第四節(jié)對(duì)面積的曲面積分-ppt課件

1、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四節(jié)第四節(jié) 對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分 一、對(duì)面積的曲面積分的概念一、對(duì)面積的曲面積分的概念二、對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)二、對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算第十一章第十一章上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、對(duì)面積的曲面積分的概念一、對(duì)面積的曲面積分的概念實(shí)例實(shí)例 所謂曲面光滑即曲面所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都有切平面上各點(diǎn)處都有切平面, ,且且當(dāng)點(diǎn)在曲面上延續(xù)挪動(dòng)時(shí)當(dāng)點(diǎn)在曲面上延續(xù)挪動(dòng)時(shí), ,切平面也延續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)切平面也延續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng). . . , ),( , 求其質(zhì)量求其質(zhì)量函數(shù)函數(shù)它的面密度為連續(xù)它的面密度為連續(xù)是光滑的是光滑的若曲面

2、若曲面zyx 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 類似于第一類曲線積分中曲線形構(gòu)件質(zhì)量的討論類似于第一類曲線積分中曲線形構(gòu)件質(zhì)量的討論, , ),( ),(，改改成成面面密密度度把把線線密密度度zyxyx , iiSs 改改為為小小塊塊曲曲面面的的面面積積小小曲曲線線弧弧的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度, ),(),(iiiiiii 塊曲面上的任一點(diǎn)塊曲面上的任一點(diǎn)小小改為第改為第小段曲線弧上的任一點(diǎn)小段曲線弧上的任一點(diǎn)并把第并把第假設(shè)把曲線改成曲面假設(shè)把曲線改成曲面, , ,),( 連續(xù)時(shí)連續(xù)時(shí)當(dāng)當(dāng)zyx .),(lim 10 niiiiiSM 曲面的質(zhì)量曲面的質(zhì)量上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.1.定義定義 記為記為上的曲面

3、積分上的曲面積分在曲面在曲面數(shù)數(shù)則稱此極限為數(shù)量值函則稱此極限為數(shù)量值函極限總存在極限總存在這和的這和的時(shí)時(shí)最大值最大值如果當(dāng)各個(gè)小塊直徑的如果當(dāng)各個(gè)小塊直徑的作和作和點(diǎn)點(diǎn)上任取一上任取一又在又在的面積為的面積為個(gè)小塊個(gè)小塊記第記第劃分成有限多個(gè)小塊劃分成有限多個(gè)小塊將將有定義有定義上上在在函數(shù)函數(shù)是一片光滑曲面是一片光滑曲面設(shè)設(shè) , ),( , , 0 ,),( , ),( , , , , . ),( , 21 zyxfSfSizyxfniiiiiiiiiiin Szyxfd),(上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 iiiniiSf ),(lim10 Szyxfd),( 即即積分曲面積分曲面dS 面積元

4、素面積元素積分和式積分和式被積函數(shù)被積函數(shù) 以上積分也稱為第一類曲面積分或?qū)γ娣e以上積分也稱為第一類曲面積分或?qū)γ娣e的曲面積分的曲面積分. .d),(, ),(一定存在一定存在曲面積分曲面積分第一類第一類上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲面在光滑曲面當(dāng)當(dāng) Szyxfzyxf上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)二、對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì) .d),( d),( , SzyxfSzyxf可可寫寫成成為為閉閉曲曲面面時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) . d , 1),( 的的面面積積是是曲曲面面時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) Szyxf則則及及可分為分片光滑的曲面可分為分片光滑的曲面若若,21 .d),(d),(d),(21 SzyxfSzy

5、xfSzyxf對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算;dd),(),(1),(,22yxyxzyxzyxzyxfxyDyx Szyxfd),(那么那么按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：, 面面上上的的投投影影在在為為xoyDxy “一投影、二代入、三變換一投影、二代入、三變換dSdS ),(:. 1yxzz 若若曲曲面面化成二重積分化成二重積分上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(那么那么.1,),(22dydzx

6、xzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若若曲曲面面那那么么),(:.2zxyy 若若曲曲面面“一投影、二代入、三變換一投影、二代入、三變換dSdS 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 iSyxyxzyxzyxiyxdd),(),(1)(22 yxiiiykkxzz)( ),(),(122 0lim ni 1yxiiiyiixzz)( ),(),(122 0lim ni1yxiiiyiixzz)( ),(),(122 yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22 ),(,(iiiizf ),(,(iiiizf Szyxfd),(而而( 光滑光滑),( yxz0l

7、im 0lim 證明證明: : 由定義知由定義知iiiiSf ),( ni 10lim 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 截截出出的的頂頂部部被被平平面面是是球球面面其其中中計(jì)計(jì)算算曲曲面面積積分分)0(,d 2222ahhzazyxzS 解解的方程為的方程為 .222yxaz 例例1 1:xyDxOy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域在在 .| ),(2222hayxyx 圓圓形形區(qū)區(qū)域域，因?yàn)橐驗(yàn)閐xdyyxaadxdyzzyx222221 dS oxzyhayxD上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyDyxayxazS222ddd 所以所以利用極坐標(biāo)利用極坐標(biāo), ,得得22022)ln(212haraa 2002

8、222ddhararra .ln2haa xyDrarar22dd xyO22ha xyD上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思索思索: :假設(shè)假設(shè) 是球是球面面2222azyx 被平行平面被平行平面 z =h 截截出的上下兩部分出的上下兩部分,) (d zS) (d zS0hln4aa那么那么hhoxzy上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2 2 邊邊界界曲曲面面所所圍圍成成的的四四面面體體的的整整個(gè)個(gè)及及是是由由平平面面其其中中計(jì)計(jì)算算10, 0, 0,d zyxzyxSxyz解解,10, 0, 04321 及及上上的的部部分分依依次次記記為為在在平平面面整整個(gè)個(gè)邊邊界界曲曲面面zyxzyx Sxyzd.dd43 SxyzSxyz于是于是 21ddSxyzSxyz如圖如圖ozyx111上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,),(,321均均為為零零被被積積函函數(shù)數(shù)上上由由于于在在xyzzyxf , 0ddd321 SxyzSxyzSxyz,1,4yxz 上上在在221yxzz 從而從而 Sxyzd,4面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域在在是是其中其中xOyDxy 所以所以 4dSxyz,dd)1(3yxyxxyxyD , 3)1()1