七年級(jí)數(shù)學(xué)列代數(shù)式;求代數(shù)式的值華東師大版知識(shí)精講

1、初一數(shù)學(xué)列代數(shù)式；求代數(shù)式的值華東師大版【本講教育信息】一.教學(xué)內(nèi)容：列代數(shù)式；求代數(shù)式的值二.知識(shí)要點(diǎn)1 .知識(shí)點(diǎn)概要了解代數(shù)式、單項(xiàng)式、單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)、多項(xiàng)式、多項(xiàng)式的次數(shù)、整式的概念.能用代數(shù)式表示簡單問題的數(shù)量關(guān)系(3)能解釋一些簡單代數(shù)式的實(shí)際背景或幾何意義(4)通過具體例子感受“同一個(gè)代數(shù)式可以表示不同的實(shí)際意義”，“理解符號(hào)所代表的數(shù)量關(guān)系”.(5) 了解代數(shù)式的值的意義，會(huì)計(jì)算代數(shù)式的值(6)能讀懂計(jì)算程序圖，會(huì)按照規(guī)定的程序計(jì)算代數(shù)式的值，會(huì)按照要求設(shè)計(jì)簡單的 計(jì)算程序，初步感受“算法”的思想及數(shù)量的變化與聯(lián)系2 .重點(diǎn)難點(diǎn)代數(shù)式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的概念及單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)

2、、多項(xiàng)式的次數(shù)與項(xiàng)數(shù)、將多項(xiàng)式升(降)哥排列.根據(jù)簡單問題的數(shù)量關(guān)系正確列出代數(shù)式.(3)讀懂計(jì)算程序圖，計(jì)算代數(shù)式的值.三.考點(diǎn)分析用字母表示數(shù)用字母表示數(shù)可以簡明地表達(dá)現(xiàn)實(shí)中浩繁的數(shù)量間的關(guān)系，表達(dá)數(shù)的各種運(yùn)算定律、性質(zhì)和法則。如用字母a、b、c表示三個(gè)數(shù)，則加法結(jié)合律可表示為：a+b+c=a+(b+c) =(a+b)+c.在用字母表示數(shù)時(shí)，應(yīng)注意：(1)同一個(gè)問題中的相同量要用同一個(gè)字母表示，不同量必須用不同字母表示.同一個(gè)字母在不同問題中的意義也是不同的.如在表示長方形的面積公式時(shí)，用S表示面積，a表示長方形的長，b表示長方形的寬，則有 S=ab。在這里，S、a、 b分別表示不同的量，

3、同樣是字母a,在不同的問題中可表示不同的數(shù)。(2)應(yīng)該遵循規(guī)定了的、約定俗成的、沿襲的表示習(xí)慣.如：用C表示周長，用cm表示厘米代數(shù)式1 .代數(shù)式的定義像n-2, 3b, - , m+3等由運(yùn)算符號(hào)連接的式子都是代數(shù)式.單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也y是代數(shù)式.2 .寫代數(shù)式(1)數(shù)與數(shù)相乘用“x" ；數(shù)與字母，字母與字母相乘用“ ”或省略不寫；(2)字母與數(shù)字相乘，數(shù)字因式應(yīng)放在字母因式之前，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘，帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù).如4_ _ J2a-a不能寫成 1-a. (3)代數(shù)式中的除號(hào)一般用分?jǐn)?shù)線表本.如2a+b應(yīng)寫成 .(4)幾33b個(gè)字母因數(shù)排列時(shí)，一般按字母順序排列.如5a2c

4、3b通常寫成5a2bc3. (5)代數(shù)式若是和或差的形式，且結(jié)果中又有單位的，應(yīng)用括號(hào)將代數(shù)式括起來，后面再帶單位.如(2a+3) cm不能寫成2a+3 cm.3.列代數(shù)式列代數(shù)式首先要確定數(shù)量與數(shù)量的運(yùn)算關(guān)系，其次應(yīng)抓住題中的一些關(guān)鍵詞語，如和、 差、積、商、平方、倒數(shù)以及幾分之幾、幾成、倍等等.抓住這些關(guān)鍵詞語，反復(fù)咀嚼，認(rèn)真推敲，列好一般的代數(shù)式就不太難了.整式1 .單項(xiàng)式的相關(guān)概念單項(xiàng)式是數(shù)字與字母的積構(gòu)成的代數(shù)式，其中的數(shù)字因數(shù)是單項(xiàng)式的系數(shù)，單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和是單項(xiàng)式的次數(shù).單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式.2 .多項(xiàng)式的相關(guān)概念幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.其中的每個(gè)單項(xiàng)式是多

