控制系統(tǒng)典型的輸入信號(hào)

1、第3章 輔導(dǎo)控制系統(tǒng)典型的輸入信號(hào)1. 階躍函數(shù)階躍函數(shù)的定義是式中A為常數(shù)。A等于1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，如圖所示。它表示為xr(t)l(t)，或xr(t)=u(t)單位階躍函數(shù)的拉氏變換為Xr(s)=L1(t)=1/s在t0處的階躍信號(hào)，相當(dāng)于一個(gè)不變的信號(hào)突然加到系統(tǒng)上；對(duì)于恒值系統(tǒng)，相當(dāng)于給定值突然變化或者突然變化的擾動(dòng)量；對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)，相當(dāng)于加一突變的給定位置信號(hào)。2. 斜坡函數(shù)這種函數(shù)的定義是式中A為常數(shù)。該函數(shù)的拉氏變換是Xr(s)=LAt=A/s2這種函數(shù)相當(dāng)于隨動(dòng)系統(tǒng)中加入一按恒速變化的位置信號(hào)，該恒速度為A。當(dāng)Al時(shí)，稱為單位斜坡函數(shù)，如圖所示。3. 拋物線函數(shù)如圖

2、所示，這種函數(shù)的定義是式中A為常數(shù)。這種函數(shù)相當(dāng)于隨動(dòng)系統(tǒng)中加入一按照恒加速變化的位置信號(hào)，該恒加速度為A。拋物線函數(shù)的拉氏變換是Xr(s)=LAt2=2A/s3當(dāng)A1/2時(shí)，稱為單位拋物線函數(shù)，即Xr(s)=1/s3。4. 脈沖函數(shù)這種函數(shù)的定義是式中A為常數(shù)，為趨于零的正數(shù)。脈沖函數(shù)的拉氏變換是當(dāng)A1，0時(shí)，稱為單位脈沖函數(shù)(t)，如圖 所示。單位脈沖函數(shù)的面積等于l，即在tt0處的單位脈沖函數(shù)用(t-t0)來(lái)表示，它滿足如下條件幅值為無(wú)窮大、持續(xù)時(shí)間為零的脈沖純屬數(shù)學(xué)上的假設(shè)，但在系統(tǒng)分析中卻很有用處。單位脈沖函數(shù)(t)可認(rèn)為是在間斷點(diǎn)上單位階躍函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即反之，單位脈沖函數(shù)(t

3、)的積分就是單位階躍函數(shù)。控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)對(duì)控制系統(tǒng)的一般要求歸納為穩(wěn)、準(zhǔn)、快。工程上為了定量評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能好壞，必須給出控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)的準(zhǔn)確定義和定量計(jì)算方法。1 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)通常有如下幾項(xiàng)：延遲時(shí)間 階躍響應(yīng)第一次達(dá)到終值的50所需的時(shí)間。上升時(shí)間 階躍響應(yīng)從終值的10上升到終值的90所需的時(shí)間；對(duì)有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為從0到第一次達(dá)到終值所需的時(shí)間。峰值時(shí)間 階躍響應(yīng)越過(guò)穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。調(diào)節(jié)時(shí)間 階躍響到達(dá)并保持在終值誤差帶內(nèi)所需的最短時(shí)間；有時(shí)也用終值的誤差帶來(lái)定義調(diào)節(jié)時(shí)間。超調(diào)量 峰值超出終值的百分比，即 在上述動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)中，工程上最常用的是調(diào)

4、節(jié)時(shí)間（描述“快”），超調(diào)量（描述“勻”）以及峰值時(shí)間。 2 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)誤差是時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)系統(tǒng)實(shí)際輸出與理想輸出之間的誤差，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量。穩(wěn)態(tài)誤差有不同定義，通常在典型輸入下進(jìn)行測(cè)定或計(jì)算。一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)一. 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。一些控制元部件及簡(jiǎn)單系統(tǒng)如RC網(wǎng)絡(luò)、發(fā)電機(jī)、空氣加熱器、液面控制系統(tǒng)等都是一階系統(tǒng)。因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)的拉氏變換為R(s)=1/s，故輸出的拉氏變換式為取C(s)的拉氏反變換得 或?qū)懗墒街?，css=1，代表穩(wěn)態(tài)分量；代表暫態(tài)分量。當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮，暫態(tài)分量衰減為零。顯然，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

5、是一條由零開(kāi)始，按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于1的曲線，如圖所示。響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故又稱為非周期響應(yīng)。 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)典型二階系統(tǒng)方框圖，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 式中 Kv-開(kāi)環(huán)增益； n-無(wú)阻尼自然頻率或固有頻率，； -阻尼比，。 二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s2+2ns+2n=0 其特征根為1. 臨界阻尼(=1) 其時(shí)域響應(yīng)為 上式包含一個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)。c(t)為一無(wú)超調(diào)的單調(diào)上升曲線，如圖3-8b所示。 (a) (b) (c)1時(shí)二階系統(tǒng)的特征根的分布與單位階躍響應(yīng)2. 過(guò)阻尼(1)具有兩個(gè)不同負(fù)實(shí)根的慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)拉氏變換式。其時(shí)域響應(yīng)必然包含二個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)，

