黃浦恒高教育數(shù)學(xué)老師高中函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)

1、函數(shù)的性質(zhì)一、 知識梳理1奇偶性（1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意： 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)； 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： 首先確定函

2、數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱； 確定f(x)與f(x)的關(guān)系； 作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)。（3）簡單性質(zhì)：圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2單調(diào)性（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1x

3、2時，都有f(x1)f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；注意： 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； 必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當(dāng)x1x2時，總有f(x1)f(x2)（2）如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。（3）設(shè)復(fù)合函數(shù)y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定義域的某個區(qū)間，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或減）函數(shù)，y= f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，

4、則函數(shù)y= fg(x)在A上是增函數(shù)；若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y= f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x)在A上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟： 任取x1，x2D，且x10，且f(5)=1，設(shè)F(x)= f(x)+，討論 F (x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論?！纠}8】設(shè)函數(shù)f（x）（ab0），求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明f（x）在其單調(diào)區(qū)間上的 單調(diào)性?！纠}9】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【例題10】已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)在0，+上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使f(cos23)+f(4

5、m2mcos)f(0)對所有0,都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由。要點(diǎn)考向三：函數(shù)的周期性【例題11】已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m0)在區(qū)間上有四個不同的根,則 【例題12】已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值。證明：；求的解析式；求在上的解析式。要點(diǎn)考向四：函數(shù)綜合題及創(chuàng)新題【例題13】設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且當(dāng)x0,1時，f(x)x3.又函數(shù)g(x)|xcos(x)|，則函數(shù)h(x)g(x)f(x)

6、在上的零點(diǎn)個數(shù)為() A5 B6 C7 D8 【例題14】設(shè)aR，若x0時均有(a1)x1(x2ax1)0，則a_.【例題15】已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且，若時，有。（1）解不等式（2）若對所有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 3、 課后作業(yè) 1、已知對于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足，若方程有2013個實(shí)數(shù)解，則這2013個實(shí)數(shù)解之和為 2、已知的定義域均為，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，則 ， 3、設(shè)是定義在上的函數(shù)，它具有奇偶性，且，則的最小正周期是 4、判斷函數(shù)的奇偶性：是 函數(shù)，是 函數(shù)5、設(shè)函數(shù)對任意的，都有，且當(dāng)時，（1） 求證：是上的增函數(shù)；（2） 若，解不等式 6、（1）寫出函數(shù)的遞減區(qū)間；（2）已知函數(shù)是上減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍7、已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)均有，其中常數(shù)為負(fù)數(shù)，且在區(qū)間上有表達(dá)式（1）求和的值；（2）寫出在上的表達(dá)式，并討論函數(shù)在的單調(diào)性；（3）求出在上的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的自變量