基于小波變換的圖像邊緣檢測(共45頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 緒 論11研究背景及意義視覺，是人類取得信息的最主要來源。統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，在人類大腦獲取的信息之中，大約60%為視覺信息，20%為聽覺信息，其他的例如味覺信息、觸覺信息等加起來約占20%。由此可見，視覺信息對人們的重要性。然而在所有獲取視覺信息的途徑中，圖像無疑是最主要的方式。我們每天都是在報紙、雜志、書籍、電視等大量的圖像信息中度過來的?？梢哉f，圖像是用各種觀測系統(tǒng)以不同的形式和手段觀測客觀世界而獲得的，可以直接或者間接作用于人眼并進而產(chǎn)生視知覺的實體。邊緣【1】，是圖像的最重要的特征，它是指周圍像素灰度有階躍變化或屋頂變化的那些像素的集合。Poggio在參考

2、文獻【1】中提到“物體（的邊界）或許并沒有對應(yīng)著圖像中物體（的邊界），但是邊緣具有十分令人滿意的性質(zhì)，它能大大減少所要處理的信息但是又保留了圖像中物體的形狀信息?！彼€定義了邊緣檢測為“主要是（圖像的）灰度變化的度量、檢測和定位”。邊緣檢測通常有三種方式。第一種為屋頂型邊緣，它的灰度是先慢慢上升到一定的程度然后再慢慢的下降。第二種為階躍型邊緣，它的灰度變化是從一個值到比它高很多的另一個值。最后一種是線性邊緣，它的灰度值是從一個級別跳到另一個級別之后，再跳回來。不同的邊緣有不同的特征，但在大部分情況下，我們都是把圖像的邊緣全部看成是階梯型邊緣，求得檢測這種邊緣的最優(yōu)濾波器，然后用于實踐中。實踐證

3、明，邊緣檢測對于圖像的識別意義重大，理由如下：第一，人眼通過追蹤未知物體的輪廓（它是由一系列的邊緣組成的）而掃視一個未知的物體。第二，憑經(jīng)驗我們知道，只要能成功的得到圖像的邊緣，圖像的分析就會大大簡化，識別也會容易得多。第三，很多圖像并沒有具體的物體，對這些圖像的理解取決于他們的紋理性質(zhì)而提取這些紋理性質(zhì)與邊緣檢測有著密切的聯(lián)系。隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，利用計算機對圖像信息進行加工的數(shù)字信號處理技術(shù)更是日新月異。由于邊緣廣泛存在于物體與背景之間、物體與物體之間、基元與基元之間且對于圖像視覺特征的提取非常重要，所以邊緣檢測在基于計算機的邊界檢測、圖像分割、模式識別、機器視覺等都有非常重要的作用

4、。例如美國波音公司開發(fā)的雷達自成像識別系統(tǒng)就廣泛應(yīng)用于美國空軍戰(zhàn)機之間的敵我識別；日本CANNON公司將其開發(fā)的最新的邊緣檢測技術(shù)應(yīng)用于最新產(chǎn)品DIGIC4圖像處理器，大大提高了拍攝的清晰度 。 隨著算法的不斷更新和計算機等各種設(shè)備的不斷進步，邊緣檢測在圖像信息獲取等各領(lǐng)域的應(yīng)用將會更加廣泛?？梢灶A(yù)見，在不久的將來，基于邊緣檢測的各種產(chǎn)品會伴隨著我們的日常生活，與我們息息相關(guān)。12圖像的邊緣檢測綜述所謂邊緣檢測，主要是指圖像灰度變化的度量、檢測和定位【2】?，F(xiàn)階段，邊緣檢測的方法主要有以下幾種：（1）檢測梯度的最大值。因為邊緣通常發(fā)生在灰度值變化較大的地方，對應(yīng)的就是函數(shù)梯度較大的地方，所以一

