全國(guó)優(yōu)質(zhì)課-兩個(gè)變量的線性相關(guān)

1、2. 3. 2兩個(gè)變量的線性相關(guān)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本Yj課是人教A版高中數(shù)學(xué)必修三2.3.2兩個(gè)變量的線性相關(guān)的第二課時(shí)。上節(jié)課通過 大量的生活實(shí)例，學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系，并可以借助散點(diǎn)圖呈現(xiàn)收集的 數(shù)據(jù)。通過對(duì)單變疑樣本數(shù)據(jù)中“平均數(shù)的幾何意義”（切合學(xué)生的認(rèn)知需要）的介紹，為 本節(jié)課的內(nèi)容做了鋪墊。本Vf課的主要內(nèi)容是用最小二乘法求線性回歸方程，基礎(chǔ)知識(shí)是回 歸直線的概念，也是本節(jié)課的核心概念：基本思想是“最小二乘法”思想：根據(jù)線性回歸方 程的系數(shù)公式求回歸直線是本節(jié)課的基本技能.就統(tǒng)計(jì)學(xué)科而言，對(duì)不同的數(shù)據(jù)處理方法進(jìn)行“優(yōu)劣評(píng)價(jià)”是“假設(shè)檢驗(yàn)”的萌芽，而 后者是統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)科

2、研究的另一重要領(lǐng)域了解“最小二乘法”思想，比較各種“估算方法”， 體會(huì)它的科學(xué)性，既是統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)發(fā)展的需要，又在體會(huì)此思想的過程中促進(jìn)學(xué)生對(duì)核心槪 念的進(jìn)一步理解“樣本估計(jì)總體”是本Yj課的上位思想也是整個(gè)第二章的核心思想，而“最 小二乘法思想”作為本節(jié)課的核心思想，由此得以體現(xiàn)回歸思想和貫穿統(tǒng)汁學(xué)科中的隨機(jī) 思想，也在本節(jié)課中有所滲透.本節(jié)課通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)一一整理數(shù)據(jù)（作散點(diǎn)圖）一一探究并確左回歸直 線的數(shù)學(xué)意義一一求回歸直線方程一一應(yīng)用”完整的回歸分析的過程，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、 自主探究、合作交流和計(jì)算機(jī)操作等方式展開學(xué)習(xí)，從而發(fā)揮本節(jié)課的育人價(jià)值。整個(gè)學(xué)習(xí) 過程滲透了數(shù)據(jù)分析和

3、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)大致分布在一條 直線附近的觀察，滲透直觀想象的核心素養(yǎng)；通過嘗試提岀找回歸直線的想法、用自己的語(yǔ) 言描述對(duì)這條直線的初步認(rèn)識(shí)到探究從數(shù)學(xué)的角度泄義回歸直線的過程,滲透數(shù)學(xué)抽象和邏 輯推理的核心素養(yǎng)；最后，根據(jù)回歸直線方程的系數(shù)公式，引導(dǎo)學(xué)生先求出公式中的基本統(tǒng) 計(jì)量，再代入公式的過程和指導(dǎo)學(xué)生利用EXCeI電子表格求回歸方程的過程，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算 的核心素養(yǎng)?；谏鲜鰞?nèi)容分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為:了解最小二乘法思想，并能根拯給出的線性 回歸方程的系數(shù)公式，建立線性回歸方程二、目標(biāo)和目標(biāo)設(shè)置基于對(duì)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的解析，結(jié)合普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017

4、年版）的要求， 制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：1了解一元線性回歸模型的含義：（1）能根據(jù)散點(diǎn)圖解釋兩個(gè)相關(guān)變量的線性相關(guān)關(guān)系：（2）能用自己的語(yǔ)言解釋回歸直線的統(tǒng)計(jì)意義：2. 了解最小二乘原理：（1）經(jīng)歷用不同方法確泄回歸直線的過程，能認(rèn)識(shí)到回歸直線是從整體上看，各點(diǎn) 與此直線上的點(diǎn)的距離最小”的直線；（2）能用數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫“從整體上看，各點(diǎn)與此直線上的點(diǎn)的距離最小”的表達(dá)方式:（3）通過對(duì)表達(dá)方式的轉(zhuǎn)化（距離最小到偏差平方和最?。w會(huì)最小二乘法原理，并 能用自己的語(yǔ)言表述：3. 針對(duì)實(shí)際應(yīng)用問題，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程；4. 在經(jīng)歷完整的線性回歸分析的過程中，重點(diǎn)提升

