高等數(shù)學(xué)上教案2-2-1

1、高等345 太惹人數(shù)學(xué)教案一、課程的性質(zhì)與任務(wù)高等數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)；信息管理與信息系統(tǒng)兩個(gè)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課，通過本課程的學(xué)習(xí)，也是該5共同擔(dān)任風(fēng)格士大夫個(gè)分工是分工是范高dfg專業(yè)的核心課程。要使學(xué)生獲得“向量代數(shù)”與“空間解析幾何”，“微積分”，“常微分方程與無窮級(jí)數(shù)”等方面的基本概論、基本理論與基本運(yùn)算；同時(shí)要通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培訓(xùn)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力。在傳授知識(shí)的同時(shí)，要著眼于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問題的意識(shí)、興趣和能力。第一章：函數(shù)與極限教學(xué)目的與要求 18學(xué)時(shí) 1.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)

2、建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。7.了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最

3、大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。第一節(jié)：映射與函數(shù)一、集合1、 集合概念具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素1)2)元素與集合的關(guān)系： 一個(gè)集合，若它只含有有限個(gè)元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。常見的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+元素與集合的關(guān)系： A、B是兩個(gè)集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作。如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作若作且則稱A是B的真子集。空集： 2、 集合的運(yùn)算并集 ：交集 ： 差集 ：全集I 、E 補(bǔ)集

4、： 集合的并、交、余運(yùn)算滿足下列法則：交換律、 結(jié)合律、 分配律 對(duì)偶律 ( 笛卡兒積A×B3、 區(qū)間和鄰域開區(qū)間 閉區(qū)間 半開半閉區(qū)間 有限、無限區(qū)間鄰域： a 鄰域的中心 鄰域的半徑 去心鄰域 左、右鄰域二、映射1. 映射概念定義 設(shè)X，Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則，使得對(duì)X中的每一個(gè)元素，按法則，在Y中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，則稱為從X到Y(jié)的映射，記作 其中 稱為元素的像，并記作，即 注意：1）集合X；集合Y；對(duì)應(yīng)法則 2）每個(gè)X有唯一的像；每個(gè)Y的原像不唯一 3) 單射、滿射、雙射2、 映射、復(fù)合映射三、函數(shù)1、 函數(shù)的概念：定義：設(shè)數(shù)集，則稱映射為定義在D上的函數(shù)

5、記為 自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值用、 函數(shù)相等：定義域、對(duì)應(yīng)法則相等 自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝. 例：) 2) 3) 符號(hào)函數(shù)4) 取整函數(shù) （階梯曲線）5) 分段函數(shù) 2、 函數(shù)的幾種特性1） 函數(shù)的有界性 (上界、下界；有界、無界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。 2) 函數(shù)的單調(diào)性 （單增、單減）在x1、x2點(diǎn)比較函數(shù)值 與的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關(guān)）3) 函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、與關(guān)系決定) 圖形特點(diǎn) (關(guān)于原點(diǎn)、Y軸對(duì)稱) 4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：)3、 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 反函數(shù)：函數(shù)是單射，則有逆映射，稱此映

6、射為函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱 復(fù)合函數(shù)：函數(shù)定義域?yàn)镈1，函數(shù)在D上有定義、且。則為復(fù)合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)4、 函數(shù)的運(yùn)算 和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運(yùn)算)5、 初等函數(shù)：1) 冪函數(shù)： 2)指數(shù)函數(shù)： 3) 對(duì)數(shù)函數(shù) 4)三角函數(shù) 5) 反三角函數(shù)， 以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù) 6) 雙曲函數(shù) 注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。雙曲函數(shù)公式反雙曲函數(shù)：作業(yè)： 同步練習(xí)冊(cè)練習(xí)一第二節(jié)：數(shù)列的極限一、數(shù)列 數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。 1）這個(gè)序列中的每個(gè)數(shù)都編了號(hào)。2）序列中有無限多個(gè)成員。一般寫成：縮寫為例 1 數(shù)列是這樣一個(gè)數(shù)列，其中 ，也可寫為：可發(fā)現(xiàn)：這個(gè)