5、種比較理想的方法就是尋找好的求導(dǎo)算子?，F(xiàn)在常用的算子有Roberts【3】算子、Prewitt算子和Sobel【4】算子等。（2）檢測二階導(dǎo)數(shù)的零交叉點。因為邊緣處梯度的絕對值取得最大值，也就是灰度圖像的拐點是邊緣。（3）統(tǒng)計型方法。例如D.H.Marimont在文獻【2】中通過假設(shè)檢驗來檢測邊緣，利用對二階零交叉點的統(tǒng)計分析得到了圖像中像素是邊緣的概率。（4）小波多尺度邊緣檢測。20世紀末，隨著小波分析的迅速發(fā)展，小波開始用于邊緣檢測。作為研究非平穩(wěn)信號的利器，小波在邊緣檢測方面具有得天獨厚的優(yōu)勢。除此之外，還有一些其他的方法，比如說模糊數(shù)學(xué)的方法、最近提出來的利用邊緣流【5】的檢測法、Hu

6、eckel算法、Frei和Chen算法、Marr和Hildreth零交叉點算子、統(tǒng)計變點算法、邊緣檢測的Green函數(shù)方法、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法等等。本文在分析傳統(tǒng)邊緣檢測方法的同時，著重探討小波變換在邊緣檢測的應(yīng)用。13基于圖像邊緣檢測的掌紋識別綜述131掌紋識別簡介基于圖像處理的各種應(yīng)用近年來得到了飛速的發(fā)展，而基于圖像的掌紋識別【6】技術(shù)便是其應(yīng)用的一個方面。掌紋是指手腕與手指之間的手掌表面的上的各種紋線。掌紋的形態(tài)由遺傳基因控制，因為每個人的基因不相同，所以沒有兩個人的掌紋紋線會完全相同，即使是孿生同胞，紋線也只是相近，不可能完全一樣。掌紋體現(xiàn)在圖像上的特征主要包括紋線特征、點特征和紋理特征

7、。（1）掌紋中最重要的特征是紋線特征，這些紋線中最清晰的幾條在人的一生中基本上不會發(fā)生變化，并且在低分辨率和低質(zhì)量的圖像中仍能夠清晰的辨認。（2）點特征主要是指手掌的皮膚表面特征如掌紋突紋在局部形成的奇異點及紋形。由于其須在高質(zhì)量和高分辨率的圖像中提取，所以對圖像的質(zhì)量要求較高。（3）紋理特征，是指比紋線更短、更細的一些紋線，并且是毫無規(guī)律的分布在手掌上。由此可見，掌紋中包含的信息比起一枚指紋中的信息要豐富得多。利用掌紋圖像中的紋線特征、點特征和紋理特征足以準(zhǔn)確無誤的確定一個人的身份。因此，從理論上講，掌紋具有比指紋更好的分辨能力和更高的鑒別能力。除此之外，掌紋識別還是一種非侵犯性的識別方法，

8、用戶比較容易接受，同時，對設(shè)備的要求也不是太高。由于以上的特點，掌紋識別成為了近幾年發(fā)展特別快的一種生物識別技術(shù)，具有廣闊的發(fā)展前景。132基于圖像的掌紋識別算法到目前為止，研究人員已經(jīng)在基于圖像處理的掌紋識別領(lǐng)域做了大量的研究并取得了一定的成果。這里，對該領(lǐng)域的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀做簡單的介紹。現(xiàn)階段，國內(nèi)外主要有以下幾種掌紋識別算法：（1）基于點特征和線特征的識別方法。它實際上是低對比度，高噪聲背景下的圖像的邊緣檢測，是掌紋識別中最直接的方法。點特征可以精確的描述掌紋圖像，且鑒別能力高、魯棒性【3】強。（2）基于掌紋紋理特性的識別方法。掌紋可以被認為是無規(guī)則但在個體間獨一無二的一種紋理。目前有很

9、多方法是針對紋理分析處理掌紋圖像的，如傅立葉變換、小波變換等方法。采用紋理分析方法處理掌紋圖像可以很好的避免圖像在空域中噪聲的影響，簡化圖像預(yù)處理步驟。（3）基于子空間的掌紋識別方法?；谧涌臻g的特征提取是指將掌紋圖像經(jīng)過映射變換或矩陣運算，實現(xiàn)從樣本空間到特征子空間的轉(zhuǎn)換。子空間法提取特征具有描述性強、計算代價小、易實現(xiàn)和可分性好等特點，但不足之處在于該方法下得到的特征一般是最佳描述但不是最佳分類特征，這不利于分類匹配。（4）分級融合的掌紋識別方法。由以上的算法可以看出，每種方法都各有優(yōu)缺點，如果單純的用一種則很難做到快速、精準(zhǔn)的身份識別。于是，將多種算法綜合起來的多特征融合的方法便成為研究