5、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)；5. 針對(duì)實(shí)際應(yīng)用問題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).三、學(xué)生學(xué)情分析在經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過程后，在學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)能力范圍內(nèi)， 如何選擇一個(gè)最優(yōu)方法，成為知識(shí)發(fā)展的邏輯必然而上節(jié)課的“從平均數(shù)的幾何意義說起” 符合學(xué)生的認(rèn)知需要和支撐點(diǎn)，同時(shí)引起了學(xué)生的興趣，為這Yj課的最小二乘法思想的產(chǎn)生 做了重要的鋪墊.“最小二乘法”作為經(jīng)典的回歸方程估算方法，通過用數(shù)學(xué)方法刻畫“從整體上看，各 點(diǎn)與此直線的距離最小”這一直觀的幾何描述，采取合適的數(shù)學(xué)處理方法，最終獲得回歸直 線，對(duì)學(xué)生認(rèn)可統(tǒng)訃估算的科學(xué)性有很大幫助貞中對(duì)于數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)距離與偏差的等價(jià)性，

6、二元二次函數(shù)的特征辨識(shí)等都是這節(jié)課學(xué)生所要具備的認(rèn)知基礎(chǔ).基于此，如何把“從整體上看，點(diǎn)與此直線的距離最小”用合適的代數(shù)符號(hào)刻畫并化 簡(jiǎn)，化幾何問題為代數(shù)問題，是學(xué)生順利了解解最小二乘法”思想的前提;而如何化簡(jiǎn)復(fù) 雜的代數(shù)表達(dá)式，學(xué)生缺乏處理的經(jīng)驗(yàn)，在訃算能力的要求上也較髙，這里就造成了已有認(rèn) 知與現(xiàn)需認(rèn)知的差異，而且是學(xué)生不能獨(dú)立突破的要了解“最小二乘法思想”，接受由系 數(shù)公式得到的線性方程”為回歸方程，理解此方程可作為“兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的 代表”這一回歸直線槪念的本質(zhì)，并體現(xiàn)相對(duì)于其他估算方法法的優(yōu)越性，又必須要求對(duì)給 出的系數(shù)公式來(lái)源進(jìn)行一左的說理，這里的認(rèn)知差異也是學(xué)生無(wú)法自

7、己消除的，需要老師的 引導(dǎo)和幫忙.知識(shí)發(fā)展的要求與學(xué)生能力和經(jīng)驗(yàn)的欠缺成為本節(jié)課將會(huì)遇到的最大矛盾.教學(xué)中，要 防止兩種傾向:一是直接套用回歸系數(shù)公式求解回歸方程而回避說理過程;二是過多糾纏于 數(shù)學(xué)刻畫過程，甚至在課堂上花大量時(shí)間對(duì)回歸系數(shù)公式進(jìn)行證明說理這兩種傾向，都脫 離了實(shí)際情況，前者忽略了“最小二乘法思想”，迷失了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo);后者人為拔高教 材要求，脫離了本節(jié)課教學(xué)要求.所以，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是:如何通過數(shù)學(xué)方法刻畫“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距 離最小”，并在此過程中了解最小二乘法思想對(duì)于該教學(xué)難點(diǎn)，教師通過精準(zhǔn)問題串層層分 解學(xué)生認(rèn)知的難點(diǎn)，不斷尋找學(xué)生的認(rèn)知原點(diǎn)，關(guān)鍵處動(dòng)畫

