全等三角形的綜合-教師版

1、例題解析【例1】已知：AE=ED, BD = AB,試說明：CA=CD.【難度】【答案】見解析.【解析】在 ABE與4DBE中，AE EDAB BD , ABE DBE（SSS ,BE BEAEB DEB , AEC DEC .在AACE與ADCE中，AE EDAEC DEC , AEC DEC(SA0 , CE CECA CD （全等三角形的對應(yīng)邊相等）.【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形判定定理的應(yīng)用.【例2】 如圖，已知 AB = DC, AC=DB, BE= CE,試說明：AE= DE .【難度】【答案】見解析.【解析】在 ABC和4DCB中，AB DCAC DB , ABg DCB （

2、S.SS,BC CB/ ABC= / DCB .在 ABE和ADCE中，AB DCABC DCB , ABEA DCE (S.A.S),BE CE . AE=DE （全等三角形的對應(yīng)邊相等）.【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形判定定理的應(yīng)用.13 / 29【例3】已知：AB/CD, OE = OF,試說明：AB=CD.【解析】見解析.Q AB/CD ,AOE和DOF 中,AOEAAOEOEDOF (A.A.S),OFAODOFDODOAOAOB和DOC 中,ABAOBDOC (A.A.S)AB CD(全等三角形的對應(yīng)邊相等)BD平分EF.【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形判定定理和性質(zhì)定理的綜合應(yīng)

3、用.【例4】 如圖：A、E、F、C四點(diǎn)在同一條直線上， AE=CF,過E、F分別作BE±AC>DF ±AC,且 AB=CD, AB / CD .試說明：【難度】【答案】見解析.【解析】AB/ CD, ZA= ZC.A C在AGB 和CGD 中， AGB CGDAB CDA AGg A CGD(AAS),BG=DG . BE LAC, DF ±AC, ./ BEG= ZDFG= 90°.在 BGE和 DGF中,BGE DGFBEG DGFBG DGABGE ADGF (A.A.S),GE=GF , 即 BD 平分 EF .【總結(jié)】本題主要考查了全等三

4、角形判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用.【例5】 如圖，已知 AD=AE, AB=AC.試說明：BF=FC. 【難度】【答案】見解析.【解析】 在ABE和ACD中，AD AEA A , ABE ACD(SAS), B C . AB ACQ BD AB AD , CE AC AE , BD CE .在BDF和CEF中,DFB EFCB C , BDF CEF(A.A.S) , BF BD CECF.如圖，在 ABC 中，AC=BC, /C=90°【例6】,D是斜邊上 AB上任一點(diǎn),CD ,CHDCFB，BF90 .QCH ABQ CDHBDFHCDDBFQ ACEACGCBFCBDACE在VAC

5、E和VCBF中，ACEAECAC BCCBFCFB,VACEVCBF (AAS),CAG BCD .在VAGC和VCDB中,CAGACGBCDCBD , VAGgVCDB(ASA ,BD CG .【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用.AC BC【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形判定定理和性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用.【例7】 如圖 1, AABD 和AAEC 中，AB=AD=BD, AE=EC=AC,連接 BE、CD.(1)請判斷：線段 BE與CD的大小關(guān)系是 ;(2)觀察圖2,當(dāng)那BD和 "EC分別繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時，BE、CD之間的大小關(guān)系是 否會改變；(3)觀察圖3和圖4,若

6、四邊形ABCD、DEFG都是正方形，猜想類似的結(jié)論是 在圖4中證明你的猜想；(4)這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形(不必證明)，如圖5, BBi與EEi的關(guān)系是;它們分別在哪兩個全等三角形 6中標(biāo)出較小的 正六邊形ABiCiDiEiFi的另五個頂點(diǎn)，連接圖中哪兩個頂點(diǎn)，能構(gòu)造出兩個全等三 角形？【難度】【答案】(i) BE CD; (2)不變；(3) AE CG ,證明見解析；(4)BBiEE,ABB1和AEE,連接FFi,可證 ABB,AFF,.【解析】(3)如圖4,Q四邊形ABCD與四邊形DEFG都是正方形，AD CD , DE DG , ADC GDE 90 , CDG ADE .AD C

