基于提升小波變換的弱小目標(biāo)算法研究本科畢業(yè)設(shè)計(jì)_說(shuō)明

1、. . . . 摘 要復(fù)雜背景下弱小目標(biāo)的檢測(cè)在機(jī)械工程中有著十分重要的作用，也是當(dāng)前國(guó)外研究的熱點(diǎn)，高溫鎂溶液第一氣泡的識(shí)別就是其中的一種重要技術(shù)。本文主要研究基于提升小波變換的目標(biāo)檢測(cè)方法。在分析目標(biāo)檢測(cè)相關(guān)的小波變換理論的基礎(chǔ)上，研究基于提升小波變換的弱小目標(biāo)檢測(cè)方法。為提高弱小目標(biāo)檢測(cè)效果，首先研究利用小波變換對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行增強(qiáng)和去噪的預(yù)處理，通過(guò)分析研究小波的弱小目標(biāo)檢測(cè)方法，然后提出采用自適應(yīng)閾值快速算法結(jié)合目標(biāo)去噪和增強(qiáng)的方法。論文從提升小波變換的性質(zhì)出發(fā)，系統(tǒng)分析研究弱小目標(biāo)檢測(cè)方法，提出采用提升小波變換的弱小目標(biāo)的檢測(cè)方法。關(guān)鍵詞：弱小目標(biāo) 小波變換 小波基構(gòu)造 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)

2、閥值A(chǔ)bstractThe first identification of the bubble in the surface temperature of magnesium melt is hydrogen content in molten magnesium rapid field detection of key technologies. Because of the magnesium alloy melt its own characteristics - easily oxidized and burned, it makes air bubbles around the b

3、ackground very complex, using multi-scaledecomposition of wavelet analysis, it is be able to revealethe amount of complex changes in the characteristics of the background.This paper mainly studies about wavelet transform based on lifting Target Detection.Basing on wavelet transform theory of analysi

4、s and target detection ,it studies about Small Target Detection of Lifting Wavelet Transform .Proposed fast algorithm using combined adaptive threshold denoising and enhancement methods target。Proposed fast algorithm using combined adaptive threshold denoising and enhancement methods target.Papers f

5、rom the lifting wavelet transform the nature of the proceeding, the system analysis of small target detection method is proposed using wavelet transform to enhance small target detection method.Key words: SmalltargetWavelet TransformWavelet ConstructionMorphology Threshold目 錄摘要IAbstractII第一章緒論11.1課題

6、的背景與意義11.2弱小目標(biāo)的檢測(cè)11.2.1 弱小運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的特性分析11.3本文主要容安排4第二章基于提升小波變換的弱小目標(biāo)圖像預(yù)處理52.1小波變換理論基礎(chǔ)52.1.1概述52.1.2連續(xù)小波變換62.1.3離散小波變換92.2 小波變換的多分辨率分析102.3 Mallat算法122.4 小波構(gòu)造142.4.1 正交小波的概念142.4.2 雙正交小波的概念142.4.3 雙正交小波的構(gòu)造理論152.4.4 雙正交小波的性質(zhì)182.5小波變換去噪理論192.5.1小波去噪基本原理192.5.2小波去噪基本方法192.5 提升小波變換的基本原理21第三章弱小目標(biāo)檢測(cè)方法213.1 直方圖均

7、衡化算法223.2 均值濾波算法233.3 中值濾波算法243.4 幀差法253.5 小波分析算法263.6 閥值法283.7 形態(tài)學(xué)313.7.1膨脹313.7.2腐蝕323.7.3開(kāi)、閉運(yùn)算333.8多頻譜分析343.9本章小結(jié)35第四章總結(jié)與展望364.1論文總結(jié)364.2論文展望37參考文獻(xiàn)38致40附錄一41附錄二4948 / 52第一章 緒 論1.1課題的背景與意義復(fù)雜背景中弱小目標(biāo)的檢測(cè)一直是監(jiān)視和預(yù)警系統(tǒng)的重要組成部分。要求監(jiān)視和預(yù)警系統(tǒng)具備極快的反應(yīng)速度，只有與時(shí)地發(fā)現(xiàn)和捕獲目標(biāo)，才能實(shí)現(xiàn)有效的監(jiān)視和預(yù)警作用。例如鎂合金作為最輕的金屬結(jié)構(gòu)材料，具有密度小、比強(qiáng)度比剛度高、減震

8、性和散熱性好等優(yōu)點(diǎn)，在汽車(chē)、通訊設(shè)備和電子行業(yè)中得到了日益廣泛的應(yīng)用。但是，顯微氣孔降低了它的力學(xué)性能。其中H2的析出起了主要作用。因此，有效地檢測(cè)鎂熔液含氫量成為目前研究的熱點(diǎn)。高溫鎂熔液表面第一氣泡的識(shí)別就是鎂熔液含氫量快速現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)的關(guān)鍵技術(shù)。在絕大部分時(shí)間，目標(biāo)在視場(chǎng)中是以小目標(biāo)形態(tài)出現(xiàn)的，而且目標(biāo)的對(duì)比度一般都很低，加上圖像中夾雜的雜散噪聲，要準(zhǔn)確地檢測(cè)出目標(biāo)的位置并把目標(biāo)從背景噪聲和雜散噪聲中提取出來(lái)是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)。目標(biāo)信號(hào)幅值相對(duì)于背景和噪聲很弱，具有很低的信噪比，因而弱小目標(biāo)檢測(cè)仍然是當(dāng)前一個(gè)實(shí)用、熱門(mén)的課題。1.2弱小目標(biāo)的檢測(cè)1.2.1 弱小運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的特性分析作為一類(lèi)非平穩(wěn)

9、隨機(jī)信號(hào)中不確定信號(hào)的檢測(cè)問(wèn)題，序列圖像中弱小運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的檢測(cè)，是在無(wú)法獲得圖像背景、噪聲與目標(biāo)信號(hào)特征分布的條件下進(jìn)行的。由于目標(biāo)成像距離較遠(yuǎn)，目標(biāo)在圖像平面上往往只有幾個(gè)到十幾個(gè)像素，目標(biāo)強(qiáng)度相對(duì)于背景雜波十分微小，更由于成像角度、大氣折射、外界干擾等影響，目標(biāo)在圖像上的成像形狀，往往呈不規(guī)則形狀；目標(biāo)與圖像背景融合，更無(wú)紋理可言。從這個(gè)意義上講，弱小運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的檢測(cè)是在完全沒(méi)有先驗(yàn)知識(shí)的條件下進(jìn)行的。因此，弱小運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的檢測(cè)是十分困難的，只有在深入分析和認(rèn)識(shí)弱小運(yùn)動(dòng)目標(biāo)特性的前提下，根據(jù)弱小運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的特性制定檢測(cè)方法，才能取得滿意的檢測(cè)效果。弱小目標(biāo)的特征包括“灰度特征”和“運(yùn)動(dòng)特征”?！盎?/p>

