2012全國(guó)高考湖北卷理科數(shù)學(xué)試卷解析及答案

1、2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（理工類）試卷解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1方程的一個(gè)根是A B C D考點(diǎn)分析：本題考察復(fù)數(shù)的一元二次方程求根. 難易度：解析：根據(jù)復(fù)數(shù)求根公式：，所以方程的一個(gè)根為答案為A.2命題“，”的否定是A， B，C， D， 考點(diǎn)分析：本題主要考察常用邏輯用語(yǔ)，考察對(duì)命題的否定和否命題的區(qū)別. 難易度：俯視圖側(cè)視圖2正視圖第4題圖4242 解析：根據(jù)對(duì)命題的否定知，是把謂詞取否定，然后把結(jié)論否定。因此選D3已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則它與軸所圍圖形的面積為yxO第3

2、題圖A B C D 考點(diǎn)分析：本題考察利用定積分求面積. 難易度： 解析：根據(jù)圖像可得： ，再由定積分的幾何意義，可求得面積為.4已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A B C D考點(diǎn)分析：本題考察空間幾何體的三視圖.難易度：解析：顯然有三視圖我們易知原幾何體為 一個(gè)圓柱體的一部分，并且有正視圖知是一個(gè)1/2的圓柱體，底面圓的半徑為1，圓柱體的高為6，則知所求幾何體體積為原體積的一半為.選B.5設(shè)，且，若能被13整除，則A0 B1 C11 D12考點(diǎn)分析：本題考察二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù).難易度：解析：由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a，0a<13,所以a=

3、12選D.6設(shè)是正數(shù)，且，則 A B C D 考點(diǎn)分析：本題主要考察了柯西不等式的使用以及其取等條件.難易度：解析：由于 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)則a=t x b=t y c=t z ，所以由題知又，答案選C.7定義在上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：； ； ； .則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為 A B C D 考點(diǎn)分析：本題考察等比數(shù)列性質(zhì)及函數(shù)計(jì)算.難易度：解析：等比數(shù)列性質(zhì)，； ；.選C8如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓. 在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是A BC

4、 D考點(diǎn)分析：本題考察幾何概型及平面圖形面積求法.難易度：第8題圖解析：令，扇形OAB為對(duì)稱圖形，ACBD圍成面積為，圍成OC為，作對(duì)稱軸OD，則過(guò)C點(diǎn)。即為以O(shè)A為直徑的半圓面積減去三角形OAC的面積，。在扇形OAD中為扇形面積減去三角形OAC面積和，扇形OAB面積，選A.9函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A4 B5 C6 D7考點(diǎn)分析：本題考察三角函數(shù)的周期性以及零點(diǎn)的概念.難易度：解析：，則或，又，所以共有6個(gè)解.選C.10我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開(kāi)立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開(kāi)立方除之，即立圓徑. “開(kāi)立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積，求其直徑的一個(gè)近似公式. 人們還用過(guò)

5、一些類似的近似公式. 根據(jù)判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是A B C D考點(diǎn)分析：考察球的體積公式以及估算.難易度：解析：二、填空題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分. 請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上. 答錯(cuò)位置，書(shū)寫(xiě)不清，模棱兩可均不得分. （一）必考題（1114題）11設(shè)的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，. 若，則角 考點(diǎn)分析：考察余弦定理的運(yùn)用.難易度：解析： 12閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果 .第12題圖考點(diǎn)分析：本題考查程序框圖.難易度：解析：程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的值如下表示： 第一圈循環(huán)：當(dāng)n=1時(shí)，得s=1，a=3. 第二圈循環(huán): 當(dāng)n

6、=2時(shí)，得s=4，a=5第三圈循環(huán)：當(dāng)n=3時(shí)，得s=9，a=7此時(shí)n=3，不再循環(huán)，所以解s=9 . 13回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)如22，121，3443，94249等顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，993位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，191，202，999則（）4位回文數(shù)有 個(gè)；（）位回文數(shù)有 個(gè)考點(diǎn)分析：本題考查排列、組合的應(yīng)用.難易度：解析：（）4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（19）種情況，第二位有10（09）種情況，所以4位回文數(shù)有種。答案：90 （）法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n+1位回文數(shù)

