第12章非正弦周期電流電路和信號頻

1、第第1212章章 非正弦周期電流電路非正弦周期電流電路2. 2. 非正弦周期函數(shù)的有效值和平均功率非正弦周期函數(shù)的有效值和平均功率l 重點(diǎn)重點(diǎn)3. 3. 非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算1. 1. 周期函數(shù)分解為付里葉級數(shù)周期函數(shù)分解為付里葉級數(shù)12.1 12.1 非正弦周期信號非正弦周期信號 生產(chǎn)實(shí)際中不完全是正弦電路，經(jīng)常會遇到非正弦周生產(chǎn)實(shí)際中不完全是正弦電路，經(jīng)常會遇到非正弦周期電流電路。在電子技術(shù)、自動控制、計(jì)算機(jī)和無線電技期電流電路。在電子技術(shù)、自動控制、計(jì)算機(jī)和無線電技術(shù)等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。術(shù)等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。

2、l 非正弦周期交流信號的特點(diǎn)非正弦周期交流信號的特點(diǎn)(1) (1) 不是正弦波不是正弦波 (2) (2) 按周期規(guī)律變化按周期規(guī)律變化)()(kTtftf 例例1 1半波整流電路的輸出信號半波整流電路的輸出信號uituotuo+-+ui計(jì)算機(jī)工作的脈沖信號計(jì)算機(jī)工作的脈沖信號例例2 2 Tt 2T 3T 0T交直流共存電路交直流共存電路例例3 3us +Vcc+-uo +-RsRLRb1RcC2Rb2C1T基波（和原基波（和原函數(shù)同頻）函數(shù)同頻）二次諧波二次諧波（2 2倍頻）倍頻） 直流分量直流分量高次諧波高次諧波)cos()(110 kkkmtkAAtf 12.2 12.2 周期函數(shù)分解為付

3、里葉級數(shù)周期函數(shù)分解為付里葉級數(shù) )cos()(1110 tAAtfm )2cos(212 tAm )cos(1nnmtnA 周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)：周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)：周期性方波信號的分解周期性方波信號的分解例例1解解圖示矩形波電流在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為：圖示矩形波電流在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為： TtTTtItiS2 020 )(msi的展開式為：的展開式為：)t5sin51t3sin31t(sinI2 2I)t(immS tT/2TSimI五次諧波五次諧波七次諧波七次諧波周期性方波波形分解周期性方波波形分解基波基波t直流分量直流分量t三次諧波三次諧波t)5sin513sin31(si

4、n22 tttIIimmS tT/2TSimI1si等效電源等效電源3si5si0sI0sI1si3si5si 20200)(cos 0)(sinttdkttdk12.2 12.2 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率1.1. 三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)（1）正弦、余弦信號一個周期內(nèi)的積分為）正弦、余弦信號一個周期內(nèi)的積分為0。k整數(shù)整數(shù)（2）sin2、cos2 在一個周期內(nèi)的積分為在一個周期內(nèi)的積分為 。 )(cos )(sin202202ttdkttdk（3 3） 三角函數(shù)的正交性三角函數(shù)的正交性 0)(sinsin 0)(coscos0)(sincos202020 tdtp

5、tkttdptkttdptk pk 2. 非正弦周期函數(shù)的有效值非正弦周期函數(shù)的有效值)sin()(10kkktkIIti 若若則有效值則有效值: )(sin1)(1201002tdtkIITtdtiTITkkkT 21220 kkIII 周期函數(shù)的有效值為周期函數(shù)的有效值為直流分量直流分量及各次諧波及各次諧波分量分量有效值有效值平方和的方根。平方和的方根。利用三角函數(shù)的正交性得：利用三角函數(shù)的正交性得： 222120 IIII結(jié)論結(jié)論同理同理: UUUU222120 即即:3. 非正弦周期函數(shù)的平均值非正弦周期函數(shù)的平均值 TAVdttiTI0)(1則其平均值定義為：則其平均值定義為：)co