7、數(shù)列有個(gè)趨勢，數(shù)值越來越小，無限接近0，記為1、 極限的定義：則稱數(shù)列的極限為，記成 也可等價(jià)表述：1） 2）極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢，因此與數(shù)列中某個(gè)、前幾個(gè)的值沒有關(guān)系。二、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1：如果數(shù)列收斂，那么它的極限是唯一定理2 如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界定理3：如果且a>0(a<0)那么存在正整數(shù)N>0，當(dāng)n>N時(shí)，定理4、如果數(shù)列收斂于a那么它的任一子 數(shù)列也收斂,且收斂于a。第三節(jié)：函數(shù)的極限 一、極限的定義1、在點(diǎn)的極限1）可在函數(shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及在有沒有定義，以及函數(shù)值的大小。只要滿足：存在某個(gè)使：。2）如果自變量趨于時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)

8、值 有一個(gè)總趨勢-以某個(gè)實(shí)數(shù)為極限 ，則記為 ：。形式定義為： 注：左、右極限。單側(cè)極限、極限的關(guān)系2、的極限 設(shè)：如果當(dāng)時(shí)函數(shù)值 有一個(gè)總趨勢-該曲線有一條水平漸近線-則稱函數(shù)在無限遠(yuǎn)點(diǎn)有極限。記為： 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的左右極限： 關(guān)系為：二、函數(shù)極限的性質(zhì)1、 極限的唯一性2、 函數(shù)極限的局部有界性3、 函數(shù)極限的局部保號(hào)性4、 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系第四節(jié)：無窮小與無窮大一、無窮小定義定義：對(duì)一個(gè)數(shù)列，如果成立如下的命題： 則稱它為無窮小量，即注： 1、的意義；2、可寫成； 3、上述命題可翻譯成：對(duì)于任意小的正數(shù)，存在一個(gè)號(hào)碼N，使在這個(gè)號(hào)碼以后的所有的號(hào)碼，相應(yīng)的與極限0的距離比這個(gè)給定的

9、還小。它是我們?cè)谥庇^上對(duì)于一個(gè)數(shù)列趨于0的認(rèn)識(shí)。定理1 在自變量的同一變化過程（或中，函數(shù)具有極限A的充分必要條件是，其中是無窮小。二、無窮大定義 一個(gè)數(shù)列，如果成立：那么稱它為無窮大量。記成：。 特別地，如果，則稱為正無窮大，記成特別地，如果，則稱為負(fù)無窮大，記成注：無法區(qū)分正負(fù)無窮大時(shí)就籠統(tǒng)地稱之為無窮大量。三、無窮小和無窮大的關(guān)系定理2 在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮??；反之，如果為無窮小，且則為無窮大即：非零的無窮小量與無窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當(dāng)時(shí)：有 注意是在自變量的同一個(gè)變化過程中第五節(jié)：極限運(yùn)算法則1、無窮小的性質(zhì)設(shè)和是無窮小量于是：（1）兩個(gè)無窮小量的和差也是無窮

10、小量： （2）對(duì)于任意常數(shù)C，數(shù)列也是無窮小量： （3）也是無窮小量，兩個(gè)無窮小量的積是一個(gè)無窮小量。 （4）也是無窮小量： （5）無窮小與有界函數(shù)的積為無窮小。2、函數(shù)極限的四則運(yùn)算1、 若函數(shù)和在點(diǎn)有極限，則2、 函數(shù)在點(diǎn)有極限，則對(duì)任何常數(shù)成立 3、若函數(shù)和在點(diǎn)有極限，則 3、 若函數(shù)和在點(diǎn)有極限，并且，則 極限的四則運(yùn)算成立的條件是若函數(shù)和在點(diǎn)有極限例：求下述極限 4、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理6 設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與復(fù)合而成，在點(diǎn)的 某去心鄰域內(nèi)有定義，若，且存在，當(dāng)時(shí)，有，則第六節(jié)：極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 定理1 夾逼定理 ：三數(shù)列、和，如果從某個(gè)號(hào)碼起成立：1），并且已知和收斂

11、， 2），則有結(jié)論： 定理2 單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。 單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收斂。例：證明：例： 證明：有界。求 的極限 第七節(jié)：無窮小的比較定義：若為無窮小且 高階、低階、同階、k階、等價(jià) 1、 若為等價(jià)無窮小則 2、 若 、且存在，則： 例： 第八節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、 函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)該點(diǎn)的函數(shù)值 、左極限與右極限三者相等： 或者：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)有極限且此極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值 。 其形式定義如下：函數(shù)在區(qū)間（a,b）連續(xù)指：區(qū)間中每一點(diǎn)都連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間a,b連續(xù)時(shí)裝意端點(diǎn)。注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點(diǎn)) 連續(xù)函數(shù)的