8、展示，直觀形象，突破教學(xué)難點(diǎn) 本節(jié)課涉及大量數(shù)據(jù)計(jì)算，形成操作上的一個(gè)難點(diǎn)，通過小組合作，教師培訓(xùn)模式突破難點(diǎn).四、教學(xué)策略分析本Tj課在課前讓學(xué)生收集身高與體重的數(shù)據(jù)，一方而對(duì)前而學(xué)過的知識(shí)有一個(gè)鞏固，同 時(shí)讓本節(jié)課進(jìn)行線性回歸分析的過程更加完整：二是從學(xué)生身邊的真實(shí)數(shù)據(jù)岀發(fā)，更容易促 進(jìn)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，而且給學(xué)生帶來(lái)的體驗(yàn)也更為真實(shí)。對(duì)回歸宜線概念的學(xué)習(xí)，采用概念形成和 概念同化相結(jié)合的策略。從自然語(yǔ)言描述上，回歸直線是“從整體上看，各點(diǎn)與此宜線的距 離最小”的一條直線，總偏差平方和最小”是回歸直線的數(shù)學(xué)符號(hào)表示。這里通過精心設(shè) 計(jì)問題串”引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷充分的思維活動(dòng)過程，是本節(jié)課落實(shí)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)

9、經(jīng)驗(yàn)的最佳機(jī) 會(huì)。具體來(lái)說，考慮讓學(xué)生帶著“同學(xué)們想做什么？或者說利用學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)你能做些什 么？ ”這樣的問題，在得出散點(diǎn)圖后，直觀感知“點(diǎn)”的分布特點(diǎn)，實(shí)際上也是在培養(yǎng)學(xué)生 發(fā)現(xiàn)問題”、“提出問題”的能力；通過讓學(xué)生嘗試畫出你認(rèn)為合適的回歸直線”的活動(dòng)， 給予學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間和空間，再通過讓學(xué)生展示自己畫的回歸直線，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)回歸直 線的標(biāo)準(zhǔn)有一個(gè)模糊的初步的想法。在此基礎(chǔ)上提出如何給回歸直線一個(gè)左量的數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn) 的問題。通過借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，幫助學(xué)生理解從“距離的和的最小”到總偏差平方 和最小”的轉(zhuǎn)化過程，完成對(duì)回歸直線概念的形成過程。除此之外，上節(jié)課利用“平均數(shù)的 幾何意義”的

10、案例做了鋪墊，本節(jié)課再類比標(biāo)準(zhǔn)差公式的學(xué)習(xí)過程，實(shí)際上是采用了先行組 織者策略幫助學(xué)生同化回歸直線的槪念。新課標(biāo)相對(duì)于老課標(biāo)（修訂版）在教學(xué)目標(biāo)上增加 了會(huì)使用相關(guān)統(tǒng)計(jì)軟件”的要求，采用小組合作學(xué)習(xí)的方式，更能在探究和上機(jī)操作的過 程中幫助基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生學(xué)習(xí)。另外，手機(jī)拍照投屏技術(shù)可以及時(shí)將學(xué)生討論的結(jié)果展示給 所有學(xué)生，幫助老師及時(shí)獲得反饋，也有助于學(xué)生在心理上形成與他人的比較，幫助學(xué)生逐 漸形成自我評(píng)價(jià)的意識(shí)。最后考慮結(jié)合國(guó)策作為作業(yè)的背景材料，也是體現(xiàn)教學(xué)中要有立徳 樹人的意識(shí)。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）知識(shí)回顧，導(dǎo)入新課1. 兩個(gè)變量之間有幾種關(guān)系？2. 從平均數(shù)”的幾何意義說起師生活動(dòng)：

11、兩個(gè)變捲之間有兩種關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系通過平均數(shù)是數(shù)軸上一組數(shù) 據(jù)最靠近的一個(gè)“代表值”，但是這是一個(gè)單變量樣本數(shù)據(jù)的問題，日常生活中涉及的大多 數(shù)是多變量的問題，比如課前收集的身高與體重就是一個(gè)雙變量樣本數(shù)據(jù)的問題（二）初步探索，直觀感知而對(duì)收集來(lái)的樣本數(shù)據(jù)，同學(xué)們想做什么？或者說利用學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)你能做些什么？ 利用電子表格作出散點(diǎn)圖，直觀感知兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系及回歸直線（板書） 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1：尋找回歸直線一一請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)案上嘗試畫岀你認(rèn)為合適的回歸直線問題1：如何評(píng)價(jià)這些“直線”的優(yōu)劣？是否有個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)？【設(shè)計(jì)意圖】能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，達(dá)到新課標(biāo)的水平一，即在熟悉的情境中直接抽

