數(shù)字濾波器原理

1、第四章第四章數(shù)字濾波器原理和設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器原理和設(shè)計(jì)方法（Digital Filter)第一節(jié)第一節(jié) 引引 言言一、什么是數(shù)字濾波器一、什么是數(shù)字濾波器n顧名思義：其作用是對(duì)輸入信號(hào)起到濾波的作用；即DF是由差分方程描述的一類(lèi)特殊的離散時(shí)間系統(tǒng)。n它的功能：把輸入序列通過(guò)一定的運(yùn)算變換成輸出序列。不同的運(yùn)算處理方法決定了濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的不同。二、數(shù)字濾波器的工作原理( )()( )()jwjwx nX ey nY e設(shè)是系統(tǒng)的輸入，是其傅氏變換。是系統(tǒng)的輸出，是其傅氏變換。則：h(n)x(n)y(n)作原理。這就是數(shù)字濾波器的工符合我們的要求，使濾波器輸出選取表示）后變成其系統(tǒng)性能用經(jīng)過(guò)

2、濾波器看出：輸入序列的頻譜)()(),()()()()()()()()()(1jwjwjwjwjwjwjwjwjwmeHeXeHeHeXeHeXeHeXFmxmnhny則LTI系統(tǒng)的輸出為：三、數(shù)字濾波器表示方法n有兩 種表示方法：方框圖表示法；流程圖（簡(jiǎn)稱(chēng)流圖）表示法.n數(shù)字濾波器中,信號(hào)只有延時(shí)延時(shí)，乘以常數(shù)乘以常數(shù)和相加相加三種運(yùn)算。n所以DF結(jié)構(gòu)中有三個(gè)基本運(yùn)算單元：加法器，單位延時(shí)，乘常數(shù)的乘法器。1、方框圖、流圖表示法、方框圖、流圖表示法Z-1單位延時(shí)系數(shù)乘相加Z-1a方框圖表示法：方框圖表示法：信號(hào)流圖表示法：信號(hào)流圖表示法：a把上述三個(gè)基本單元互聯(lián)，可構(gòu)成不同數(shù)字網(wǎng)絡(luò)或運(yùn)算結(jié)構(gòu)

3、，也有方框圖表示法和流圖表示法。2.例子)() 2() 1()(021nxbnyanyany例：二階數(shù)字濾波器：其方框圖及流圖結(jié)構(gòu)如下：Z-1Z-1x(n)y(n)b0a1a2x(n)y(n)b0a1a2Z-1Z-1看出：可通過(guò)流圖或方框圖看出系統(tǒng)的運(yùn)算步驟和運(yùn)算結(jié)構(gòu)。以后我們用流圖來(lái)分析數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)。DF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或DF運(yùn)算結(jié)構(gòu)二個(gè)術(shù)語(yǔ)有微小的差別，但大抵一樣，可以混用。四、數(shù)字濾波器的分類(lèi)n濾波器的種類(lèi)很多，分類(lèi)方法也不同。n1.從功能上分；低通、帶通、高通、帶阻。n2.從實(shí)現(xiàn)方法上分:FIR、IIRn3.從設(shè)計(jì)方法上來(lái)分：Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯）

4、n4.從處理信號(hào)分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器n等等。1、經(jīng)典濾波器n假定輸入信號(hào)x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的頻帶。當(dāng)x(n）經(jīng)過(guò)一個(gè)線性系統(tǒng)（即濾波器）后即可將欲去除的成分有效地去除。但如果信號(hào)和噪聲的頻譜相互重疊，那么經(jīng)典濾波器將無(wú)能為力。 |X(ejw)|wwc有用無(wú)用wc|H(ejw)|Y(ejw)|wwc2.現(xiàn)代濾波器 它主要研究?jī)?nèi)容是從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄（又稱(chēng)時(shí)間序列）中估計(jì)出信號(hào)的某些特征或信號(hào)本身。一旦信號(hào)被估計(jì)出，那么估計(jì)出的信號(hào)將比原信號(hào)會(huì)有高的信噪比。 現(xiàn)代濾波器把信號(hào)和噪聲都視為隨機(jī)信號(hào)，利用它們的統(tǒng)計(jì)特征（如自相關(guān)函數(shù)、功率譜等）導(dǎo)出一套最佳估值算