10、度特征”描述的是弱小目標(biāo)和背景之間的“空域”關(guān)系，是目標(biāo)的“靜態(tài)”特征；“運(yùn)動(dòng)特征”描述的是弱小目標(biāo)和背景之間的“時(shí)域”關(guān)系，是目標(biāo)的“動(dòng)態(tài)”特征。單幀圖像的灰度特征是進(jìn)行圖像預(yù)處理，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)增強(qiáng)的依據(jù)，而弱小目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特征是聯(lián)合多幀圖像進(jìn)行目標(biāo)跟蹤確認(rèn)和獲取運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)鍵所在。為了研究弱小運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的“灰度特征”，首先要分析弱小目標(biāo)圖像的灰度分布情況，尤其是弱小目標(biāo)與其鄰域的灰度分布情況。圖 2-1 給出一幅目標(biāo)圖像，為便于觀察，標(biāo)記出了目標(biāo)，繪出了目標(biāo)圖像的灰度三維曲面，并繪出了通過(guò)目標(biāo)中心的行、列灰度掃描線。(a)目標(biāo)圖像 (b)目標(biāo)圖像空間灰度分布(c)目標(biāo)中心行掃描灰度曲線 (d)目標(biāo)

11、中心列掃描灰度曲線圖 2-1 弱小目標(biāo)灰度分布由圖 2-1 可見(jiàn)，在單幀情況下，弱小目標(biāo)灰度分布的典型特征為：1.成像面積小，無(wú)典型的形狀特征，無(wú)紋理，難以準(zhǔn)確建立描述其灰度變化的模型；2.自身灰度相對(duì)于全局背景較低，但在局部背景上常表現(xiàn)為圖像背景上的微小“凸起”，由于其形狀微小，被“淹沒(méi)”于圖像背景雜波之中。由此可見(jiàn)，弱小目標(biāo)在圖像中的灰度強(qiáng)度不足以構(gòu)成確認(rèn)其是目標(biāo)的完全條件，也無(wú)明顯的形狀，更無(wú)紋理可言，不能采用常規(guī)的檢測(cè)方法。因此，在單幀條件下僅僅依靠目標(biāo)的灰度強(qiáng)度信息，并不能唯一地將弱小目標(biāo)檢測(cè)出來(lái)。為解決單幀條件下目標(biāo)的檢測(cè)問(wèn)題，不能僅僅依靠目標(biāo)的灰度強(qiáng)度信息，而應(yīng)從弱小目標(biāo)在圖像背

12、景上成微小“凸起”這個(gè)信息著手，通過(guò)檢測(cè)圖像中灰度起伏變化的“凸起”，實(shí)現(xiàn)弱小目標(biāo)檢測(cè)的目的。因此，弱小目標(biāo)在圖像背景上的這種“凸起”特性，為弱小目標(biāo)的檢測(cè)提供了依據(jù)。但是，僅利用單幀圖像中目標(biāo)的灰度信息并不能確保檢測(cè)出真實(shí)的目標(biāo)，還必須利用多幀序列圖像中目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)信息。在多幀序列圖像中，弱小目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的典型特征為：1.目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于背景圖像的全局運(yùn)動(dòng)具有獨(dú)立性；2.目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡在多幀圖像中是連續(xù)的，即目標(biāo)總是出現(xiàn)在上一時(shí)刻它出現(xiàn)位置的鄰域。由此，弱小目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性和軌跡連續(xù)性，構(gòu)成了序列圖像中弱小目標(biāo)的“運(yùn)動(dòng)特征”。綜上所述，對(duì)弱小目標(biāo)“灰度形態(tài)”的研究表明：弱小目標(biāo)在圖像背景中的出現(xiàn)

13、，導(dǎo)致背景中出現(xiàn)微小的灰度“凸起”，在灰度分布上存在著相對(duì)于圖像背景的“奇異性”，可以通過(guò)檢測(cè)圖像中的灰度“凸起”，來(lái)實(shí)現(xiàn)單幀圖像中弱小目標(biāo)的檢測(cè)；對(duì)弱小目標(biāo)的“運(yùn)動(dòng)形態(tài)”研究表明：序列圖像中的弱小運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，其運(yùn)動(dòng)具有獨(dú)立性和連續(xù)性。即弱小目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)相對(duì)于背景圖像的全域運(yùn)動(dòng)是獨(dú)立的，同時(shí)，弱小目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡在圖像序列中是連續(xù)的，可通過(guò)檢測(cè)目標(biāo)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)實(shí)現(xiàn)序列圖像中運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的檢測(cè)。前面討論的目標(biāo)“灰度特征”和“運(yùn)動(dòng)特征”，都和目標(biāo)自身的因素有關(guān)；但另外一個(gè)方面，類(lèi)目標(biāo)干擾對(duì)弱小目標(biāo)檢測(cè)的影響不可忽視。所謂類(lèi)目標(biāo)干擾，指的是目標(biāo)圖像中在成像面積和灰度分布方面，和真實(shí)目標(biāo)十分相似的干擾。單幀

14、情況下，類(lèi)目標(biāo)干擾和真實(shí)目標(biāo)具有相似的灰度“凸起”特性，唯一與真實(shí)目標(biāo)不同的是：由于類(lèi)目標(biāo)干擾是圖像背景的一部分，其運(yùn)動(dòng)是圖像全域運(yùn)動(dòng)的一部分，不具有真實(shí)目標(biāo)那樣的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)。因此，單幀條件下無(wú)法準(zhǔn)確區(qū)分真實(shí)目標(biāo)和類(lèi)目標(biāo)干擾，而只有在多幀條件下，通過(guò)對(duì)各個(gè)可疑目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特征進(jìn)行綜合分析，才能區(qū)分真實(shí)目標(biāo)和類(lèi)目標(biāo)干擾。另一方面，由于背景運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性以與運(yùn)動(dòng)估計(jì)精度的影響，作為虛警的部分類(lèi)目標(biāo)干擾可能會(huì)在短時(shí)間具有“有限”的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)。雖然這種所謂的“獨(dú)立運(yùn)動(dòng)”是由運(yùn)動(dòng)估計(jì)的誤差造成的，但也給真實(shí)目標(biāo)的檢測(cè)帶來(lái)了不利的影響。因此，更長(zhǎng)時(shí)間的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特征檢測(cè)，即軌跡跟蹤，在弱小運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的檢測(cè)中必不可少。

