八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假專題——因式分解的應(yīng)用華東師大版知識(shí)精講

1、初二數(shù)學(xué)寒假專題一一因式分解的應(yīng)用華東師大版【同步教育信息】 一.本周教學(xué)內(nèi)容：寒假專題一一因式分解的應(yīng)用在解決實(shí)際問題時(shí)，常利用因式分解的公式進(jìn)行變形和轉(zhuǎn)化，這樣可使計(jì)算或運(yùn)算簡 化，避免大量的復(fù)雜運(yùn)算。因式分解就是簡化運(yùn)算的解題工具?！镜湫屠}】例 1.在一條寬闊的馬路上，整齊排列著10 個(gè)花壇，每個(gè)花壇的形狀都像操場上的跑道圈那樣兩端呈半圓形，連接兩個(gè)半圓邊緣部分是直線的一部分。已知每個(gè)花壇的寬都是6m，每個(gè)花壇邊緣直的部分的長分別是36m、25m、30m、28m、25m、32m、24m、24m、22m 和 32m，試求出這些花壇的總面積。分析：把生活中的實(shí)例轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來求解是“數(shù)學(xué)

2、建?！彼枷氲倪\(yùn)用，花壇的形 狀應(yīng)歸類到數(shù)學(xué)中的幾何圖形，進(jìn)而求出面積。可以把每個(gè)花壇的面積都看作是一個(gè)長方 形與兩個(gè)半圓的面積和，即一個(gè)長方形與一個(gè)圓的面積和。解：設(shè)花壇總面積為 S,則：S =(366二32)(25 6二32)(30 6二32)(28 6二32)(25 6二32) (32 6二32) (24 6二32) (24 6二32) (226二32)(32 6二32)=(36 6 25 6 30 6 28 6 25 6 32 6 24 6 24 6 22 632 6)10二32=(3625 30 2825 3224242232)610二32= 278 690二：1951(m2)評(píng)析：憑

3、借想象力，設(shè)每個(gè)花壇的兩端各組成一個(gè)圓，而10 個(gè)花壇的中間部分順次首尾相接，形成一個(gè)很長的長方形，這樣重新組合并不改變總面積。在解題時(shí)局部使用了提 取公因式進(jìn)行了因式分解，并運(yùn)用加法的交換律與結(jié)合律簡化了整個(gè)運(yùn)算過程。例 2. 一圓形燈具(如圖 1)，在一個(gè)大圓盤中，嵌入四個(gè)小圓盤，大、小圓的半徑為 整數(shù)，有陰影部分的面積是5二dm2，試求大、小圓盤的半徑。圖 1解：設(shè)大圓盤的半徑為 Rdm，小圓盤的半徑為 rdm，則由題意，得R2-4二r2=5二即(R 2r)(R -2r) =5由于R 2r、R -2r必有 1 項(xiàng)為 5 的倍數(shù)，貝UR 2r =5R -2r =1.R = 3(dm),r

4、= 1(dm)評(píng)析：在這里因式分解是解題的關(guān)鍵，因?yàn)橐蚴椒纸饪梢缘玫?R 2r)(R -2r) =5 1，解題思路豁然開朗。例 3.已知長方形的周長是 16cm，它的兩邊 x、y 是整數(shù)，且滿足22x-y-x，2xy-y *2=0，求其面積。分析：要求長方形面積，必須利用已知條件求出兩邊x、y，一個(gè)條件是2(x y16，另一個(gè)是條件等式。觀察等式左端特點(diǎn)可以考慮利用交換律、結(jié)合律分組后分解因式，兩 個(gè)條件結(jié)合求值。2 2 2 2解：xyx2xyy 2=0，即x2xyyxy2=0-(x -y)2-(x y)一2 =0.(x - y 1)(x - y -2) =0又2(x y) = 16,. x

5、y = 8X y = 8 X y = 8x-y = -1x-y=2!x = 35 _Lx = 5解得或y= 4.5 ly = 3x=5 x、y 是整數(shù)，得ly = 32故長方形面積S =53=15(cm)例 4.某商場有四層，第一層有商品(a - b)2種，第二層有商品a(a - b)種，第三層有商品(a b)b種，第四層有商品(a - b)3種，則這個(gè)商場共有商品多少種？解：這個(gè)商場共有商品的種數(shù)為(a - b)2- a(a b) (a b)b (a b)32-(a b) a b) a b (a b)-(a b)2(a b) (a b)22=(a b) (a b 2)評(píng)析：求商品的種數(shù)自然是