5、法，然后用硬件或軟件予以實(shí)現(xiàn)。 現(xiàn)代濾波器理論源于維納在40年代及其以后的工作，這一類(lèi)濾波器的代表為：維納濾波器，此外，還有卡爾曼濾波器、線性預(yù)測(cè)器、自適應(yīng)濾波器。本課程主要講經(jīng)典濾波器3.模擬濾波器和數(shù)字濾波器n經(jīng)典濾波器從功能上分又可分為：低通濾波器（LPAF/LPDF):Low pass analog filter帶通濾波器(BPAF/BPDF):Bandpass analog filter高通濾波器(HPAF/HPDF):High pass analog filter帶阻濾波器(BSAF/BSDF):Bandstop analog filtern即它們每一種又可分為：數(shù)字(Digita

6、l)和模擬(Analog)濾波器。4.模擬濾波器的理想幅頻特性cc)( jHcc)( jHcc)( jH)( jH1c2c1c2cLPAFHPAFBPAFBSAF5.數(shù)字濾波器的理想幅頻特性LPDFHPDFBPDFBSDF2c)(jweH.23.2.2)(jweH)(jweH)(jweH五、研究DF實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)意義1.濾波器的基本特性（如有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)FIR與無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)IIR）決定了結(jié)構(gòu)上有不同的特點(diǎn)。2.不同結(jié)構(gòu)所需的存儲(chǔ)單元及乘法次數(shù)不同，前者影響復(fù)雜性，后者影響運(yùn)算速度。3.有限精度（有限字長(zhǎng)）實(shí)現(xiàn)情況下，不同運(yùn)算結(jié)構(gòu)的誤差及穩(wěn)定性不同。4.好的濾波器結(jié)構(gòu)應(yīng)該易于控制濾波器性能，適合于模

7、塊化實(shí)現(xiàn)，便于時(shí)分復(fù)用。六、本章介紹主要的內(nèi)容1.分別介紹FIR、IIR濾波器實(shí)現(xiàn)的基本結(jié)構(gòu)。2.介紹一種特殊的濾波器結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)形式：格型濾波器結(jié)構(gòu).第二節(jié) IIR DF的基本結(jié)構(gòu)一、IIR DF特點(diǎn)1.單位沖激響應(yīng)h(n)是無(wú)限長(zhǎng)的n2.系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限長(zhǎng)Z平面（0|Z|0處收斂，極點(diǎn)全部在z=0處(即FIR一定為穩(wěn)定系統(tǒng))n(3)結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒(méi)有輸出到輸入反饋。但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)）也包含有反饋的遞歸部分。二、FIR的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程長(zhǎng)度為N的單位沖激響應(yīng)h(n)的系統(tǒng)函數(shù)為：100010)( )( )0,1( )( ) ()NnnMiiiiNiiiNkH zh

8、 n ZbzH zaa zy nh k x nk（它實(shí)際上為一般中即無(wú)反饋情況其差分方程為：三、FIR濾波器實(shí)現(xiàn)基本結(jié)構(gòu)n（1）FIR的橫截型結(jié)構(gòu)（直接型）n（2） FIR的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)n（3）FIR的線性型 結(jié)構(gòu)n（4）FIR的頻率抽樣型結(jié)構(gòu)n（5）FIR的軌跡卷積型結(jié)構(gòu)1.FIR直接型結(jié)構(gòu)（卷積型、橫截型）(1)流圖h(0)h(1)h(2)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)（2）框圖Z-1Z-1Z-1Z-1.x(n)h(0)h(1)h(2)h(N-1)y(n)2.級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)（1）流圖n當(dāng)

9、需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時(shí)，可將H(z)系統(tǒng)函數(shù)分解成二階實(shí)系數(shù)因子的形成：212211010)()()NiiiiNnnzzZnhzH（即可以由多個(gè)二階節(jié)級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)，每個(gè)二階節(jié)用橫截型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。x(n)11Z-1Z-12112Z-1Z-1221N/2Z-1Z-12N/2y(n).01020N/21（2）級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)n由于這種結(jié)構(gòu)所需的系數(shù)比直接型多，所需乘法運(yùn)算也比直接型多，很少用。n由于這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn)，因而只能在需要控制傳輸零點(diǎn)時(shí)用。3.快速卷積結(jié)構(gòu)（1）原理n設(shè)FIR DF的單位沖激響應(yīng)h(n)的非零值長(zhǎng)度為M，輸入x(n)的非零值長(zhǎng)度為N。則輸出y(n)=x(n)*h(n)