5、項(xiàng)式的一個(gè)項(xiàng)，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù) 是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).按某個(gè)字母指數(shù)的升降可將多項(xiàng)式進(jìn)行升哥或降哥排列3 .單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式.代數(shù)式的值根據(jù)問題的需要，用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算，所得的結(jié)果是代數(shù)式的值.【典型例題】例1.用代數(shù)式表示：(1) a與1的差的平方；(2) a與1的平方差.分析：這兩道題的關(guān)鍵詞都是差和平方， 但由于這兩個(gè)關(guān)鍵詞的順序是不一樣的， 所以 反映出來的運(yùn)算順序也是不一樣的： 差的平方是先算差， 后平方；平方差是要先平方， 再相 減.解：(1) (a-1) 2 ； a2-12例2.讀出下列代數(shù)式：(2) ab-3 5x2+7(3) xxy

6、(4) a (mn) 2分析：先弄清每式中所含的運(yùn)算，明確運(yùn)算順序，再按“先算先讀，后算后讀”的基本 原則讀出即可.解：(1) a與b的積與3的差；(2) x的平方的5倍與7的和；(3) x與x、y兩數(shù)的差 的商；(4) m與n的差的平方與a的積.例3.寫出下列各式的系數(shù)與次數(shù)2b2(3) 3a(2) -mn (3) (4) 23分析： 單項(xiàng)式的系數(shù)是各式的數(shù)字因數(shù)，次數(shù)是式中所有字母的指數(shù)的和解：(1)單項(xiàng)式3a的系數(shù)是3,次數(shù)是1; (2)單項(xiàng)式-mn的系數(shù)是-1,次數(shù)是2;2(3)單項(xiàng)式二個(gè)一的系數(shù)是一2,次數(shù)是2; (4)單項(xiàng)式2的系數(shù)是2,次數(shù)是0.例4.把多項(xiàng)式a4 b4 1 6a

7、3b 9a2b2 6ab3重新排列：(1)按a的降哥排列；(2)按b的降哥排列.分析：重新排列多項(xiàng)式的各項(xiàng)的位置時(shí)，要注意連同它前面的符號(hào)一起排列.按某字母降哥排列，即將該字母的指數(shù)由高到低排列，常數(shù)項(xiàng)可作為該字母的指數(shù)最低的項(xiàng)解：(1) a4 6a3b 9a2b2 6ab3 b4 1(4) b4 6ab3 9a2b2 6a3b a4 1例5.當(dāng)x=-0.5 , y=2工時(shí)，求代數(shù)式x (x-y) 2的值.2分析：先將字母的值代入后，再將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)， 帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，按運(yùn)算順序正確計(jì)算即可.解：把 x=-0.5, y=2 1 代入，則 x (x-y) 2= -1X (-1-21) 2=-X

8、 (-3) 2=-1X9=-第二步填“X 2”時(shí)，輸出的才是2 入這兩個(gè)代數(shù)式就行了 .解：圖a的輸出結(jié)果為3x-2,從左至右依次為11, , 2, 2222 2222例6.下圖是一組數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)，寫出圖a的輸出結(jié)果，找出圖 b的轉(zhuǎn)換步驟，并完成下表輸入X輸？OCfi27小7*輸出輸出2(a3)圖2圖b輸入-31200.2543圖a的輸出圖b的輸出分析：由圖可知，圖a輸出的實(shí)際上是代數(shù)式3x-2的值，而圖b只有在第一步應(yīng)填“-3”,(x-3)的值.想求輸出的數(shù)值，只要將輸入的數(shù)值分別代圖b第一步應(yīng)填“ -3”，第二步填“X 2”；圖a的輸出值5，2;圖b的輸出值從左至右依次為一 12, -7,-