6、將各種商品數(shù)相加，但不應(yīng)是簡單的羅列，應(yīng)用因式分解 的知識(shí)化答案為最簡形式。例 5.圖 2( a)是一邊長為(a b c)的正方體；圖 2( b)是邊長分別為 a、b、c 的 三個(gè)正方體；圖2(c)是一個(gè)長為(a b)，寬為(b c)，高為(a c)的長方體。用因式 分解的方法說明：圖 2( a)中的正方體的體積減去圖2(b)中“三個(gè)正方體體積之和”的差是圖 2( c)中長方體體積的 3 倍。（b）（c）圖 2分析：這是一道因式分解應(yīng)用問題，如何把幾何模型轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵。 對(duì)照?qǐng)D形，首先應(yīng)掌握正方體與長方體的體積公式，然后用字母列出各體積的代數(shù)式，通 過因式分解求出結(jié)果。解：圖 2

7、( a)中的長方體的體積為(a b c)3，圖 2(b)中的正方體的體積分別為a3、b3、c3，圖 3 中的長方體的體積為(a b)(b c)(a c)3333(a b c) - a - b - c二(a b c)3-a3 -(b3c3)2二(b c)(3a3ab 3bc 3ca)=3(a b)(b c)(a c).圖 2(a)中的正方體的體積減去圖2( b)中“三個(gè)正方體體積之和”的差是圖2( c)中長方體體積的 3 倍。例 6.某農(nóng)場修建一座小型水庫，需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是：內(nèi)徑d =45cm，外徑D =75cm，長300cm，利用因式分解計(jì)算澆制一節(jié)這樣的管道需要 多少立方米

8、的混凝土？(二取 3.14，結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)分析：用管道外徑面積減去內(nèi)徑面積再乘以長度L 即可。07522解：根據(jù)題意，管道外徑面積為 二()m，管道內(nèi)徑面積為2以一節(jié)這樣的管道的體積為：二（驢-二（鑒）23（晉）2- （竽門32 20.750.450.750.45（丁）（-（?。?322 2 20.60.15 3=0.27:=0.85（ m3）判斷幾何圖形的形狀例 7.已知一個(gè)凸四邊形 ABCD 的四條邊的長依次為 a、b、c、d，且a2ab - ac - be = 0,b2be- bd - cd = 0，那么四邊形 ABCD 是( )A.平行四邊形B.矩形C.菱形D梯形(2002 年

9、“希望杯”初二培訓(xùn)題)2 2解：因?yàn)閍 ab -ac - be = 0,b be - bd - cd = 0所以a(a b) -c(a b) = 0,b(b c)d(b c) = 0即(a -c)(a b) =0,(b-d)(b c) = 0因?yàn)閍 0,b 0,c 0,d 0所以a-c=0,b-d = 0即a = c,b = d，故四邊形 ABCD 是平行四邊形選 A比較代數(shù)式的大小例 8.已知abc,M=a2b +b2c + c2a,N = ab2+bc2+ca2，則M與N的大 小關(guān)系是( )A. MNC. M=ND.不確定(2002 年“希望杯”初二第 2 試題)2 2 2 2 2 2解：

10、M - N = a b b c c a - ab - bc -ca (a2b_ab2) (b2c_ca2) (c2 bc2)=ab(a _b) c(b2-a2) c2(a _b)=(a -b)(ab _bc -ac c )二(ab)a(bc)c(bc)=(a -b)(a -c)(b -c)因?yàn)閍 b c所以a-b - 0,a-c 0,b-c 0所以(a -b)(a -c)(b -c) 0因此 MN，選 B【模擬試題】1. 如圖，大圓的直徑為 a,大小圓的直徑的差為 b(1) 求小圓的直徑 d 及陰影部分的面積 S(2) 當(dāng) a= 10, b= 6,二取 3.14 時(shí)，求 S 的值。2.某地區(qū)根

11、據(jù)地理位置及氣候特點(diǎn)，在大棚種植上采用了如下的結(jié)構(gòu)，占地呈矩形，四周的磚墻，上蓋玻璃屋面，如果矩形的長、寬分別為a、b,且前沿墻高為 c,后墻高為 d(1)求這座大棚磚墻的面積S(2) 如果 a= 6.6m, b = 3.4m, c= 0.5m , d= 1.5m，求磚墻的面積12 3 3 69 5 1015714213.13 5 3 915 5 152572135(2002 年“希望杯”初一培訓(xùn)題)432222343.若x A. 0B. -1C. 1D. 3y - -1,則x 5x y x y 8x y xy 5xy y的值等于()（2003 年“希望杯”初二第 1 試題）25. 一個(gè)自然數(shù) a 恰好等于一個(gè)自然數(shù) b 的平方，則稱自然數(shù) a 為平方數(shù)，如64 = 8, 64 就是一個(gè)完全平方數(shù)，若a =19952199$ 1996219962，說明 a 是一個(gè)完全平方數(shù)?！驹囶}答案】,nb(2a b)1.( 1)a - b;(2) 65.9442.(1)S = ac ad be bd2(2)原式=