15、事實(shí)上，弱小目標(biāo)檢測(cè)中的虛警主要是由類(lèi)目標(biāo)干擾造成的。1.2.2 弱小運(yùn)動(dòng)目標(biāo)圖像的信號(hào)分析弱小目標(biāo)和圖像背景之間的關(guān)系，可表述為“加性”關(guān)系相關(guān)，目標(biāo)灰度占據(jù)了圖像空間頻域的高頻部分；而圖像背景在空域和時(shí)域空間上變化緩慢，像素之間有較強(qiáng)的相關(guān)性，主要占據(jù)圖像頻域的低頻部分；噪聲與目標(biāo)類(lèi)似，占據(jù)圖像頻域的高頻部分。但對(duì)復(fù)雜的場(chǎng)圖像背景如背景而言，不僅含有低頻成份，也含有與鄰域灰度分布相關(guān)性較小的高頻成份。而正是這些背景中的高頻成份，構(gòu)成式(2-4)將原本屬于圖像背景中的類(lèi)目標(biāo)干擾單獨(dú)表述，這是因?yàn)樵谀繕?biāo)檢測(cè)過(guò)程中， f0具有與真實(shí)目標(biāo) ft相似的灰度分布，在單幀圖像處理過(guò)程中，很難將真實(shí)目標(biāo)區(qū)

16、分開(kāi)來(lái)。類(lèi)目標(biāo)干擾的存在，對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)的性能有較大影響，有必要對(duì)其進(jìn)行單獨(dú)處理。動(dòng)特征”上的不同，在目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)檢測(cè)和運(yùn)動(dòng)跟蹤過(guò)程中，抑制虛警，以最終去除類(lèi)目標(biāo)干擾的影響，捕獲真實(shí)目標(biāo)。 綜上所述，序列圖像中弱小運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的檢測(cè)，需要建立一個(gè)將目標(biāo)灰度分布和運(yùn)動(dòng)變化有機(jī)聯(lián)系起來(lái)的檢測(cè)模型，即建立一個(gè)基于目標(biāo)灰度特征和運(yùn)動(dòng)特征的時(shí)空域聯(lián)合檢測(cè)方法，綜合應(yīng)用目標(biāo)的空域灰度特征和時(shí)域運(yùn)動(dòng)特征，在多幀序列圖像中檢測(cè)出弱小目標(biāo)。1.3本文主要容安排提升小波變換的提出拓寬了人們的視野，利用提升小波變換進(jìn)行目標(biāo)檢測(cè)是利用小波變換的多分辨率特點(diǎn)，降低圖像中干擾信息的干擾。本文的主要容是弱小運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的檢測(cè)，包括預(yù)處理

17、算法的研究，利用多幀序列圖像實(shí)現(xiàn)真實(shí)目標(biāo)的確認(rèn)。本文各章節(jié)的主要容安排如下：第一章是緒論，簡(jiǎn)要介紹了課題的研究背景和意義，以與目前國(guó)外主要的弱小目標(biāo)檢測(cè)技術(shù)；第二章是本文的重點(diǎn)之一，為小波變換基本理論，闡述了小波變換的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)與其特性，之后在此基礎(chǔ)上引入了小波基構(gòu)造概念并構(gòu)造了兩個(gè)雙正交小波基；第三章是本文的重點(diǎn)之二，分析了弱小目標(biāo)檢測(cè)預(yù)處理的傳統(tǒng)方法，最后提出兩個(gè)檢測(cè)到鎂溶液第一氣泡微小目標(biāo)的兩個(gè)方法；第四章，總結(jié)論文與創(chuàng)新點(diǎn)，并加以展望。第二章 基于提升小波變換的弱小目標(biāo)圖像預(yù)處理本章首先給出了小波變換的基本理論與其在圖像處理中的應(yīng)用，簡(jiǎn)單介紹了正交小波和雙正交小波，并構(gòu)造了兩個(gè)雙正交

18、小波基。最后針對(duì)弱小運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的檢測(cè)，提出了基于提升小波變換的兩種弱小目標(biāo)圖像預(yù)處理方法：低頻重構(gòu)法、小波閾值去噪方法。2.1小波變換理論基礎(chǔ)2.1.1概述小波變換是80年代后期在傅立葉分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，基本思想來(lái)自調(diào)和分析，具有嚴(yán)格的理論模型。繼承和發(fā)展了Garbor變換局部化的思想，同時(shí)又克服了窗口固定、缺乏離散正交性等不足，從而成為近期研究較多的頻譜分析工具。是近年來(lái)應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中的一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，是目前國(guó)際上公認(rèn)的信號(hào)信息獲取與處理領(lǐng)域的高新技術(shù)，是多學(xué)科關(guān)注的熱點(diǎn)，是信號(hào)處理的前沿課題。小波變換在信號(hào)分析中具有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）具有多分辨率特點(diǎn)，即能夠通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)

19、算功能對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析；（2）可以看成品質(zhì)因數(shù)恒定、相對(duì)帶寬恒定的一組帶通濾波器在不同尺度下對(duì)信號(hào)的濾波，特別適合于非平穩(wěn)信號(hào)分析；（3）適當(dāng)?shù)倪x擇基本小波，使之在時(shí)域上有限支撐，在頻域上也比較集中，可以保證小波變換在時(shí)、頻域中都能夠具有很強(qiáng)的表征信號(hào)局部特征的能力，有利于檢測(cè)信號(hào)的瞬態(tài)變化或奇異點(diǎn)。2.1.2連續(xù)小波變換21.2.1 連續(xù)小波變換的定義設(shè)，其傅立葉變換為，如果滿足如下條件(稱(chēng)為容許條件 （2.1）則稱(chēng)(t)為基本小波(或母小波)，小波母函數(shù)(t)通過(guò)尺度伸縮和平移生成的如下函數(shù)族： （2.2）稱(chēng)為由(t)生成的連續(xù)小波。其中a稱(chēng)為尺度參量，b是平移參量。根據(jù)(2.1)

20、式的容許條件要求，當(dāng)=0 時(shí)，為使被積函數(shù)為有效值必須有(0)=0，所以可得到(2.1)式的等價(jià)條件為： （2.3）此式表明(t)中不含直流，只含有交流即具有震蕩性，故稱(chēng)為“波”。為了使(t)具有局部性，即在有限的區(qū)間之外很快衰減為零，還必須加上一個(gè)衰減條件： （2.4） (2.4)的含義是：當(dāng) t ±時(shí)，(t)的衰減比 1/|t|快，衰減條件要求小波具有局部性，這種局部性稱(chēng)為“小”，故(2.1)式稱(chēng)為小波。小波變換定義為： （2.5） 小波的時(shí)頻窗小波是時(shí)域和頻域中的局部函數(shù)，因此也可以類(lèi)似窗口函數(shù)，定義其時(shí)頻中心和半徑，用來(lái)衡量它的局部化程度。按照正、負(fù)兩個(gè)頻段(0