7、D在AADE 和 CDG 中， ADE CDG DE DGADE CDG (SAS) , AE CG.【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形判定定理和性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用.【例8】 已知 ABC中，AB=AC=6cm, BC=4cm, B C ,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).(1)如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，同時，點(diǎn) Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動.若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn) P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過 1秒后， BPD與4CQP是 否全等，請說明理由；若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時， 能 夠使 BPD與 CQP全等？(2)若點(diǎn)Q以中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以

8、原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時出發(fā)，都逆時針沿 ABC三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點(diǎn)的哪條邊上相遇？【難度】【答案】見解析.【解析】(1)全等，理由如下：Qt 1秒，BP CQ 1 1 1cm.Q AB 6cm,點(diǎn) D 為AB的中點(diǎn),BD 3cm又 Q PC BC- BP, BC 4cm, PC 4T 3cm,P與點(diǎn)Q第一次在 ABCBD CP在 BPD 和 CQP 中， B C , BP CQBPDCPQ(SAS).QVp Vq,BP CQ .又Q BPD和 CPQ全等,B C .BP CP 2cm, BD CQ 3cm.點(diǎn)P與點(diǎn)Q運(yùn)動的時間t 2s,VQ=1.5cm/s；(2)設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q

9、第一次相遇，由題意得：1.5x x 2 6 ,解得：x 24.此時點(diǎn)P的運(yùn)動路程為24厘米.因為Cvabc 6 6 4 16, 所以點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AC邊上相遇即經(jīng)過24秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AC上相遇.【總結(jié)】本題綜合性加強(qiáng)，主要考查了動點(diǎn)與全等三角形判定定理和性質(zhì)定理的結(jié)合, 解題時注意分析動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡.【例9】 已知三角形的兩邊分別為 5和7,求第三邊上的中線長 x的取值范圍. 【難度】【答案】1x6.【解析】如圖所示，AB 5, AC 7.延長AD至E,使AD DE AD 是 BC 邊上中線，BD=CD .BDEZ CDA(S.A.S),b BE AC 7 .AD DE 在 BDE 與八

10、 CDA 中， EDB ADC BD CD在 ABE 中，: BE ABVAEvAB BE,，7 5 AD 7 5 ,.1 x 6.【總結(jié)】本題主要考查了中線倍長輔助線及三角形三邊關(guān)系的綜合應(yīng)用.【例10】在 3BC中，AD是BC邊上的中線，AE=EF,試說明：BF = AC.【答案】見解析.【解析】 延長AD至G,使DG AD是BC邊上中線,：BD=CD.AD DG在 BDG 與/ CDA 中,GDBADCBD CDBDG CDA(S.A.S) ,： BG AC , G CAD .Q AE EF , CAD EFA . Q EFA DFB ,BF BG , BF AC .【總結(jié)】本題中一方面

11、主要考查了輔助線的添加，另一方面考查了等腰三角形的性質(zhì) 的運(yùn)用，教師可選擇性講解.【例11如圖所示，AD是4ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AC=BF.試說明：AE=EF.【難度】【答案】見解析.【解析】 延長AD至點(diǎn)M ,使MD FD ,連接MC . AD是BC邊上中線， ：BD=CD .BD CD在 BDF 和 CDM 中， BDF CDMDF DMBDF CDM (S.A.S) , MC BF, M BFD .Q AC BF , AC MC , M EAF .Q BFD AFE , EAF AFE , AE EF.【總結(jié)】本題中一方面主要考查了輔助線的添加，另一方面考查了等腰

12、三角形的性質(zhì) 的運(yùn)用，教師可選擇性講解.【例12】已知：如圖所示， ABC中，D為BC上一點(diǎn)，AB=AC, ED=DF ,試說明：BE=CF.【難度】【答案】見解析.【解析】 過點(diǎn)E作EM/AC交BC于點(diǎn)M ,則 BME ACB .Q AB AC , ABC ACB ,ABC BME , BE EM .Q EM / /AC , EMD FCD .EMD FCD在 EMD 與 FCD 中，ED DFEDM FDCEDM FDC(A.A.S),EM CF , BE CF .【總結(jié)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用.于G.試說明：GD=GE.【難度】【答案】見解析.【解析

