用絕對值的幾何意義解題

1、用絕對值的幾何意義解題大家知道，|a|的幾何意義是：數(shù)軸上表示 a的點到原點的距離；|a b|的 幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a、b的兩點的距離對于某些問題用絕對值的幾何 意義來解，直觀簡捷，事半功倍.、求代數(shù)式的最值例1已知a是有理數(shù)，| a 2007|+| a 2008|的最小值是.解：由絕對值的幾何意義知，| a 2007|+| a 2008|表示數(shù)軸上的一點到 表示數(shù)2007和2008兩點的距離的和，要使和最小，則這點必在20072008之間（包括這兩個端點）取值（如圖1所示），故| a 2007|+| a 2008|的最小 值為1.20072003例2 |x 2| | x 5|的最大值是

2、 最小值是.解：把數(shù)軸上表示x的點記為P.由絕對值的幾何意義知，|x 2| | x 5| 表示數(shù)軸上的一點到表示數(shù)2和5兩點的距離的差，當P點在2的左邊時，其差 恒為一3;當P點在5的右邊時，其差恒為3;當P點在25之間（包括這兩個 端點）時，其差在一33之間（包括這兩個端點）（如圖 2所示），因此，|x 2| | x 5|的最大值和最小值分別為3和一3.二、解絕對值方程例3方程|x 1|+|x + 2| = 4的解為.解：把數(shù)軸上表示x的點記為P，由絕對值的幾何意義知，當一2< x< 1時, |x 1|+|x + 2|恒有最小值3,所以要使|x 1|+|x + 2| = 4成立，

3、則點P必在一21的左邊或1的右邊，且到表示數(shù)2或1的點的距離均為1個單位（如圖3所示）， 故方程|x 1|+|x + 2| = 4的解為：513x =-2 I , x = 1+ = 1三、求字母的取值范例4 若|x+1|+|2 x| = 3,則x的取值范圍是.解：由絕對值的幾何意義知，|x+1|+|x 2|的最小值為3,此時x在一12 之間（包括兩端點）取值（如圖 4所示），故x的取值范圍是 Kx<2.H5圖 4例5 對于任意數(shù)x,若不等式|x + 2|+|x 4| >a恒成立，則a的取值范圍 是.解：由絕對值的幾何意義知，|x + 2|+|x 4|的最小值為6,而對于任意數(shù)x,

4、|x + 2|+|x 4| >a恒成立，所以a的最值范圍是av6.四、解不等式例6 不等式|x + 2|+|x 3| > 5的解集是.解：由絕對值的幾何意義知，|x + 2|+|x 3|的最小值為5,此時x在一23 之間（包括兩端點）取值，若|x + 2|+|x 3| >5成立，貝U x必在一2的左邊或3 的右邊取值（如圖5所示），故原不等式的解集為xv 2或x>3.五、判斷方程根的個數(shù)例 7 方程 |x+1|+|x+99|+|x+ 2| = 1996 共有（）個解.A. . 4; B. 3 ; C . 2 ; D . 1解：當x在991之間（包括這兩個端點）取值時，由

5、絕對值的幾何意 義知，|x+1|+|x+99| = 98, |x + 2| v 98.此時,|x+1|+|x+99|+|x + 2| v 1996, 故|x+1|+|x+99|+|x + 2| = 1996時，x必在991之外取值，故方程有 2個 解，選（ C）六、綜合應用例8（第15屆江蘇省競賽題，初一）已知|x + 2|+|1 x| = 9 |y 5| |1+y| , 求 x+ y 最大值與最小值解：原方程變形得 |x + 2|+|x 1|+|y 5|+|y+1|= 9,- |x + 2|+|x 1| >3, |y 5|+|y+1| >6,而 |x + 2|+|x 1|+|y 5|+|y+1| = 9,- |x +