10、的方向。這種融合可以體現(xiàn)在特征級，也可以體現(xiàn)在匹配級。通過融合，識別的精度和速度都會有很大的提高。133掌紋識別技術(shù)展望隨著信息技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的高速發(fā)展，信息安全顯示出前所未有的重要性。生物識別技術(shù)以其特有的穩(wěn)定性、唯一性和方便性，得到越來越廣泛的應(yīng)用。基于圖像的掌紋識別作為一項新興的生物識別技術(shù)，因具有采樣簡單、圖像信息豐富、用戶接受程度高、不易偽造、受噪聲干擾小等特點受到國內(nèi)外研究人員的廣泛關(guān)注。但是由于掌紋識別技術(shù)起步較晚，目前尚處于學(xué)習(xí)和借鑒其他生物特征識別技術(shù)的階段。14本文的內(nèi)容安排本文首先討論了傳統(tǒng)的圖像分析和處理方法，針對它們在非穩(wěn)定圖像信號處理【7】方面的不足和單分辨率的缺陷

11、，引出了小波理論并對其做了一定的介紹。在研究和分析了現(xiàn)有的圖像邊緣檢測方法后，針對可能漏檢微弱邊緣和邊緣定位不夠準(zhǔn)確的不足，采用小波變換對圖像進行邊緣檢測。為了更好的提取圖像特征，首先對圖像進行了預(yù)處理，使之達到灰度增強的目的。然后在基于小波多尺度邊緣檢測的方法上改進算法，采用三階B-樣條函數(shù)【8】作為相應(yīng)的尺度函數(shù)。論文共分為六章，內(nèi)容安排如下：第一章是緒論部分。主要闡述了課題背景和國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀。簡單介紹了邊緣檢測和掌紋識別的基本情況以及發(fā)展方向。第二章是傳統(tǒng)的圖像分析與處理方法。研究了傳統(tǒng)的圖像變換和處理的方法，主要對傅里葉變換和Gabor變換進行了研究和探討，闡述了它們在圖像分析和處

12、理中的應(yīng)用價值。第三章是小波變換理論。本章重點講述了小波變換的定義，介紹了幾個典型的小波函數(shù)。之后深入研究了小波變換在圖像處理領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。第四章是圖像的邊緣檢測。本章首先研究了基于傳統(tǒng)算子Sobel、Laplace等的邊緣檢測方法，對它們進行了理論分析，然后對各自的特點做出了比較和評價。最后系統(tǒng)的研究了Canny連續(xù)準(zhǔn)則及其算法。第五章是小波多尺度邊緣檢測。根據(jù)連續(xù)小波變換的思想，提出用小波函數(shù)在多個尺度下提取圖像特征。本章用改進的B-樣條函數(shù)作為小波函數(shù)，對圖像進行多級的邊緣檢測。第六章是總結(jié)與展望。即系統(tǒng)的總結(jié)了本文研究成果以及存在的不足，然后提出了后續(xù)研究工作的方向。 第二章 傳統(tǒng)的

13、圖像分析和處理方法在數(shù)字圖像中，一般用二元函數(shù)作為圖像的數(shù)學(xué)表示。表示在特定點處的函數(shù)值，用來表征圖像在該點相應(yīng)的顏色強度或者灰度。而所謂的圖像變換就是指把圖像轉(zhuǎn)換為另一種數(shù)學(xué)表達方式的操作。在圖像的處理技術(shù)中，正交變換技術(shù)有著廣泛的應(yīng)用，是圖像處理的一種重要工具。通過改變圖像的表示域及表示數(shù)據(jù)，可以給后續(xù)的工作帶來很大的便利。比如，F(xiàn)ourier變換可以使處理工作在頻率中進行，簡化了運算；Gabor變換用開窗的方法作為Fourier變換的一種簡單局部化，使計算更為方便。此外，隨著小波分析方法在圖像處理中的應(yīng)用不斷發(fā)展成熟，基于小波的圖像處理成為當(dāng)前研究的熱門，也正是本文討論的課題。本章，先對