21、,)和(-,0)來(lái)定義小波的頻域中心和半徑。 （2.6） （2.7） （2.8） （2.9）按照上述定義小波的時(shí)頻窗中心和半徑經(jīng)計(jì)算分別為： （2.10） （2.11） （2.12） （2.13）從上述三個(gè)公式中我們可以看出，當(dāng)a較大時(shí)（相當(dāng)于低頻）時(shí)域分辨率較低，頻域分辨率較高；當(dāng)a較小時(shí)（相當(dāng)于高頻）時(shí)域分辨率較高，頻域分辨率較低。因此當(dāng)a從小逐漸大時(shí)，時(shí)頻分辨率就會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，這種特性稱(chēng)為小波的“變焦”特性或多分辨率分析。然而，由測(cè)不準(zhǔn)原理可知，無(wú)論a如何變化窗口的面積是保持不變的，即時(shí)域分辨率的增加，必然導(dǎo)致頻域分辨率的減小，反之亦然。 傅立葉變換、Gabor 變換與

22、小波變換的對(duì)比傅立葉變換是時(shí)域到頻域互相轉(zhuǎn)化的工具，它確定了信號(hào)在整個(gè)時(shí)間域上的頻率特性。但在實(shí)際應(yīng)用中，我們往往需要知道，信號(hào)在某一時(shí)刻附近的頻譜特性，傅里葉變換是作不到的。Gabor變換即短時(shí)傅立葉變換把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，以便確定在該時(shí)間間隔的頻譜信息。Gabor變換在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅立葉變換不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當(dāng)窗函數(shù)選定后，矩形窗口的形狀就確定了。只能改變窗口在時(shí)頻平面上的位置，而不能改變窗口的形狀。短時(shí)傅立葉變換比較適合分析較平穩(wěn)的信號(hào)，而不太適合分析非平穩(wěn)信號(hào)。小波分析能夠較好地克服短時(shí)傅立葉的不足，它提供了一個(gè)隨頻率改變的時(shí)

23、間-頻率窗口。小波基通過(guò)改變尺度因子a使被分析信號(hào)在高頻時(shí)（a小）時(shí)間域分辨率高，低頻時(shí)(a 大)頻率域分辨率高，達(dá)到了多分辨率分析的效果。小波分析的這種特點(diǎn)適合非平穩(wěn)信號(hào)的處理。圖2.1 和2.2 分別給出了Gabor 變換的相平面和小波變換的相平面。從圖中可以清楚地看出兩者的差別與聯(lián)系。表2.1給出傅立葉變換、Gabor 變換與小波變換的特征。圖 2. 1 Gabor 變換的相平面圖 2. 2 小波基函數(shù)的相平面表2.1傅里葉、Gabor和小波的特征對(duì)比特征變換分解種類(lèi)分析函數(shù)變量信息適應(yīng)場(chǎng)合算法復(fù)雜度傅里葉變換頻率正弦函數(shù)余弦函數(shù)頻率信號(hào)的頻率平穩(wěn)信號(hào)（NlgN)短時(shí)傅里葉變換時(shí)間-頻率

24、震蕩函數(shù)頻率窗口位置窗口大小次平穩(wěn)信號(hào)依窗口大小小波變換時(shí)間尺度時(shí)間頻率時(shí)間有限的波尺度小波位置小波的寬窄非平穩(wěn)信號(hào)依小波變化2.1.3離散小波變換 連續(xù)小波變換離散化如公式(2.5)所示，小波無(wú)直流分量，因此分別在正頻軸上和負(fù)頻軸上考慮其頻域中心和半徑。當(dāng)小波為實(shí)函數(shù)時(shí)，且取 a >0,正負(fù)頻中心對(duì)稱(chēng)，兩個(gè)頻半徑相等。當(dāng)母小波的頻率中心和半徑已知時(shí)，那么任何一個(gè)小波基元的頻率中心和頻率半徑也就知道了。為簡(jiǎn)單記，省去參量上的上角標(biāo)+。由公式(2.10-2.13)可計(jì)算出小波的中心頻率和頻窗寬度(直徑)之比為： （2.14）顯然，上式中的r 值與a、b無(wú)關(guān)，即任何一個(gè)小波基元

25、的r值都一樣，均等于母小波的r 值。在濾波器理論中，中心頻率與帶寬之比和中心頻率無(wú)關(guān)的帶通濾波器稱(chēng)為常Q濾波器。由于的中心頻率ab=0/a，當(dāng)a越小時(shí)，中心頻率越高，而r值不變，所以所占帶寬越大，這一性質(zhì)與位移參量 b 無(wú)關(guān)。當(dāng)將公式(2.2)中的a 按照下式離散化，而 b應(yīng)保持取連續(xù)值，則公式(2.2)稱(chēng)為二進(jìn)小波，公式(2.5)稱(chēng)為二進(jìn)小波變換。顯然，上式中的r值與a、b無(wú)關(guān)，即任何一個(gè)小波基元的r值都一樣，均等于母小波的r 值。在濾波器理論中，中心頻率與帶寬之比和中心頻率無(wú)關(guān)的帶通濾波器稱(chēng)為常Q濾波器。由于的中心頻率ab=0/a，當(dāng)a越小時(shí)，中心頻率越高，而r值不變，所以所占帶寬越大，這

26、一性質(zhì)與位移參量 b 無(wú)關(guān)。當(dāng)將公式(2.2)中的a 按照下式離散化，而b應(yīng)保持取連續(xù)值，則公式(2.2)稱(chēng)為二進(jìn)小波，公式(2.5)稱(chēng)為二進(jìn)小波變換。 （2.15）a經(jīng)公式（2.15）離散化后，的頻窗區(qū)間、頻窗直徑和中心頻率分別為： （2.16） （2.17） （2.18）若小波,并存在兩個(gè)正整數(shù)A,B滿足 （2.19）此時(shí)式(2.19)稱(chēng)為二進(jìn)小波的穩(wěn)定條件，若 A =B 稱(chēng)為最穩(wěn)定條件。滿足穩(wěn)定條件的小波才能成為二進(jìn)小波。另一方面，由穩(wěn)定條件可以推出式(2.1)的容許條件，這表明二進(jìn)小波必為容許小波，反之不真。2.2 小波變換的多分辨率分析多分辨率分析是小波分析20中最重要的概念之一，它

