數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案答案汪榮鑫版本

1、數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案答案汪榮鑫版本Page 212. 在五塊條件根本一樣的田地上種植某種在五塊條件根本一樣的田地上種植某種農(nóng)作物，畝產(chǎn)量分別為農(nóng)作物，畝產(chǎn)量分別為92，94，103，105，106單位：斤，求子樣平均數(shù)和子樣方單位：斤，求子樣平均數(shù)和子樣方差。差。解：作變換解：作變換 11100,100,005100iiiiyxayynxay22222222211( 8)( 6)356 0345xyiissyyn Page 3X1,X2,Xn是參數(shù)為的泊松分布的母體的一是參數(shù)為的泊松分布的母體的一個子樣，是子樣平均數(shù)，試求個子樣，是子樣平均數(shù)，試求E 和和D 。解：解： XX111( ),()

2、iiiixpExExExnnnn22111()iiiiiDxDxDxDxnnnnX1,X2,Xn是區(qū)間是區(qū)間-1，1上均勻分布的上均勻分布的母體的一個子樣，試求子樣平均數(shù)的均值母體的一個子樣，試求子樣平均數(shù)的均值和方差。和方差。解：解： 21 121( 1,1),0,2123xUExDx 11()0111()3iiiiiiExExExExnnDxDxDxnnnPage 4X1,X2,Xn是分布為的正態(tài)母體的一個是分布為的正態(tài)母體的一個子樣，求子樣，求 的概率分布。的概率分布。解：解： 2211()niiYX21( ,),(0,1),.,iinxXNNYY 則y且之間相互獨立22221()()i

3、iiiiixYxy由 分布定義 ，Y服從自由度為n的 分布。 22( )Yn2Page 5X具有正態(tài)分布具有正態(tài)分布N(0,1)，從此母體中取一容，從此母體中取一容量為量為6的子樣的子樣x1,x2,x3,x4,x5,x6。又。又設設 。試決定常數(shù)。試決定常數(shù)C,使得使得隨機變量隨機變量CY服從服從 分布。分布。解：解：22123456()()YXXXXXX21123(0,1),(0,3),XNZXXXN22111(0,1),(1)33ZZN2456ZXXX亦服從N(0,3)且與Z1相互獨立， 2222(0,1),(1)33ZZN且與 相互獨立。由 分布可加性， 22222221212111()

4、(2),33333ZZZZYc Page 67. 7. ，求證，求證證明：令證明：令 ( )Xt n2(1, )XFn2( ),(0,1)/UXt nUNn其中2222( ),nUU2且 與獨立亦與獨立2222,(1, )/UXFXFnn由 分布定義Page 78設母體 ,從中抽取容量n的樣本 求1n=36時， 解： 2(40,5 )XN(3843)Px25(40,)64xN384040434038435/65/65/6xPxP 2.43.6(3.6)( 2.4)(2.4)0.9918PU 2n=64時，求 401P x25(40,)64xN解：40184015/85/8582 ( ) 10.

5、89045xP xPp U Page 8第二章第二章 參數(shù)估計參數(shù)估計X具有負指數(shù)分布，它的分布密度為具有負指數(shù)分布，它的分布密度為 f(x)= ,00,0 xexx其中其中 。試用矩法求的估計量。試用矩法求的估計量。解：解： f(x)= f(x)= 0( )xe,00,0 xexx001( )xExxf x dxx edx用樣本 估計Ex，那么有 x11,xxPage 9X具有幾何分布具有幾何分布,它的分布列為它的分布列為PX=k=(1-p)k-1p,k=1,2, 先用矩法求先用矩法求p的估計量的估計量,再求再求p的最大似然估的最大似然估計計.解解 :( 1)矩法估計矩法估計12111(1)

