2012廣州市二模理科數(shù)學(xué)試題,WORD版

1、 試卷類型：A2012年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）數(shù) 學(xué)（理科） 20124本試卷共4頁，21小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后

2、再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題組號對應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。 5考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)i ,i ,且，則實數(shù)的值為A B C或 D或 2設(shè)集合滿足的集合的個數(shù)為A B C D 3已知雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則實數(shù)的值是A B C D 4已知等差數(shù)列的公差為，項數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項之和為15，所有偶數(shù)項之和為25，則這個數(shù)列

3、的項數(shù)為A B C D5. 已知兩條不同直線、，兩個不同平面、，在下列條件中，可得出的是A， B， C， D， 6下列說法正確的是 A函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)輸出開始結(jié)束否是圖1B兩個三角形全等是這兩個三角形面積相等的必要條件C命題“R，”的否定是“R，”D給定命題、，若是真命題，則是假命題7閱讀圖1的程序框圖, 該程序運(yùn)行后輸出的的值為 A. B. C. D. 8. 已知實數(shù)滿足，函數(shù)的最大值記為，則的最小值為A B C D二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（913題）9某社區(qū)有個家庭，其中高收入家庭戶，中等收入家庭戶，低收入家庭戶，為了調(diào)查購買力

4、的某項指標(biāo)，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為的樣本，則中等收入家庭應(yīng)抽取的戶數(shù)是 .10展開式中的常數(shù)項是 （用數(shù)字作答）. 11. 已知不等式的解集與不等式的解集相等,則的值為 .12在平行四邊形中, 點(diǎn)是的中點(diǎn), 與相交于點(diǎn), 若R, 則的值為 .13. 已知點(diǎn)是直角坐標(biāo)平面上的一個動點(diǎn)，（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，則的取值范圍是 . （二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題）14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，若等邊三角形頂點(diǎn)按順時針方向排列的頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，則頂點(diǎn)的極坐標(biāo)為 . 15（幾何證明選講選做題）如圖2，是圓的直徑，延長至，使，是圓的切線，切點(diǎn)為，連接，則的值為

5、. 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16（本小題滿分12分）已知函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.(1) 求和的值;(2) 已知,且, 求的值.17（本小題滿分12分）如圖3，兩點(diǎn)之間有條網(wǎng)線連接，它們能通過的最大信息量分別為.從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大信息量,設(shè)這三條網(wǎng)線通過的最大信息量之和為.(1) 當(dāng)時,則保證線路信息暢通,求線路信息暢通的概率; (2) 求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 18.（本小題滿分14分）.某建筑物的上半部分是多面體, 下半部分是長方體（如圖4）. 該建筑物的正視圖和側(cè)視圖如圖5, 其中正(主)

6、視圖由正方形和等腰梯形組合而成，側(cè)(左)視圖由長方形和等腰三角形組合而成.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值；（3）求該建筑物的體積. 19（本小題滿分14分） 已知對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與拋物線有一個相同的焦點(diǎn)，直線與拋物線只有一個公共點(diǎn).（1）求直線的方程；（2）若橢圓經(jīng)過直線上的點(diǎn)，當(dāng)橢圓的的離心率取得最大值時，求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo).20（本小題滿分14分）已知函數(shù)，R.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的極值大于？若存在，,求的取值范圍；若不存在，說明理由.21（本小題滿分14分）已知函數(shù)的定義域為，且，對任意，都有，數(shù)列滿足N.(1) 證明

7、函數(shù)是奇函數(shù);(2) 求數(shù)列的通項公式;(3) 令N, 證明:當(dāng)時,.2012年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運(yùn)算共8小題，每小題5分，滿分40分 題號12345678答案CBCADDCB二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運(yùn)算本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分其中1415題是選做題，考生只能選做一題9 10 11 12 13 14 15說明：第14題的答案可以是Z.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16（本小題滿分12分） (本小題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二倍角的正弦與余弦

8、、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角差的正弦等知識, 考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算求解能力) (1) 解:函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)為， . 1分 依題意,得函數(shù)的周期， . 3分(2)解:由(1)得. 4分 ,且, . 5分 , . 9分 11分 . 12分17. （本小題滿分12分）(本小題主要考查古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等知識, 考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識)(1) 解: 從6條網(wǎng)線中隨機(jī)任取三條網(wǎng)線共有種情況. 1分, . 2分 , . 3分, . 4分, . 5分 . 答: 線路信息暢通的概率為. 6分(2)解:的取值為. 7分 ,

