第1節(jié)3講平面匯交力系-力線(xiàn)平移

1、第第2 2章章 平面任意力系平面任意力系2 21 1 力線(xiàn)平移定理力線(xiàn)平移定理2 22 2 平面一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化平面一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化2 23 3 分布荷載分布荷載2 26 6 物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題2 25 5 平面平行力系的平衡條件平面平行力系的平衡條件2 24 4 平面一般力系的平衡條件平面一般力系的平衡條件定理定理 ：作用在剛體上某點(diǎn)的力 F ，可以平行移動(dòng)到剛體 上任意一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶 矩等于原來(lái)的力 F 對(duì)平移點(diǎn)之矩。證明：證明：如下圖所示：)()(FMMFdFMBB2 21 1 力線(xiàn)平移定理力線(xiàn)平移定理(a)ABdFABdFF”(b)圖2-1力

2、線(xiàn)平移定理的證明BdAM=Fd(c)FF 可見(jiàn)，一個(gè)力可以分解為一個(gè)與其等值平行的力和一個(gè)位于平移平面內(nèi)的力偶。反之，一個(gè)力偶和一個(gè)位于該力偶作用面內(nèi)的力，也可以用一個(gè)位于力偶作用面內(nèi)的力來(lái)等效替換 如打乒乓球，若球拍對(duì)球作用的力其作用線(xiàn)通過(guò)球心（球的質(zhì)心），則球?qū)⑵絼?dòng)而不旋轉(zhuǎn)；但若力的作用線(xiàn)與球相切“削球”，則球?qū)a(chǎn)生平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。cFcFcm圖2-2(a)(b)FF1F2Fn圖2-3 設(shè)在某一剛體上作用著平面一般力系F1、F2、Fn，如圖2-3所示。顯然無(wú)法象平面匯交力系那樣，用力的平行四邊形法則來(lái)合成它。2 22 2 平面一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化平面一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化平面一般力系平面力偶系平面匯

3、交力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化合成合成F（合力）Mo（合力偶） 應(yīng)用力線(xiàn)平移定理，將該力系中的各個(gè)力逐個(gè)向剛體上的某一點(diǎn)o（稱(chēng)為簡(jiǎn)化中心）平移（圖2-4b)，再將所得的平面匯交力系和平面力偶系分別合成（圖2-4c) 。過(guò)程為：圖2-4 平面一般力系的簡(jiǎn)化（a)1F2FnFod1d2dn(b)2F1FnFo(c)1F2FnF1M2MnMoyxMo(d)RF由此可見(jiàn)，主矢與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。由此可見(jiàn)，主矢與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。FFFFFFFFnnR2121 事實(shí)上，可直接用原力系（事實(shí)上，可直接用原力系（F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n）中的各力）中的各力作出力多邊形，作出力多邊形，力多邊形的封閉邊稱(chēng)為原力系的主矢力多邊形的

4、封閉邊稱(chēng)為原力系的主矢。FR的大小和方向等于主矢，作用點(diǎn)在的大小和方向等于主矢，作用點(diǎn)在O點(diǎn)。點(diǎn)。 由此可見(jiàn)，Mo一般與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)，它反映了原力系中各力的作用線(xiàn)相對(duì)于O點(diǎn)的分布情況，稱(chēng)為原力系對(duì)O點(diǎn)的主矩。)()()()(M21210FMFMFMFMMMMonooon(2-3)（2-2）平面一般力系的三種簡(jiǎn)化結(jié)果平面一般力系的三種簡(jiǎn)化結(jié)果1 . 1 . 力系簡(jiǎn)化為力偶力系簡(jiǎn)化為力偶力系合成為一力偶，所以主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。0, 0oRMFFFFABC例例PaMMMFCBAR866. 0, 0aaa2. 力系簡(jiǎn)化為合力力系簡(jiǎn)化為合力 FR 就是原力系的合力，合力的作用線(xiàn)通過(guò)簡(jiǎn)化中心

5、。力系仍可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力，但合力的作用點(diǎn)不通過(guò)簡(jiǎn)化中心。（1）0, 0oRMF（2）0, 0oRMF3. 力系平衡力系平衡是平面一般力系平衡的充分和必要條件。0, 0oRMF圖2-5 力系簡(jiǎn)化為合力Moo( )a(c)od(b)odFROOOFRFRFRFR顯然有合力矩定理合力矩定理 平面一般力系如果有合力，則合力對(duì)該力系作用平面一般力系如果有合力，則合力對(duì)該力系作用 面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各分力對(duì)該點(diǎn)之矩的面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各分力對(duì)該點(diǎn)之矩的 代數(shù)和代數(shù)和證明證明 如右圖所示。)()(),(,)(0FMFMFMMMdFFMoRooooRR圖2-6 合力矩定理證明圖示(b)oOdMoo