6、 (1) kkkkEXkppppppp1px2111(1) )()1(1)iixxxxxxPage 10(2)極大似然估計極大似然估計11(1)(1)iiinxnxniLppppln() ln(1)lniiLxnpnpln10,1iinxdLnpdpppxPage 11X具有在區(qū)間具有在區(qū)間a,b上的均勻分布上的均勻分布,其分布密度其分布密度為為 f(x)= 1,0,axbba其他其中其中a,b是未知參數(shù)是未知參數(shù),試用矩法求試用矩法求a與與b的估計的估計量量.解解:用用 和和 分別估計分別估計EX和和DX得得 21 , ,()212abXU a b EXDXbaX2S222()12abXba

7、S33aXSbXSPage 12X的分布密度為的分布密度為 f(x)= 其中其中 (1) 求求 的最大似然估計量的最大似然估計量; (2) (2)用矩法求用矩法求 的估計量的估計量. 解解: 1,010,xx其他0( )xf x 1,010,xx其他0( )1最大似然估計最大似然估計 1111nnniiiiLxxlnln(1)lniiLnxlnln0,lniiiidLnnxdx Page 132矩法估計用 估計EX 110( )1EXx f x dxxxdx X1XXPage 14X的密度為試求 的最大似然估計;并問所得估計量是否的無偏估計.解：1( ),2xf xex 1111( )()22

8、iixxnnniiiLf xeelnln2lniixLnn 2ln0iixdLnd 得 1iixn Page 150( )11222ixxE xE Xx f x dxxedxxedx11()iiiiEExE xnn 是 的無偏估計.Page 166.設母體X具有分布密度 f(x)= 其中k是的正整數(shù),試求未知參數(shù)的最大似然估計量. 解:似然函數(shù) 1,0(1)!0,kkxxexk其他11111()()(1)!(1)!iiiknnxxknnkkiiiiLxexekk11lnln(1)!lnln()nkiiiiLnknkxx ln0,iidLnkkkxdxx或Page 177.設母體X具有均勻分布密

9、度 ,從中抽得容量為6的子樣數(shù)值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,試求母體平均數(shù)和方差的最大似然估計量的值. 解: ， 的最大似然估計 1( ),0f xx(0,)XUmax2.2ix,1.122EX22221,0.40331212DXPage 18X的分布密度為 f(x)=(),0,0 xexx試求 的最大似然估計。解：( )Xf x (),0,0 xexx似然函數(shù)()11( )innxiiiLf xelnln(),0iidLLxnd 無解為了使L到達最大， ，盡可能小，盡可能大，而0iixn(1)1,miniii nxxx Page 1912設母體X服從正態(tài)分布 是從此母體

10、中抽取的一個子樣。試驗證下面三個估計量112( ,1),(,)NXX1122133XX22121344XX33121122XX都是 的無偏估計，并求出每個估計量的方差。問哪一個方差最?。拷猓?1212212121()333333EExxExEx同理： 都是 的無偏估計。23和Page 20222222123215135111( )( ),( )( ),( )( )339448222DDD3方差最小為有效對形如1,1,niiiiix xxEx且時以 為最有效2DxnPage 21X1,X2,Xn是具有泊松分布 母體的一個子樣。試驗證：子樣方差 是 的無偏估計；并且對任一值也是 的無偏估計，此處

11、為子樣的平均數(shù)( )P*2S*20,1,(1)XSX解：*2( ),XPEXDXEXES*2*2(1)(1)(1)EXSEXES Page 2214 .設X1,X2,Xn為母體 的一個子樣。試選擇適當常數(shù)C,使 為 的無偏估計。解：2( ,)N 1211()niiiCXX22211221()()()()2()()()iiiiiiiiiiiiixxxxxxxx1()()0iiE xx1122211111()()2()()()nniiiiiiiiiiExxExE xxEx222(1)0(1)2(1)nnn212()1,2(1)2(1)iiixxEcnn Page 2318.從一批電子管中抽取100

12、只,假設抽取的電子管的平均壽命為1000小時,標準差s為40小時,試求整批電子管的平均壽命的置信區(qū)間(給定置信概率為95%).解:n=100, 小時,s=40小時用 估計 ,構造函數(shù)1000 x x(0,1)/xuNsn近似給定置信概率 ,有121P uu 即22()1ssP xuxunn 22401000 1.96992.210401000 1.961007.810sunsun置信下限 x 置信上限 x整批電子管的平均壽命置信概率為95%的置信區(qū)間為(992.2,1007.8)小時.Page 2419.隨機地從一批釘子中抽取16枚,測得其長度(單位:cm)為2.14,2.10,2.13,2.

