桿件的應變能及其應用分析

1、第 十 四 章 桿件的應變能及其應用、教學目標和教學內容1教學目標 讓學生掌握桿件彈性應變能的有關概念。 理解和掌握在工程力學有廣泛應用的能量方法。 掌握功能原理、功的互等定理、位移互等定理、卡氏定理。 能夠熟練地計算根本變形桿件和常見的組合變形桿件的應變能。 對于簡單構造應變能，也能夠完成應變能的計算。 能夠較為熟練地應用卡氏第二定理，完成桿件的位移計算，并可以求解簡單 超靜定問題。為進一步在構造力學等后續(xù)課程中， 學習和應用能量方法奠定根底。2教學內容 介紹能量法的有關概念。例如，外力的功、應變能、比能等等。 介紹根本變形桿件應變能計算和組合變形桿件應變能計算。 講解功能原理、功的互等定理

2、和位移互等定理。 講解余能概念和卡氏定理。二、重點難點重點： 建立應變能等有關概念。 根本變形桿件和常見的組合變形桿件的應變能的計算。 卡氏第二定理及其應用。難點： 桿件應變能計算中的可否疊加問題。 對于廣義力和相應廣義位移的正確理解和認識。 應用卡氏第二定理求位移時，如何正確地選取或設定與位移相應的 廣義力。能否正確寫出內力方程，靈活地進展先求偏導數(shù)再積分的運算。三、教學方式采用啟發(fā)式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生答復以下問題四、建議學時6 學時五、講課提綱1、彈性應變能與功能原理 彈性體在荷載作用下將發(fā)生變形，外力作用點要產(chǎn)生位移因此，在彈性 體的變形過程中，外力沿其作用方向做了功，

3、稱為 外力功 。對于彈性體，因為變 形是可逆的，外力功將以一種能量形式積蓄在彈性體內部。 當將荷載逐漸卸除時， 該能量又將重新釋放出來作功， 使彈性體恢復到變形前的形狀。 例如鐘表里的發(fā) 條在被擰緊的過程中， 發(fā)生了彈性變形而積蓄了能量， 在它放松的過程中可帶動 指針轉動， 從而發(fā)條就作了功。 彈性體伴隨彈性變形積蓄了能量， 從而具有對外 界作功的潛在能力，通常把這種形式的能量稱為 彈性應變能 Dlastic strainenergy或彈性變形能 Dlastic deformation energy ，用V 表示。根據(jù)物理學中的功能原理， 積蓄在彈性體內的應變能 V 及能量損耗 E在數(shù)值上應等

4、于荷載所作的功，即V E W如果在加載過程中動能及其它形式的能量損耗不計，應有V W 14.1 利用上述的這種功能概念解決固體力學問題的方法統(tǒng)稱為能量法， 相應 的根本原理統(tǒng)稱為 功能原理 Principle for work and energy 。彈性體的功能 原理的應用非常廣泛， 它是目前在工程中得到廣泛應用的有限單元法的重要理論 根底。2 、桿件的應變能計算 如前所述，假設外力在加載過程中所作的功全部以應變能的形式積蓄在彈 性體內，即在加載和卸載的過程中能量沒有任何損失， 那么只要得到加載過程中 外力功的數(shù)值， 彈性體應變能的數(shù)值也就可以計算出來， 所以說外力功是應變能 的一種度量。2

5、.1 外力功的計算 外力作功分為以下兩種情況。 一種情況為常力作功。 這里所謂 常力，是指工程動力學中，作用在不變形 的剛體上使剛體產(chǎn)生運動的力。 當外力在作功過程中保持不變時， 它所作的功等 于外力與其相應位移的乘積。例如，在沿外力 F 方向線上有線位移 ，那么WF另一種情況為 靜荷載作功 。所謂 靜荷載 ，是指構件所承受的荷載從零開場 緩慢地增加到最終值， 然后不隨時間改變。 所以靜荷載的施加過程均為 變力 。靜 荷載作功，可以解釋為在其施加過程中的一種變力作功。例如圖 14.1 所示的簡 單受拉桿，拉力由零逐漸增加到定值 F ，由 F 產(chǎn)生的伸長變形由零逐漸增加到 l ，這就是拉力 F

