高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點撥回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用知識點精析

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用知識點精析 一知識要點，學(xué)習(xí)目標(biāo)1.如果一組具有相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)作出散點圖大致分布在一條直線附近,那么我們稱這樣的變量之間的關(guān)系為線性相關(guān)關(guān)系(也稱一元線性相關(guān)),這條直線就是回歸直線,記為2.在所求回歸直線方程中,當(dāng)取時，與實際收集到的數(shù)據(jù)之間的偏差為,偏差的平方為即以 來刻畫出個點與回歸直線在整體上偏差的平方和,顯然Q取最小值時的的值就是我們所求的。應(yīng)注意,這個最小距離不是通常所指的各數(shù)據(jù)的點到直線的距離,而是各數(shù)據(jù)點沿平行y軸方向到直線的距離.y 圖1 y圖2 這就是我們所要求的公式（無特殊要求時以此公式求回歸方程中的、） 其中

2、為樣本數(shù)據(jù),為樣本平均數(shù)，稱為樣本點中心，且所求線性回歸直線經(jīng)過樣本點中心點（如圖2所示） 當(dāng)回歸直線斜率時,為線性正相關(guān), 時為線性負(fù)相關(guān).線性回歸分析：回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法前面我們給出了線性回歸方程，這里我們主要結(jié)合教材分析一元線性回歸問題1以散點圖分析線性相關(guān)關(guān)系，散點圖是較粗略地分析和判斷兩個具有相關(guān)關(guān)系的變量是否線性相關(guān)的問題，如果是線性相關(guān)的，我們可以求其線性回歸方程，如果不是線性向相關(guān)的，即使求得線性回歸方程，也是無效的；也就是說不能對一些數(shù)據(jù)進行分析判斷，不能應(yīng)用它解決和解釋一些實際問題2以相關(guān)系數(shù)分析線性相關(guān)關(guān)系的強弱兩個變量之間的相關(guān)

3、關(guān)系的樣本相關(guān)系數(shù)：可衡量是否線性相關(guān)，以及線性相性關(guān)系的強弱由于分子與線性回歸方程中的斜率的分子一樣（這也給出了公式的內(nèi)在聯(lián)系以及公式的記法），因此，當(dāng)時，兩個變量正相關(guān)；當(dāng)時兩個變量負(fù)相關(guān)當(dāng)?shù)慕^對值接近，表明兩個變量的線性相關(guān)性很強；當(dāng)?shù)慕^對值接近，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系規(guī)定當(dāng)時，我們認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)關(guān)系3解釋變量與隨機誤差對預(yù)報精度的影響以及殘差分析（1）有關(guān)概念由于樣本數(shù)據(jù)點與一元線性回歸方程上的點還有一定的差距，這說明了另外的一個因素隨機誤差的影響于是有線性回歸模型圖3 y其中和為模型的未知參數(shù)；稱為解釋變量，稱為預(yù)報變量；是與之間的誤差，叫隨機誤差。隨機

4、誤差的估計值為：稱為相應(yīng)于樣本點的殘差（如圖）（2）通過殘差分析判斷模型擬合效果由計算出殘差，然后選取橫坐標(biāo)為編號、或解釋變量或預(yù)報變量，縱坐標(biāo)為殘差作出殘差圖通過圖形分析，如果樣本點的殘差較大，就要分析樣本數(shù)據(jù)的采集是否有錯誤；另一方面，可以通過殘差點分布的水平帶狀區(qū)域的寬窄（如教材圖1.15），說明模型擬合效果，反映回歸方程的預(yù)報精度4相關(guān)指數(shù)反應(yīng)模型的擬合效果 （1）變量剖析理解：總偏差平方和 ，表示解釋變量和隨機誤差產(chǎn)生的總的效應(yīng)；殘差平方和，表示了隨機誤差效應(yīng)；其差，表示了解釋變量效應(yīng)（）模型擬合效果殘差平方和占總偏差平方和的百分比，反映了隨機誤差對預(yù)報變量（總效應(yīng)）的貢獻率，顯然這

5、個數(shù)值越大，模型的擬合效果越差解釋變量效應(yīng)占總偏差平方和的百分比反映了解釋變量對預(yù)報變量（總效應(yīng)）的貢獻率； 因此，越接近（即越接近0），表示回歸的效果越好，即解釋變量和預(yù)報變量的線性相關(guān)性越強四非線性回歸的問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題圖4（1）作散點圖確定曲線模型根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點圖（如圖），可見兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系而是分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線的周圍，也可以認(rèn)為樣本點集中在某二次曲線的附近（2）非線性轉(zhuǎn)化為線性這時通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系；通過換元把二次函數(shù)關(guān)系變換為線性關(guān)系在這兩種情況下就可以利用線性回歸模型，建立和之間的非線性回歸方程了 （3）比較兩種模型的擬合效果對于給定的樣本點可以通過轉(zhuǎn)換后的對應(yīng)數(shù)表作散點圖來確定線性回歸的擬合情況，判斷選用哪一種曲線模型較為合適；可以通過原始數(shù)據(jù)及和之間的非線性回歸方程列出殘差對比分析表，一般