10、,且長(zhǎng)度L=N+M-1n若將x(n)補(bǔ)零加長(zhǎng)至L，補(bǔ)L-N個(gè)零點(diǎn)，將h(n)補(bǔ)零加長(zhǎng)至L，補(bǔ)L-M個(gè)零點(diǎn)。n這樣進(jìn)行L點(diǎn)圓周卷積，可代替x(n)*h(n)線卷積。其中：n而由圓卷積可用DFT和IDFT來(lái)計(jì)算，即可得到FIR的快速卷積結(jié)構(gòu)。)()()()()(nxnhnxnhnyLnNNnnxnx010)()(LnMMnnhnh00)()(（2）快速 卷積結(jié)構(gòu)框圖L點(diǎn)DFTL點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTX(k)H(k)Y(k)x(n)h(n)()()()()(nxnhnxnhny1202)()1)(NnknLjekHkXLny（此時(shí)，當(dāng)N，M中夠大時(shí)，比直接計(jì)算線性卷積快多了。4.線性相位FIR型結(jié)構(gòu)（

11、1）定義n所謂線性相位：是指濾波器產(chǎn)生的相移與輸入信號(hào)頻率成線性關(guān)系。（2）線性相位FIR DF具有特性nh(n)是因果的，為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性。即滿(mǎn)足約束條件：nh(n)=h(N-1-n)其中:h(n)為偶對(duì)稱(chēng)時(shí)，h(n)=h(N-1-n);h(n)為奇對(duì)稱(chēng)時(shí)，h(n)=-h(N-1-n);下面我們針對(duì)h(n)奇、偶對(duì)稱(chēng)進(jìn)行討論。（3）h(n)為偶對(duì)稱(chēng)，N=偶數(shù)時(shí)(a)FIR的線性相位的特性120)1120)1(120012) 1(1201212010)()1()() 1()()()()()NnnNnNnnNNnnNnnNNnnNNnnNnnNnnzznhznNhznhznNhznhznhz

12、nhznhzH（令n=N-1-n代入用n=n再用n=n,并應(yīng)用線性FIR特性：h(n)=h(N-1-n)(b)h(n)為偶對(duì)稱(chēng)，N=偶數(shù)時(shí),線性相位FIR的結(jié)構(gòu)流圖Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0) h(1)h(2)h(3)h(N/2-2)h(N/2-1).h(N-1)其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)(c)h(n)為偶對(duì)稱(chēng)，N=偶數(shù)時(shí),線性相位FIR的頻率響應(yīng) /2 11011/2 12102111/2 1222012()jNjNnjj nnNjNnj nNjNjnNNNNjjnjnnNjzeH eh neeeeh neeeh n

13、eee 令 /2 1012cos2NnNh nn幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為 1/221/212,1,2,221cos2:1cos2:-1 /2NNjjnNjnNNa nhnnH eea nnH ea nnN 令幅度響應(yīng)相位響應(yīng)（4）h(n)為偶對(duì)稱(chēng)，N=奇數(shù)時(shí)(a)FIR的線性相位的特性當(dāng)N=奇數(shù)時(shí)，有一中間項(xiàng)h(N-1)/2)無(wú)法合并，需提出：10312()1)20)( )1()( )2NnnNNnNnnH zh n zNhzh nzz （(b)h(n)為偶對(duì)稱(chēng)，N=奇數(shù)時(shí),線性相位FIR的結(jié)構(gòu)流圖其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2),h(N-3)/2)=h(N-1)/2Z-1Z