27、從函數(shù)空間的高度研究函數(shù)的多分辨率表示，將一個(gè)函數(shù)表示為一個(gè)低頻成分和不同分辨率下的高頻成分。正是有了多分辨分析，正交小波基的構(gòu)造不再僅僅依賴(lài)于數(shù)學(xué)技巧。正交小波變換的快速算法也是以多分辨率分析為基礎(chǔ)產(chǎn)生的。 多分辨率分析(MRA)的定義：平方可積空間中的一系列閉子空間稱(chēng)為的一個(gè)多分辨率分析(或多分辨率逼近、多尺度分析)，多分辨率分析包括如下一些性質(zhì)：性質(zhì)1 函數(shù)空間序列，jZ的單調(diào)性：即,。性質(zhì)2 函數(shù)空間序列，jZ的完整性：,。性質(zhì)3 伸縮性：。伸縮性體現(xiàn)了尺度的變化、逼近正交小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性。性質(zhì)4 平移不變性：平移不變性是指在同一子空間中波形平移后不變化，即。性質(zhì)5

28、Riesz基存在性：存在，使得構(gòu)成的Riesz基。可以證明，存在函數(shù)，使它在整數(shù)平移系構(gòu)成的規(guī)正交基，稱(chēng)為尺度函數(shù)。定義函數(shù)， （2.2.1）則函數(shù)系是規(guī)正交的。多分辨率分析(MRA)定義了一個(gè)對(duì)逐漸逼近的空間序列，即有 由上述定義可知，每個(gè)子空間都對(duì)應(yīng)著一組基，它們都是由同一個(gè)函數(shù)經(jīng)過(guò)伸縮和平移構(gòu)成的，生成公式如下：， (2.2.2)函數(shù)稱(chēng)為尺度函數(shù)，稱(chēng)作尺度空間。 因?yàn)?，而是的基，故存在序列滿足 (2.2.3)其中，表示平方可和列。這個(gè)方程就是尺度函數(shù)的雙尺度方程。 由MRA的定義可以很自然地想到，對(duì)任意一個(gè)函數(shù)，都可以用在上的投影來(lái)逼近。隨著j的減小，子空間越來(lái)越逼近，也越來(lái)越逼近。對(duì)于

29、相鄰的兩個(gè)子空間和來(lái)說(shuō)，和之間存在著差異，為了表示這一差異，定義另外一個(gè)空間，使得是在。中的正交補(bǔ)，即有， (2.2.4)所以空間的任意元素都可以唯一地表示成空間元素的和?？臻g序列同樣可由一個(gè)函數(shù)的伸縮和平移來(lái)產(chǎn)生，即子空間的基是 (2.2.5)函數(shù)稱(chēng)為小波函數(shù)，稱(chēng)為小波空間。具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 性質(zhì)4 由于，而是的基，故存在序列滿足 （2.2.6）這就是小波函數(shù)的雙尺度方程。由以上論述可知，可以分解成如下圖所示的形式：圖2.1 的多分辨分解相應(yīng)地，函數(shù)f可以被分解成子空間的投影和所有子空間的投影，即 （2.2.7）上式表明，用尺度空間逼近函數(shù)，得到函數(shù)的“近似值"

30、，通過(guò)將函數(shù)向尺度空間投影可以得到這些“近似值"；小波空間包含了信號(hào)從j層次逼近j-1層次時(shí)所需的“細(xì)節(jié)”信息；任何函數(shù)都可根據(jù)分辨率為時(shí)的近似值和分辨率為下f的細(xì)節(jié)完全重構(gòu)。這也是MallaI算法的思想。從以上分析可以看出，Mallat從函數(shù)空間分解的概念出發(fā)，在小波變換和多分辨率分析之間建立其聯(lián)系。把平方可積的函數(shù)看成是某一逐級(jí)逼近的極限情況。每級(jí)逼近都是用某一低通平滑函數(shù)對(duì)做平滑的結(jié)果，只是逐級(jí)逼近時(shí)平滑函數(shù)也做逐級(jí)伸縮。這也就是用不同分辨率來(lái)逐級(jí)逼近待分析函數(shù)。這也就是“多分辨率分析"得名的原因。由上述多分辨率分析和雙尺度方程可知，小波基可由尺度函數(shù)的平移和伸縮的線

31、性組合獲得，其構(gòu)造歸結(jié)為濾波器(的頻域表示)和(的頻域表示)的設(shè)計(jì)。因此，濾波器在分解和重構(gòu)中起著很重要的作用。尺度函數(shù)與小波一起，決定了小波函數(shù)族的性質(zhì)和特點(diǎn)。小波分析和多分辨率分析聯(lián)系在一起，小波可納入一個(gè)統(tǒng)一的框架多分辨率分析中。尺度函數(shù)又稱(chēng)低通濾波器，小波函數(shù)又稱(chēng)帶通濾波器。在多分辨率分析的理論框架下，Mallat設(shè)計(jì)出了基于濾波器組的正交小波分解和重構(gòu)算法一Mallat算法，使小波變換和數(shù)字濾波器緊密聯(lián)系起來(lái)，用濾波器組計(jì)算等效的離散小波，使信號(hào)分解大為簡(jiǎn)化。在小波變換多分辨率分析中，信號(hào)的分解和重建是通過(guò)濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)的，而不是利用小波函數(shù)或尺度函數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算。一旦小波函數(shù)確定，可根

32、據(jù)濾波器g、h實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分解和重建，g、h是對(duì)應(yīng)于小波變換的高通和低通濾波器。小波函數(shù)或尺度函數(shù)和濾波器組之間有著密切的關(guān)系，如式(2.2.8)、(2.2.9)所示。由小波函數(shù)可以求出濾波器參數(shù)，反之，也可由濾波器來(lái)確定一個(gè)小波函數(shù)和尺度函數(shù)，因此，小波函數(shù)的選擇很重要。 (2.2.8) (2.2.9)另外，小波方法還可以和其它經(jīng)典的濾波方法結(jié)合，充分利用信號(hào)在小波域的信息，以發(fā)揮更大的作用。2.3 Mallat算法Mallat提出了信號(hào)的塔式多分辨率分解與重構(gòu)算法，即Mallat算法。Mallat算法是小波變換的一個(gè)快速算法，它在小波分析中的地位頗有些類(lèi)似FFT在經(jīng)典Fourier分析中的地