12、象出數(shù)學(xué) 概念和規(guī)則，能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納并形成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題，能夠模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解 決簡(jiǎn)單問題在上節(jié)課平均數(shù)的幾何意義的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過散點(diǎn)圖對(duì)尋求回歸直線的優(yōu)劣 展開思考，對(duì)于所有的點(diǎn)要突岀“整體”二字，于是提岀“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距 離和最小”這一評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)比幾何描述的直觀性和代數(shù)表達(dá)的便捷性，揭示兩者是同一標(biāo) 準(zhǔn)下不同表述師生活動(dòng)：通過而對(duì)樣本數(shù)據(jù)，感受核心思想“利用樣本估計(jì)總體”.通過作出散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn) 兩個(gè)變量線性相關(guān)關(guān)系及回歸直線尋求的可能方案：（1）回歸直線是過散點(diǎn)最多的直線；（2） 回歸直線是使上下點(diǎn)基本平均分布的宜線；（3）回歸直線是過兩個(gè)端點(diǎn)的直線；（4）回歸

13、直線 是經(jīng)過樣本中心的直線：（5）回歸直線是各點(diǎn)與之距離最小的直線；（6）多畫幾條直線，取它 們的斜率、截距的平均數(shù)作為回歸直線的斜率由此自然出現(xiàn)一個(gè)問題:各種處理方法是否合 理?哪條“最合適”？類比平均數(shù)的幾何意義，感受樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上是最接近 的，接近”，數(shù)學(xué)上是如何量化的于是引出了評(píng)價(jià)優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)為從整體上看，各點(diǎn)與此 直線的距離和最小”.由于具有幾何直觀性，學(xué)生易于接受此標(biāo)準(zhǔn)，達(dá)成“幾何”與“代數(shù)” 的轉(zhuǎn)化.（三）循序漸進(jìn)，延伸拓展問題2：你能用代數(shù)式刻畫“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離和最小”嗎？問題3：距離可以用別的形式代替嗎？問題4：作為判斷優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，距離和偏差可以等

14、價(jià)嗎？問題5：偏差有正有負(fù)，因此它們的和并不能反映“從總體上來(lái)看，各點(diǎn)與直線的偏差最小”, 怎樣解決這個(gè)問題呢？【設(shè)計(jì)意圖】能夠在熟悉的情境中，發(fā)現(xiàn)問題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行數(shù)據(jù) 分析通過問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)人深層次的思考，為下一步探究作好準(zhǔn)備經(jīng)歷幾何直觀”轉(zhuǎn) 化為代數(shù)表達(dá)”過程，體會(huì)“最小二乘法”思想.師生活動(dòng)：利用幾何畫板介紹偏差處理法的優(yōu)越性和等價(jià)性，達(dá)成“距離”與“偏差”的轉(zhuǎn)化.假設(shè)樣本數(shù)據(jù)為：（召，）（尤2，兒）（，；）當(dāng)自變量X取兀（r=l，2, ,n）時(shí),可以得到y(tǒng) = bxi+a （Z=L 2 n）,它與實(shí)際收集到的開之間的偏差是X-為= X-U+） （i=l, 2,

15、，n）,故偏差和為Q = （）-）+-%）+（兒一艮），偏差有正有負(fù)，易抵消，所以學(xué)生生可能會(huì)存在如下回答：（1）每項(xiàng)加絕對(duì)值，這樣全部變成 正數(shù);（2）每項(xiàng)加平方.類比前而方差的學(xué)習(xí)，大家不難達(dá)成共識(shí)選（2）,這樣就形成二乘法思 想,即 Q-(y1-fcv1-f)2+(y2-bx2-a)1 +(y3-bx3-a)1 +(ys-bxn-a)1問題6：顯然a, b是未知量，X., ,.是已知量，那么下而的表達(dá)式具有什么樣的函數(shù)特征？【設(shè)計(jì)意圖】不經(jīng)歷公式化簡(jiǎn)，無(wú)法真正理解最小二乘法思想而直接從n個(gè)點(diǎn)的公式化簡(jiǎn), 教學(xué)要求、教學(xué)時(shí)間、學(xué)生能力都沒達(dá)到這個(gè)高度而由具體到抽象，由特殊到一般，是學(xué) 生順