6、的作用點的位移。如果材料服從胡克定律，那么外力 F 與位移l成線性關系圖14.2 a。設£表示加載過程中拉力的一個值，相應的位移為l1，此時將拉力增加一微量dR，使其產(chǎn)生相應的位移增量d( h)，這時，已14.2經(jīng)作用在桿上的拉力F1將在該位移增量上作全功，其值為dW F1 d( l1)圖 14.1在上式中略去了 dFi在d( IJ上作的功，這局部功為二階微量。dW在圖14.2 a中以陰影面積來表示。拉力從零增加到F的整個加載過程中所作的總功那 么為這種單元面積的總和，也就是OAB的面積，即F1WF1 d( l1) -F Io2上述積分是與靜荷載施加過程有關的積分，可以稱為靜荷載作功

7、的過程積 分。積分結果的系數(shù)1/2，既是已經(jīng)完成過程積分的標志，又表示構件材料為線 性彈性材料。將以上的分析推廣到其它的受力情況，因而靜荷載下外力功的計算 式可寫為W -F214.3圖 14.21 1V WFl d( 11) F l0/2式中的F是廣義力，它可以是集中力或集中力偶；是與廣義力F相對應的位移，稱為廣義位移，它可以是線位移或角位移。上式說明，當外力是由零逐漸 增加的變力時，在符合胡克定律的范圍內，外力在其相應位移上所作的功，等于 外力最終值與相應位移最終值乘積的一半。2.2桿件的應變能計算應變能的有關概念按照功能原理，應變能可以由計算外力的功得到，這是應變能的一種計算方 法。V W

8、i1V F1 ?d( l1) F l02同時，也說明線彈性材料桿件的應變能，在完成了過程積分，也始終具有1/2系數(shù)。1 1V W qF1 d( l1)-Fl應變能和外力的功，它們在桿件受力變形過程中的積累，也可以由荷載伸長圖和應力應變圖(見圖14.2)考察到。桿件的應變能計算桿件在各種根本變形時應變能的計算如前所述，應變能是根據(jù)能量守衡原理通過外力功來計算的。以下我們討論的均為靜荷載問題，動能和其他能量的損耗不計。1.軸向拉伸或壓縮桿的應變能及比能當拉壓桿的變形處于線彈性范圍內時，外力所作的功為1 W F l2那么桿內的應變能為1V W F l 2由圖14.1知，桿件任一橫截面上的軸力Fn F

9、考慮到胡克定律有FnIEA所以，拉壓桿的應變能為fN2i2EA14.4 a214.4 bEA( I)2l假設外力較復雜，軸力沿桿軸線為變量Fn(x)，可以先計算長度為dx微段內的應變能，再按積分的方法計算整個桿件的應變能，即dV= F(x)dx=2EA214.5Fn (x)dx1 2EA為了對構件的彈性變形能有更全面的了解，我們不但要知道整個構件所能積蓄的應變能,而且要知道桿的單位體積內所能積蓄的應變能。對于承受均勻拉力的桿圖14.1，桿內各局部的受力和變形情況一樣，所以每單位體積內積蓄的應變能相等，可用桿的應變能V除以桿的體積V來計算。這種單位體積內的應變能,，簡稱比能，并用v表示，于是稱為