33、位。Mallat算法的基本思想如下：假定已經(jīng)計(jì)算出一函數(shù)在分辨率下的離散逼近,則f(x)在分辨率的離散逼近，可以通過(guò)離散低通濾波對(duì)濾波獲得。假如原始信號(hào)，它的分辨率為1。這樣原始離散信號(hào)可表示為,(k>0)，也就是說(shuō)，分辨率為1的原始信號(hào)f由低分辨率的逼近與其在 (一K k 一1)分辨率下的細(xì)節(jié)信號(hào)構(gòu)成，并且 （2.3.1） （2.3.2）其中，而且 （2.3.3）圖22一維DWT的塔式Mallat分解與重構(gòu)可見(jiàn)信號(hào)的小波分解和重構(gòu)可通過(guò)子帶濾波的形式實(shí)現(xiàn)，Mallat算法的塔式分解與重構(gòu)如圖22?？梢宰C明，圖中G為高通濾波器，H為低通濾波器，和分別為G、H的鏡像濾波器。設(shè)原始信號(hào)序列

34、的分辨率和尺度均為1，它的分解過(guò)程是：信號(hào)經(jīng)過(guò)低通濾波器后再進(jìn)行抽取去1/2，得到分辨率和尺度均減半的信號(hào)逼近()；另一方面，經(jīng)過(guò)高通濾波器后再抽取去，得到在減半的分辨率和尺度下的細(xì)節(jié)信息。它的逆過(guò)程是：低尺度和低分辨率的信號(hào)逼近通過(guò)兩個(gè)樣本之間插入零值進(jìn)行拉伸，再經(jīng)過(guò)低通濾波器H得到在高尺度下的低分辨率的逼近；低尺度和低分辨率的細(xì)節(jié)同樣經(jīng)過(guò)提升尺度后得到高尺度下的細(xì)節(jié)；將它們相加就可以重構(gòu)原始信號(hào) (2.3.4)對(duì)于圖像，如圖23所示，對(duì)圖像進(jìn)行二層小波分解，第一層高頻系數(shù)HL1，LH2，HH2，第二層低頻系數(shù)LL2，與高頻系數(shù)HL1，LH2，HH2。LL1HL2HL1LH2HH2LH1HH

35、1圖2.3 圖像小波變換二層分解示意圖2.4 小波構(gòu)造2.4.1 正交小波的概念設(shè)滿足小波母波公式的容許條件，如果其二進(jìn)伸縮和平移得到的小波基函數(shù)，即， （2.4.1）必須構(gòu)成的規(guī)正交基。下面，將從多分辨分析的角度引入正交小波基和正交小波變換。 從上章多分辨率分析討論可知，任意給定一個(gè)多尺度分析，就可以相應(yīng)地得到小波基函數(shù)和一系列相互正交的小波空間。從給定的多尺度分析發(fā)出，根據(jù)上式，將空間進(jìn)行如下分解，即 （2.4.2）則稱(chēng)為正交小波，稱(chēng)為正交小波基函數(shù)。而相應(yīng)的離散小波變換，即， （2.4.3）即稱(chēng)為正交小波變換。正交小波變換在數(shù)學(xué)上具有良好的性質(zhì)，他使得信號(hào)的正交分解和重構(gòu)都極為簡(jiǎn)單。但是

36、，數(shù)學(xué)家Daubechies已經(jīng)證明了，除了Haar小波以外，所有正交基都不具有對(duì)稱(chēng)性。而非對(duì)稱(chēng)性會(huì)在某些應(yīng)用場(chǎng)合引入相位失真。為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以適當(dāng)放寬正交性的要求，構(gòu)造出雙正交基，使得小波基函數(shù)具有很多重要特性，例如，緊支性、對(duì)稱(chēng)性等。應(yīng)此下面便引入雙正交小波概念。2.4.2 雙正交小波的概念雙正交基定義設(shè)函數(shù)列和是空間V的兩組基底，如果滿足雙正交條件： ， (2.4.4)則稱(chēng)和是空間V的雙正交基，并稱(chēng)是的對(duì)偶。如果和是空間V的雙正交基，則對(duì)任意，有 (2.4.5)在雙正交基中，如果的對(duì)偶就是自身，則雙正交基變成標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以，我們可以把標(biāo)準(zhǔn)正交基看作雙正交基的特殊情況。我們?cè)谏瞎?jié)給

37、出了Riesez基的概念，正交基是Riesez基的特殊情況，如果和是空間V的兩組Riesez基，并滿足雙正交條件(2.4.5)，則它們就構(gòu)成了雙正交基。在上章我們已經(jīng)給出了多分辨分析的定義。對(duì)于空間，設(shè)有兩個(gè)多分辨分析和，滿足以下條件：（1），； （2.4.6）（2），；（2.4.7） 其中表示直和，不一定是正交和，表示正交；（3）存在尺度函數(shù)，小波函數(shù)，使得， （2.4.8）， 且是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基；（4）存在序列,使得， （2.4.9）其中，。滿足上述條件的小波與稱(chēng)為雙正交小波，并稱(chēng)是的對(duì)偶

38、，是的對(duì)偶，而且對(duì)于任意，有如下分解： （2.4.10）對(duì)于雙正交小波，如果的對(duì)偶就是自身，即，則變成正交小波。在雙正交小波中，與構(gòu)成兩組對(duì)偶的濾波器系數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，一組用于信號(hào)的分解，另一組用于重構(gòu)。類(lèi)似與正交小波的分解公式與重構(gòu)公示的推導(dǎo)， 我們可以得到雙正交小波的分解與重構(gòu)公示： （2.4.11） （2.4.12） （2.4.13）2.4.3 雙正交小波的構(gòu)造理論本節(jié)簡(jiǎn)要介紹雙正交小波的構(gòu)造理論，給出主要的結(jié)論，省略了繁雜的具體證明。 設(shè)和都是有限的實(shí)數(shù)序列，并設(shè)它們的支集為， (2.4.14)令， （2.4.15）定義，滿足, (2.4.16)可以證明 (2.4.17)并有如下結(jié)論

39、。定理 如果下式成立： （2.4.18）即 （2.4.19）則有（1）與一致收斂，并且在緊支集上絕對(duì)一致收斂；（2）， （2.4.20）即， （2.4.21）且和具有緊支集，即， （2.4.22）下面定義， （2.4.23）， （2.4.24）， （2.4.25）可以得到以下定理。設(shè)有限實(shí)數(shù)列和滿足條件：（1）， （2.4.26）（2）存在常數(shù)C，使， （2.4.27）則有 （1）構(gòu)成的一個(gè)框架，即存在，對(duì)任意，有 （2.2.27）（2）的對(duì)偶框架為，并對(duì)任意，有 （2.4.28）且其中的級(jí)數(shù)為強(qiáng)收斂。（3）與構(gòu)成兩個(gè)對(duì)偶的Riesez基，且 （2.4.29）根據(jù)定