13、15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。設釘長分布為正態(tài)的，試求母體平均數(shù) 的置信概率為90%的置信區(qū)間 ：1假設2假設 未知。解：n=16,(1)假設 ，構造函數(shù)0.01();cm*2.125,0.017xs0.01()cm(0,1)/xuNn給定置信概率90%，有21P uu 即0022()1P xuxunn 02()(2.1250.0041)xun置信區(qū)間為為Page 252假設 未知構造函數(shù)*(1)/xTt nSn給定置信概率90%，查得 ，有0.05(15)1.7531t2(1)1p Ttn 母體平

14、均數(shù) 的置信概率為90%的置信區(qū)間為 ，即2.1250.0075*0.05(15)sxtnPage 2621.假定每次試驗時，出現(xiàn)事件A的概率p一樣但未知。如果在60次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)15次，試求概率p的置信區(qū)間給定置信概率為0.95。解：n=60,m=15,x“0-1分布，,(1)mmmxsnnn構造函數(shù)(0,1)/xpuNsn近似給定置信概率95%，有21P uu 即2211(1)(1)1mmmmmmpupunn nnnn nn 故p的置信概率為95%的置信區(qū)間為0.250.11Page 2722.對于方差 為的正態(tài)母體，問需抽取容量n為多大的子樣，才使母體平均數(shù) 的置信概率為 的置

15、信區(qū)間的長度不大于L?解：2122( ,),XN 已知構造函數(shù)(0,1)/xuNn給定置信概率 ，有 ，使12u21P uu 即22()1P xuxunn 置信區(qū)間長度 22uLn22224/nuLPage 28n的子樣，算得子樣標準差 的數(shù)值。設1n=10, =5.1(2)n=46, =14。試求母體標準差的置信概率為0.99的置信區(qū)間。解：1n=10,*s*s*s22( ,), ,XN 未知*25.1s用 估計 ,構造函數(shù) 給定置信概率 =99%,查表得*2s2*2222(1)(1)nsn1220.0050.995(9)23.589,(9)1.735使2220.9950.005(9)(9)

16、0.99p*2212233(,)(9)ss即(3.150,11.62)Page 29(2)n=46, 時,所求的置信區(qū)間是*14s *2*2220.0050.995(1)(1)(,)(45)(45)nsns即(10.979,19.047)Page 30X服從正態(tài)分布 , 和 是子樣X1,X2,Xn的平均數(shù)和方差; 又設 ,且與X1,X2,Xn獨立,試求統(tǒng)計量 的抽樣分布.解:2( ,)N X2nS21( ,)nXN 111nnXXnSn12221()01()(1)nnE XXD XXnn,又 1,nXX服從正態(tài)分布,故 , 1(0,1)11nXXNn222(1)nnSn又2nS與1,nXX獨立

17、Page 31根據(jù)t分布定義1122211(1)11(1)nnnnnXXXXUnnTt nnSSnnnSnnPage 32X1,X2,Xm和Y1,Y2,Yn分別是從分布為 兩個母體中抽取的獨立隨機子樣, 分別表示X和Y的子樣平均數(shù), 和 分別表示X和Y的子樣方差.對任意兩個固定實數(shù) 和 ,試求隨機變量2212(,)(,)NN 和XY和*xS*yS122222()()2xyXYYmSnSmnmn的概率分布.Page 33解: 是正態(tài)變量線性組合,仍服從正態(tài)分布.XY122221222()()()()()(0,1)EXYDXYmnXYUNmn又222222(1),(1)yxnSmSmn且相互獨立由