10、應變比能 Density of strain energyv2FnI 1v=-V Al 2可見應變比能v的數(shù)值也可以用圖中 Oab的面積來表示圖14.2 b根據(jù)胡克定律E ，比能又可以寫成以下形式14.61 二 E 22E22剪切變形時的應變能及比能為了分析的方便，從受剪切桿中截取如圖14.3 a所示的單元體，該單元體處 于純剪切應力狀態(tài)，假想其在一個面如左側面上被固定起來，那么在剪應力 由零逐漸增加到 值的過程中，單元體將發(fā)生如下圖的變形，與此對應的剪應變 由零增加到 值，其右側面向下的位移為dx。當材料在線彈性范圍內工作時，其 與成正比圖14.3 b，與圖14.2 a、b中所示受拉桿的相應

11、圖形類 似。所以，單元體各外表上的剪力在單元體變形過程中所作的功為1 1dW ( dydz)( dydz)( dx)上式中，作功的力是單元體右側面上的剪力。由于剪應變很小，其余各面上的剪力，在其作用方向上沒有位移，都沒有在其作用方向上作功。故單元體內 積蓄的應變能為(a)(b)圖 14.31dV dW dV 2單元體內積蓄的應變比能那么為dV 1v dV 2這說明，v等于直線下的面積。由剪切胡克定律 G ，比能又可以 寫成以下形式2G 214.73.圓軸扭轉時的應變能及比能如圖14.4 a所示的受扭圓軸，假設扭轉力偶矩由零開場緩慢增加到最終值T,那么在線彈性范圍內，相對扭轉角 與扭轉力偶矩T間

12、的關系是一條直線圖14.4 b。與軸向拉伸桿件相似，扭轉圓軸的應變能應為圖 14.41V W T2由于圓軸橫截面上的扭矩M % T ,且MxlGl P所以，受扭圓軸的應變能為VMj* 22GIP2l14.8實際上，受扭圓軸中各點的應力狀態(tài)均為純剪切應力狀態(tài)，因而可以直接采用公式14.7，求積分即得桿件的應變能。因為剪應力Mx，所vVdV2dAdx1 A2Gl M :2G IPM；l2GI P當扭矩Mx沿軸線為變量時，上式變?yōu)?4.9M ；(x)dx1 2GIP可見利用比能計算全桿內積蓄的應變能應用范圍更廣，該方法適用于桿各橫截面上內力變化相應橫截面上各點處的應力也不同的情況。4.彎曲變形時的應

13、變能及比能（1）純彎曲梁設如圖14.5 a所示的簡支梁在兩端的縱向對稱平面內受到外力偶作用而發(fā)生純彎曲，在加載過程中，梁的各橫截面上的彎矩均有M =Mo，故梁在線彈性范圍內工作時，其軸線彎曲成為一段圓弧圖14.5 a，兩端橫截面有相對的轉動，其夾角為1 M 0ElMolEl與前面的情況相似，在線彈性范圍內，當彎曲外力偶矩由零逐漸增加到，Mo與的關系也是時，梁兩端截面上相對轉動產(chǎn)生的夾角也從零逐漸增加到 斜直線圖14.5 b，所以桿件純彎曲變形時的應變能為2 21 MolEl 2廠、VWM ol0 14.102 2EI212橫力彎曲梁在工程實際中，最常遇到的是受橫力彎曲的梁如圖 14.6 a所示

14、。這時， 梁橫截面上同時有剪力和彎矩，所以梁的應變能應包括兩局部：彎曲應變能和剪 切應變能。由于剪力和彎矩通常均隨著截面位置的不同而變化，都是 x的函數(shù)， 因此，計算梁的應變能應從分析梁上長為 dx的微段開場圖14.6 b。在彎矩的作用下，微段產(chǎn)生彎曲變形，兩端橫截面有相對的轉動圖14.6 c；在剪力的作用下，微段產(chǎn)生剪切變形，兩端橫截面有相對的錯動圖14.6 d。由于在小變形的情況下，彎曲正應力不會引起剪應變，剪應力也不會 引起線應變，或者說，由彎矩產(chǎn)生的位移與由剪力產(chǎn)生的位移互相垂直，因此， 可以先分別計算出彎矩和剪力在各自相應的變形位移上所作的功，然后根據(jù)疊加原理將它們疊加起來。但由于在