13、】 過點(diǎn)D作DF / /AC交BC于F ,BD DF .【例13】4ABC中，AB=AC, E為AC延長線交于一點(diǎn)，且 BD=CE,連接DE交底BC貝U DFG ECG , FDG E , DFB ACB .Q AB AC , B ACB , B DFB ,Q BD CE , DF CE .DGF EGC在 DGF 與 EGC 中， DF EGGDF EDFG ECG A.SA , GD GE .【總結(jié)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例14】己知， ABC中，AB=AC, CDXAB,垂足為D, P是射線BC上任一點(diǎn),PEXAB, PFLAC垂足分別為E、F

14、,試說明PE、PF與CD的關(guān)系.F【答案】當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，PE PF CD;當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時，PE PF CD .【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，連接AP,Q PE AB , PF AC , CD AB , 1_1_1_-ABPE , S acp- ACPF , S abc-AB CD.222S ACP S ABC , 1_1_PE-ACPFABCD.22S ABPQ S ABP-AB 2Q AB AC ,PE PF CD;(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時，連接 AP,Q PE AB , PF AC , CD AB ,S abp AB PE , S acp 2Q S ABP S

15、 ACP S ABC ,1 1八AB PE AC PF2 2Q AB AC ,PE PF CD.【總結(jié)】本題主要考查了利用三111-AC PF , S abc - AB CD .22【例15】 已知，如圖在四邊形 ABCD中，BD平分/ABC, BC>AB , / A+/C=180試說明：AD=CD.【難度】【答案】見解析.【解析】 過點(diǎn)D作DE BA交BA的延長線于E ,過點(diǎn)D作DF BC ,垂足為F ,貝U E BFD DFC 90 .Q BD平分 ABC , DAE DBF .E BFDEBD(AAS) ,DE=DF.在 BED 和 BFD 中， ABD FBD , ABDBD B

16、DQ BAD C 180 , BAD EAD 180 , EAD C .E DFC在 AED 和 CFD 中， EAD CDE DFAEDCFD (A.A.S) , AD CD【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意輔助線的添加.【例16 已知，如圖， ABC中，AB=AC, Z BAC=90° , D是AC的中點(diǎn)，AFXBD于E,交BC于F,連結(jié)DF .試說明：/ ADB = Z【難度】【答案】【解析】Q見解析.過點(diǎn)A作AN BC交BC于點(diǎn)N ,交BD于點(diǎn)M ,BAC 90 , AE BD , ABD FAC .Q ABC是等腰直角三角形，AB AC , C B

17、AM DAM 45ABD FAC在ABAM 與AACF 中，AB AC , BAM CAF(A.S.A), AM CF .BAM CQD 為AC中點(diǎn)，AD CD .AM CF 在AMD 與 CFD 中， MAD C ,AD CDAMD CFD (S.A.S) , ADB CDF .【總結(jié)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例17如圖，BC/AD,EA、EB分另1J平分/ DAB、/CBA, CD過點(diǎn)E,試說明:AB= AD+BC.【答案】見解析.【解析】在AB上截取AF連接EF .Q EA平分DAEAFAD在FAE和DAE 中,DAEFAEAEAEFAEDAE

18、(S.A.S),ADAFAFEQ BC/AD180AFEBFEQ EB平分FBE在FBE和CBE 中,CFBECBE .BFECBEBE BEFBECBE(A.A.S), BC BFABAD【總結(jié)】本題主要考查截長補(bǔ)短輔助線的運(yùn)用.【例18如圖，在 ABC中，AB AC,BAC108o,試說明：BC AB CD .【答案】見解析.【解析】在AB上截取CE CD連接DE.BD平分ABC.BAC) 2 36 .Q AB AC,BAC 108ABC(180CEDCDE (180C)BED108 BAD .Q BD平分ABDABDEBD .EBD在BDA和BDE 中,BADBDABDE (A.A.S)

19、, AB BE .BD BDQ BC BEBC AB CD .【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)定理及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用.15/29【例19如圖，已知 ABC中，AD是 BAC的角平分線,試說明：AB BD41 / 29【答案】見解析.【解析】在AC邊上取點(diǎn)Q AD 平分 BAC ,BAD= CAD .在 AMD與CFD中,AB AEBAD EADD-ADADABD0AED(S.A. S),DEBD , AEDC, AEDQ AEDCDE , DECE BD .Q AC AE CE , ACAB BD .【總結(jié)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例