6、O( )aFRFRFRFR圖示一塔示起重機(jī)。機(jī)架m1=50t，重心在o點(diǎn)。已知起重機(jī)的最大起吊質(zhì)量m2=25t，欲使起重機(jī)在空載與滿(mǎn)載時(shí)都不會(huì)翻到，平衡錘的質(zhì)量m3 應(yīng)如何？cbxyFRxaLW1o例例2-1圖中 a=3m,b=1.5m,c=6m, l=10m,W=m2g, =m3gW1=m1g。QPF 的方向鉛垂向下?！窘狻俊窘狻繖C(jī)架重量、起吊重量及平衡錘重量分別設(shè)為W1 、 W、 Q。這是一個(gè)平面一般力系的特例平面平行力系。取坐標(biāo)如圖，可知合力R的投影為cbxyFRxaLW1ogmmmFgmgmgmFFFFRyRyxRx)(, 0321321式中x隨 m2、m3 而變，其他各量都是不變的。

7、 合力的作用線(xiàn)與x 軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為x，則由合力矩定理得即cbxyFRxaLW1o(a)()(FMFMARA321321321)()()()(mmmcmlambamxcgmlagmbagmxFR欲使起重機(jī)不翻倒tcbamm5 .376) 5 . 13 (50)(13即得應(yīng)有應(yīng)有 ax0(1) 空載時(shí)， =0，w=0， x0，由( )式得2ma0)(31cmbam欲使起重機(jī)不致翻倒，應(yīng)有為了保證安全，可取m3 =36.537t。（2） 滿(mǎn)載時(shí)， m2 =25t，x 由( ) 式得aataclmbmmamcmlmbmmmmacmlambam1 .363610255 . 150)()()(2133

8、321321321tmt5 .371 .363一平面力系向A、B兩點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果相同，且主矢和主矩都不為零，問(wèn)是否可能？ 思考題思考題2-1AB圖2-81F2FnF在什么情況下，一平面力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化所得的主矩為零？思考題思考題2-2AB圖2-91F2FnF 集中力或集中荷載：集中力或集中荷載：力或荷載的作用面積很小或與整個(gè)構(gòu)件的尺寸相比很小，可以認(rèn)為集中作用在一點(diǎn)上。例如，道路給輪子的力等。幾種分布荷載幾種分布荷載（1）體分布荷載：荷載（力）分布在整個(gè)構(gòu)件內(nèi)部各點(diǎn)上。 例如，構(gòu)件的自重等。 （2）面分布荷載：分布在構(gòu)件表面上的荷載（力）。例如， 風(fēng)壓力、雪壓力等。（3）線(xiàn)分布荷載：荷載分布在狹長(zhǎng)

9、范圍內(nèi)，如沿構(gòu)件的軸線(xiàn) 分布。2 23 3 分布荷載分布荷載（1）集中荷載的單位，即力的單位為（N,kN)。荷載的單位荷載的單位分布荷載的大小用集度表示，指密集程度。（2）體分布荷載的單位：3/ mN（3）面分布荷載的單位：2/mN（4）線(xiàn)分布荷載的單位：mN /如圖2-10所示的均布荷載，其合力為：,6 .1741691.10kNlqF作用線(xiàn)則通過(guò)梁的中點(diǎn)。（1）均布荷載：集度為常數(shù)的分布荷載。）均布荷載：集度為常數(shù)的分布荷載。分布荷載的計(jì)算方法分布荷載的計(jì)算方法Fq=10.91kN/m16 m圖2-10AFBF 如圖2-11所示壩體所受的水壓力為非均布荷載，其計(jì)算方法見(jiàn)例2-2。（2）非均

10、布荷載：荷載集度不是常數(shù)的荷載。）非均布荷載：荷載集度不是常數(shù)的荷載。yABC圖2-11yq【解】【解】取坐標(biāo)系如圖所示。在 x 處取一微段，其集度為L(zhǎng)xqq0微段上的荷載為：xxLqxqF0求圖示梁上分布荷載的合力。例例2-2AB圖2-12xxxylxcF0q以A為簡(jiǎn)化中心，有xxxlqFMMlqxdxlqxxlqFFFFxAAlxyyx)()(2)(00000000limlim320020lqdxxlqlAB圖2-13xxxylxcF0q 由此可見(jiàn)，分布荷由此可見(jiàn)，分布荷載合力的大小等于荷載載合力的大小等于荷載集度圖的面積。合力作集度圖的面積。合力作用線(xiàn)的位置為：用線(xiàn)的位置為：llqlqF