7、和2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)相同，所以可以算出2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)。2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項(xiàng)每項(xiàng)有10種情況，所以個(gè)數(shù)為. 法二、可以看出2位數(shù)有9個(gè)回文數(shù)，3位數(shù)90個(gè)回文數(shù)。計(jì)算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對(duì)的“00,11,22,99”，因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個(gè)按此規(guī)律推導(dǎo),而當(dāng)奇數(shù)位時(shí)，可以看成在偶數(shù)位的最中間添加09這十個(gè)數(shù)，因此,則答案為.14如圖，雙曲線的兩頂點(diǎn)為，虛軸兩端點(diǎn)為，兩焦點(diǎn)為，. 若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點(diǎn)分別為. 則A1 A2 yB2 B1AO BCDF1 F2 x（）雙曲線的離心率 ；（）菱形

8、的面積與矩形的面積的比值 . 考點(diǎn)分析：本題考察雙曲線中離心率及實(shí)軸虛軸的相關(guān)定義，以及一般平面幾何圖形的面積計(jì)算. 難易度： 解析：（）由于以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，因此點(diǎn)到直線的距離為，又由于虛軸兩端點(diǎn)為，因此的長(zhǎng)為，那么在中，由三角形的面積公式知，又由雙曲線中存在關(guān)系聯(lián)立可得出，根據(jù)解出（）設(shè),很顯然知道,因此.在中求得故；菱形的面積，再根據(jù)第一問(wèn)中求得的值可以解出.CBADO.第15題圖（二）選考題（請(qǐng)考生在第15、16兩題中任選一題作答，請(qǐng)先在答題卡指定位置將你所選的題目序號(hào)后的方框用2B鉛筆涂黑. 如果全選，則按第15題作答結(jié)果計(jì)分.）15（選修4-1：幾何證明選講）如圖，點(diǎn)D在的弦

9、AB上移動(dòng)，連接OD，過(guò)點(diǎn)D 作的垂線交于點(diǎn)C，則CD的最大值為 . 考點(diǎn)分析：本題考察直線與圓的位置關(guān)系難易度：解析：（由于因此,線段長(zhǎng)為定值，即需求解線段長(zhǎng)度的最小值，根據(jù)弦中點(diǎn)到圓心的距離最短，此時(shí)為的中點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，因此.16（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 已知射線與曲線（t為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 .考點(diǎn)分析：本題考察平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)系下的曲線方程交點(diǎn).難易度：解析：在直角坐標(biāo)系下的一般方程為，將參數(shù)方程（t為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的一般方程為表示一條拋物線，聯(lián)立上面兩個(gè)方程

10、消去有，設(shè)兩點(diǎn)及其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則有韋達(dá)定理,又由于點(diǎn)點(diǎn)在直線上，因此的中點(diǎn).三、解答題17（本小題滿分12分）已知向量，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，其中，為常數(shù)，且. （）求函數(shù)的最小正周期； （）若的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.考點(diǎn)分析：本題考察三角恒等變化，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)。難易度：解析：（）因?yàn)? 由直線是圖象的一條對(duì)稱軸，可得， 所以，即 又，所以，故. 所以的最小正周期是. （）由的圖象過(guò)點(diǎn)，得，即，即. 故， 由，有，所以，得，故函數(shù)在上的取值范圍為. 18（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為.（）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，成等比數(shù)列，

11、求數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)分析：考察等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，和前n項(xiàng)和公式及基本運(yùn)算。難易度：解析：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，或.故，或. （）當(dāng)時(shí)，分別為，不成等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，分別為，成等比數(shù)列，滿足條件.故 記數(shù)列的前項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， . 當(dāng)時(shí)，滿足此式.綜上， 19（本小題滿分12分）如圖1，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將折起，使（如圖2所示） （）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；（）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大小DABCACDB圖2圖1ME.