14、-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0) h(1)h(2)h(3).h(N-1)21(Nh)23(Nh共有（N-3）/2項(xiàng)(c)h(n)為偶對(duì)稱(chēng)，N=奇數(shù)時(shí),線性相位FIR的頻率響應(yīng) 1 /2 1112013 /22011 /2201()2112cos22-1222coscjNNjjNnjj nnNNjnNNjjnzeNH eheh neeNNehh nnNb nhnh nH eeb nnHb n 令用化簡(jiǎn)1 /201os2NnNn （5）總結(jié)：h(n)為偶對(duì)稱(chēng)，N=奇、偶數(shù)時(shí)FIR的線性相位的特性n同理，當(dāng)h(n)=偶對(duì)稱(chēng)時(shí)，即h(n)=h(N-1-n),可求出:312()1)2

15、01)()( )2NNnNnnNH zhzh nzz （120)1)()NnnNnzznhzHN（偶數(shù)時(shí)，N=奇數(shù)時(shí)，（6）h(n)為奇對(duì)稱(chēng)，N=奇、偶數(shù)時(shí)FIR的線性相位的特性n同理，當(dāng)h(n)=奇對(duì)稱(chēng)時(shí)，即h(n)=-h(N-1-n),可求出:312()1)201)()( )2NNnNnnNH zhzh nzz （120)1)()NnnNnzznhzHN（偶數(shù)時(shí)，N=奇數(shù)時(shí)，線性相位FIR零點(diǎn)分布特性n1、H（z）的零點(diǎn)既不在實(shí)軸上，也不在單位圓上，必為兩組互為倒數(shù)的共軛對(duì)n2、零點(diǎn)在單位圓上時(shí)，以共軛對(duì)出現(xiàn)n3、如果在實(shí)軸上，互為倒數(shù)出現(xiàn)n4、如果既在單位圓上又在實(shí)軸上，則零點(diǎn)為1和-1

16、5、頻率抽樣型結(jié)構(gòu)(1)頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的導(dǎo)入n若FIR DF 的沖激響應(yīng)為有限長(zhǎng)（N點(diǎn)）序列h(n),則有：h(n)H(z)H(k)H(ejw)(kHDFT取主值序列N等分抽樣單位園上頻響Z變換內(nèi)插所以，對(duì)h(n)可以利用DFT得到H(k)，再利用內(nèi)插公式：1011)(1)1 ()(NnkNNzWkHNzzH來(lái)表示系統(tǒng)函數(shù)。 （2）頻率抽樣型濾波器結(jié)構(gòu)1011)(1)1 ()(NnkNNzWkHNzzH由：得到FIR濾波器提供另一種結(jié)構(gòu)：頻率抽樣型結(jié)構(gòu)。它是由兩部分級(jí)聯(lián)而成。10)(1)()(NnkczHNzHzH其中：級(jí)聯(lián)中的第一部分為梳狀濾波器：第二部分由N個(gè)諧振器組成的諧振柜。)1 ()

17、(NczzH11)()(zWkHzHkNk(3)梳狀濾波器(a)零、極點(diǎn)特性n它是一個(gè)由N節(jié)延時(shí)單元所組成的梳狀濾波器。它在單位園上有N個(gè)等分的零點(diǎn)、無(wú)極點(diǎn)。)1 ()(NczzH由看出：20101,1()012012:NjjNjNjkNkkzzrerreeWkzekNNN令：?jiǎn)挝粓@代入零點(diǎn)。即而等間隔角度之間為N2(b)幅頻特性及流圖22()11cossin()(1cos)sin2(1cos)2 sin2jjNcjcHeeNjNHeNNNN頻率響應(yīng)為：w|H(ejw)|N20.幅頻曲線：1x(n)y(n)-Z-N梳狀濾波器信號(hào)流圖：（4）諧振器n諧振器：是一個(gè)階網(wǎng)絡(luò)。11)()(zWkHzH

18、kNkZ-1W-kH(k)Hk(z)諧振器的零極點(diǎn)：此為一階網(wǎng)絡(luò)，有一極點(diǎn)：2(1)2( )jkkjNNkzWererkHzN單位園一階網(wǎng)絡(luò)頻率在處響應(yīng)為無(wú)窮大，此時(shí)(5)諧振網(wǎng)絡(luò)(諧振柜)n諧振柜：它是由N個(gè)諧振器并聯(lián)而成的。101101)()(NkkNNkkzWkHzH這個(gè)諧振柜的極點(diǎn)正好與梳狀濾波器的一個(gè)零點(diǎn)（i=k)相抵消，從而使這個(gè)頻率（w=2k/N)上的頻率響應(yīng)等于H(k).將兩部分級(jí)聯(lián)起來(lái)，得到頻率抽樣結(jié)構(gòu)。)()()()()()(22kHezkHezzHzHNkjkNkjkkc（6）頻率抽樣型結(jié)構(gòu)流圖Z-1W-kH(0)Z-1W-kH(1)Z-1W-kH(2)Z-1W-kH(N

