有質(zhì)量的彈簧

1、 有質(zhì)量的彈簧 放寒假回家，爸爸說(shuō)要抱我，看看我長(zhǎng)重了沒(méi)有，我故意使勁想讓他抱不動(dòng)，我繃緊肌肉爸爸費(fèi)了好大力量也沒(méi)抱起我。“不要使勁，”爸爸說(shuō)，“使勁我怎么抱得動(dòng)！”我不想繼續(xù)難為他，便放松了肌肉，他果然輕松的舉起了我，“還要多鍛煉呀！太輕了！”爸爸對(duì)我說(shuō)。 突然，腦中忽然閃過(guò)那個(gè)詞，使勁？我使得可是內(nèi)力呀！為什么內(nèi)力讓自己顯得更重了？于是便有了以下這些思考：1 有質(zhì)量的彈簧為了解決以上的問(wèn)題，由于人體有彈性，不妨將人體看成一個(gè)有質(zhì)量的彈簧，肌肉的收縮改變彈簧的倔系數(shù)。下面我們的討論對(duì)象就是這個(gè)有長(zhǎng)度有質(zhì)量的彈簧。當(dāng)我研究它時(shí)，發(fā)現(xiàn)這個(gè)由人體抽象而來(lái)的模型有很多很復(fù)雜的性質(zhì)。2 質(zhì)心的位置 設(shè)

2、彈簧的原長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為M，倔強(qiáng)系數(shù)為K，立于地面上，高為h，線密度為p是x的函數(shù)，下面計(jì)算質(zhì)心離頂端的高度d?？紤]微元dm，它上面的彈簧共重mg，則有dx=mg/(k*M/dm)=mg/KM*dm兩邊積分，其中a為彈簧在重力作用下收縮的長(zhǎng)度。得到，a=注：這里的計(jì)算不能對(duì)整個(gè)彈簧使用胡克定律，aK=Mg,從而得到a=，因?yàn)榇藭r(shí)的彈簧各個(gè)部位的壓縮狀況是不同的了！又g=,即 g=KL-MK/p兩邊對(duì)x求導(dǎo)：gp=，解此微分方程得到：p=,其中p0=M/L.所以質(zhì)心離頂端的高度d=，其中a=，p0=M/L.容易看到當(dāng)k趨向無(wú)窮大時(shí)，d=L/2，此時(shí)彈簧可看作剛體，質(zhì)心當(dāng)然是在重點(diǎn)！求導(dǎo)后容易發(fā)現(xiàn)d

3、/l（l=L-a），隨著K的增大減小，其實(shí)從p的表達(dá)式可以直接觀察到這一點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)K小時(shí)，p隨x的增加變化快，相反當(dāng)k很大時(shí)，p隨x的增加增加的較慢，故質(zhì)心將更接近中點(diǎn)！3 舉起有質(zhì)量的彈簧如圖，設(shè)用恒力f向上提彈簧的頂端，當(dāng)?shù)锥藙偤秒x開(kāi)地面時(shí)彈簧的動(dòng)能為零。彈簧舉起前后的高度分別是h1和h2，故f*h=Mg(h2-h1)+E2-E1,其中E2，E1分別是（2），（1）中彈簧的彈性勢(shì)能，若用小于Mg的力f,去拉彈簧，則它將先做向上的加速度不斷減小的加速運(yùn)動(dòng)，只到加速度變?yōu)橄蛳?，繼續(xù)向上做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)锥嗣撾x的瞬間速度為零，此時(shí)加速度仍向下，故（2）中彈簧的拉伸長(zhǎng)度a= ，其中<g,故E2

4、E1。所以f< Mg(h2-h1)/h,由2中的討論知h1<L1/2,h2<L2/2,其中L1，L2為（1），（2）中彈簧的長(zhǎng)度。而h=L2-L1。所以fMg/2?；氐奖疚拈_(kāi)頭提出的問(wèn)題，當(dāng)肌肉繃緊時(shí)近似將人體看作剛體，舉起剛體的力顯然是Mg,但當(dāng)肌肉松弛下來(lái)，將人體看作一個(gè)有質(zhì)量的彈簧舉起它所需要的力就大大減小了！4 幾個(gè)問(wèn)題當(dāng)我重新思考質(zhì)量不能忽略的彈簧時(shí)，發(fā)現(xiàn)很多問(wèn)題中如果考慮它將變得異常復(fù)雜，而有時(shí)彈簧的質(zhì)量是確實(shí)不能忽略的。（1） 能量的傳遞問(wèn)題曾經(jīng)不止一次的碰到這樣的物理模型，一個(gè)輕質(zhì)彈簧連接一個(gè)小球，在光滑的水平面上，將自己儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能傳遞給小球使之獲得動(dòng)能，

