【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7-7空間向量的應(yīng)用隨堂訓(xùn)練 理 蘇教版

1、用心愛心專心第第 7 7 課時(shí)課時(shí)空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用一、填空題一、填空題1 若直線若直線 l 的方向向量的方向向量 a(2,3,1)，平面，平面的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量 n(4,0,1)，則直線，則直線 l 與平面與平面所所成角的正弦值等于成角的正弦值等于_解析：解析：sin |an|n|a|23834.答案：答案：238342下面命題中，正確命題的序號(hào)為下面命題中，正確命題的序號(hào)為_若若 n1，n2分別是平面分別是平面，的法向量，則的法向量，則 n1n2；若若 n1，n2分別是平面分別是平面，的法向量，則的法向量，則n1n20；若若 n 是平面是平面的法向量且的法向量且 a 與與共

2、面，則共面，則 na0；若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直解析：解析：不正確，有可能重合不正確，有可能重合答案：答案：3.在長(zhǎng)方體在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1中，中，M、N 分別是棱分別是棱 BB1、B1C1的中點(diǎn)，若的中點(diǎn)，若CMN90，則異面直線則異面直線 AD1與與 DM 所成的角為所成的角為_解析：解析：建立如建立如下下圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ABa，ADb，AA1c，則則 A1(b,0,0)，A(b,0，c)，C1(0，a,0)，C(0，a，c)，B1(b，a,0)，D(0,0，c)，Nb2

3、，a，0，Mb，a，c2 .CMN90，b，0，c2 b2，a，c212b214c20.c 2b.(b,0， 2b)b，a，22bb2b20.AD1DM，即所成角為，即所成角為 90.答案：答案：904 如圖所示如圖所示，在正三棱柱在正三棱柱 ABCA1B1C1中中，若若 AB 2BB1，則則 AB1與與 C1B 所成角的大小所成角的大小為為_用心愛心專心解析：解析：取取 AC 的中點(diǎn)的中點(diǎn) D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)設(shè) ABa，則，則 B32a，0，0，C10，a2，22a，A0，a2，0，B132a，0，22a，32a，a2，22a32a，a2，22

4、a32a2a2222a232a2a2222a20.AB1與與 C1B 所成角為所成角為 90.答案：答案：905 如圖所示如圖所示，在三棱柱在三棱柱 ABCA1B1C1中中，AA1底面底面 ABC，ABBCAA1，ABC90，點(diǎn)點(diǎn) E、F 分別是棱分別是棱 AB、BB1的中點(diǎn)，則直線的中點(diǎn)，則直線 EF 和和 BC1所成的角為所成的角為_解析：解析：如圖以如圖以 BC 為為 x 軸，軸，BA 為為 y 軸，軸，BB1為為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)設(shè) ABBCAA12 則則 C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)則則(0，1,1)，(2,0,2)，2

5、.用心愛心專心EF 和和 BC1所成角為所成角為 60.答案：答案：606 已知點(diǎn)已知點(diǎn) A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，則平面，則平面 ABC 的單位法向量為的單位法向量為_解析：解析：由已知得由已知得(a，b,0)，(a,0，c)設(shè)平面設(shè)平面 ABC 的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為 n(x，y，z)，則，則 naxby0，naxcz0.解得解得 yabx，zacx.令令 xbc，則，則 yac，zab，一個(gè)法向量為一個(gè)法向量為 n(bc，ac，ab)故它的單位法向量為故它的單位法向量為 n0n|n|1b2c2a2c2a2b2(bc，ac，ab)即單位法向量為即單位法向量

6、為n0bcb2c2a2c2a2b2，acb2c2a2c2a2b2，abb2c2a2c2a2b2.答案：答案：bcb2c2a2c2a2b2，acb2c2a2c2a2b2，abb2c2a2c2a2b2二、解答題二、解答題7(蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查)如圖所示，已知如圖所示，已知 ABCD 是正方形，是正方形，PD平面平面 ABCD，PDAD2.(1)求異面直線求異面直線 PC 與與 BD 所成的角；所成的角；(2)在線段在線段 PB 上是否存在一點(diǎn)上是否存在一點(diǎn) E，使，使 PC平面平面 ADE？若存在，確定？若存在，確定 E 點(diǎn)的位置；若不點(diǎn)的位置；若不存在，說明

7、理由存在，說明理由解：解：ABCD 是正方形，是正方形，PD平面平面 ABCD，PD、DA、DC 兩兩垂直，故分別以兩兩垂直，故分別以 DA、DC、DP 所在的直線為所在的直線為 x、y、z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Dxyz，則則 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)(1)(0,2，2)，(2,2,0)，42 22 212，60，用心愛心專心異面直線異面直線 PC 與與 BD 所成的角為所成的角為 60.(2)假設(shè)在假設(shè)在 PB 上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn) E，使，使 PC平面平面 ADE，記，記(2,2，2)