40、理 ，只需構(gòu)造有限實(shí)序列和滿足定理中的條件，然后，令，則和就構(gòu)成了的兩個(gè)多分辨率分析，滿足前面2.2.2節(jié)中所介紹的雙正交小波的條件。定理 中條件（1）可由（2.4.17)式驗(yàn)證。注意，如果，則雙正交就變成正交情形。為了驗(yàn)證定理中的條件（2），假設(shè)（2.4.15）定義的和可以分解為， （2.4.30）其中，為三角多項(xiàng)式，即， （2.4.31）則有如下結(jié)論。定理 如果存在，使得， （2.4.32）則有，其中。為了驗(yàn)證，有如下定理定理 設(shè)有限實(shí)數(shù)列和滿足條件，假設(shè)存在，使得 （2.4.33）則，并有. (2.4.34)注 （1）

41、若，則，其中表示階連續(xù)可微函數(shù)的全體；（2）由于，所以,。2.4.4 雙正交小波的性質(zhì) 定理 設(shè)，不是常函數(shù)，其中，如果，有界，則， (2.4.35) 推論 設(shè)，特別構(gòu)成的對(duì)偶Riesz基，則有（1）能被整除；（2）能被整除。如果，且，則，所以 (2.4.36)另一方面，由（或）可以得出（或）能被（或者）整除，這樣有，從而有， （2.4.37）2.5小波變換去噪理論2.5.1小波去噪基本原理從數(shù)學(xué)角度上看，小波去噪過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)函數(shù)的逼近過(guò)程，也就是在由小波母函數(shù)平移和伸縮所展成的函數(shù)空間里，尋找對(duì)原圖像的最佳逼近，以達(dá)到區(qū)分噪聲信息和原圖像信息的目的。利用小波對(duì)

42、圖像進(jìn)行分解，相當(dāng)于把圖像向平方可積的空間里的各正交基分量上投影，即求各小波基函數(shù)和圖像之間的相關(guān)系數(shù)，即小波變換值。小波變換在頻域和時(shí)域里同時(shí)具有很好的局部化性質(zhì)，所以通過(guò)小波變換消除圖像噪聲，可以更好的保留圖像的邊緣和紋理信息。因?yàn)樾盘?hào)具有帶限性，所以信號(hào)的小波系數(shù)只在頻率尺度空間的有限部分上存在。從低頻信息和高頻信息上看，一幅圖像經(jīng)過(guò)小波分解之后，被劃分為低頻信息和高頻信息，含噪圖像經(jīng)小波分解之后,低頻部分中的信息大部分是圖像的主要信息，而在高頻信息里面大部分是圖像的紋理、邊緣和噪聲信息；從信號(hào)能量觀點(diǎn)來(lái)講，小波域里，僅有小部分小波系數(shù)對(duì)應(yīng)著信號(hào)能量，而噪聲的能量分布在所有的小波系數(shù)上，

43、也就是噪聲的能量影響著所有的小波系數(shù)。因?yàn)榫植繄D像的小波分解系數(shù)只在一些比較大的尺度上存在,而且幅值比較大，而噪聲的小波分解系數(shù)的幅值比較小，且廣泛分布在各尺度上。從小波變換的特征可以知道，高斯噪聲經(jīng)小波變換之后依然是高斯分布的，所以，噪聲和圖像被小波分解之后會(huì)呈現(xiàn)出不同的特征，基于這些特點(diǎn)，專(zhuān)家和學(xué)者們提出了許多去除噪聲的方法。2.5.2小波去噪基本方法依據(jù)對(duì)小波系數(shù)處理方法的不同,常見(jiàn)的圖像去噪方法大致可以分三類(lèi)：小波分解與重構(gòu)法去噪法、基于小波變換模極大值去噪法和小波閾值去噪法。(1)小波分解與重構(gòu)去噪法小波分解與重構(gòu)法是一種關(guān)于分辨率的分解，一幅圖像經(jīng)小波 n 尺度分解之后，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)

44、低頻子帶，和 3n 個(gè)不同的高頻子帶，從而將交織在一起的不同頻率組成的混合信號(hào)分解成不同頻段的子信號(hào)，所以小波變換具有對(duì)信號(hào)進(jìn)行按頻帶分析的性能。小波分解與重構(gòu)法去噪與快速傅里葉方法中多通道的濾波去噪相似，不同的是快速傅里葉方法是將信號(hào)變換到頻域，而小波方法是將信號(hào)變換到小波域。對(duì)于確定性噪聲，且信號(hào)和噪聲的頻帶不相互重疊時(shí)，用該方法進(jìn)行去噪特別有效。該方法的基本過(guò)程是:按需要將含噪信號(hào)分解到某一尺度下的不同頻帶上，之后再將噪聲所處的頻帶置為零，或者直接利用有用信號(hào)所在的頻帶進(jìn)行小波重構(gòu)，從而可達(dá)到去除噪聲的目的。這種方法簡(jiǎn)單且速度快，缺點(diǎn)是應(yīng)用面窄，對(duì)白噪聲去噪效果較差，僅在信號(hào)和噪聲頻帶相

45、互分離的時(shí)候，去噪的效果比較好。(2)基于小波變換模極大值去噪法基于小波變換模極大值去噪法是 Mallat 提出的一種利用小波變換模極大值原理進(jìn)行信號(hào)去噪的方法。這種方法在去除噪聲的同時(shí)，不僅可以有效地保留信號(hào)的奇異點(diǎn)信息，而且去噪后的信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生多余振蕩，是原始信號(hào)的一個(gè)最佳的估計(jì)。小波模極大值方法對(duì)噪聲的依賴(lài)性比較小，故不用計(jì)算噪聲方差，因此它對(duì)低信噪比的信號(hào)去噪效果尤其好。但用這種方法重構(gòu)，計(jì)算速度慢;而且小波分解尺度的選擇對(duì)這種方法的去噪效果影響很大，大尺度下會(huì)丟失某些重要的局部奇異性，小尺度下小波系數(shù)受噪聲影響很大，產(chǎn)生很多偽極值點(diǎn)；所以，利用小波模極大值法去噪還需要選擇合適的小波分