12、圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線 二、間斷點(diǎn) 若：中有某一個(gè)等式不成立，就間斷，分為：1、 第一類間斷點(diǎn)： 即函數(shù)在點(diǎn)的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個(gè)跳躍。2 、第二類間斷點(diǎn)：左極限與右極限兩者之中至少有一個(gè)不存在 例：見教材第九節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算1.且，2且，3. 且， 反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)的，則存在它的反函數(shù)：并且也是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)的。注： 1）反函數(shù)的定義域就是原來的值域。2）通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。反函數(shù)也可表成 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理： 設(shè)函數(shù)和滿足復(fù)合條件，若函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù)；

13、，又若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。 注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號(hào)與函數(shù)符號(hào)的交換：從這些基本初等函數(shù)出,通過若干次四則運(yùn)算以及復(fù)合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。第十節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、 最大、最小值設(shè)函數(shù)：在上有界，現(xiàn)在問在值域中是否有一個(gè)最大的實(shí)數(shù)？如果存在，譬如說它是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值 ，則記叫做函數(shù)在D上的最大值。 類似地，如果 中有一個(gè)最小實(shí)數(shù)，譬如說它是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，則記稱為函數(shù)在上的最小值 。二、有界性有界性定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上有界。三、零點(diǎn)、介值定理最大值和最小值定理：如果函數(shù) 在閉區(qū)間上連續(xù)則它在上有最

14、大值和最小值，也就是說存在兩個(gè)點(diǎn)和，使得亦即 若x0使，則稱x0為函數(shù)的零點(diǎn) 零點(diǎn)定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)異號(hào)：則至少有一個(gè)零點(diǎn)，使中值定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上能取到它的最大值 和最小 值 之間的任何一個(gè)中間值。 作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分教學(xué)目的與要求 22學(xué)時(shí) 1、 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系。2、 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和

15、一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。3、 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。4、 會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5、 會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。一、導(dǎo)數(shù)概念（）1、定義 左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù) 可以證明：可導(dǎo)連續(xù)。即可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件。 連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。 左右導(dǎo)數(shù)(注：與左右極限關(guān)系)2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)處切線： 例1：討論在x=0處可導(dǎo)性解： 在x = 0連續(xù)不存在在x = 0不可導(dǎo)例2：已知存在則= 例3：設(shè)函數(shù)可微， 則例4： 設(shè) 為使在x = x0 處可導(dǎo)，應(yīng)如何選取常數(shù)a、b解：首先必須在x0連續(xù) （由得）存在 從而例5： = x

16、(x-1)(x-2)(x-9) , 則 例6：設(shè)在x = 0 領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)， 則 （分母0） 例7：設(shè)函數(shù) f (1+x) = a f ( x ) ， 且 (a , b 0)， 問 存在否?解： 二、導(dǎo)數(shù)的求法 1、顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)求一個(gè)顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需解決： 基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)(P64); 導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則(P65); 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法則(P66)。定理：在X有導(dǎo)數(shù)，在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在X處也有導(dǎo)數(shù)，。例1：求解： 例2：求解： 例3：求解： 例4：求解： 例5：求解： 例6：求解： 例7：求解： 例8： 求解： 例9：求解： 高階導(dǎo)數(shù)、二階： 例10：， 求解： 先講微分（后頁）2、

17、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程導(dǎo)數(shù) 如方程F(x，y)=0確定了y=y(x)，只需方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，注意y=y(x)例10：求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)求解： 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)， （2）設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)， 求解： 由原方程知當(dāng)x=0時(shí)， 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)。 ，將x=0，代入得：(3) 是由方程所確定的隱函數(shù), 試求,。解: 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)： 方程兩邊再對(duì)x求導(dǎo)： 由原方程知，當(dāng)時(shí)，代入得再將，代入式，得 (4) 設(shè)求解： (5) 設(shè)是由方程組所確定的函數(shù)，求：。解： 3、 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1) 設(shè)求：解：當(dāng) 不存在，故 高階導(dǎo)數(shù)（n階）略， 例 2) 設(shè)在（）上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，對(duì)函數(shù) (1)

18、確定的值，使在（）上連續(xù)(2) 對(duì)（1）中確定的，證明在（）上 一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)解： 即當(dāng) 在連續(xù)， 也就是在（）連續(xù) 而在連續(xù),即在連續(xù)三、 微分 一階微分形式不變 （自變量） 如 (中間變量)例： ， ， 可導(dǎo) 可微第三章微分中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的與要求1掌握并會(huì)應(yīng)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。3 用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。4 握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。5 道曲率和曲率半徑的

