數(shù)學(xué)歸納法講義-有答案

1、7.4 數(shù)學(xué)歸納法的概念世紀(jì)教育一、新課引入：?jiǎn)栴}1：這里有一袋球共十二個(gè)，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請(qǐng)問怎么辦?答案：枚舉法問題2：在數(shù)列an中，a11，an+1（nN+），先計(jì)算a2，a3，a4的值，再推測(cè)通項(xiàng)an的公式答案：a2，a3，a4由此得到：an（nN+） 二、新課講授1、歸納法(1)概念：歸納法是由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法。問題1中把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法，對(duì)于問題2，由于自然有無數(shù)個(gè)，用完全歸納法去推出結(jié)論就不可能，它是由前4項(xiàng)體現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)行推測(cè)得出結(jié)論的，這種歸納法稱為不完全歸納法. 數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命

2、題的一種有效推理方法問題3：對(duì)于任意自然數(shù)n，比較7n-3與6（7n+9）的大小答案1：由于當(dāng)n1，n2，n3，n4時(shí)，有7n-36（7n+9），所以得到對(duì)任意nN+，7n-36（7n+9） 答案2：由于當(dāng)n8時(shí)，有7n-36（7n+9），而不是7n-36（7n+9），所以得到當(dāng)n1，2，3，4，5時(shí)，7n-36（7n+9）； 當(dāng)n6，7，8，時(shí)，7n-36（7n+9）總結(jié)：仔細(xì)地占有準(zhǔn)確的材料，不能隨便算幾個(gè)數(shù)就作推測(cè),推測(cè)也要有依據(jù) 大小關(guān)系n=1<96n=2<138n=31<180n=47<222n=549<264n=6343>306n=72401&g

3、t;348 依據(jù)數(shù)據(jù)作推測(cè)，決不是亂猜要注意對(duì)數(shù)據(jù)作出謹(jǐn)慎地分析由上表可看到，當(dāng)n依1，2，3，4，變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的7n-3的值以后一個(gè)是前一個(gè)的7倍的速度在增加，而6（7n+9）相應(yīng)值的增長(zhǎng)速度還不到2倍完全有理由確認(rèn)，當(dāng)n取較大值時(shí)，7n-36（7n+9）會(huì)成立的 21世紀(jì)教育網(wǎng)2、歸納與證明資料1：費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對(duì)微積分的創(chuàng)立作出貢獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的的創(chuàng)始者之一，他對(duì)數(shù)論也有許多貢獻(xiàn) 但是，費(fèi)馬曾認(rèn)為，當(dāng)nN+時(shí)， +1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證

4、明了+14 294 967 2976 700 417×641，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè) 資料2： f（n）n2+n+41,當(dāng)nN+時(shí)，f（n）是否都為質(zhì)數(shù)? f（0）=41,f（1）43,f（2）47,f（3）53,f（4）61, f（5）71,f（6）83,f（7）97,f（8）113,f（9）131, f（10）151， f（39）1 601 但f（40）1 681412是合數(shù).問題4：不完全歸納法為什么會(huì)出錯(cuò)呢? 如何避免？答案：猜測(cè)后證明. 結(jié)合問題1來說，他首先確 定第一次拿出來的是白球 然后再構(gòu)造一個(gè)命題予以證明命題的條件是：“設(shè)某一次拿出來的是白球”，結(jié)論是“下一次拿出來的

5、也是白球” 這個(gè)命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球這個(gè)條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性大家看，是否證明了上述兩條，就使問題得到解決了呢?下面我們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述下這種證明方法. 2、數(shù)學(xué)歸納法例如：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠?jī)蓷l： （1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒； （2）第一張牌被推倒 用這種思想設(shè)計(jì)出來的，用于證明不完全歸納法推測(cè)所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法例如(問題2)：(1)當(dāng)n1時(shí)，左式a11，右式1此時(shí)公式成立 (2)設(shè)nk時(shí)，公式成立，即ak以此為條件來證明nk+1時(shí)，公式也成立，即ak+1也成

6、立 來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)注意:這里是證明遞推關(guān)系成立，證明ak+1成立時(shí)，必須用到ak這個(gè)條件依已知條件，ak+1 下面我們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述下這種證明方法. （1）數(shù)學(xué)歸納法的概念：（i）證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.在完成了上面的兩個(gè)步驟后，我們就可以斷定這個(gè)命題對(duì)于從開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.（2）反例用數(shù)學(xué)歸納法證明：（nN+）時(shí)，其中第二步采用下面證法： （ii）設(shè)nk時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)nk+1時(shí)， ，即nk+1時(shí)等式也成立 這是不正確的因?yàn)檫f推思想要求的不是nk，nk+1時(shí)命題到底成立不成立，而是n

7、k時(shí)命題成立作為條件能否保證nk+1時(shí)命題成立這個(gè)結(jié)論正確，即要求的這種邏輯關(guān)系是否成立證明的主要部分應(yīng)改為 4、例題舉隅例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：.證明：（i）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊=1，等式成立；（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立. 根據(jù)（i）（ii）可以斷定，對(duì)任何都成立.例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（i) 當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊=1，等式成立；（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立. 根據(jù)（i）（ii）可以斷定，對(duì)任何都成立.小結(jié)：(1)由于證明當(dāng)n=k+1等式成立時(shí)，需證明的結(jié)論形式是已知的，只要將原等式中的n換成k+1即得，因此學(xué)生在證

8、明過程中，證明步驟必須完整，不能跳步驟；（2）有些等式證明題在證明當(dāng)n=k+1正確時(shí)，需用恒等變形，技巧較高，對(duì)基礎(chǔ)較差的學(xué)生來說完成很困難，這時(shí)可通過左、右邊的多項(xiàng)式乘法來完成.例3、用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：（i）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊=4，等式成立；（ii）假設(shè)當(dāng)，等式成立，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立. 根據(jù)（i）（ii）可以斷定，對(duì)任何都成立.例4、用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：（i）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊=-3，等式成立；(ii）假設(shè)當(dāng)，等式成立，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立. 根據(jù)（i）（ii）可以斷定，對(duì)任何都成立.課堂練習(xí)1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）則從到時(shí)，左邊要添加的項(xiàng)為

9、 .A. B. C. D.（2）則從到時(shí)，右邊要添加的項(xiàng)為 .A. B. C. D. 2、，那么 .3、 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：由n=k遞推到時(shí)，為“湊”不等式左邊，可在不等式的兩邊同加 .4在用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的第（2）步中，假設(shè)n=k時(shí)原等式成立，證明n=k+1時(shí)原等式成立。請(qǐng)寫出n=k+1時(shí)需要證明的等式5用數(shù)學(xué)歸納法證明：以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是 6、求證：能被6整除. 7、已知數(shù)列，設(shè)為該數(shù)列前項(xiàng)和，計(jì)算的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果猜測(cè)關(guān)于的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.8分別計(jì)算2、2+4、2+4+6、2+4+6+8的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果猜測(cè)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。課后作業(yè)1 設(shè)，則2 已知An=(n+1)(n+2)(n+2n)，則與的關(guān)系為3 用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)(n+n)=2n×1×3×5(2n-1) 時(shí)，假設(shè)n=k時(shí)成立，若證n=k+1時(shí)也成立，兩邊同乘4 用數(shù)學(xué)歸納法證明某題時(shí)，左式為，從n=k到n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式為5 在用數(shù)學(xué)歸納法證明凸邊形的對(duì)角線條時(shí)，第1步驗(yàn)證6 三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和一定能被整除7 設(shè)，則8，猜想 8 猜想：1×4+2×7+3×10+n(3n+1)= 10求證