46、解尺度。這種方法主要適用于信號(hào)中含有較多奇異點(diǎn)且混有白噪聲的情況。Mallat 首先對(duì)小波系數(shù)的模極大值進(jìn)行處理，接著在小波變換域消除因噪聲干擾產(chǎn)生的模極大值點(diǎn)，最后只保留了由真實(shí)信號(hào)所產(chǎn)生的模極大值點(diǎn)，可是只通過(guò)這些數(shù)量有限的模極大值點(diǎn)重構(gòu)信號(hào)，造成誤差會(huì)很大。所以，在利用模極大值原理進(jìn)行信號(hào)除噪時(shí)，存在由模極大值點(diǎn)重構(gòu)小波系數(shù)產(chǎn)生的誤差問(wèn)題。(3)小波閾值法小波閾值去噪方法是小波去噪方法中最早被提出來(lái)的，閾值去噪方法計(jì)算簡(jiǎn)單，效果明顯。它的思想是：小波變換猶其是正交小波變換具有很好的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，它能夠使信號(hào)的能量集中在小波域里那些較大的小波系數(shù)中；而噪聲對(duì)應(yīng)的能量卻分布在整個(gè)小波域。因此

47、，經(jīng)小波分解后信號(hào)的小波系數(shù)幅值較大，數(shù)目較少，而噪聲的小波系數(shù)的幅值較小，數(shù)目較多。故可以認(rèn)為，幅值比較大的小波系數(shù)一般以信號(hào)為主，而幅值比較小的系數(shù)在很大程度上是噪聲。基于這樣的思想 Donoho 提出了小波閾值去噪方法，它可以使大部分噪聲系數(shù)衰減。小波閾值法去噪過(guò)程是：首先選擇合適的尺度對(duì)含噪聲的信號(hào)進(jìn)行小波分解，對(duì)大尺度低分辨率的所有小波系數(shù)給以保留；對(duì)各尺度高分辨率下的小波系數(shù)進(jìn)行閾化處理，確定一個(gè)合適的閾值，將幅值比這個(gè)閾值低的小波系數(shù)置為零，將幅值比這個(gè)閾值高的小波系數(shù)完全保留，或者做相應(yīng)的縮減處理。最后用這些處理后的小波系數(shù)通過(guò)逆小波變換進(jìn)行重構(gòu)，恢復(fù)出原始的信號(hào)。小波閾值法主

48、要適用于信號(hào)中混有白噪聲的情況，消除噪聲的同時(shí)且能很好的保留反映原始信號(hào)的特征點(diǎn)。但是經(jīng)硬閾值函數(shù)處理后的小波系數(shù)在閾值-T和閾值T處是不連續(xù)的，利用閾值化后的小波系數(shù)重構(gòu)所得的圖像可能會(huì)產(chǎn)生偽吉布斯現(xiàn)象；軟閾值函數(shù)方法估計(jì)出來(lái)的小波系數(shù)整體連續(xù)性比較好，用軟閾值法去噪可以使去噪信號(hào)是原始信號(hào)的近似最佳估計(jì)。用閾值法對(duì)圖像去噪時(shí)，閾值的選擇對(duì)去噪效果有著很重要的影響，實(shí)際中需要根據(jù)具體的情況來(lái)選擇合適的閾值。閾值法的計(jì)算速度很快，為，其中N為信號(hào)長(zhǎng)度，適應(yīng)性廣泛，取得了比較好的效果，是小波去噪方法中應(yīng)用最廣泛的一種。2.6提升小波變換的基本原理Daubechies 等已經(jīng)證明任意有限長(zhǎng)濾波器的

49、離散小波變換都可以通過(guò)對(duì)它的多相矩陣進(jìn)行因式分解化為有限的提升步驟來(lái)解決。提升算法可以實(shí)現(xiàn)所有能夠用Mallat算法實(shí)現(xiàn)的小波5，計(jì)算量約為傳統(tǒng)小波濾波器組算法的一半。提升小波算法的實(shí)質(zhì)在于將一個(gè)基本小波濾波器分解成基本的構(gòu)造模塊，分步驟完成小波變換，構(gòu)建出一個(gè)更加良好的新的小波濾波器，包括分裂、預(yù)測(cè)、更新三個(gè)步驟。分裂過(guò)程是將原始數(shù)據(jù)集（j代表分辨率）分解為低分辨率的偶數(shù)序列和奇數(shù)序列兩部分。 （2.5.1） （2.5.2）其中，k0,1，···,2j11；對(duì)于預(yù)測(cè)過(guò)程，奇數(shù)位置上的是用相鄰偶數(shù)與線性平均去預(yù)測(cè)，得到的預(yù)測(cè)誤差為變換的高頻分量，即 （2.5.3）

50、對(duì)于更新過(guò)程，則是由預(yù)測(cè)誤差來(lái)更新偶數(shù)序列，得到變換的低頻分量，即： （2.5.4）當(dāng)需要對(duì)上述高頻分量與低頻分量進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，提升方法的逆變換為： （2.5.5） （2.5.6）對(duì)二維圖像信號(hào)進(jìn)行提升小波變換時(shí)，可通過(guò)先對(duì)每行作變換，然后對(duì)每列作變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。二維圖像信號(hào)經(jīng)提升小波變換后得到四個(gè)子圖像LL，LH，HL，HH，分別表示圖像的低頻信號(hào)與水平、垂直和對(duì)角線方向的高頻信號(hào)。其中對(duì)低頻信號(hào)LL可繼續(xù)進(jìn)行分裂、預(yù)測(cè)和更新進(jìn)行下一層次的提升小波變換，就可以得到原信號(hào)的一個(gè)多級(jí)分解。第三章 弱小目標(biāo)檢測(cè)方法本章分析了弱小目標(biāo)檢測(cè)預(yù)處理的傳統(tǒng)方法，最后給出了兩個(gè)檢測(cè)到鎂溶液第一氣泡微小目標(biāo)的方法。

51、本次實(shí)驗(yàn)的檢測(cè)圖像，是利用高速攝像機(jī)得到鎂溶液第一氣泡析出前后兩幀圖如圖3.1（a）和（b）。圖3.1中紅色方框的白點(diǎn)為析出的第一氣泡。從圖3.1中可以看出，圖像目標(biāo)為弱小目標(biāo)，且弱小目標(biāo)周?chē)谋尘胺浅?fù)雜。 (a) (b) 圖3.1 鎂溶液第一氣泡析出前后兩幀圖像3.1 直方圖均衡化算法直方圖均衡是圖像增強(qiáng)空域法中最常用、最重要的算法之一。它以概率理論作基礎(chǔ)，運(yùn)用灰度點(diǎn)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)直方圖的變換，從而達(dá)到圖像增強(qiáng)的目的。設(shè)具有n 級(jí)灰度的圖像，其第i 級(jí)灰度出現(xiàn)的概率為，則它所含的信息熵為： (3.1)整幅圖像的信息熵為： (3.2)因此可以證明，具有均勻分布直方圖的圖像，其信息熵H 為最大。即當(dāng) （3.3）時(shí)，上式有最大值。將圖像的原始直方圖變換為接近均勻分布的直方圖，就稱(chēng)為直方圖均衡化。直方圖的