12、·第19題圖考點(diǎn)分析：本題考察立體幾何線面的基本關(guān)系，考察如何取到最值，用均值不等式和導(dǎo)數(shù)均可求最值。同時(shí)考察直線與平面所成角。本題可用綜合法和空間向量法都可以。運(yùn)用空間向量法對(duì)計(jì)算的要求要高些。難易度：解析：（）解法1：在如圖1所示的中，設(shè)，則由，知，為等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如圖2），且，所以平面又，所以于是 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)，即時(shí), 三棱錐的體積最大 解法2：同解法1，得 令，由，且，解得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值故當(dāng)時(shí), 三棱錐的體積最大 （）解法1：以為原點(diǎn)，建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系由（）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，于是可得，

13、且設(shè)，則. 因?yàn)榈葍r(jià)于，即，故，.所以當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)）時(shí)， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由 及，得 可取 設(shè)與平面所成角的大小為，則由，可得，即CADB圖aEMxyz圖bCADBEFMN 圖cBDPCFNEBGMNEH圖d第19題解答圖N 故與平面所成角的大小為 解法2：由（）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，如圖b，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則.由（）知平面，所以平面.如圖c，延長(zhǎng)至P點(diǎn)使得，連，則四邊形為正方形，所以. 取的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，則，所以. 因?yàn)槠矫?，又面，所? 又，所以面. 又面，所以.因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，而點(diǎn)F是唯一的，所以點(diǎn)是唯一的.即當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)）， 連接，

14、由計(jì)算得，所以與是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形，如圖d所示，取的中點(diǎn)，連接，則平面在平面中，過(guò)點(diǎn)作于，則平面故是與平面所成的角 在中，易得，所以是正三角形，故，即與平面所成角的大小為 20（本小題滿分12分）根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X（單位：mm）對(duì)工期的影響如下表：降水量X工期延誤天數(shù)02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9. 求：（）工期延誤天數(shù)的均值與方差； （）在降水量X至少是的條件下，工期延誤不超過(guò)6天的概率. 考點(diǎn)分析：本題考察條件概率、離散型條件概率分布列的期望與方差。難易度：解析：（）由已知條件

15、和概率的加法公式有：，.所以的分布列為：026100.30.40.20.1 于是，；. 故工期延誤天數(shù)的均值為3，方差為. （）由概率的加法公式，又. 由條件概率，得.故在降水量X至少是mm的條件下，工期延誤不超過(guò)6天的概率是. 21（本小題滿分13分）設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足. 當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線（）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)； （）過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn). 是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

16、由. 考點(diǎn)分析：本題主要考察求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，要求能正確理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，并能熟練運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，對(duì)運(yùn)算能力有較高要求。難易度：解析：（）如圖1，設(shè)，則由，可得，所以，. 因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以. 將式代入式即得所求曲線的方程為. 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，. （）解法1：如圖2、3，設(shè)，則，直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得.依題意可知此方程的兩根為，于是由韋達(dá)定理可得，即.因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以.于是，. 而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其

17、對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有. 圖2 圖3 圖1O D xyAM第21題解答圖 解法2：如圖2、3，設(shè)，則，因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)在橢圓上，所以 兩式相減可得. 依題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三點(diǎn)共線，所以，即. 于是由式可得.而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有. 22（本小題滿分14分）（）已知函數(shù)，其中為有理數(shù)，且. 求的最小值；（）試用（）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)，為正有理數(shù). 若，則；（）請(qǐng)將（）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式.考點(diǎn)分析：本題主要考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，并結(jié)合推理，考察數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)考生的歸納推理能力有較高要求。難易程度：解析：（），令，解得.當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，所以在內(nèi)是增函數(shù).故函數(shù)在處取得最小值. （）由（）知，當(dāng)時(shí)，有，即 若，中有一個(gè)為0，則