6、s()(10kkktkIIti 若若4. 非正弦周期交流電路的平均功率非正弦周期交流電路的平均功率 TdtiuTP01)cos()(10ukkktkUUtu )cos()(10ikkktkIIti 利用三角函數(shù)的正交性，得：利用三角函數(shù)的正交性，得：.)( cos210100 PPPIUIUPikukkkkkk 平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率 coscos 22211100 IUIUIUP結(jié)論結(jié)論注意注意（1）平均功率疊加只有滿足所有激勵信號的頻率不）平均功率疊加只有滿足所有激勵信號的頻率不相相 同條件時才成立。同條件時才成立。 （2）激勵信號

7、的頻率相同時電路中的功率不能疊加）激勵信號的頻率相同時電路中的功率不能疊加。 12.4 12.4 非正弦周期交流電路的計(jì)算非正弦周期交流電路的計(jì)算1. 計(jì)算步驟計(jì)算步驟（2 2） 利用正弦交流電路的計(jì)算方法，對各諧波信號分別利用正弦交流電路的計(jì)算方法，對各諧波信號分別應(yīng)用相量法計(jì)算；應(yīng)用相量法計(jì)算； （注意（注意: :交流各諧波的交流各諧波的 XL、XC不同，對直流不同，對直流C 相當(dāng)相當(dāng)于開路、于開路、L相于短路。）相于短路。）（1 1） 利用付里葉級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)展開成若干種利用付里葉級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)展開成若干種頻率的諧波信號；頻率的諧波信號；（3 3） 將以上計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為瞬

8、時值迭加。將以上計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為瞬時值迭加。2. 計(jì)算舉例計(jì)算舉例例例1 1方波信號激勵的電路如圖，已知：方波信號激勵的電路如圖，已知：STICLRm 28. 6 A157pF1000 mH1 20 、解解（1）已知方波信號的展開式為：）已知方波信號的展開式為：)5sin51 3sin31(sin22 tttIIimmS s28.6T ,A157I m 代入已知數(shù)據(jù)：代入已知數(shù)據(jù)：uRLCSitT/2TSimI求：求：u。直流分量直流分量A5.78215720IIm A 10014.357.1221 mmII基波最大值基波最大值 A205115 mmII五次諧波最大值五次諧波最大值rad/s10

9、1028.614.32266 T 角頻率角頻率三次諧波最大值三次諧波最大值A(chǔ)IImm 3.333113 A5 .780 SI 電流源各頻率的諧波分量為：電流源各頻率的諧波分量為：A10sin10061 tis A103sin310063 tis A105sin510065 tis mV57.1105.7820600 SRIU （2 2） 對各種頻率的諧波分量單獨(dú)計(jì)算：對各種頻率的諧波分量單獨(dú)計(jì)算：（a) a) 直流分量直流分量 IS0 作用作用RIS0u0電容斷路，電感短路電容斷路，電感短路: :A5 .780SI（b)b)基波作用基波作用tis6110sin100 k11010Lk11010

10、00101C13611261 k50)()()()(1RCLRXXXXjRjXjXRZCLCLCL XLRuRLCSiK50)(1 ZmV2500050210100(6111 ） ZIUA10sin10061tis (c)(c)三次諧波作用三次諧波作用tis63103sin3100 03333119.895 .374)()()3(CLCLXXjRjXjXRZ k31010333.0101000103113631263 LKC 0613319.895 .3742103 .33)3( ZIUSmV2.89247.120 (d)(d)五次諧波作用五次諧波作用A105sin510065 tis 53.

11、893 .208)5()()5(55551CLCLXXjRjXjXRZ k510105)K(2 .0101000105113651265 LC mV53.892166.453.893 .20821020)5(6155 ZIUs (3) (3)各諧波分量計(jì)算結(jié)果瞬時值迭加：各諧波分量計(jì)算結(jié)果瞬時值迭加：mV)53.895sin(166.4 )2.893sin(47.12 sin500057.15310 tttuuuUu mV2 .89247.12U3 mV57. 1U0 mV25000U1 mV53.892166.4U5 V. )42000cos(601000cos12030: ttu知知已已求