11、MxyAC3223020AB圖2-14xxxylxcF0q如圖2-15所示，已知水壩的壩前水深h=10m，求1m長(zhǎng)的壩面上水壓力的合力之大小和作用線(xiàn)的位置。例2-3AByCdhqdy1myqF圖2-15 取1m 長(zhǎng)的壩考慮時(shí)，作用于壩面的水壓力可以簡(jiǎn)化為沿壩面中心線(xiàn)平行分布的線(xiàn)荷載。 【解】【解】在深度為y處，水的壓強(qiáng)為AByCdhqdy1myqF)(mkNyF)()()1 (mkNhqmkNhdydyhqhy 該分布荷載是三角形分布的，其合力大小為三角形的面積，作用線(xiàn)在距水面2/3處。mhdkNqhF67. 610323249110)1081. 9 (2121 平面一般力系平衡的充分必要條件

12、是：力系的主矢和對(duì)任意一點(diǎn)的主矩都為零。即平面一般力系的平衡方程為： 0Fy 0Fx0, 0ORMF0)(FMO2 24 4 平面一般力系的平衡條件平面一般力系的平衡條件MooRFO例例2-4圖2-16所示為一懸臂式起重機(jī)簡(jiǎn)圖，A、B、C處均為光滑鉸鏈。水平梁AB自重 P=4kN,荷載 F =10kN, 有關(guān)尺寸如圖所示，BC 桿自重不計(jì)。求BC桿所受的拉力和鉸鏈A給梁的反力。圖2-16ABDEP P0302m1m1mcF【 解】解】（1）取AB梁為研究對(duì)象。 （2）畫(huà)受力圖。 未知量三個(gè)：獨(dú)立的平衡方程數(shù)也是三個(gè)。（3）列平衡方程，選坐標(biāo)如圖所示。（1）（2）（3）AxFAyFTF030si

13、n0)(030sin0030cos0000AEFADPABFFMFPFFYFFXTATAyTAxABDEP030AyFAxFTFF由（3）解得以FT 之值代入（1）、（2），可得則鉸鏈A的反力及與x軸正向的夾角為：kNFPFT195 . 041034230sin4320kNFkNFAyAx5 . 4,5 .160223 .15arctan1 .17AxAyAyAxAFFkNFFF思考題思考題2-3如果下圖中的荷載 F 可以沿AB梁移動(dòng)，問(wèn)荷載 F 在什么位置時(shí)桿AB所受的拉力最大？其值為多少？ABDEP P0302m1m1mcF可否求出FT、FAx、FAy；（1）由下圖所示的受力圖，試按00)

14、(0)(xBAFFmFm思考題2-4ABDEP030AyFAxFTFF0 xF 平面平行力系：各力的作用線(xiàn)在同一平面內(nèi)且互相平行的力系。 圖示一受平面平行力系作用的物體，如選軸與各力作用線(xiàn)垂直，顯然有：yox2F1FnF2 25 5 平面平行力系的平衡條件平面平行力系的平衡條件即平面平行力系平衡的充要條件是：力系中各力的代數(shù)和以及各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和都為零。 這樣，平面平行力系的平衡條件可寫(xiě)為： 平面平行力系平衡方程的二矩式為注意：A、B兩點(diǎn)的連線(xiàn)不能與各力的作用線(xiàn)平行。0)(0)(FMFMBA0yF0)(FMoyox2F1FnF【解】【解】畫(huà)出起重機(jī)的受力圖。可見(jiàn)它受到的是一個(gè)平面平行力

15、系的作用。 取坐標(biāo)如圖，列平衡方程在例2-18中，設(shè) W= m2 =20 t, Q= m3 =37 t , 其他數(shù)據(jù)同題4-1 , 即 m1 = 50 t, = 3m, b = 1.5 m，c = 6 m, l=10m, 求左右兩軌的反力。例例2-5a圖2-18cbxyRxLo1Wa.0)(FMA0Y036135 . 4321BNFgmgmgmgmgmgmFBN32123135 . 10321gmgmgmFFBNANgmgmgmFAN32133105 . 0kNgmkNgmkNgm81. 93781. 92081. 950321上述結(jié)果可用來(lái)進(jìn)行校核。求出的左右軌的反力均不為負(fù)值，可見(jiàn)所取平衡