15、工程中常用的梁往往為細長梁，與剪應力對應的剪切應變能，比與彎矩對應的彎曲應變能小得多，可以不計，所以只需要計算彎曲應變能。圖 14.6微段梁左右兩端橫截面上的彎矩應分別為M (x)和M (x) dM (x)。在計算其應變能時，彎矩增量dM(x)所作的功為二階微量，可忽略不計，因此可將該微 段看作是純彎曲的情況。應用式14.10丨可求得微段的彎曲應變能2 dV M (x)dx2EI全梁的彎曲應變能那么可積分上式得到214.11M (x)dx1 2EI如果梁中各段內的彎矩M(x)由不同的函數(shù)表示，上列積分應分段進展，然后再求其總和。由以上各種變形形式下應變能的計算式可以看出，應變能是力的二 次函數(shù)

16、，也是變形的二次函數(shù)。當構件同時受幾個力或力偶作用時，能否用 疊加原理求應變能？復雜受力情況下應變能的計算1 有關應變能的兩個重要概念。(1)是否可以應用疊加原理計算應變能。F面以圖14.7 a所示的拉桿為例加以說明。拉桿在 F1、F2同時作用下的應變能為2(F1 F2) lF12|F1F2IF22|2EA2EAEA2EAV14.12而當F1、F2單獨作用時圖14.7 b、c，桿的應變能分別為圖 14.7ViFi2l2EAV2F22l2EA顯然V V 1 V 2可見對圖14.7 a所示的情況不能用疊加原理計算應變能。其原因是這些荷載 所作的功是互相影響的，即荷載除在其自身引起的位移上作功外，

17、在其它荷載引 起的位移上也要作功，所以不能將各荷載單獨分析再進展疊加。這樣的荷載稱為 屬于同類型荷載。例如假設先將 Fi作用在拉桿上，桿件有伸長 li，那么Fi所作 的功為1w Fi li2在Fi不卸除的情況下，再施加F2，桿件又伸長了 l2，故變力F2、常力Fi所 作的功為1W?F2 l2和W3 Fi 122那么整個加載過程外力所作的功為11W W W2 W3Fi liF2 l2 Fi l222將上式轉化為應變能那么同樣得到式i4.i2。其中W3就是兩力所作功互相影響的結果。(2)應變能是否與加載次序及過程有關。對于上述的拉桿，假設先施加 F2再施加Fi，通過類似的計算可以證明，桿件內積蓄的

18、應變能與上述分析結果一樣，當然也與 Fi、F2同時作用時 一樣?？梢姡e蓄在彈性體內的彈性應變能只決定于彈性體變形的最終狀態(tài)， 或 者說只決定于作用在彈性體上的荷載和位移的最終值，與加載的先后次序無關。2. 組合變形時的應變能如果作用在桿件上的某一荷載作用方向上，其它荷載均不在該荷載方向上引起位移，那么前一荷載與其它荷載將屬于不同荷載類型，那么仍可應用疊加原理計算應變能，即是說，可以單獨計算前一荷載作用下桿件的應變能， 單獨計算 其它荷載作用下桿件的應變能，然后疊加得出桿件的總的應變能。 組合變形時的 應變能就屬于這種情況。圖i4.8所示的微段桿是從處于拉、彎、扭組合變形下的圓桿中取出的，其長

19、度為dx，橫截面上的軸力Fn(x)、彎矩M (x)和扭矩M x均只在各自引起的位移d( I)、d和d上作功，各類荷載所作的功互相沒有影響，故微段桿內的應變能可用疊加原理計算，即(x)e1 wT 114.13圖 14.8dV dW12 Fn (x) d(1 1l) -M(x) dMx(x) dF：(x)dxM 2 2Fn(x)dx 十 M (x)dx Mx(x)dx1 2EA 1 2EI 1 2GIP2.5應變能的普遍表達式以上討論了桿件在根本變形和簡單組合變形下應變能的計算，現(xiàn)在研究更普遍的情況。設有n個廣義力F!、F2、Fn作用在如圖14.9所示的物體上,且設物體的約束條件足以使它只會發(fā)生由