19、概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。6 了解方程近似解的二分法及切線法。一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒級(jí)數(shù)中講）1 羅爾定理如滿足：（1）在連續(xù). （2）在可導(dǎo). （3） 則至少存在一點(diǎn) 使例 設(shè)，則 在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，方程 有2個(gè)實(shí)根；在（-1，1）內(nèi)有2個(gè)根例 設(shè)在0，1可導(dǎo)，且， 證明存在，使。證： 設(shè)在a,b可導(dǎo)， 存在使 即例 設(shè)在0，1可導(dǎo)，且, 證明存在 。解: 設(shè)，且 由羅爾定理 存在 使 即， 亦即例 習(xí)題6 設(shè)（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）2、 拉格朗日中值定理如滿足：在a,b連續(xù)；在（a,b）連續(xù)，則存在使。推論： 如果在區(qū)間I上，則 如果在區(qū)間I上， 在單增（減）例對(duì)任意滿足的x， 都

20、有設(shè) 例 設(shè)，證明求導(dǎo)證明作業(yè)：見各章節(jié)課后習(xí)題。二、洛必達(dá)法則未定形：如下的函數(shù)極限都是未定形。 1、型： 如：型：2、型： 如：3、型： 如：4、型：如：5、 型： 如：6、 型： 如：7、 型： 如：它們的計(jì)算不能用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則，且它們只表示類型，沒有具體意義。 1、 （）型的洛必達(dá)法則(同理)定理：對(duì)函數(shù)和，如果：（1）, （2）在某個(gè)鄰域內(nèi)（后）有導(dǎo)數(shù)和，且；（3）存在（或無窮），則成立：=例：1) 2) 3) 例： 1) 2) 3) (>0)3、其它類型1) 2) 3) 4) 解法同3） 例 ： 1) 2) 3) 4) 三、泰勒公式 一、多項(xiàng)式： 在點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)：

21、得：二、泰勒中值定理：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一有：1、（N階泰勒公式）稱為余項(xiàng)。（1）（ 在與之間）拉格朗日型余項(xiàng)（2） 皮亞諾余項(xiàng)。2、當(dāng)?shù)名溈藙诹止剑喝?、常見函?shù)的泰勒展開1) 2) 3) 四、函數(shù)的性態(tài)1、極值1）定義：如在鄰域內(nèi)，恒有， ，則稱為函數(shù)的一個(gè)極大（小）值?？赡軜O值點(diǎn)， 不存在的點(diǎn)與的點(diǎn)。（駐點(diǎn)）駐點(diǎn) 極值點(diǎn)2）判別方法、導(dǎo)數(shù)變號(hào)。 極小值極大值、，例1、 設(shè)滿足關(guān)系式，且, ，則在點(diǎn)處 A A、取得極大值 B、取得最小值 C、在某鄰域內(nèi)單增 D、在某鄰域內(nèi)單減例2已知函數(shù)對(duì)一切滿足 如，則 A A、 是的極小值B、是的極大值 C、是曲線的拐點(diǎn)D

22、、不是的極值，也不是曲線 的拐點(diǎn)。例3 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則是的極 大 值。2、函數(shù)的最大值與最小值（1）求出內(nèi)可能的極值點(diǎn)，不需判別極大還是極小，求出它們的函數(shù)值，再與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大的（?。樽畲螅ㄐ。┲?。（2）在內(nèi)可能極值點(diǎn)唯一，如是極小值則為最小值；如是極大值則為最大值。 （3）如分別為最小, 最大值。（4）實(shí)際問題據(jù)題意可不判別。 例1、 在拋物線上的第一象限部分求一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作切線，使該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小。 解：設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為即 三角形面積： ，令 （唯一） 故 為所求點(diǎn)3、曲線的凹凸、拐點(diǎn)及漸近線 在I上可導(dǎo) 如則曲線是凹（凸）的, 在

23、連續(xù)曲線上凹凸部分的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。 可能的拐點(diǎn)和不存在的點(diǎn)例1、 設(shè)，試討論的性態(tài)。x(-,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+ )y+0-間斷+0+y-0+y 單調(diào)增上凸極大值 單減上凸單增上凸拐點(diǎn)(1,0) 單增下凸?jié)u近線如 則稱為水平漸近線如 則稱為垂直漸近線漸近線可能沒有，或多條。例2、求漸近線（斜漸近線不討論）解： 為水平漸近線 垂直漸近線例2、 曲線的漸近線有 4 條4證明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函數(shù)單調(diào)性；（3）利用最值；（4）引入輔助函數(shù)把常值不等式變成函數(shù)不等式；（5）利用函數(shù)凹凸性；（6）利用泰勒公式。例1、 當(dāng)，試即證：證： 設(shè)，在連