18、 分布可加性 ,22222(2)xymSnSmn且與XY獨立根據(jù)t分布定義122222222()()(2)(2)2xyxyXYUTt mnmSnSmSnSmnmnmnPage 34n45的大子樣,利用第一章2.2中 分布的性質(zhì)3,證明方差22的置信區(qū)間(給定置信概率為 )是1*2*222(,)221111SSuunnPage 35證明:對正態(tài)母體 的置信概率為 的置信區(qū)間是21*2*222122(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn當n45時,2( )2nnnu222(1)(1)2(1)nnnu211222(1)(1)2(1)(1)2(1)nnnunnu(1)代入(1)式,即*2*222(

19、,)221111SSuunn證畢.Page 36A批導線中抽取4根,從B批導線中抽取5根,測得其電阻(單位:歐姆)并計算得:* 2* 20.1425,30.0000250.1392,40.000021AABBxsxs設測試數(shù)據(jù)分別具有分布21(,)N 和22(,)N .試求 的置信概率為95%的12置信區(qū)間.Page 37解:2212(,),(,)ABXNXN ,4,5ABnn* 2* 20.1425,30.0000250.1392,40.000021AABBxsxs121*(2)(2)11ABABXXTt nnSnn構造函數(shù)給定置信概率95%,查得 ,使0.025(7)2.3646t0.02

20、5(7)95%P Tt所求置信下限為:*0.02511(7)0.00330.004060.0007645ABxxts (-0.00076,0.00736)為 的置信概率為95%的置信區(qū)間.12Page 3831.兩臺機床加工同一種零件,分別抽取6個和9個零件,測得其長度計算得*2*2120.245,0.357ss兩個母體方差之比 的置信區(qū)間(給定置信概率為95%).2122解:*2*211226,0.245;9,0.357nsns構造函數(shù)221221*2*212/(1,1)/FF nnSS給定置信概率 ,有195%*22*21112121*22*2122222(1,1)(1,1)1SSP Fn

21、nFnnSS 查表0.0250.02511(8,5)6.76,(5,8)4.82FF所求置信區(qū)間的置信下限為10.2450.1424.820.357置信上限為0.2456.764.640.357Page 3934.從一批某種型號電子管中抽出容量為10的子樣,計算得標準差 (小時).設整批電子管服從正態(tài)分布.試給出這批管子壽命標準差 的單側(cè)置信上限(置信概率為95%).*45s 解:n=10, (小時)*45s 構造函數(shù)*2222(1)(1)nSn給定置信概率95%,查20.95(9)3.325,使221(1)1Pn 即*2220.95(1)0.95(9)nsP故所求 的置信概率為95%的置信上

22、限為29 453 4574.053.3251.823第三章第三章 假設檢驗假設檢驗Page 411.從標準差 的正態(tài)母體中,抽取容量為n=16的子樣,由它算得子樣平均數(shù) .試在顯著水平下,檢驗假設H0:2 . 556.27x26解:1.建立原假設H0: 2.在H0成立前提下,構造統(tǒng)計量26) 1 , 0(/0Nnxu3.給定顯著水平 ,有 ,使05. 096. 12u2uuP即05. 096. 1/00nxP4.由樣本n=16,56.27x代入96. 12 . 14/2 . 52656.272uu承受H0Page 422.從正態(tài)母體 中取100個樣品,計算得) 1 ,(N32. 5x(1)試檢

23、驗H0:(2)計算上述檢驗在 時犯第二類錯誤的概率.5是否成立?)01. 0(8 . 4解 : (1)1.建立原假設H0: 2.在H0成立前提下,構造統(tǒng)計量5) 1 , 0(/0Nnxu3.給定顯著水平 ,有 ,使01. 0575. 22u2uuP即01. 0575. 2/00nxP代入575. 22 . 310/1532. 5u拒絕H0Page 43(2)真實 時,8 . 4719. 0)575. 0()575. 0()575. 4()575. 210/18 . 45()575. 210/18 . 45()/()/(212102102)(002021ununxdenHnx接受域Page 44

24、 設測定值服從正態(tài)分布。問在下 能否承受假設：這批礦砂的(平均)鎳含量為。解：設 ， 未知，計算 .252， 。1建立假設 ：2在假設成立的前提下，構造統(tǒng)計量 01. 0),(2Nx2x*s0H25. 3Page 45xu ) 1(/)(*0nttnsx3給定 ,查得 4由樣本計算， = =0.34 =5p414341243413434125681建立假設 ：母體X的分布律為上述分布律在 成立的前提下，構造統(tǒng)計量給定顯著水平 ，查得0H)4(25122iiiinpnpm）（0H)4(2Page 77256812568136256272562728649200649200321632001632