5、通常我們當(dāng)然認(rèn)為彈簧與物體脫離后無(wú)動(dòng)能，能量完全傳遞給了物體，但如果考慮彈簧的質(zhì)量情況就大不一樣了！圖（1）是不考慮彈簧質(zhì)量的情況。圖（2）中我們假設(shè)物體和彈簧的質(zhì)量都是M，彈簧原長(zhǎng)L，倔強(qiáng)系數(shù)K，我們將其看成兩段長(zhǎng)為L(zhǎng)/2的輕質(zhì)彈簧之間連著一個(gè)質(zhì)量為M的小球，不妨設(shè)物體的質(zhì)量也為M。對(duì)小球和物體列運(yùn)動(dòng)方程：設(shè)小球，物體偏離平衡位置的長(zhǎng)度分別為，x1,x2，彈簧本來(lái)壓縮2A。,;解得x2=2Acoswt,x1=Acoswt,其中w=。物體與小球之間的距離x=Acoswt;當(dāng)wt=時(shí)，物體與彈簧分離，而此時(shí)小球有速度Aw，故具有動(dòng)能E=，物體此時(shí)的動(dòng)能為E0=，故僅有五分之四能量傳遞給了物體！小

6、球隨后做角頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。容易發(fā)現(xiàn)采用（2）的假設(shè)，物體從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到分離將經(jīng)過(guò)更長(zhǎng)的時(shí)間！ 但是（2）的假設(shè)是很不精確的，真正準(zhǔn)確的假設(shè)是應(yīng)該將彈簧是為N個(gè)質(zhì)量為M/N的小球，之間連有倔強(qiáng)系數(shù)為N*K的輕質(zhì)彈簧，然后考慮N趨向無(wú)窮的極限情況。原則上通過(guò)微分方程組的求解可以求到具體的運(yùn)動(dòng)情況，但這種運(yùn)動(dòng)無(wú)疑將是十分復(fù)雜的由于數(shù)學(xué)知識(shí)有限本人在此無(wú)法給出一個(gè)解答。（2） 簡(jiǎn)振模 以上的第二種假設(shè)實(shí)際上引出了一個(gè)更復(fù)雜更深刻的問(wèn)題，那便是多自由度的振動(dòng)！以下是作者的一些猜測(cè)與疑惑：在圖（1），（2）中N個(gè)質(zhì)量為m的小球被彈簧（倔強(qiáng)系數(shù)k）連接起來(lái)，分別掛在兩面墻之間，和約束在一個(gè)球體上。由振動(dòng)知識(shí)，當(dāng)初始條件合適時(shí)，它們有N個(gè)簡(jiǎn)振頻率，可以做N總不同模式的振動(dòng)，當(dāng)N趨向無(wú)窮時(shí)，它們的角頻率頻譜是連續(xù)的從0到2w0的，其中w0=，若將有質(zhì)量的彈簧抽象成無(wú)窮多個(gè)小球串上輕彈簧，是否意味著彈簧再一定初始條件下可以以某種模式振動(dòng)，若可以考慮到m=M/N，k=K*N，w0將趨向無(wú)窮，那么它的角頻率將是可以趨向無(wú)窮的，這可能嗎？5 總結(jié)彈簧是一個(gè)質(zhì)量連續(xù)分布的固體，討論它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和內(nèi)部應(yīng)力需要更多的物理和數(shù)學(xué)知識(shí)，由于水平所限以上的很多推理不免有謬誤。但有一點(diǎn)是很清楚的，那就是當(dāng)考慮彈簧的質(zhì)量時(shí)簡(jiǎn)單的問(wèn)題變的