14、傳統(tǒng)的Fourier變換和Gabor變換做初步的研究，為后面的小波理論打下基礎(chǔ)。21 Fourier變換Fourier分析【9】在數(shù)學(xué)與工程技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用。本節(jié)主要講述Fourier分析的一些基礎(chǔ)知識和它在圖像處理中的一些應(yīng)用。211 Fourier變換的定義Fourier級數(shù)主要表征的是周期信號的性質(zhì)，但在工程應(yīng)用中大量的卻是非周期性信號。因此，引入了Fourier變換對非周期信號進行分析。經(jīng)典的Fourier變換（FT）定義為：= （2-1） 當(dāng)然，根據(jù)傳統(tǒng)的Fourier變換，原信號f(t)還必須滿足狄里赫里條件【4】。對大多數(shù)工程信號來說，這個條件是容易滿足的。在二維的數(shù)字圖像中，

15、假設(shè)是一個包含兩個離散空間變量和的函數(shù)，則有該函數(shù)的二維Fourier變換的定義如下： （2-2）式中，是復(fù)變函數(shù)，其變量和的周期均為。正因為這種周期性的存在，在圖像顯示時，這兩個變量的取值范圍是，。由于在實際的數(shù)字圖像處理中，需要借助計算機輔助計算，所以我們一般采用離散傅里葉變換（DFT）用做計算機處理Fourier變換的方法。理由如下：（1）DFT的輸入/輸出均為離散值，非常適合于計算機的運算操作。（2）離散Fourier變換可以用一種快速算法實現(xiàn)，即快速Fourier變換（FFT）。212 Fourier變換在圖像處理中的應(yīng)用（1）線性濾波器頻率響應(yīng)由信號與系統(tǒng)中的知識可知，濾波器沖激響

16、應(yīng)的Fourier變換就是該濾波器的頻率響應(yīng)。在MATLAB中可以調(diào)用函數(shù)freqz2的來計算和顯示濾波器的頻率響應(yīng)，這樣可以很方便的得到線性濾波器的各種特性。（2）快速卷積能夠?qū)崿F(xiàn)快速卷積是Fourier變換的另一個重要應(yīng)用。我們知道時域中卷積，頻率中就是相乘，即Fourier變換后的乘積。將該性質(zhì)與FFT結(jié)合起來，便可以快速計算函數(shù)的卷積。假設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則它們的卷積C為矩陣。MATLAB中提供了函數(shù)conv2來實現(xiàn)二維矩陣的卷積。（3）圖像特征識別Fourier變換可以用于與卷積密切聯(lián)系的相關(guān)運算。在數(shù)字圖像處理中，相關(guān)運算常用于匹配模板，可以用于對某些模板對應(yīng)的特征進行定位。例

17、如：將圖像text.png與包含字母“a”的圖像進行相關(guān)運算，即對這兩張圖像先進行Fourier變換。再利用快速卷積的方法計算它們的卷積，提取卷積運算的峰值，得到在圖像text.png中字母“a”的定位（白色小點），程序執(zhí)行的結(jié)果如下： 圖2-1 圖像text.png 圖2-2 字母“a”的圖像 圖2-3 快速卷積結(jié)果 圖2-4 對字母“a”的定位結(jié)果22 Gabor變換本節(jié)介紹的Gabor變換是信號時-頻分析的一種重要工具。連續(xù)Gabor變換用開窗的方法作為Fourier變換的一種簡單局部化。這個窗的存在使單變量函數(shù)變換成了兩個參數(shù)的新函數(shù)，給出窗的中心位置的時間參數(shù)和計算加窗后信號的Fou

18、rier變換得到的頻率參數(shù)。221連續(xù)Gabor變換（1）首先定義窗函數(shù)：非平凡函數(shù)【5】，且還有，則稱是一個窗函數(shù)。窗函數(shù)中心與半徑分別定義為： （2-3） (2-4) 其中，窗函數(shù)的寬度為半徑的2倍。（2）連續(xù)Gabor變換的定義：函數(shù)關(guān)于窗函數(shù)的連續(xù)Gabor變換定義為： (2-5)說明：（1）在Gabor變換中，要求只是為了討論的方便，事實上這個要求不完全是必要的。（2）一般的窗函數(shù)g(t)=g(-t)是實對稱的，但在定義和后面的假設(shè)中，我們不做如此的假定。連續(xù)Gabor變換是Gabor在1946年首先提出的，實際上是對函數(shù)f做一個好的定位切片，然后再求它的Fourier變換得到的，所