16、錘的質(zhì)量可以保證安全。)(860)(8 .189kNFkNFBNAN0)(FMB圖2-19cbxyRxLo1Wa圖示的連續(xù)梁，約束反力有哪幾個(gè)？求解約束反力時(shí)有幾個(gè)獨(dú)立的未知量？能夠列幾個(gè)獨(dú)立的平衡方程？思考題思考題2-5圖2-20ACBM2F442qDaaaaa 靜定問(wèn)題：靜定問(wèn)題：一個(gè)靜力平衡問(wèn)題，如果未知量的數(shù)目正好等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)，單用平衡方程就能解出這些未知量。如圖2-21所示結(jié)構(gòu)。q圖2-21ACBM22F6aaaa 超靜定問(wèn)題：一個(gè)靜力平衡問(wèn)題，如果未知量的數(shù)目超過(guò)獨(dú)立的平衡方程數(shù)目，用剛體靜力學(xué)剛體靜力學(xué)方法就不能解出所有的未知量。如圖2-22所示結(jié)構(gòu)。圖2-22ACBM2

17、F442qDaaaaa注意：判斷問(wèn)題是否靜定，不能單純從未知量的數(shù)目來(lái)考慮，還應(yīng)對(duì)問(wèn)題多作具體分析。如圖2-23所示梁。 分析圖中的梁可知，雖然平衡方程數(shù)等于未知量數(shù)，實(shí)際上它不能平衡。Aq圖2-23CBM2F442Daaaaa如圖2-24所示平面匯交力系的平衡方程可否用一個(gè)投影式、一個(gè)力矩式？或兩個(gè)都用力矩式？如果可以用，有什么限制條件？為什么要附加這種條件？思考題思考題2-6o圖2-242F1FnF如圖2-25所示平面一般力系，其平衡方程能否用三個(gè)投影式？為什么？思考題思考題2-7圖2-251F2FnF如圖2-26所示平面平行力系，其平衡方程能否用兩個(gè)投影式？為什么？00yxFF思考題思考

18、題2-8yox2F1FnF 圖2-26如圖2-27所示平面力偶系，其平衡方程能否用投影式？為什么？思考題思考題2-9圖2-271M2MnM或MMMMMn21MM 物體系：由幾個(gè)物體通過(guò)一定的約束方式聯(lián)系在一起的系統(tǒng)。如圖2-28、圖2-29所示。2 26 6 物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG圖2-281 、內(nèi)力和外力、內(nèi)力和外力外力外力：系統(tǒng)以外的物體給所研究系統(tǒng)的力。內(nèi)力內(nèi)力：在系統(tǒng)內(nèi)部，各個(gè)物體之間，或一 個(gè)物體的這一部分與哪一部分之間， 相互作用的力。如圖2-30所示。mqCADBE30。a3aF圖2-

19、29CB20kNACxFCyFBNFAxFAyFxy2kN/mEGExFEyFGNF10kNCE圖2-30CyFCxFDNFExFEyFCD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG2 、物體系平衡問(wèn)題的靜定或超靜定、物體系平衡問(wèn)題的靜定或超靜定 物體系是由幾個(gè)物體組成，可分別分析各個(gè)物體的受力情況，畫(huà)出受力圖。 根據(jù)受力圖的力系類(lèi)型，可知各有幾個(gè)獨(dú)立的平衡方程，如平面一般力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程等。 總計(jì)獨(dú)立平衡方程數(shù)，與問(wèn)題中未知量的總數(shù)相比較。 若未知量總數(shù)超過(guò)獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則問(wèn)題是超靜定的。 若未知量總數(shù)小于獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則系統(tǒng)可能不平衡

20、，而若計(jì)算表明，所有的平衡方程都能滿(mǎn)足，則說(shuō)明系統(tǒng)處于平衡，但題給的條件有些是多余的或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)固的。 若未知量總數(shù)正好等于獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則問(wèn)題是靜定靜定的。注意：注意： （1） 在總計(jì)獨(dú)立的平衡方程數(shù)時(shí)，應(yīng)分別考慮系統(tǒng)中每一個(gè)物體，而系統(tǒng)的整體則不應(yīng)再加考慮。因?yàn)橄到y(tǒng)中每一個(gè)物體既已處于平衡，整個(gè)系統(tǒng)當(dāng)然處于平衡，其平衡方程可由各個(gè)物體的平衡方程推出，因而是不獨(dú)立的。 （2）在求解物體系的平衡問(wèn)題時(shí)，不僅要研究整體，還要研究局部個(gè)體，才能使問(wèn)題得到解決。應(yīng)該從未知量較少或未知量數(shù)正好等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)的受力圖開(kāi)始，逐步求解。求圖2-31所示多跨靜定梁的支座反力。梁重及摩擦均不計(jì)