24、續(xù)，可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理 即 例2、設(shè)，證明證： 設(shè)單增，當(dāng) 設(shè) 單增，當(dāng) 例3、當(dāng)證明 證： 令 令得 駐點(diǎn)唯一， 極小 為最小值即 例4、 當(dāng) 證明 證: 設(shè) 令 , 駐點(diǎn)唯一 當(dāng) , 在上最大值為 ,最小值為 例5、 設(shè)，證明證明：即 證 設(shè) ， 時(shí) 單減 當(dāng) 即 例6、 設(shè)在上可導(dǎo)，且單調(diào)減，證明： ，。 證： 令 單調(diào)減 ， ， ，即單調(diào)減 ， 即 作業(yè)：見課后習(xí)題第四章不定積分教學(xué)目的與要求 1理解原函數(shù)概念、不定積分和定積分的概念。2 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。3 求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的

25、積分。一、一元函數(shù)積分的概念、性質(zhì)與基本定理 1、原函數(shù)、不定積分 在區(qū)間上，如，稱為的導(dǎo)函數(shù)，稱為的原函數(shù)，原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)是一種互逆關(guān)系。 如為的一個(gè)原函數(shù)，則為的全體原函數(shù)。記為，即=不定積積分性質(zhì)(1) 或(2) (3) (4) 原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有互逆關(guān)系,由導(dǎo)數(shù)表可得積分表。例、已知是的一個(gè)原函數(shù)， 求：解： 例、的導(dǎo)函數(shù)是 ，則的原函數(shù)，(、為任意常數(shù))例、在下列等式中，正確的結(jié)果是 C A、 B、C、 D、例、 2、計(jì)算方法10 換元法第一類換元法（湊微分法）常用湊微分形式 例：1、2、 3、4、5、6、7、8、 9、10、 11、12、 13、 14、 15、 16、 17、 18

26、、 19、 解： 20、解： 21、 22、設(shè)，則二第二換元法定理2 除了湊微分法外其它常用變量代換(1)被積函數(shù)中含有二次根式，令，令，令如是配方1例1、令xt 解：原式 例2、二種解法 （2）被積函數(shù)中含一般根式例3、解：令原式 例4、令原式例5、解：令 原式 20分部積分<定理>如、均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則例1、 例2、 例3、例4、 例5、 例6、 例7、 例8、 例9、 例10、 例11、 30有理函數(shù)的積分 有理函數(shù)的積分方法：真分式部分分式 部分分式： 其中：確定常數(shù)的值；再積分。例： 1) 2) 3) 4) 5)解： 令 令 6) 40 三角有理式積分令 7、 8、

27、9、設(shè)的原函數(shù)恒正，且，當(dāng)，有，求解： 由得C=1 例：1) 2) 3) 4) 5) 作業(yè)：見課后習(xí)題第五章 定積分的概念教學(xué)目的與要求：1 解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓萊布尼茨公式。2 解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分。3掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。一、定義及性質(zhì)<定義>：， 注意(1)積分區(qū)間有限，被積函數(shù)有界； (2)與“分法”、“取法”無關(guān)； (3)定積分的值與積分變量的選取無關(guān)； (4)在有界是在可積的必要條件，在

28、連續(xù)是在可積的充分條件。<幾何意義>：在幾何上表示介于，之間各部分面積的代數(shù)和。補(bǔ)充規(guī)定 <性質(zhì)>性質(zhì)（1）（9）（1-7省略）其中(8)為估計(jì)定理：在，則 (9)中值定理：如在連續(xù)，使例1利用定積分幾何意義，求定積分值 上式表示介于, , , 之間面積例2、（估計(jì)積分值） 證明 證：在 上最大值為，最小值為2 二、基本定理 牛頓萊伯尼茲公式 10變上限積分基本定理：設(shè)在連續(xù)，為上任意一點(diǎn)，則是可導(dǎo)函數(shù)，且 即說明為的一個(gè)原函數(shù)。例3、已知, , , ， 求：解：例4、 例5、有極大值的點(diǎn)為 D A. B. C. D. 例6、如 ,則 B A. B. C. D.例7、