8、，(2，2，2)，E 點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，2，22)，(22,2，22)若若 PC平面平面 ADE，則有，則有 PCAE，即，即840，12，E 點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,1)由題知，由題知，AD平面平面 PDC，PCAD，且，且 ADAEA，PC平面平面 ADE.故存在故存在 E 點(diǎn)且點(diǎn)且 E 為為 PB 的中點(diǎn)時(shí)，的中點(diǎn)時(shí)，PC平面平面 ADE.8(2009蘇北四市第三次聯(lián)考蘇北四市第三次聯(lián)考)已知四棱錐已知四棱錐 PABCD 的底面的底面 ABCD 是直角梯形，是直角梯形，ADBC，ABC90，PA平面平面 ABCD，ABBC2AD，若平面，若平面 PCD 與平面與平面 PAB 所

9、成二面角所成二面角的余弦值為的余弦值為63，求，求PAAD的值的值解解：以點(diǎn)以點(diǎn) A 為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線以直線 AB，AD，AP 分別為分別為 x，y，z 軸軸，建立如圖所示的空間建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)不妨設(shè) AD1，PAa，則，則 P(0,0，a)，D(0,1,0)，(0,1，a)，設(shè)平面設(shè)平面 PCD 的法向量為的法向量為 m(x，y，z)，則則myza0，m2xy0，不妨設(shè)不妨設(shè) z2，則，則 y2a，xa，即，即 m(a,2a,2)PA平面平面 ABCD，AD平面平面 ABCD，ADPA，又又ADBC，ABC90，ADAB，又，又 PAABA，AD平

10、面平面 PAB，故，故 AD 是平面是平面 PAB 的一個(gè)法向量，且的一個(gè)法向量，且(0,1,0)，2a45a2，又又平面平面 PCD 與平面與平面 PAB 所成二面角的余弦值為所成二面角的余弦值為63，2a45a263，解得，解得 a2，PAAD2.用心愛心專心9(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)如圖如圖，正方體正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為 2，M、N 分分別是棱別是棱 C1D1、CC1的中點(diǎn)，求直線的中點(diǎn)，求直線 B1N 與平面與平面 BDM 所成角的正弦值所成角的正弦值解：解：分別以直線分別以直線 DA，DC，DD1為為 x，y，z 軸建立空

11、間直角坐標(biāo)系，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則則 B1(2,2,2)，N(0,2,1)，(2,0,1)又又 M(0,1,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，則，則(2,2,0)，(0,1,2)，設(shè)平面設(shè)平面 BDM 的一個(gè)法向量是的一個(gè)法向量是 n(x，y，z)，則則，即，即2x2y0y2z0，解得，解得 xy2z.令令 z1，得，得 x2，y2.所以平面所以平面 BDM 的一個(gè)法向量是的一個(gè)法向量是 n(2，2,1)，因?yàn)?，因?yàn)楣手本€故直線 B1N 與平面與平面 BDM 所成的角的正弦值是所成的角的正弦值是53.1如圖如圖， 在四棱錐在四棱錐 VABCD 中中， 底面底面 ABCD 是正方形是

12、正方形， 側(cè)面?zhèn)让?VAD 是正三角形是正三角形， 平面平面 VAD底面底面 ABCD.(1)證明：證明：AB平面平面 VAD；(2)求面求面 VAD 與面與面 VDB 所成的二面角的正切值所成的二面角的正切值解：解：以以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(1)證明：不妨設(shè)證明：不妨設(shè) A(1,0,0)，則，則 B(1,1,0)，V(12，0，32)，(0,1,0)，(12，0，32)，由，由0，得，得 ABVA，又又 ABAD，因而，因而 AB 與平面與平面 VAD 內(nèi)兩條相交直線內(nèi)兩條相交直線 VA，AD 都垂直都垂直用心愛心專心AB平面

13、平面 VAD.(2)設(shè)設(shè) E 為為 DV 中點(diǎn)，則中點(diǎn)，則 E(14，0，34)，(34，0，34)，(34，1，34)，(12，0，32)，由，由0，得，得 EBDV，又，又 EADV，因此，因此，AEB 是所求二面角的平面角，易求正切值為是所求二面角的平面角，易求正切值為2 33.2 如圖所示如圖所示，直三棱柱直三棱柱 ABCA1B1C1中中，ACB90，AC1，CB 2，側(cè)棱側(cè)棱 AA11，側(cè)面?zhèn)让?AA1B1B 的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為 D，B1C1的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為 M.(1)求證求證 CD平面平面 BDM；(2)求面求面 B1BD 與面與面 CBD 所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值解：解：如圖，以如圖，以 C 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(1)證明：證明：B( 2，0,0)，B1( 2，1,0)，A1(0,1,1)，D22，12，12 ，M22，1，0，22，12，12 ，( 2，1，1)，0，12，12 ，則則0，CDA1B，