20、于變形引起的位移，不會發(fā)生剛體位移。1、2、n表示荷載沿各自作用方位上的廣義位移圖 14.9。由前面的分析我們已經(jīng)知道，彈性體在變形過程中積蓄的應變能，只決定于作用在彈 性體上的荷載和位移的最終值，與加載的先后次序無關。于是，不管實際加載的 情況如何，在計算應變能時，為計算方便起見，可以假設這些荷載按同一比例從 零開場逐漸增加到最終值，那么彈性體的應變能等于各廣義力在加載過程中所作 功的總和，即(x)dxM ：(x)dx2EA2EI2GIP整個圓桿的應變能那么為Fp?Fp3圖 14.914.14當作用于彈性體上的荷載與其相應位移之間的關系是線性時，即物體為線彈性體，那么應變能的計算式為14.1

21、4n2Fiii 1 2這表示線彈性體的應變能等于各荷載與其相應位移乘積的二分之一的總和。 這一結論稱為克拉貝依隆原理。3、功的互等定理和位移互等定理由前面的討論可知，對線彈性體構造，積蓄在彈性體內的彈性應變能只決 定于作用在彈性體上的荷載的最終值，與加載的先后次序無關。由此可以導出功的互等定理和位移互等定理。它們在構造分析中有重要應用。功的互等定理又稱 互等功定理，是意大利的E.貝蒂E.Betti1872年和英 國的瑞利Rayleigh1873年分別獨立提出的，所以又稱貝蒂.瑞利互等功定理。位移互等定理又稱 互等位移定理，是英國的J.C.麥克斯韋 于1864年提出的，又稱麥克斯韋位移互等定理。

22、下面以一處于線彈性階段的簡支梁為例進展說明。圖14.10 a、b代表梁的兩種受力狀態(tài)，1、2截面為其上任意兩截面。如圖14.10 a所示，F(xiàn)1使梁在截面1、2上的位移分別為11和21 ；在圖14.10 b中，當F2作用時，在截面1、2上的產(chǎn)生的位移那么分別為12和22。在位移符號的角標中，第一個表示截面位置，第二個指是由哪個力引起的Fpi112工An(a)114 g LX圖 14.10現(xiàn)在用兩種方法在梁上加載，來計算 F“ F2共同作用時外力的功。先施加Fi再施加F2時圖14.10 a，外力的功11FFW1 2F111 二卜2 22卜1 122而領先施加F2再施加F1時圖14.10 b，外力的

23、功F22222F111F221由于桿件的應變能等于外力的功，與加載次序無關，即VW1 W2，所以F1 12 F2 2114.16這說明，第一個力在第二個力引起的位移上所作的功，等于第二個力在第一個力引起的位移上所作的功。這就是功的互等定理 Reciprocal Theorem ofWorkJ。FpiFp2FfLFp2J.21l'2】A21Ir xA12A22丄Al?AnA?t(a)<b)圖 14.10當F1 F2時，由14.16丨式可推出一個重要的推論，即這說明，作用在方位 1上的荷載使桿件在方位 2 上產(chǎn)生的位移 21 ，等于將 此荷載作用在方位 2 上而在方位 1 上產(chǎn)生的位

24、移 12 。這就是 位移互等定理 Reciprocal Theorem of Displaceme.nt。假設令 F1F2 =1即為單位力，且此時用 表示位移，那么有12 21由于 1、2 兩截面是任意的，故上述關系可寫為以下一般形式ij ji即 j 處作用的單位力在 i 處產(chǎn)生的位移，等于 i 處作用的單位力在 j 處產(chǎn)生的 位移。這是位移互等定理的特殊表達形式，在構造分析中十分有用。 以上分析對彈性體上作用的集中力偶顯然也是適用的， 不過相應的 位移是角位移，所以上述互等定理中的力和位移泛指廣義力和廣義位移。4、余能概念及卡氏第一定理 4.1 余能以上推出的公式均只在線彈性范圍內成立。 下