9、411106,，23例7. (2008年梅州)如下圖所示，在長和寬分別是a、b的矩形紙片的四個(gè)角都剪去個(gè)邊長為x的正方形.用a, b, x表示紙片剩余部分的面積；當(dāng)a =6, b =4, x=2時(shí)，求剩余部分的面積.分析：第題是根據(jù)整體與部分的關(guān)系列代數(shù)式；第題是由第題的結(jié)論求代數(shù)式的 值.解：乘U余部分的面積 S=ab 4x2；當(dāng) a =6, b =4 , x=2 時(shí)，S=ab 4x2=6X4-4X22=8.例8.電話費(fèi)與通話時(shí)間的關(guān)系如下表:通話時(shí)間a（分）電話費(fèi)b （元）10.2+0.820.4+0.830.6+0.840.8+0.8（1）試用含a的代數(shù)式表示b ；（2）計(jì)算當(dāng)a=100

10、時(shí)，b的值.分析：由圖表可知電話費(fèi)中都包含基本話費(fèi)0.8元，除0.8元外的電話費(fèi)都是通話時(shí)間的0.2倍.故電話費(fèi)b （元）與通話時(shí)間a （分）的關(guān)系是 b=0.8+0.2a.解：（1）由題意可得，b=0.8+0.2a； （2）當(dāng) a=100 時(shí)，b=0.8+0.2 X 100=20.8 （元）.例 9.觀察下面一系列等式：32-12=8=8x1； 52-32=16=8 x2； 72-52=24=8 x 3； 92-72=32=8X 4.你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用代數(shù)式表述這個(gè)規(guī)律分析：觀察可知左邊是連續(xù)奇數(shù)的平方差（大數(shù)減小數(shù)），右邊是 8的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)了規(guī) 律，下一步就可以用代數(shù)式表述出來了.解

11、：這個(gè)規(guī)律用代數(shù)式可以表述為（2n+1） 2-（2n-1） 2=8n （n為自然數(shù)）.例10.你能很快算出19952嗎？分析：為了解決這個(gè)問題，我們考察個(gè)位數(shù)為 5的自然數(shù)的平方，任意一個(gè)個(gè)位數(shù)為5的自然數(shù)可用代數(shù)式表示為10n+5,問題即求（10n+5） 2的值（n為自然數(shù)），試分析n=1, n=2, n=3,這些簡單情況，從中探索其中的規(guī)律，并歸納、猜想出結(jié)論（在下面 橫線上填上你的探索結(jié)果）.（1）通過計(jì)算，探索規(guī)律：152=225,可寫成 100X 1 X （ 1+1 ） +25,252=625,可寫成 100X 2X （2+1 ） +25,352=1225,可寫成 100X 3X （

12、 3+1） +25,452=2025,可寫成 100X4X （ 4+1） +25,752=5625 ,可寫成 ,852=7225,可寫成 ,(2)從第(1)題的結(jié)果，歸納、猜想得：(10n+5) 2=.(3)根據(jù)上面的歸納、猜想，請算出：19952 =.解：(1) 100X 7X ( 7+1) +25, 100X 8X (8+1 ) +25；(2) 100n (n+1) +25, n 為自然數(shù)；(3) 100 X 199 X ( 199+1) +25=3980025.點(diǎn)評(píng)：本例的實(shí)質(zhì)是先用代數(shù)式表示出一般情況，再求特殊情況下代數(shù)式值的計(jì)算規(guī)律，歸納出一般性結(jié)論，再求這個(gè)一般性結(jié)論中代數(shù)式的值，

13、 體現(xiàn)了 “特殊一一一般一一特殊” 的思想方法，這正是用字母代數(shù)（從特殊到一般）后再求代數(shù)式值（從一般到特殊）這種思 想方法的反復(fù)應(yīng)用.例 11.若 a+2004=b+2005=c+2008 ,則（a-b） 2+ （b-c） 2+ （a© 2=.分析：能否從已知條件中求出a-b、b-c、a-c的值是解題的關(guān)鍵.從題設(shè)中找到這三個(gè)代數(shù)式的值顯然是比較容易的.解：由 a+2004=b+2005=c+2008 知，a-b=1, b-c=3 , a-c=4.代入原式=12+32+42=26.例12.已知代數(shù)式x2 3x 1的值是8,那么代數(shù)式4x2 12x 20的值是. 分析：要求代數(shù)式4x