19、以連續(xù)Gabor變換又叫窗口Fourier變換或短時Fourier變換。222離散Gabor變換在基于計算的實際應(yīng)用中，我們使用的是離散變換而不是連續(xù)變換。設(shè)是窗函數(shù)，離散的Gabor函數(shù)定義為： （2-6）式中：分別為時間參數(shù)和頻率參數(shù)。離散Gabor變換定義為： （2-7）二重序列 （2-8）稱為f的Gabor級數(shù)。嚴格來講，Gabor變換只是一種加窗的傅里葉變換，Gabor函數(shù)能夠在頻率不同尺度、不同方向上提取相關(guān)的特征。總而言之，傳統(tǒng)傅里葉分析將一段較長的時間內(nèi)的信號看作從以前到未來信號一直按照此規(guī)律周期性變化，并分析信號的頻率成分；而Gabor變換在要分析的信號上提取出信號中的每一個

20、小段(長度自己定)，將此小段進行兩端周期性延拓，并對這樣的信號進行傳統(tǒng)傅里葉分析，得到此小段內(nèi)信號的頻率特性，平移原有分析信號中小段的位置，得到整個要分析信號在每個小范圍內(nèi)頻率成分。 第三章 小波變換理論為了獲取信號的時域信息，人們對Fourier分析進行了推廣，其中短時Fourier變換就是在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上引入時域信息的最初嘗試。但是它的時域區(qū)分度只能依賴于大小不變的時間窗，這對于某些瞬態(tài)信號來說還是不夠精確的。小波分析克服了短時Fourier變換在單分辨率上的不足，具有多分辨率的特征，并且在時間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號的具體形態(tài)而進行動態(tài)的調(diào)整，具有表征信號局部信息的能力。因為這些特點，

21、小波分析可以探測正常信號中的瞬態(tài)，并展示其頻率成分，被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，廣泛應(yīng)用于各個時域分析領(lǐng)域。31 小波的簡介我們在小波分析的研究和應(yīng)用中，會經(jīng)常提到“信號”一詞。以后提到信號f(t)都是指它是能量有限的。所有能量有限的集合形成一個線性空間，記為，即所有滿足下式的函數(shù)的集合： （3-1）下面給出小波的定義：對于函數(shù)，如果 （3-2）則稱其為一個小波。下面簡述一下小波在直觀上的特點。由于在整個實線R上是可積的，所以它在無窮遠處一定是為0，也就是說當(dāng)時，衰減到0。還有，由積分的幾何意義可以看出的圖像與x軸所夾的上半部分的面積與下半部分面積是相等的。也就是說當(dāng)t變動的時候，它是上下波動的，這

22、就是“小波”一詞的來源。下面給出一些小波的例子。（1）Haar小波的定義： 1, 0 t0.5 f(t)= -1, 0.5t1 0, 其它 （3-3）它的傅里葉變換為： （3-4） （2）Shannon小波的定義： 1， TH，則為階躍狀邊緣點，即為邊緣圖像。Roberts算子采用對角線方向相鄰兩像素差近似梯度幅值檢測邊緣。檢測垂直和水平邊緣的效果好于斜向邊緣，其優(yōu)點是定位精度高，缺點是對噪聲敏感。423 Sobel邊緣檢測算子針對數(shù)字圖像的每個像素點，考察它上下左右鄰點灰度的加權(quán)差，與之相近的鄰點權(quán)就大。因此，Sobel算子的定義如下： =+它的卷積算子為： 選擇適當(dāng)?shù)拈T限TH，如果TH，則

23、為階躍狀邊緣點，即為邊緣圖像。Sobel算子的優(yōu)點是在空間上很容易實現(xiàn)，它不但能產(chǎn)生較好的邊緣檢測效果，而且受噪聲的影響也比較小。特別是使用大的鄰域時，抗噪性能會更好，但缺點是這樣會相應(yīng)的增加計算量，而且得出的邊緣會比較粗。Sobel算子是利用像素點上下、左右鄰點的灰度加權(quán)算法，根據(jù)在邊緣點處達到極值這一特征進行邊緣檢測。它對噪聲具有平滑作用，能夠得到較為準(zhǔn)確的邊緣信息。但同時也會檢測出許多虛假邊緣，邊緣定位不夠精準(zhǔn)，是一種適用于對精度要求不高的邊緣檢測方法。424 Prewitt邊緣檢測算子Prewitt邊緣檢測算子是一種邊緣樣板算子。這些算子樣板是由理想的邊緣子圖像構(gòu)成的。依次用邊緣樣板去