16、利完成認(rèn)知過程的一般性原則通過此問，讓學(xué)生了解這個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打 下基礎(chǔ).師生活動(dòng):通過令式子等于Q觀察其函數(shù)特征，可以發(fā)現(xiàn)其實(shí)是關(guān)于a, b的二元二次函數(shù)求 最值的問題，即我們要求的是當(dāng)a, b取什么值時(shí)，使Q取到最小值，即所有點(diǎn)到直線的整 體距離最小.上述這種通過求Q的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距 離的平方和最小的方法，叫做最小二乘法.其中“二乘”指的是平方，最小即使得Q最小. 在此基礎(chǔ)上，給岀使Q為最小值時(shí)的a, b的值的線性回歸方程系數(shù)公式a = y bx (Xi-X)(X) Xiyi-yb= =n n . -2 xixY xi-nxi=Z=I

17、對(duì)于公式的推導(dǎo)及證明，我們將在后而的學(xué)習(xí)中深入展開.問題7：運(yùn)用這個(gè)公式進(jìn)行運(yùn)算，你按怎樣的順序求解呢？【設(shè)計(jì)意圖】能夠針對(duì)運(yùn)算問題，合理選擇運(yùn)算方法，設(shè)汁運(yùn)算程序，解決問題，體現(xiàn)了數(shù) 學(xué)的核心素養(yǎng)但公式不要求推導(dǎo)（推導(dǎo)過程參見選修2-3第三章3節(jié)），又不要求記 憶，學(xué)生對(duì)這個(gè)公式缺少感性的認(rèn)識(shí)通過這個(gè)問題，使學(xué)生從感性的層次上對(duì)公式有所了 解.師生活動(dòng)：這個(gè)公式不要求記憶，由于這個(gè)公式比較復(fù)雜，因此在運(yùn)用這個(gè)公式求a, b時(shí), 必須要有條理，先求什么，再求什么，比如，我們可以按照的順序來(lái)求，再代入公式.（四）實(shí)際應(yīng)用，知識(shí)深化 問題1：觀察公式，根據(jù)我們收集的數(shù)據(jù)，需要訃算哪些新數(shù)據(jù)，才能求

18、出線性回歸方程系第4貞（共6頁(yè)）數(shù)？汁算疑大不大?我們用訃算機(jī)代替，請(qǐng)大家自主進(jìn)行操作【設(shè)計(jì)意圖】公式形式化程度高、表達(dá)復(fù)雜通過分解，加深對(duì)公式結(jié)構(gòu)的理解同時(shí)，通過 數(shù)據(jù)處理的繁雜過程，體現(xiàn)計(jì)算器處理的優(yōu)越性.師生活動(dòng):師生共同得出5xzyp2這五個(gè)新數(shù)據(jù).學(xué)生自主完成計(jì)算機(jī)操作（操作r-1/-I流程拷貝在學(xué)生電腦上），最后教師進(jìn)行操作示范，點(diǎn)評(píng)，師生共同完成.問題2：利用計(jì)算機(jī)，請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成電腦上的例題（即課本上91頁(yè)例題）.師生活動(dòng):教師巡視，適時(shí)指導(dǎo)輔助，最后操作演示，并對(duì)估計(jì)的結(jié)果的隨機(jī)性作出說明.（五）歸納總結(jié)，內(nèi)化知識(shí)【設(shè)計(jì)意圖】思維導(dǎo)圖式的對(duì)課堂知識(shí)和思想的兩層總結(jié)、提煉 師生活動(dòng)：師生共同小結(jié)（六）作業(yè)布置，創(chuàng)新應(yīng)用我國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，由于二胎政策的放開，估計(jì)