25、0048505056)4(2222222）（由樣本計算，使pPage 7802488. 9405. 760. 026. 253. 094. 272. 0H接受）（Page 79方差分析習題方差分析習題1.為了對一元方差分析表作簡化計算，對測定值 作變換 ，其中b、c是常數(shù)，且 。試用 表示組內(nèi)離差和組間離差，并用他們表示F的值。i jx0b ijyijijyb xcPage 80解： 由第一章習題3可知 組內(nèi)離差 組間離差 ijijyb xc2221xyssb222211AiiAiijQni xxni yQbby22221111rniEijiijiEijijQxxyyQbb/1/1/AAEEQ

26、rQrFFQnrQnrPage 812.有四個廠生產(chǎn)1.5伏的3號電池?，F(xiàn)從每個工廠產(chǎn)品中各取一子樣，測量其壽命得到數(shù)值如下：生產(chǎn)廠 干電池壽命（小時） A24.7 ，24.3，21.6，19.3，20.3 B30.8，19.0，18.8，29.7 C17.9，30.4，34.9，34.1，15.9 D23.1，33.0，23.0，26.4，18.1，25.1問四個廠干電池壽命有無顯著差異 ？5%Page 82解：1.建立假設 ： 四個水平下母體 2.在 成立前提下構造統(tǒng)計量 3.給定顯著水平 ，查 ，使 4.有樣本計算列出方差分析表 0H12342,iixN 0H/11,/AEQrFF rn

27、rQnr1,Frnr1,p FFrnr來源離差平方和自由度均方離差F組間r-1=320.230.5366組內(nèi)n-r=1637.7總和663.924160.7AiiQni xx2411603.2niEijiijQxx3,163.24F F1,承受 ，四個廠的干電池壽命無顯著差異0HPage 833.抽查某地區(qū)三所小學五年級男學生的身高，得如下數(shù)據(jù)：小學身高數(shù)據(jù)（厘米）第一小學128.1，134.1，133.1，138.9，140.8，127.4第二小學150.3，147.9，136.8，126.0，150.7，155.8第三小學140.6，143.1，144.5，143.7，148.5，146.

28、4試問該地區(qū)三所小學五年級男學生的平均身高是否有顯著差異 ？5%Page 84解： ，I=1,2,3 1.建立假設 ： 2.在 成立前提下構造統(tǒng)計量 3.給定顯著水平 ，查 ，使 4.有樣本計算列出方差分析表 2,iixN 0H1230H/11,/AEQrFF rnrQnr1,Frnr1,p FFrnr來源離差平方和自由度均方離差F組間r-1=2233.084.375組內(nèi)n-r=1553.28總和21466.16rAiiQni xx2799.3EijiijQxx0.052,153.68F ， 所以拒絕 ，認為三所小學五年級男生平均身高有顯著差異0.052,15FF0HPage 854.在一元方

29、差分析中， ，而 ，試求 的無偏估計量及其方差。 1,2, ;1,2,ijiijxjn ir10riiiniPage 86解：在第i水平下 , 估計量為 而總的平均 的估計量為 的估計量為 是無偏的 1,2, ;1,2,ijiijxjn iriixxiiiixxiiiEExExi211222122222222212221111122iirriijjijjjjriijjjrjjiiiDD xxnD xn xDxDn xnnnnDxnjinnnnnnnnnnnnnnPage 871.通過原點的一元回歸的線形模型為 其中各 相互獨立，并且都服從正態(tài)分布 。試由n組觀察值 ，用最小二乘法估計 ，并用矩法估計,1,2,iiiYxini20,N,1,2,iix yin2回歸分析習題回歸分析習題Page 88解 ： ； 的矩法估計 ,1,2,iiiYxin20,iN21minniiiQyx22220,iiiiiii