拋運(yùn)動，它到達(dá)的最大高度為 H22oSi n1設(shè)在尹處，速度與水平方向成e角運(yùn)動速度關(guān)系為x cos故有tan由以上四式得tan.2 tan將加速度g分解為法向和切向方向得an g cos根據(jù)向心加速度公式,an2xRcos22 2 得R斗 g cos0(11 . 2sin2g cos蚊子以o的恒定速率沿石塊的軌跡運(yùn)動,蚊子在-H粵處曲率半徑仍為石塊運(yùn)動到此的2曲率半徑R,但切向加速度為 0，法向加速度an20，蚊子的加速度等于該處的法向加R速度.aancos1 -3g(1 -si n2 )22即為蚊子飛到最大高度一半處具有的加速度.類型五、剛體的平動和轉(zhuǎn)動問題的解題關(guān)鍵在于分析清楚物體

13、間的內(nèi)部約束和外界約束, 其約束條件往往就是解題的突破口。例6.圖2 7細(xì)桿AB長|，端點(diǎn)A、B分別被約束在x和y軸上運(yùn)動，試求:(1)桿上與A相距al (0 a l )的P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡;(2)如果圖中B角和a為已知，那么P點(diǎn)的x、y方向分運(yùn)動速率px、 Py是多少？分析和解：本題中的內(nèi)部約束就是桿長和P點(diǎn)在桿中的位置，而外部約束是A、B分別被(1)桿A端在y軸上的位置用坐標(biāo)約束在x和y軸上運(yùn)動，這樣就確定了它們之間的幾何關(guān)系。yA九表示，桿B端的位置用坐標(biāo)Xb表示，P點(diǎn)的坐標(biāo)為yP (1 a)xA (1 a)l cos(Xp、y p)，利用幾何關(guān)系，得出Xp、yp與Xb、目a的關(guān)系為xP a

14、lXba lyPl al1 ayAl即xPaxBal sin2 2由以上兩式，得傘一也P1(al)2(1 a)l這是一個橢圓方程，故 P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為橢圓.設(shè)在 t時間內(nèi)，P點(diǎn)坐標(biāo)的改變量為 xP和yP，桿A、B兩端坐標(biāo)的相應(yīng)改變量為yA和 xB ,利用 P點(diǎn)坐標(biāo)與 A、B兩端坐標(biāo)在幾何上的關(guān)連有Xba t專(1 a)十根據(jù)速度分量的定義，當(dāng)t 0 時 Px a B , Py (1 a) A式中A和B分別是A端和B端的速度由AB桿不可伸長，有A cos B sin最后得出P點(diǎn)的速度分量為Px a A cotPy (1 a) a三、小試身手 1.線段AB長S,分成n等分，一質(zhì)點(diǎn)由A靜止出發(fā)以加速

15、度 a向B作分段勻加速度直線運(yùn)動,a當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)每一等分的末端時，它的加速度增加，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動到 B點(diǎn)時的速度。n2.質(zhì)點(diǎn)Pi,以i由A向B作勻速運(yùn)動，同時質(zhì)點(diǎn)P2以2從B指向C作勻速運(yùn)動，AB l ,P1P2的間距d最短，為多少?/ ABC=a且為銳角，如圖 2 8,試確定何時刻3處于一平直軌道上的甲、乙兩物相距S,同時同向開始運(yùn)動甲以初速°、加速度ai向乙作勻加速運(yùn)動，乙作初速為零、加速度為a2的勻加速直線運(yùn)動，設(shè)兩車相互超前時各不影響，試討論兩車相遇的條件及對應(yīng)的相遇次數(shù).4 .在傾角為30°足夠長的斜坡上，以初速度0發(fā)射一炮彈，設(shè)0與斜坡的夾角為60°，如圖2

16、 9所示，求炮彈落地點(diǎn)離發(fā)射點(diǎn)的距離L.5. 兩直桿11、運(yùn)動，如圖12，交角為交點(diǎn)為 A,若二桿各以垂直于自身的速度2 10所示.求交點(diǎn) A運(yùn)動速度的大小.2沿著紙平面6. 一塊小木塊P放在很粗糙的水平面上，被一根繩拉著滑動，繩的另一端Q以速度°在軌道中運(yùn)動，繩長I，繩與軌道的夾角是B （圖2 11）.求此時P的速度和加速度.7. 個足夠大的房間高為 H, 盞燈掛在離地面高 h處，燈泡破裂，碎片以同樣大小的速度 向四面八方飛去，如果碎片與天花板的碰撞是彈性的，與地板的碰撞是完全非彈性的，那么碎片灑落在地板上的半徑多大？若H二5m， 0=10 m/s，求：h為多大時，R有最大值，并求

17、出該最大值。2x&在豎直平面內(nèi)，支在原點(diǎn) O的一根彎桿，其形狀可以用函數(shù) z來描寫，k為有長度量k(圖 2 12)綱的非零正常數(shù)在桿上穿一滑塊，桿與滑塊間的靜摩擦因數(shù)為卩(1)(2)(3)有一個是正確的，試作出判斷并說明理由:0、g、2gZ4z k考慮摩擦，但桿不動，在什么情況下滑塊可以在桿上靜止？（用現(xiàn)在設(shè)桿以角速度3繞z軸勻速轉(zhuǎn)動，且有關(guān)系這時滑塊可以在何處相gz 4ZF g。Z、3、g、k表示）不考慮摩擦，求滑塊的高度為z時，它在沿桿方向的加速度的大小下列5種答案中對于桿靜止?(4)若卩=0.5,，則滑塊不滑動的條件又如何?9.圖2 13所示為用三角形剛性細(xì)桿 AB BC CD連