12、圖示電路中各表讀數(shù)求圖示電路中各表讀數(shù)( (有效值有效值) )及電路吸收的功率。及電路吸收的功率。例例2V1L1C1C2L240mH10mHu+_25 F25 F30 abcdA3A2V2V1A1解解(1) 直流直流u0=30V作用于電路，作用于電路，L1、 L2 短路，短路， C1 、 C2開路。開路。i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0, uad0= ucb0 = u0 =30VL1C1C2L2u0+_30 abcdi0iC10iL20L1C1C2L240mH10mHu+_25 F25 F30 abcdiiC1iL2(2) 基波基波u1=120cos1000t

13、 V作用作用40102510001111010101000 40104010006213231 CCLL L1、C1 發(fā)生并聯(lián)諧振。發(fā)生并聯(lián)諧振。+_30 abcd1U1I11CI21LIj40 j40 j40 j10 V01201 U0U0IIcb121L1 A90340j0120j1111 UCICV012011ad UU(3)二次諧波二次諧波 u2=60cos(2000t+ /4)V作用作用20102520001212120101020002 ,801040200026213231 CCLLL2、C2 發(fā)生并聯(lián)諧振。發(fā)生并聯(lián)諧振。V45602 UA45320j4560j22122 LUI

14、L0122 CIIV4560 , 0 2cb2ad2 UUU+_30 abcd2U2I12CI22LIj80 j20 j20 j20 i=i0+ i1 + i2 =1A 所求的電壓、電流的瞬時值為：所求的電壓、電流的瞬時值為：iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90 ) AiL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45 ) Auad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t Vucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45 ) VA 1A1 電流表電流表A1的讀數(shù)：

15、的讀數(shù)：2.12A 2/3A2 電流表電流表A2的讀數(shù)：的讀數(shù)：A35. 2)2/3(1A223 電流表電流表A3的讀數(shù)：的讀數(shù)：V90)2/120(30V221 電壓表電壓表V1的讀數(shù)：的讀數(shù)：V0 .52)2/60(30V222 電壓表電壓表V2的讀數(shù)：的讀數(shù)：例例3已知已知u(t)是周期函數(shù)，波形如圖，是周期函數(shù)，波形如圖，L=1/2 H，C=125/ F，求理想變壓器原邊電流求理想變壓器原邊電流i1(t)及輸出電壓及輸出電壓u2的有效值。的有效值。2410.5u/Vt/ms12解解sradT/102/23 ) cos(1212)(ttu Ai5 . 18/121 當(dāng)當(dāng)u=12V作用時，

16、電容開路、電作用時，電容開路、電感短路，有：感短路，有：02 u作用時作用時當(dāng)當(dāng)) cos(12 tu 410125102163 CXC 1102110233 LXL*C1i2i+2u+2 : 18 LuAjjjUI341241 VUU01012 VUnU012061 VU243. 4262 Ati)90cos(35 . 101 *-j4 1i2i+2u+2 : 18 j1 u-j4 1i+8 j4 +1U0012 并聯(lián)諧振并聯(lián)諧振例例4 求：求：Uab、i、及功率表的讀數(shù)。及功率表的讀數(shù)。I+60 j20 +1UWab2U*V)30t3cos(2100tcos2220utVcos2220u0

17、21 解解一次諧波作用時：一次諧波作用時：VUab0)1(0440 AjjI0)1(4 .1896. 63222060440 三次諧波作用時：三次諧波作用時：VUab0)3(30100 AjjI000)3(1518. 133305606030100 VUab22.45110044022 A)15t3cos(218. 1)4 .18tcos(296. 6i00 WP92.14524 .18cos96. 6220 測的是測的是基波基波u1的功率的功率已知：已知：例例5若希望若希望C1中只有基波電流，中只有基波電流， C3 中只有三次諧波電流，中只有三次諧波電流，C31 F ，L=0.1H，求求C1、C2和各支路電流。和各支路電流。A t3000cos10t1000cos205is 解解FLC52210911 0)C1L( jCLCj1221 C1中只有基波電流，說明中只有基波電流，說明L和和C2對三次諧波發(fā)生并聯(lián)諧振。對三次諧波發(fā)生并聯(lián)諧振。即：即：C3中只有三次諧波電流，說明中只有三次諧波電流，說明L、C1、C