14、2 12 20的值，我們會(huì)自然想到求 x的值.而由已知條件 2x 3x 1=8,同學(xué)們根據(jù)已學(xué)的知識(shí)，是沒辦法求出x的值的.如果我們細(xì)心地觀察所求代數(shù)式與已知條件間的關(guān)系，我們就能發(fā)現(xiàn)4x2 12x 20 = 4（x2 3x） 20,而（x2+3x）的值從條件式中是可以通過結(jié)構(gòu)改造的方法求得的.因此，我們只要將（x2+3x）整體代入，問題就能迎刃而解了 .解：由 x2 3x 1=8 得：x2 3x=7.則 4x2 12x 20 = 4（x2 3x） 20 =4X7-20=8.數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)1 .字母表示數(shù)的思想引入字母表示數(shù)，是從算術(shù)進(jìn)入代數(shù)的重要標(biāo)志之一，正確地理解用字母表示數(shù)的意義，是

15、學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的基本要求 .2 . “特殊與一般”的思想方法從幾個(gè)簡單的、個(gè)別的、特殊的情況去研究、探索、歸納出一般的規(guī)律和性質(zhì)，反過來, 應(yīng)用一般的規(guī)律和性質(zhì)去解決特殊的問題， 這是數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的思想方法， 列代數(shù)式和求 代數(shù)式的值，就體現(xiàn)了這種思維方法 .3 .整體思想從大處著眼，由整體入手，通過細(xì)心的觀察和深入的分析，找出整體與局部的有機(jī)聯(lián)系，從整體上把握問題，從而在客觀上尋求解決問題的途徑的一種常用的方法【模擬試題】（答題時(shí)間：90分鐘）一、細(xì)心選一選（每題 2分，共20分）1 .用字母表示加法交換律，錯(cuò)誤的是（）.A. a+b=b+aB. m+n=n+mC. p - q=q -

16、p D. x+y=y+x2 .如果m表示奇數(shù)，n表示偶數(shù)，則 m+n表示（）.A.奇數(shù)B.偶數(shù)C.合數(shù)D.質(zhì)數(shù)3 .已知一個(gè)三位數(shù)，它的百位數(shù)字是a,十位數(shù)字是b,個(gè)位數(shù)字是c,則這個(gè)三位數(shù)字是（）.A. abcB. a+b+cC. 100a+10b+cD.100c+10b+a4 .下列代數(shù)式的意義是a, b的平方和的是（）.A. （a+b） 2B. a+b2C. a2+bD. a2+b25 .用語言敘述1-2表示的數(shù)量關(guān)系中，表達(dá)不正確的是（）.aA.比a的倒數(shù)小2的數(shù)B.比a的倒數(shù)大2的數(shù)C. a的倒數(shù)與2的差6.下列說法：a與一 aa與b的和的60%,（aD. 1除以a的商與2的差c均是

17、代數(shù)式，ab表示a除以c再乘b,a 60%b表示A.7.已知 a-b=5,A. 2c+d=-3 ,b2 一b)表小a、B.則(b+c)cb的差的平方.其中正確的有（C.-（a-d）的值為（）.).D.,1 8.當(dāng)x 時(shí)，代數(shù)式2C.-8D. 8A. 3x2一的值是x*9.當(dāng)x3寸，代數(shù)式B.一33 c 2x 2xaxC.D. 226的值是0,那么a的值為（）A. -1*10.已知-x+2y=6,A. 84B. -13則 3 (x-2y) 2-5B. 144C. 0(x-2y) +6 的值是()C. 72D. 6D. 360二、仔細(xì)填一填（每題11.12.13.14.15.小明跑步速度為用代數(shù)式