21、。例例2-6CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG圖2-31CB20kNACxFCyFBNFAxFAyFxy2kN/mEGExFEyFGNF10kNCE圖2-32CyFCxFDNFExFEyFCD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG 從各受力圖來(lái)看，未知量共9個(gè)，即5個(gè)支座反力和C、E處鉸鏈反力各 2 個(gè)。而梁共有三個(gè)，則其獨(dú)立的平衡方程有 9 個(gè)。也即題中所研究的問(wèn)題為靜定問(wèn)題。分析：先作各梁受力圖如下。CB20kNACxFCyFBNFAxFAyFxy2kN/mEGExFEyFGNF10kNCECyFCxF

22、DNFExFEyF【解】【解】由對(duì)稱(chēng)關(guān)系得：（2）研究CE梁 （1）研究EG梁2kN/mEGExFEyFGNF10kNCECyFCxFDNFExFEyF)(5 . 4)5 . 42(21kNFFGNEy00ExxFF0, 00CECxCECxxFFFFF（3）研究AC梁CB20kNACxFCyFBNFAxFAyFkNFFFFMDNEyDNC44.10062105 . 40)(kNFFFFMFFFFFBNCyBNACxAxCxAxx08.1505 . 732060)(00010kNCECyFCxFDNFExFEyFkNFFFFFAyCyBNAyy98. 80200圖2-33所示三鉸拱上，作用著均

23、勻分布于左半跨內(nèi)的鉛直荷載，其集度為q(kN/m) , 拱重及摩擦均不計(jì)。求鉸鏈A、B處的反力。例例2-7qAhl/2l/2CB圖2-33ACBAxFAyFBxFByFq【解】【解】（1）研究整體其受力如圖所示。ACBAxFAyFBxFByFq)(8304320)(qlFllqlFFMAyAyB)(80420)(qlFllqlFFMByByA（2）研究AC,并畫(huà)其受力圖。系統(tǒng)整體是平衡的，其每個(gè)局部也是平衡的。AAxFAyFqCCxFCyF)(16)(160422830)(22hqlFhqlFlqlllqhFFMBxAxAxC試判斷圖2-34（a）的受力圖2-34（b）是否正確？qYA=0.5

24、qLYB=0.5qL(b)圖2-34ACBAyFByFq( )圖2-34ACBa2l2lh例例2-8由左半部分受力圖可知，AC不能平衡，(c)圖是錯(cuò)的。(c)qACBAyFByFAAyFqCCxFCyF0.5ql(d) 圖示混合結(jié)構(gòu)受荷載F作用，求支座B的反力，以及桿件1、2所受的力例例-921DEBACAxFAyFBNF)(aF【解】【解】先取整體為研究對(duì)象，受力圖如（ ）所示，由a0912, 0)(PFFMBNA得：PFBN43再取結(jié)構(gòu)右半部分為研究對(duì)象，受力情況如圖( b )所示，由0336 , 0)(DSBNCFPFFM得：PFDS21DDSFSF1SF2（b）ECBCxFCyFPDS

25、FBNF（c）最后選取節(jié)點(diǎn)D為對(duì)象，其受力圖如圖（ c ）所示，列平衡方程：045sin, 0045cos, 001201SSySDSxFFFFFF解得：PFPFSS21;2221 圖示結(jié)構(gòu)由AB、CD、DE三個(gè)桿件鉸結(jié)組成。已知 。求鉸鏈B的約束反力NFmNqma2000,500,2例例2-10CDBEAaaaAxFAyFCSF)(aABEByFBxFESFAxFAyF)(bF【解】【解】取整體為研究對(duì)象，其受力如圖（ a ）所示。列平衡方程0, 0qaPFFAyy解得：NqaPFAy3000035 . 1, 0)(2aFFqaPaFMAxAyC解得：NFqaPFAyAx550035 . 1再取AEB為研究對(duì)象，考慮到DE為二力桿，AEB受力如（b）圖所示，列平衡方程：0, 0BxAxxFFF得：NFFAxBx55000, 0)(aFaFaFFMAyBxByE得：NFFFBxAyBy2500(