20、20】在四邊形ABCD中，AC平分/ DAB,若AB>AD , DC=BC.試說明： B D 180 .【答案】見解析.【解析】在AB上截取AF連接FC .Q AC平分DACADAF在ADC與AFC 中,DAC FACACACADCAFC (S.A S),D AFC , CDCFQ DC BC , FC BC , CFB B ,B D AFC CFB 180【總結(jié)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì).【例21如圖，在那BC中，AB=AC,延長 AB到D,使BD=AB,取AB的中點(diǎn)E,連接CD和CE,試說明：CD=2CE.【難度】【答案】見解析.【解析】延長 CE到H,使

21、EH = CE,連接BH.E 是 AB 的中點(diǎn)，AE = BE.AE BE在MEC 與4BEH 中，AEC BEHVAEC VBEH ,AB=AC,1CBD A 1 ,. A EBH , BH3.CBH 3 ABH ,AC AB BD . CBD CBHCE EHBD BH在ACBD 與 CBH 中， CBD CBHCB CB VCBD VCBH , CD 2CE .【總結(jié)】本題主要考查了中線倍長輔助線與全等三角形的判定的綜合運(yùn)用.【例22】已知：正方形 ABCD中，/ BAC的平分線交 BC于E,試說明：AB+BE=AC.【難度】【答案】見解析.【解析】過點(diǎn)E作EF AC于點(diǎn)F,則 AFE

22、CFE 90Q四邊形ABCD是正方形，B 90 , ACB 45 ,FEC 180904545 ACB , EF FC .Q AE是BAC的平分線，BAE FAE .AFE B 在 ABE和 AFE 中， BAE FAEAE AEABE AFE (A.A.S) , AB AF , BE EF FC .Q AF FC AC , AB BE AC .【總結(jié)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例23 如圖：在 ABC中，/ ABC=2/C, ADXBC,延長 AB到E,使BD=BE,延長ED至ij F,交AC于F,說明AF=DF=CF的理由.【難度】 【答案】見解析.【

23、解析】Q BD BE , E BDE ,ABC E BDE 2 BDE .Q ABC 2 C ,BDEC .DF CF .Q BDEFDC , CFDC ,Q AD BC , ADFFDC 90 , DAF C 90 ,ADFDAF , AF DF , AF DF CF .【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)運(yùn)用，教師可選擇性講解.【例24】已知AD為那BC的角平分線，AB>AC,試說明：AB-AOBD-DC.【難度】【答案】見解析.【解析】 在AB上截取AE AC ,連接DE .Q AD為 ABC的角平分線，DAE DAC .AE AC在 ADE 和 ADC 中， DAE

24、 DAC ,AD ADADEZ ADC(SA.S),DE DC .在 BDE 中，Q BE BD DE , BE BD DC ,AB AC BD DC .【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的綜合應(yīng)用.【例25已知，如圖1正方形ABCD中，E是BC中點(diǎn)，EFXAE交/ DCE外角的平分線于F.(1)試說明：AE=EF.(2)如圖2,如當(dāng)E是BC上任意一點(diǎn)，而其它條件不變時，AE=EF是否仍然成試加以分析說明.見解析.連接EH .H ，圖2(1)取AB的中點(diǎn)Q ABCD是正方形,ABBCD90EAHAEB 90 .Q AE EF , FECAEB 90 ,EAHQ H為A

25、B中點(diǎn)，E為BC中點(diǎn),AHBH BE BC ,BHEAHE18045135 .QCF為DCG的角平分線,FCDECF135 , AHE在AHE和AHEECF 中，AH ECEAHECFFECAHEECF(A.S.A),AEEF(2)成立.Q ABCD是正方形，ABBCD 90 ,EAHAEB 90 .Q AEEF , FECAEBEAH FEC .Q AHBHE 45AHE 18045QCF為DCG的角平分線,FCD 45ECF135 , AHEAHEECF .ECF在AHE和ECF 中，AH ECEAH FECAHEECF(A.S.A), AE EF .【總結(jié)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全