18、表示比2分，共20分）v米/秒，問他的百米成績?yōu)?m的4倍大2的數(shù)為小彬上次數(shù)學(xué)成績 80分，這次成績提高了秒.a%,這次數(shù)學(xué)成績?yōu)槿齻€(gè)連續(xù)的自然數(shù)，中間的一個(gè)為n,則第一個(gè)為矩形的一邊長為 a- 2b,另一邊比第一邊大 2a+b,則矩形的周長為*16.如果a=2b, b=4c,那么代數(shù)式4a 5c的值為.3b*17.細(xì)胞在分裂過程中，一個(gè)細(xì)胞第一次分裂成兩個(gè)，第二次分裂成4個(gè)，第三次分裂成8個(gè)，那么第n次時(shí)細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)為個(gè).18.當(dāng) x=7, y=4 , z=0 時(shí)，代數(shù)式 x （2xy+3z）的值為 .*19.某人騎自行車走了 0.5小時(shí)，然后乘汽車走了1.5小時(shí)，最后步行 a千米，已知

19、騎自行車與汽車的速度分別為V1千米/秒和V2千米/秒，則這個(gè)人所走的全部路程為 .20.教學(xué)樓大廳面積 S m2,如果矩形地毯的長為 塊.a米，寬b米，則大廳需鋪這樣的地毯三、認(rèn)真算一算：（每小題21. (1)在式子 S u0t6分，共24分）1 , 2 , 一-gt中，已知U028米/秒,2t 20秒，g 9.8米/秒，求s.(2)已知 a 1, b2, c 3,求代數(shù)式* (3)已知a是最小的正整數(shù),abcb、c 是有理數(shù)，且 I 3+b + (2a-c) 2=0 ,求4ab c2,2.a b 4的值.* (4)當(dāng)x=3時(shí),如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)明的尺寸，？寫出求圖中陰影部分的面積 S的公式

20、，并求陰影部分的面積（取3.14）.四、努力解一解(共 36分)22 .按如圖所示方式在餐桌上擺碗:(1) 一張餐桌上放 6個(gè)碗，3張餐桌上放 個(gè)碗;(2)按照上圖繼續(xù)排列餐桌，完成下表.桌子的張數(shù)3456n擺碗數(shù)23 .某校舉辦跳繩比賽，第一組有男生m人，女生n人，男生平均每分鐘跳105次，女生平均每分鐘跳110次，一分鐘第一組學(xué)生共跳繩多少次？當(dāng) m=5, n=5時(shí)，結(jié)果是多少？24 .今年初共青團(tuán)中央發(fā)出了 “保護(hù)母親河的捐款活動(dòng)”，某校初一兩個(gè)班的115名學(xué)生積極參加，已知甲班 -的學(xué)生每人捐款10元，乙班-的學(xué)生每人捐款10元，兩班其余學(xué)35生每人捐5元，設(shè)甲班有學(xué)生 x人，試用代數(shù)

21、式表示兩班捐款的總額.*25.某商店進(jìn)貨價(jià)降低 8%,而售價(jià)保持不變，結(jié)果使商店的利潤可提高 10%,問原來利 潤是百分之幾？26.已知 a=3, b=2,計(jì)算：(1) a2+2ab+b2； (2) (a+b) 2. (3)當(dāng) a=2, b=1 或 a=4, b=-3時(shí)，分別計(jì)算兩式的值，從中可發(fā)現(xiàn)怎樣的規(guī)律？*27. 一根彈簧原來的長度是 10厘米，當(dāng)彈簧受到的拉力為 F千克(F在一定范圍內(nèi))時(shí)， 彈簧的長度用l表示，測得有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：拉力F (kg)彈黃長度l (cm)110+0.5210+1310+1.5410+2思考：(1)寫出當(dāng)F=7 kg時(shí)，彈簧的長度l為多少厘米？(2)寫出拉力為F時(shí)，彈簧長度l與F的關(guān)系式.(3)計(jì)算當(dāng)拉力F=100 kg時(shí)彈簧的長度l為多少厘米?試題答案I . C 2. A100II . v3. C 4. D12. 4m+215. 8a6b916.17. 2n18. 7019.5. B6. D7. C8. B9. B10. B13. 80 (1+ a%)14. n-1,n+1(0.5 V1+1.5 v2+a)千米20.ab21. (