29、設(shè)在上連續(xù)，且,證明：若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù)。證： 20 定積分計(jì)算 牛頓萊伯尼茲公式<定理>設(shè)在連續(xù)。為在上的任意一個(gè)原函數(shù)，則有 定積分換元法與分部積分法30 奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分性質(zhì)，周期函數(shù)積分性質(zhì)(1) 在連續(xù)，當(dāng)為偶數(shù)，則當(dāng)為奇函數(shù)，則(2) ，以T為周期說明在任何長度為T的區(qū)間上的積分值是相等的。例9、原式 例10、例11、 例12、設(shè)則 A、 B、 C、 D、 例13、法一 設(shè)法二設(shè)原式例14、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且 求解： 設(shè)則兩邊積分 例15、(、在連續(xù)，且 求、的表達(dá)式。答案： )例16、設(shè)，求解： 令 ()例17、設(shè)求解：例18、已知在上二階可

30、導(dǎo)，且，及求解：原式例19、設(shè)在連續(xù)證明：證：右邊 =例20、設(shè)求解： 例21、設(shè)連續(xù)，且求，并討論在處連續(xù)性解：得 令 在連續(xù)即在連續(xù)例22、試證方程在內(nèi)有且僅有一實(shí)根證：設(shè)在連續(xù)且：由介值定理，使F()=0即F(x)=0有根又 ，單增 根唯一例23、設(shè)在，連續(xù)試證：內(nèi)至少一點(diǎn)，使證：設(shè)則在可導(dǎo)中值 在上滿足羅爾定理?xiàng)l件至少存在一點(diǎn)，使即亦即 例24、 例25：設(shè)在連續(xù)，可導(dǎo)，且，證明在內(nèi)，有證： 在單調(diào)減，故作業(yè)：各章節(jié)課后習(xí)題。第六章 定積分應(yīng)用1°平面圖形面積 ()直角坐標(biāo)： 例1：求拋物線及其點(diǎn)和處的切線所圍成圖形的面積解：在點(diǎn)處，切線方程 在點(diǎn)處，切線方程 得交點(diǎn) （ii

31、）極坐標(biāo) 例2、求由曲線所圍圖形公共部分的面積解：兩曲線的交點(diǎn)+ 2°旋轉(zhuǎn)體體積由所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的立體體積，由所圍平面圖形繞旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積例3、過點(diǎn)作拋物線的切線，求該切線與拋物線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積解：設(shè)切點(diǎn)為切線方程Q 切點(diǎn)在切線上，（3,1）0 1 2 3 ， 切線方程：30平面曲線弧長(1) 曲線： (2) (3) 例 求下類平面曲線的弧長1. 曲線相應(yīng)于的一段2. 心形線的全長 3. 擺線 的一拱解：1. 2. 3. 40向變力沿直線作功,液體的水壓力 作業(yè)見課后練習(xí)第七章 空間解析幾何教學(xué)目的與要求 14學(xué)時(shí) 1 解空間直角坐標(biāo)

32、系，理解向量的概念及其表示。2 握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握兩個(gè)向量垂直和平行的條件。3 解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，熟練掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。4 掌握平面方程和直線方程及其求法。5 會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。6 會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。7 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。8 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程10向量

33、及其線性運(yùn)算向量：有大小、方向的量。向量相等：大小、方向單位向量、零向量向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算1) 向量的加法、減法滿足：交換律、結(jié)合律。平行四邊形、三角形法。2) 向量的數(shù)乘滿足：結(jié)合律、分配律3) 兩向量平行的充要條件：4) 空間直角坐標(biāo)系(右手坐標(biāo)系)5) 利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算1) 向量的坐標(biāo)向量表示2) 對(duì)應(yīng)坐標(biāo)運(yùn)算。例：書上例題。6) 向量的模、方向角投影1）的模與兩點(diǎn)間的距離公式。 例4：1) 方向角與方向余弦 例： 例7、82) 向量在軸上的投影1) 2) 3) 20向量的數(shù)量積的向量積1）向量積 性質(zhì)：應(yīng)用：（i） （ii） （iii）例1、習(xí)題4，1選擇題（1）（2）（3） 2 填空題（3）（4）（5）例2、解： (2)向量積 右手定則即注意 應(yīng)用（i）（ii）（iii）如即利用向量積求出同時(shí)垂直兩個(gè)已知矢量的矢量。例3、習(xí)題4，5，2(4)例3、 設(shè)知量滿足，則解： 30平面及其方程已知平面p過點(diǎn)M0（x0、y0、z0），為p的法矢量。1> 點(diǎn)法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=02>