26、等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【例26如圖，點(diǎn)D、E三等分 ABC的BC邊 【難度】【答案】見解析.【解析】 延長AD至F ,使DF AD ,連接BF ,Q D、E 三等分 BC, BD DE EC .DF AD 在 BDF 和 EDA中，BDF EDABD DEBDFEDA (S.AS) ,BF AE.在 ABF 中，Q AB BF AF , AB AE同理可證：AC AD 2AE .試說明：AB+AOAD+AE.延長AE至G，使EG AE ,連接CG .Agk-A、D«f七1tt1 : : : :hi 1% it * x ix p2AD .七2AD 2AE , 即 AB助線的添

27、加.【例27已知：如圖，在 ABC的邊上取兩點(diǎn) D、 試說明：AB+AOAD+AE.【難度】【答案】見解析.【解析】取BC中點(diǎn)M ,連AM并延長至N ,使MN連BN、DN ,延長ND交AB于P .Q BD CE , DM EM .AM MN在AAEM 與ANDM 中，AME NMDEM DMDMN EMA S.A.S ,DN AE .同理可證：BN CA .Q BN BP PN , DP PA AD ,BN BBN AB DN AD , AB AC AD AE【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及三響E,且 BD=CE.AM.B . DM E CW /'V NP DP PA P

28、N AD .目形三邊關(guān)系的應(yīng)用.且/ D=60° , E 是 AD【例28如圖，在 ABC中，AB=AC, D是CB延長線的一點(diǎn),上一點(diǎn)，DE = DB.試說明：AE=BE+BC.【答案】見解析.【解析】延長DC到F,使CFBD,連接AF .Q AB AC , ABCACB , ABDAB AC在 ABD與 ACF中,ABD ACFBD CFVABDVACF(SAS),AD AF .Q ADB 60 , ADF是等邊三角形,AD DF .Q ADAEDE , DF DB BC CF ,AE DEDBBC CF .Q DEADB 60 , DEB也是等邊三角形，DEBEDB CF ,

29、AE BE BC .【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，注意對學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).隨堂檢測【習(xí)題1】 如圖4ABC和4DBC中，/ABP=/DBP, / ACP= / DCP , P是BC上任意一點(diǎn)，試說明：PA=PD.【難度】【答案】見解析.ABP DBP 【解析】 在 ABC和 DBC中， BC BC ,ACP DCPABC DBC (S.AS), AB BD .ABP DBP在 ABP和 DBP 中，BP BP AB BDABPDBP(S.AS), PA PD .【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用.【習(xí)題2】已知，

30、ABC中，AB=5, AC=3,則中線AD的取值范圍是 【難度】【答案】1 AD 4 .【解析】 延長AD至點(diǎn)E ,使DE AD ,連接EC .設(shè) AD x,貝 U AE 2x .BD CD在 ABD 與 ECD 中，ADB EDCAD EDABDECD(S.AS), CE AB 5 .Q AC 3,2 2x 8,1x4.【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用.【習(xí)題3】從正方形 ABCD的頂點(diǎn)A作/ EAF=45°，交DC于F, BC于E,試說明:DF+BE=EF.【難度】【答案】見解析.【解析】 延長CD到G ,使DG BE ,連接AG .Q四邊形AB

31、CD為正方形，AB AD , B ADC ADG 90 , AB AD在 ABE和 ADG 中， B ADG BE DGADGABEADG(S.A.S), AE AG , BAEDAGQ EAF 45 ,GAF DAG DAF BAE DAF即 EAF GAF.AE AG在 AEF 和 AGF 中， EAF GAFAF AFAEFAGF(S.AS), EF GFBAD EAF 904545 ,Q GF DG DF BE DF ,BE DF EF .【總結(jié)】本題考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，利用旋轉(zhuǎn)作輔 助線構(gòu)造全等是解題的關(guān)鍵.【習(xí)題4】 已知，E是AB中點(diǎn)，AF=BD,

32、BD=5, AC=7,求DC的長.【難度】【答案】2.【解析】 延長FE至G,使EF GE,連接BG.Q E是AB中點(diǎn)，AE BE .AE BE在 AFE和 BGE中， AEF BEGFE GEAFE BGE(SA.S),GB AF, G AFG DFC .Q AF BD , GB BD ,D G AFG DFC , CD CF .Q AC 7, AF 5, DC CF AC AF 2 .【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，教 師在講解時注意針對性的引導(dǎo).【習(xí)題5】如圖， ABC中，AB<AC, AD是中線，試說明:【難度】【答案】見解析.【解析】 延