25、面，我們進一步討論非線 性彈性體的應變能表達式， 并介紹非線性彈性體的應變余能 簡稱余能 概念及 表達式。我們仍以圖14.1丨所示的拉桿為例，但材料非線性彈性的，這時力F與相 應的位移 的關系就是非線性的圖14.11 a。比照圖14.2 a，不難看出仍可用 下式計算外力作的功14.18W Fd14.19圖14.11 a表示，外力功的大小與位移從 0到 之間一段F 曲線下的面積相 當。式 14.18是以位移作為積分變量的，假設以力作為積分變量，那么有WCdF稱為 余功 Complementary work 。余功沒有具體的物理意義，但有明確的幾何 意義，那就是外力從 0 到 F 之間一段 F .

26、 曲線與縱坐標軸間的面積。從圖 14.11 a 不難看出，功和余功互補為 常力功 。圖 14.11由于材料是彈性的，如果將加載和卸載過程中的能量損耗略去不計，那 么同樣有與線彈性體類似的結論，即積蓄在彈性體內的應變能V在數(shù)值上應等于外力所作的功W Fd 14.20同樣地，余功Wc與余應變能Vc在數(shù)值上也相等，即Vc Wc尸 dF 14.21此即為由外力余功來計算 余應變能Complementary strain energy的表達式。如果從拉桿中取出一個邊長為1的單元體，該單元體處于單軸應力狀態(tài)， 上、下外表的力為F 1 1，對于單元體而言它們是外力。與F相應的伸長量為l 1，于是在對拉桿加載

27、過程中，作用在單元體上的外力功為w d該外力功在數(shù)值上等于積蓄在單元體內的應變能，即比能v,于是v w d 14.22同樣地，假設以應力作為積分變量，那么有vCd 14.23式中 vC稱為余應變比能 density of complementary strain energy，其大小就代表 曲線與縱坐標軸間的面積14.17b。例如，材料的應力一應變關系為E時，物體的應變比能和余應變比能分別為?E 333 E23E2材料在拉伸壓縮時的應力一應變關系可寫成E，顯然，這時應變能和余應變能在數(shù)值上是相等的，對于線彈性體，當變形在線彈性范圍內時，應變能 和余應變能在數(shù)值上也是相等的。 但應該注意，余功、

28、余應變能如前述都沒有明 確的物理意義，只是因為它們具有與外力功一樣的量綱，才把它們作為一種能量 參數(shù)，而在求解非線性彈性問題時，它們非常有用。4.2卡氏第一定理卡氏定理Castigliano ' s Theorem，是意大利工程師卡斯蒂利亞諾A.Castiglia no丨于1873年提出的，故得其名。我們以圖14.9所示的彈性體為例來說明。設彈性體上作用有n個廣義力Fi，與這些力對應的廣義位移為 i，其中i 1、2、n，如果將彈性體的應變能V表示為位移的函數(shù)V（ 1、2、n ），那么應變能函數(shù)對某個廣義位移的偏導數(shù)，等于與該位移相應的廣義力，即Fi:i 1、2、n14.24。下面進展證明這就是 卡氏第一定理 First Castiglia no Theorem現(xiàn)假設沿第i個作用力方向的位移有一微小增量 d i，那么彈性體的應變能V有相應的增量為Vr ,dVd i ai這時彈性體內的應變能為V d i bi式中：V可由應變能的普遍表達式14.13計算，一匕代表應變能對于位移i的變i化率。此外，由于只有沿第i個作用力方向的位移有一微小增量， 沿其余作用力方向無位移變化，故外力功的增量為前面我們已經(jīng)知道，外力功在數(shù)值上等于應變能，它們的變化量也應相等，即dV dW將