18、成的平面連桿結(jié)構(gòu)圖。 AB和CD桿可分別繞過A、D的垂直于紙面的固定軸轉(zhuǎn)動，A、D兩點(diǎn)位于同一水平線上。BC桿的兩端分別與AB桿和CD桿相連，可繞連接處轉(zhuǎn)動（類似鉸鏈） 。當(dāng)AB桿繞A軸以恒定的角速 度 轉(zhuǎn)到圖中所示的位置時，AB桿處于豎直位置。BC桿與CD桿都與水平方向成 45°角, 已知AB桿的長度為I , BC桿和CD桿的長度由圖給定。求此時 C點(diǎn)加速度ac的大小和方 向（用與CD桿之間的夾角表示）參考解答1.s解：質(zhì)點(diǎn)由A靜止出發(fā)以加速度 a作勻加速度直線運(yùn)動的位移為 一，質(zhì)點(diǎn)的速度動學(xué)公式可得i J2a-，同理第二個-的初速度為S nni由運(yùn)a ，則n2 S(2ana)，依

19、次類推，則nnn(n i(n 2)(n n)，所以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動到 B點(diǎn)時的速度為,as(31)n2解：設(shè)經(jīng)過時間t相距為d，則此時質(zhì)量點(diǎn) Pi前進(jìn)的距離為1t，P2前進(jìn)的距離為2t，由余弦定理可得 d . (lit)2 ( 2t)2 2(lit) 2t cos ，即d ,. ( 22 2 i 2cos )t2 2(l i l 2cos )t l2，對根號里面配方可得l( i 2 cos )22 i 2 cosl 2 sin2 i 2cos3.提示:當(dāng) 2(a2 ai)s20能相遇，其中2(a2能相遇二次。4. 解:將0正交分解為0x0 cos30 , 0yx00xt0 cos30i .2t, y0

20、yt -gtL 2 02gL,x2 y2可解得:dmin.i2222 2ai)so 時相遇一次，2(a2 ai)so 時,°sin30°，設(shè)經(jīng)過t的時間落到斜面上則o i 2yo0y sin30 t gt，又由 tan30 和2x5.解：根據(jù)勻速運(yùn)動的特點(diǎn),設(shè)二桿運(yùn)動單位時間li的位移為l2的位移為2，如圖2uuiruuurii所示，A的位移為AA , AA的大小就是A點(diǎn)速度的大小(.2sini cot )22 i 2cossinP的速度一定沿繩6.解：由于水平面很粗糙，不沿繩方向的速度很快就被摩擦力消耗，因此的方向，那么P的速度 0 cos現(xiàn)取Q為參考系，因為 Q無加速度

21、，所以P在Q系中的加速度等于 P在地面系中的加速 度。r r ra p at an在Q系中，P有一個垂直于PQ的速度1o sin 。2 . 2o sinlat10 sint sin()tt因為很小，所以cos1, sin4 0 sinsin costcos sinsin -t22，因此 at0 cos -00 sincos因此apsin441220 2 20 2 sin cossinll7.解：(1)假設(shè)碎片不會碰頂，應(yīng)有0t21 2 2 2( gt2 h)2r2即：g2t4( 0 gh)t2 h24R21配方得：/t22( 0 gh)2gg2 ( 02 2gh) R22當(dāng) t22( o gh

22、)g2時,0'( 0 2gh)，此時garcsi n0 h0t以上假設(shè)要求:H，即 h H4g( 0gh)(2)若h不滿足上述要求，則以B角飛出的碎片將撞擊天花板，飛行軌跡發(fā)生變化。此時拋得最遠(yuǎn)的碎片應(yīng)該是未撞擊天花板而最高點(diǎn)恰好和天花板相切的碎片，這時有2 20 sin 2g(H h)1 2 h 0 sin gtcos t由以上三式可解得:Rmax4(H h) G H h , H )(3)因為 Rmax0 ro_2gh), 所以在不碰頂時，h越大R越大。H可取的最大值是g4h H202.56m，此時 Rmax 12.3m4g( 2 gh)F面再考慮碎片碰頂?shù)那闆r,Rmax4(H h)

23、 (. h 由)求極值，可得當(dāng)h 3.75m時，R有最大值12.99m& (1)在不考慮摩擦?xí)r，滑塊在桿上運(yùn)動的加速度即為重力加速度的切向分量a g sin 其中B為滑塊所在點(diǎn)桿的法線與重力方向的夾角。a 一般不為零，且一定不超過g,當(dāng)z時，桿近于豎直，a趨近于g,于是可判斷a 2n z_ ,由此算得sin 2Z,4z k, 4z k(2)考慮摩擦而桿不動，則滑塊靜止為靜力平衡，滑塊受重力影響有下滑趨勢，摩擦力向上，支持力和摩擦力大小分別為Fn mg cos,Ffmg sinFffn平衡條件要求，或 tanFnFn2k設(shè)z Z0時，tan，則滑塊靜止的條件為Z Zo4(3)當(dāng)桿勻速轉(zhuǎn)動時，則在滑塊相對于桿不動時，支持力和摩擦力在豎直方向的分力之和與重力平衡，在水平方向的分力之和使滑塊產(chǎn)生水平的向心加速度，由此可得，(不妨設(shè)摩擦力沿桿向上)2m 2ktanFN sinFf cos m 、kz2Fn cosFf sinmg由以上二式可得：空(1 A)tanFn1 Ata n2k2g時，A 1，有空 0。即無摩擦力，向心加速度完全由重力和支持力的Fn(4)當(dāng)時，A 3，由脅牛鬻&