33、長AD到點(diǎn)E ,使AD DE ,連接BE .Q AD為中線，BD CD .BD CD在 BDE 和 CDA 中， BDE CDADE ADBDE CDA (S.A.S), BE AC , DAC E .Q AB AC , AB BE ,E DAB , DAC DAB .【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形邊角關(guān)系的綜合應(yīng)用，注 意添加適當(dāng)?shù)妮o助線將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【習(xí)題6】 ABC中，AB>AC, AD是/ BAC的平分線，P是AD上任意一點(diǎn),試說明：AB-AC>PB-PC.【難度】【答案】見解析.【解析】 在AB上取一點(diǎn)E ,使AE AC ,連接PE ,貝U AB

34、AE AB AC BE.Q AD 平分 BAC , EAP CAP .AE AC 在 AEP和 ACP 中， EAP CAPAP APAEP ACP (S.A.S) , PE PC .在 BPE 中，Q BE PB PE , AB AC PB PC .【總結(jié)】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的 綜合應(yīng)用.【習(xí)題7】如圖，在 ABC中，AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF/AD交CA的延長線于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G,若BG=CF,試說明：/ BAD= / CAD.【難度】【答案】見解析.【解析】 延長GE到點(diǎn)M ,使EM GE ,連接CMQ E是BC 中點(diǎn)，BE C

35、E .BE CE在 BEG 和 CEM 中， BEG CEMGE EMBEG CEM (S.A.S),Q BG CF , CM CF ,BG CM , BGE M .M F, BGE FBAD CAD .Q EF / /AD , BGE BAD , F CAD ,【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【習(xí)題8】已知：如圖，ABCD是正方形，/ FAD=/FAE.試說明：BE+DF=AE.【答案】見解析.【解析】延長CB到G,使BG連接AG .Q四邊形ABCD為正方形AB AD ,AB/CD ,ABC 90 .Q AB / /CD ,AFDBAFEAFQ ABC

36、 90180ABCAB AD在 ABG 和 ADG 中， ABGBGDFABG ADF (S.AS),AFDBAGDAFG AFD EAFBAEBAGBAEGE AE, BE DFBE GB GE【總結(jié)】本題主要考查了在正方形背景下的輔助線的添加及全等三角形的綜合運(yùn)用.【習(xí)題9】如圖所示， ABC是邊長為1的正三角形，/BDC= 120° , BD=CD,以D為頂點(diǎn)作一個60°的/ MDN，點(diǎn)M、N分別在AB,【解析】延長AC到點(diǎn)E使CEABC為正三角形,ABCACBBDC 120 , BDDBCDCB 30MBDMBD和MBDMDNACD 90ECD 90BMCEECD

37、中,MBD ECDBDBCECD(S.AS),BDM EDCMD60 , BDMNDC 60 ,EDCNDCMDDEMDN 和 EDN 中,MDNMDNDN DNAM MN AN AMENANAMNC CEAMBMNCANAB AC ,Q ABC邊長為1 , AMMNANAC上，求 AMN的周長.60EDN MDN .EDN (SAS),MN EN .AN【習(xí)題10 如圖，已知梯形 ABCD中，AB=CD=10厘米，BC=8厘米，/ B=/C,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).點(diǎn)P在線段BC上由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn) Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動.（1）若點(diǎn)P與Q都以2厘米/秒的速度運(yùn)動，經(jīng)過 1. 5秒后

38、， BPE與4CQP是否全等？青說明理由;（2）若點(diǎn)P的速度為3厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使 PBE與 CQP全等？【答案】（1）全等；（2）3cm/s或竺cm/ s .4【解析】（1）經(jīng)過1.5秒后,BPQ AB 10,E為AB中點(diǎn),Q BC 8,CP 5,BE在BPE和CQP 中,BEBBPCPC, CQBPECQP(S.A.S)(2)當(dāng) BPE CQP 時，由(1)可知 BE 5 , CP 5.QBC 8, BP 3Q點(diǎn)P速度為3cm / s ,運(yùn)動時間為1s,點(diǎn)Q速度為3cm/s .當(dāng) BPE CPQ 時,同理可得：BP CP 4, CQ 5 ,一 ,，、一 .4,. 、