24、檢測圖像，與被檢測區(qū)域最為相似的樣板給出最大值，然后用這個最大值作為算子的輸出值，這樣可以將邊緣檢測出來。定義Prewitt邊緣檢測算子模板如下： 選擇適當(dāng)?shù)拈T限TH，如果TH，則為階躍狀邊緣點，即為邊緣圖像。425 Robinson邊緣檢測算子Robinson邊緣檢測算子也是一種邊緣樣板算子，其算法和Prewitt邊緣檢測算子相似，不同的是8個樣板，如下： 選擇適當(dāng)?shù)拈T限TH，如果TH，則為階躍狀邊緣點，即為邊緣圖像。426 Laplace邊緣檢測算子Laplace邊緣檢測算子是一種二階微分算子，對于圖像，它在圖像中的位置的Laplace定義如下： （4-6）Laplace邊緣檢測算子一大優(yōu)

25、點是它的無方向性。因為它只用一個模板，并且不必綜合各模板的值。計算數(shù)字圖像的Laplace值也是借助各種模板卷積實現(xiàn)的。實現(xiàn)Laplace運算的幾種模板如下： 由于Laplace算子是一種二階導(dǎo)數(shù)算子，因此對噪聲特別敏感。此外它還經(jīng)常產(chǎn)生雙像素寬的邊緣，且也不能提供邊緣方向的信息。由于上面的原因，Laplace算子很少直接用于檢測邊緣，而主要應(yīng)用于已知邊緣的像素后，確定該像素是在圖像的暗區(qū)或明區(qū)一邊。以下是用MATLAB實現(xiàn)各種邊緣算子以及效果比較： 圖4-1 原始圖像 圖4-2 sobel算子檢測 圖4-3 roberts算子檢測 圖4-4 prewitt算子檢測 圖4-5 log算子檢測4

26、3 Canny連續(xù)準(zhǔn)則及算法431邊緣檢測的Canny準(zhǔn)則通過對以往的邊緣檢測算子和邊緣檢測應(yīng)用的研究考察，Canny發(fā)現(xiàn)，盡管這些應(yīng)用都出現(xiàn)在不同領(lǐng)域，但它們都有一些共同的要求：（1）好的檢測結(jié)果。即為對邊緣的檢測錯誤率要盡量低，表現(xiàn)在：一方面在圖像上有邊緣的地方不應(yīng)該沒有；另一方面也不要出現(xiàn)本來圖像上沒有的虛假邊緣。（2）對邊緣的界定要準(zhǔn)確。即標(biāo)示出的邊緣位置要和圖像上真正的邊緣位置充分接近。（3）在實際中還發(fā)現(xiàn)，僅滿足上面兩條的算子有時會對一個邊緣產(chǎn)生多個響應(yīng)，即圖像上本來只有一個邊緣點，但檢測的結(jié)果中卻有多個，所以還要求對同一邊緣要有低的響應(yīng)次數(shù)。最為重要的是，Canny給出了這3個準(zhǔn)

27、則的數(shù)學(xué)表達式【17】，使得尋找給定條件下最優(yōu)算子轉(zhuǎn)化為泛函優(yōu)化問題，從而為最優(yōu)濾波器的選擇開辟了更有效的道路。假設(shè)濾波器的有限沖擊響應(yīng)，假設(shè)要檢測的邊緣曲線為，并且設(shè)它的邊緣點就在處，噪聲為。三準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達式如下：（1）好的檢測結(jié)果。第一個準(zhǔn)則等價于求使得檢測后的圖像在邊緣點的信噪比最大化。經(jīng)過濾波后，邊緣點處的信號響應(yīng)為： （4-7）而噪聲響應(yīng)的平方根為： （4-8）于是，Canny第一個準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達式為： （4-9）（2）定位準(zhǔn)則。設(shè)檢測出的邊緣位置在，則有：1、在處取得最大值，所以有 2、在=0取得最大值，所以： 3、根據(jù)泰勒公式可知： 從而有： （4-10）在這里，表示的是的數(shù)學(xué)