19、-1)N1-Z-Nx(n)y(n)(7)頻率抽樣型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)n(1)它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在 處的頻率響應(yīng)。因此，控制濾波器的頻率響應(yīng)是很直接的。n(2)結(jié)構(gòu)有兩個(gè)主要缺點(diǎn)：結(jié)構(gòu)有兩個(gè)主要缺點(diǎn)：n(a)所有的相乘系數(shù)及H(k)都是復(fù)數(shù)，應(yīng)將它們先化成二階的實(shí)數(shù)，這樣乘起來(lái)較復(fù)雜，增加乘法次數(shù)，存儲(chǔ)量。n(b)所有諧振器的極點(diǎn)都是在單位園上,由 決定考慮到系數(shù)量化的影響，當(dāng)系數(shù)量化時(shí)，極點(diǎn)會(huì)移動(dòng)，有些極點(diǎn)就不能被梳狀濾波器的零點(diǎn)所抵消。（零點(diǎn)由延時(shí)單元決定，不受量化的影響）系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。2kWkNkNW6、修正的頻率抽結(jié)構(gòu)（1）產(chǎn)生的原因n為了克服系數(shù)量化后可能不穩(wěn)定的缺點(diǎn)，將頻率抽樣結(jié)

20、構(gòu)做一點(diǎn)修正。即將所有零極點(diǎn)都移到單位園內(nèi)某一靠近單位園、半徑為r(r1)的園上，同時(shí)梳狀濾波器的零點(diǎn)也移到r園上。（即將頻率采樣由單位園移到修正半徑r的園上）(2)修正的頻率抽樣結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)11021( )( )(1)1( )1,( )( )( )( )( )( ),0,1,2,1kkNNNNNknNrrrzrWz WjkNkH kH zrzNrWzHkrHkH kHkH zH zH kH zzrekN為新抽樣點(diǎn)上的抽樣值，但是由于因此有（即則諧振器的各個(gè)根的極點(diǎn)為 為了使系數(shù)是實(shí)數(shù)，可將共 軛根合并，這些共軛根在半徑為r的圓周上以實(shí)軸成對(duì)稱(chēng)分布。(3)修正的頻率抽樣結(jié)構(gòu)的系統(tǒng) 極點(diǎn)分布0

21、0N2|z|=r2N12N12N1N10kRezzj Imzj ImRez0kN=8N=5*kkNzz(4)修正頻率結(jié)構(gòu)的復(fù)根部分：第k和第N-k個(gè)諧振器合并為一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò)n因?yàn)閔(n)是實(shí)數(shù)，它的DFT也是圓周共軛對(duì)稱(chēng)的。因此，可以將第k和第N-k個(gè)諧振器合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)。1, 3 , 2 , 1)()*NkkNHkH（ *1()11*11011*2*212201( )()( )( )( )1111( )2112 cos()2Re)cos ( )2,2 Re)coskkN kkkNNNNkkkkkkNNkkkNH kH NkH kH kHzrWzrWzrWzrWzzH kkzWWrr W Wzzrr zNH kkkrH k WrkN其中：（(5)有限Q的諧振器n第k和第N-k個(gè)諧振器合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)在單位園內(nèi)，而不是在單位園上，因而從頻率響應(yīng)的幾何解釋可知，它相當(dāng)于一個(gè)有限Q的諧振器。其諧振頻率為： 012cos ( )2coskkkWkNkkrkN)2cos(2Nkr2r1z1zk0k1(6)修正頻率抽樣結(jié)構(gòu)的諧振器的實(shí)根部分除了共軛復(fù)根外，還有實(shí)根。當(dāng)N=偶數(shù)時(shí)，有一對(duì)實(shí)根，它們分別為 兩點(diǎn)。2,0Nkk101)0()(rzHzH121)2()(rzNHzHN當(dāng)N=奇數(shù)