39、 . 15運(yùn)動時間為一s, 點(diǎn)Q速度為一cm/s.Q點(diǎn)P速度為3cm / s,315綜上點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為3cm/ s或一cm /s .4【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論，綜合性較強(qiáng).課后作業(yè)【作業(yè)1】已知：如圖,ODXAD, OHXAE, DE 交 GH 于 O.若/ 1 = /2,試說明：OG=OE.【難度】【答案】見解析.【解析】QOD AD, OH AE, ADO GDO AHOEHO 90.ADO AHO在AOD和AOH中， 12AO AOAOD AOH (A.A.S) , OD OH .DOG HOE在 DOG 和 HOE 中， OD OHGDO EHODO

40、G HOE (S.A.S), OG OE .【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【作業(yè)2】如圖，在 ABC中，AD為BC邊上的中線.試說明：AD <(AB+AC).E【難度】【答案】見解析.【解析】延長 AD到點(diǎn)E ,使AD DE ,連接BE ,Q AD為BC邊上的中線，BD CD.BD CD 在 BDE 和 CDA 中， BDE CDA AD DEBDE CDA(S.A.S) , BE AC .在 ABE 中，Q AB BE AE , AB AC 2AD ,1-AD -(AB AC).【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系的綜合運(yùn)用.【作業(yè)3

41、】已知：AB/ED,【難度】【答案】見解析.【解析】連接EB/ EAB=/BDE, AF=CD, EF=BC,試說明：/ F=Z C.DEB .EAB BDE在ABE和DEB中,ABE DEBBE EBABEDEB(AAS), AE DB .AF CD在 AEF 和 DBC 中， EF BCAE DBAEF DBC(S.S.S), F C.【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【作業(yè)4】AABC中，AD是/ CAB的平分線，且 AB=AC+CD,試說明：/ C=2/B.【難度】【答案】見解析.【解析】 在AB上截取AE AC ,連接DE .Q AD是 CAB的平分線，CAD

42、EAD .AC AE在 CAD 和 EAD 中， CAD EADAD ADCADEAD(S.AS), CD DE , C AED .Q AB AC CD , AB AE BE , DE BE ,EDB B .Q AED EDB B 2 B ,C 2 B .【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.QAB/ED, ABE【作業(yè)5】 已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn) A在DE上，且/ BAE=/CDE.試說明：AB=CD.【難度】【答案】見解析.【解析】 延長AE到點(diǎn)F ,使AE EF ,連接CF .Q E是BC的中點(diǎn)，BE CE .AE EF在 ABE和 FCE 中，

43、 AEF FECBE CEABE FCE(SAS),AB FC, BAE F ,Q BAE CDE , F CDE , FC CD , AB CD .【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【作業(yè)6】如圖所示，已知 ABC中，AD平分/ BACDE=CD, EF=AC .試說明：EF/AB.【難度】【答案】見解析.【解析】 延長AD到點(diǎn)G ,使AD DG ,連接EG在ADC和GDE中，AD DGQ ADC GDECD DE,E、F分別在BD、AD上.ADC GDE (S.A.S),Q EF AC , EF EG ,CAD G , AC EG .EFD G , CAD EFD .

44、Q AD 平分 BAC , BAD CAD ,BAD EFD ,EF / /AB【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及平行線的判定定理的綜合運(yùn)用, 注意輔助線的添加.【作業(yè)7】 在直角三角形 ABC中，/ BAC=90° , AB=AC, BD平分/ABC, CE垂直于BD,試說明 BD=2CE.【難度】【答案】見解析.【解析】延BA CE交于點(diǎn)FQ BAC 90 , FAC 1809090 BAC.Q BD 平分 ABC ,ADB 67.5.Q CE BD , BECBCE 67.5 ,ACE 22.5 , 在ABD和ACF中，BAC FAC Q AB AC , ABD ACEBD CF , ADBF BCE .在FBE和CBE中，ABD DBC 22.5 ,ABD ACE.ABD ACF (S.A.S),F 67.5 ,F BCEABD DBC , BE BEQ AB AC , ABC ACB 45.FBE CBE(A.A.S).EF CE , CF 2CE , BD 2CE .【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【作業(yè)8】已知：點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)， ACM、ACBN都是等邊三角形，且 AN、BM相交于O.(1)試說明:AN=BM ;(2)求/ AOB的度數(shù);(3)若 AN、MC