高等數(shù)學(xué)第30講-函數(shù)作圖法

1、第三十講 函數(shù)作圖法作函數(shù)的圖形時(shí)，僅知道函數(shù)的單調(diào)性和極值還不能全面反映函數(shù)圖形的特征同是在區(qū)間上單調(diào)增加的函數(shù)，其圖形的彎曲方向也可能不同；如圖36中與同是上升曲線，但彎曲方向不同，前者是凸的，后者是凹的本節(jié)將用導(dǎo)數(shù)研究曲線的凸凹及拐點(diǎn)，從而比較準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖形一、函數(shù)的凸凹與拐點(diǎn)如圖36可以看出，曲線是向上彎曲的，其上每一點(diǎn)的切線都位于曲線的上方；曲線是向下彎曲的，其上每一點(diǎn)的切線都位于曲線下方，從而我們有如下定義定義 如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)處的切線都位于曲線的上方，則稱曲線在此區(qū)間內(nèi)是凸的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)處的切線都位于曲線的下方，則稱曲線在此區(qū)間內(nèi)是凹的從圖36

2、還可以進(jìn)一步看出，當(dāng)曲線凸時(shí)，其切線斜率是單調(diào)減少的，因而；當(dāng)曲線凹時(shí)，其切線斜率是單調(diào)增加的，因而，這說明曲線的凸凹性可由函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的符號確定定理 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則：（） 若在內(nèi)，,則曲線在上是凹的（） 若在內(nèi)，,則曲線在上是凸的定義 曲線上，凸與凹的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)由拐點(diǎn)的定義和定理知，使的點(diǎn)及不存在的點(diǎn)可能是拐點(diǎn)這些點(diǎn)是不是拐點(diǎn)要用下面的定理來判定定理 設(shè)在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，則（） 若在與內(nèi)異號，則點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)（） 若在與內(nèi)同號，則點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)例 求函數(shù)的凸凹區(qū)間及拐點(diǎn)解 ，令得；而為不存在的點(diǎn)用將定義區(qū)間分成三個(gè)部分區(qū)間（見下表）由表可知，曲線的凸區(qū)間是，凹

3、區(qū)間是,；點(diǎn)是拐點(diǎn)0不存在凸拐點(diǎn)凹不是拐點(diǎn)凹例 討論函數(shù)的凸凹性及拐點(diǎn)解 函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢瘮?shù)求導(dǎo)得 ， ；由得，用這兩點(diǎn)把定義域分成三個(gè)部分區(qū)間(見下表)由下表可知，曲線的凸區(qū)間是，凹區(qū)間是和，點(diǎn)和點(diǎn)是拐點(diǎn)凹拐點(diǎn)凸拐點(diǎn)凹二、曲線的漸近線有些函數(shù)的定義域與值域都是有限區(qū)間，此時(shí)函數(shù)的圖形局限于一定的范圍之內(nèi)，如圓，橢圓等而有些函數(shù)的定義域或值域是無窮區(qū)間，此時(shí)函數(shù)的圖形向無窮遠(yuǎn)處延伸，如雙曲線，拋物線等有些向無窮遠(yuǎn)延伸的曲線，呈現(xiàn)出越來越接近某一直線的形態(tài)，這種直線就是曲線的漸近線定義 2 若曲線上一點(diǎn)沿曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)與某條直線的距離趨于零，則稱此直線為曲線的漸近線（一）水平漸近線

4、若函數(shù)的定義域是無限區(qū)間，且有（或，），則直線稱為曲線的水平漸近線例對于曲線，由于，所以直線與是曲線的水平漸近線（二）垂直漸近線若是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且（或，），則直線稱為曲線的垂直漸近線例 求的垂直漸近線解 因?yàn)?，所以，是曲線的一條垂直漸近線（三）斜漸近線若曲線的定義域?yàn)闊o限區(qū)間，且有，則直線稱為曲線的斜漸近線例 求曲線的漸近線解 因?yàn)?，所以直線是曲線的垂直漸近線，又，；所以為曲線的斜漸近線三、函數(shù)圖形的作法前面幾節(jié)討論的函數(shù)的各種性態(tài)，可應(yīng)用于函數(shù)的作圖描繪函數(shù)的圖形可按下面的步驟第一步 確定函數(shù)的定義域及函數(shù)的某些特性（如奇偶性，周期性等）第二步 求出方程和在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實(shí)根和，不存在的點(diǎn)；用這些點(diǎn)把定義域劃分成部分區(qū)間第三步 確定在這些部分區(qū)間內(nèi)和的符號，并由此確定函數(shù)的升降、凸凹、極值點(diǎn)和拐點(diǎn)第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直和斜漸近線以及其它變化趨勢第五步 為了把圖形描得準(zhǔn)確，有時(shí)還需要補(bǔ)充一些點(diǎn)；然后結(jié)合第三、四步中得到的結(jié)果，連結(jié)這些點(diǎn)作出函數(shù)的圖形例 描繪函數(shù)的圖形 解 （1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，故圖形在上半平面內(nèi)圖7 （2）是偶函數(shù)，圖形關(guān)