9、. 8分 , . 9分 的的分布列為: 10分 . 12分18.（本小題滿分14分） (本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的三視圖、空間角、幾何體的體積等知識, 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)解法1：（1）作平面，垂足為，連接，則是直線與平面所成的角. 1分由于平面平面，故是直線與平面所成的角. 2分作，垂足為，連接，平面，.平面，平面，平面. 3分由題意知，在Rt中， 在Rt 中，在Rt 中，直線與平面所成角的正弦值為. 5分（2）延長交于點(diǎn)，連接，由（1）知平面平面，.，. 6分是二面角的平面角. 7分在中，. 二面角的余弦值為. 9

10、分（3）作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)， 由題意知多面體可分割為兩個等體積的四棱錐和和一個直三棱柱. 四棱錐的體積為， 10分直三棱柱的體積為，11分多面體的體積為. 12分長方體的體積為. 13分建筑物的體積為. 14分解法2：（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），作平面，垂足為，作，垂足為，依題意知，,則，. 1分. 2分平面，平面的一個法向量為. 3分設(shè)直線與平面所成角為，則. 4分直線與平面所成角的正弦值為. 5分（2）由(1)知,設(shè)平面的法向量為， 由，得 令，則.平面的一個法向量為. 6分設(shè)平面的法向量為， 由，得 令，則. 平面的一個法向量為

11、. 7分 ，平面平面.二面角的余弦值為. 9分（3）如圖將多面體補(bǔ)成一個直三棱柱，依題意知，,多面體的體積等于直三棱柱的體積減去兩個等體積的三棱錐和的體積.，.直三棱柱的體積為，三棱錐的體積為.多面體的體積為. 12分長方體的體積為. 13分建筑物的體積為. 14分19. （本小題滿分14分）(本小題主要考查直線、橢圓、拋物線等知識, 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力)（1）解法1：由消去，得. 1分 直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)， ，解得. 3分 直線的方程為. 4分解法2：設(shè)直線與拋物線的公共點(diǎn)坐標(biāo)為， 由，得， 直線的斜率. 1分 依題意得

12、，解得. 2分 把代入拋物線的方程，得. 點(diǎn)在直線上， ，解得. 3分 直線的方程為. 4分（2）解法1：拋物線的焦點(diǎn)為， 依題意知橢圓的兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)為. 5分 設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為， 則 7分 解得 點(diǎn). 8分 直線與直線的交點(diǎn)為. 9分 由橢圓的定義及平面幾何知識得： 橢圓的長軸長， 11分 其中當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，上面不等式取等號. . . 故當(dāng)時， 12分此時橢圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為. 14分 解法2：拋物線的焦點(diǎn)為， 依題意知橢圓的兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)為. 5分 設(shè)橢圓的方程為， 6分 由消去，得.（*） 7分 由， 8分 得. 解得. . 10分 . 11分 當(dāng)時，此時橢圓的方程為. 1

13、2分 把代入方程（*），解得，. 13分 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 14分20. （本小題滿分14分）(本小題主要考查函數(shù)和方程、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的極值等知識, 考查函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)（1）解：函數(shù)的定義域為. 1分 . 2分 當(dāng)時， 函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為. 3分 當(dāng)時，令得， . . （）當(dāng)，即時，得，故， 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 4分 （）當(dāng)，即時，方程的兩個實根分別為 ，. 5分 若，則，此時，當(dāng)時，.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為， 6分若，則，此時，當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 7分綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)

14、間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間. 8分（2）解：由(1)得當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)無極值； 9分當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；則有極大值，其值為，其中. 10分而，即， . 11分設(shè)函數(shù)，則， 12分則在上為增函數(shù).又，則等價于.等價于. 13分即在時，方程的大根大于1，設(shè)，由于的圖象是開口向上的拋物線，且經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸，則只需，即，解得，而，故實數(shù)的取值范圍為. 14分說明:若采用下面的方法求出實數(shù)的取值范圍的同樣給1分.1.由于在是減函數(shù)，而時，故的解集為，從而實數(shù)的取值范圍為2.直接解不等式 ，而，通過分類討論得出實數(shù)的取值范圍為.

15、21. （本小題滿分14分）(本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識, 考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識)（1）解：由于對任意，都有， 令，得 解得. 1分 令，得， ， ，即. 2分 函數(shù)是奇函數(shù). 3分（2）解：先用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)時，得, 結(jié)論成立. 假設(shè)時, 結(jié)論成立, 即,當(dāng)時, 由于, ,又.即時, 結(jié)論也成立.由知對任意N, . 4分求數(shù)列的通項公式提供下面兩種方法. 法1:. 5分 函數(shù)是奇函數(shù)，. 6分 數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列. 數(shù)列的通項公式為. 7分法2: 5分 , . 6分 數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列. 數(shù)列的通項公式為. 7分（3）證法1：由（2