28、期望。因為越小定位越準(zhǔn)確，所以定位準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達式為： （4-11）我們要找到函數(shù)，使得下式達到最大值： （4-12）（3）在理想情況下，用濾波器對噪聲響應(yīng)的兩個最大值之間的距離來近似濾波器對一個邊緣點的長度。Rice給出了高斯噪聲在函數(shù)g濾波后輸出信號中相鄰兩個零交叉點的距離，即 （4-13）其中： 所以噪聲在濾波后的兩個相鄰極大值點的距離為： （4-14）顯然，在長的區(qū)域里出現(xiàn)最大值的個數(shù)的期望為： （4-15）所以，只要固定了，即固定了長的區(qū)域里出現(xiàn)最大值的個數(shù)，這便是第三個準(zhǔn)則。總而言之，有了這三個準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達式，尋找最優(yōu)濾波器的問題就轉(zhuǎn)化為泛函約束優(yōu)化問題,為計算帶來了很大的方便。

29、432Canny準(zhǔn)則下的最優(yōu)濾波器在二維的情形下，可以使用二維高斯函數(shù)導(dǎo)函數(shù)作為濾波器。由于求導(dǎo)和求卷積是可以結(jié)合的，所以可以先用高斯函數(shù)濾波，然后再求導(dǎo)，即 （4-16） 顯然，上式可以看成是先用高斯濾波器進行平滑，再求梯度。邊緣強度是圖像在這個像素處的跳躍幅度，可以用平滑后的圖像在該像素處的梯度的大小來估計。而這個梯度又可以利用二元函數(shù)在此點處兩個正交方向上的方向?qū)?shù)來求，即為： （4-17）而邊緣的方向可以由下式計算： （4-18）然后，用閾值操作檢測其局部最大值就可得出檢測結(jié)果。下面是用Canny多尺度檢測方法得到的檢測結(jié)果： 圖4-6 canny算子檢測 第五章 小波多尺度邊緣檢測我

30、們已經(jīng)知道，通過檢測二維小波變換的模極大值點可以確定圖像的邊緣點。小波變換能夠?qū)D像分解成多種尺度成分，并對大小不同的尺度采用相應(yīng)的時域或空域取樣步長，因此能夠捕捉到任何微小的細節(jié)。也正因為小波變換能夠在各個尺度上提供圖像的邊緣信息，所以稱為小波多尺度變換。本章也是全文的核心，通過研究小波多尺度變換，提出了用改進的B-樣條函數(shù)作為小波函數(shù)，對圖像進行多尺度的邊緣檢測【18】。51 多尺度邊緣檢測一般情況下，沿邊緣走向的幅度變化緩慢，垂直于邊緣的幅度變化較大。此外，因物體大小有差別，它們的邊緣也就有不同的尺度。在二維的情況下，邊緣檢測算法通過計算圖像信號的梯度矢量 （5-1） 模的局部極大值來尋

31、找圖像邊緣的空間位置。梯度矢量的方向指出了圖像灰度值變化最快的方向。為了計算圖像信號的兩個偏導(dǎo)數(shù)，需要有兩個方向性的二維小波，可以取它們分別為平滑函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)： （5-2）并且在的平面的積分為1，并迅速收斂到0。我們令： （5-3）并定義小波變換的兩個分量： （5-4）任意的的二進制小波變換定義為如下函數(shù)族： （5-5）為了保證小波變換的完備性和穩(wěn)定性，還必須滿足下面的條件：存在兩個正常數(shù)A和B，對，使得 （5-6）上式中，和分別表示和的傅里葉變換。我們將滿足上式的稱為二進小波。由于是平滑函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，所以二維二進小波變換的兩個分量等價于信號被平滑后的梯度矢量的兩個分量，即為： （5-7）在上式中有尺度，稱為二進尺度。當(dāng)尺度S很大時，信號與小波函數(shù)的卷積消去了信號中較小的變化，所以僅能檢測出比較大的劇變點，而這正好就是小波分解中低頻信號的檢測。因此，對不同大小的S值，可以得到不同尺度下的劇變點，這就是多尺度邊緣檢測，相當(dāng)