6、其動(dòng)態(tài)過(guò)程呈現(xiàn)非周期性，沒(méi)有超調(diào)和振蕩。圖為其特征根分布圖。3. 欠阻尼（0<1） 圖3-9 0<1時(shí)二階系統(tǒng)特征根的分布 圖3-10 欠阻尼時(shí)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 4. 無(wú)阻尼(0)其時(shí)域響應(yīng)為 在這種情況下，系統(tǒng)的響應(yīng)為等幅(不衰減)振蕩， 圖0時(shí)特征根的分布 圖0時(shí)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)5. 負(fù)阻尼（0）當(dāng)0時(shí)，特征根將位于復(fù)平面的虛軸之右，其時(shí)域響應(yīng)中的e的指數(shù)將是正的時(shí)間函數(shù)，因而為發(fā)散的，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。顯然，0時(shí)的二階系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的，而在1時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的速度又太慢，所以對(duì)二階系統(tǒng)而言，欠阻尼情況是最有實(shí)際意義的。下面討論這種情況下的二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。欠阻尼二

7、階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)1. 上升時(shí)間tr上升時(shí)間tr是指瞬態(tài)響應(yīng)第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。 由此式可見(jiàn)，阻尼比越小，上升時(shí)間tr則越??；越大則tr越大。固有頻率n越大，tr越小，反之則tr越大。2. 峰值時(shí)間tp及最大超調(diào)量Mp 最大超調(diào)量 最大超調(diào)百分?jǐn)?shù) 3. 調(diào)整時(shí)間ts 圖3-13 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的一對(duì)包絡(luò)線 圖3-14 調(diào)節(jié)時(shí)間和阻尼比的近似關(guān)系根據(jù)以上分析，二階振蕩系統(tǒng)特征參數(shù)和n與瞬態(tài)性能指標(biāo)(4. 振蕩次數(shù)在調(diào)整時(shí)問(wèn)ts之內(nèi)，輸出c(t)波動(dòng)的次數(shù)稱為振蕩次數(shù)，顯然 式中 ，稱為阻尼振蕩的周期時(shí)間。這一系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)瞬態(tài)特性指標(biāo)為：最大超調(diào)百分?jǐn)?shù)上升時(shí)間調(diào)整時(shí)間 (用近

8、似式求得為8T) (用近似式求得為6T) 有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)其中Kk4。求該系統(tǒng)的()固有頻率；(2)阻尼比；(3)超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間；(4)如果要求實(shí)現(xiàn)工程最佳參數(shù)l，開(kāi)環(huán)放大系數(shù)值應(yīng)是多少？【解】系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式的傳遞函數(shù)對(duì)比得：(1) 固有頻率 (2) 阻尼比 由得 (3) 超調(diào) (4) 調(diào)整時(shí)間 當(dāng)要求時(shí)，由 得 可見(jiàn)該系統(tǒng)要滿足工程最佳參數(shù)的要求，須降低開(kāi)環(huán)放大系數(shù)的值。但是，降低值將增大系統(tǒng)的誤差。勞斯穩(wěn)定判據(jù)將系統(tǒng)的特征方程式寫成如下標(biāo)準(zhǔn)式 將各系數(shù)組成如下排列的勞斯表表中的有關(guān)系數(shù)為 系數(shù)的計(jì)算，一直進(jìn)行到其余的b值全部等于零為止。這一計(jì)算過(guò)程，一直進(jìn)行到

9、n行為止。為了簡(jiǎn)化數(shù)值運(yùn)算，可以用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一行的各項(xiàng)，這時(shí)并不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。(l) 第一列所有系數(shù)均不為零的情況 第一列所有系數(shù)均不為零時(shí)，勞斯判據(jù)指出，特征方程式的實(shí)部為正實(shí)數(shù)根的數(shù)目等于勞斯表中第一列的系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。方程式的根全部在復(fù)平面的左半平面的充分必要條件是，方程式的各項(xiàng)系數(shù)全部為正值，并且勞斯表的第一列都具有正號(hào)。例如， 三階系統(tǒng)的特征方程式為列出勞斯表為則系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的特征方程為 試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 計(jì)算勞斯表中各元素的數(shù)值，并排列成下表由上表可以看出，第一列各數(shù)值的符號(hào)改變了兩次，由+2變成-1，又由-1改變成+9。因此該系

10、統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部的根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2) 某行第一列的系數(shù)等于零而其余項(xiàng)中某些項(xiàng)不等于零的情況 在計(jì)算勞斯表中的各元素的數(shù)值時(shí)，如果某行的第一列的數(shù)值等于零，而其余的項(xiàng)中某些項(xiàng)不等于零，那么可以用一有限小的數(shù)值來(lái)代替為零的那一項(xiàng)，然后按照通常方法計(jì)算陣列中其余各項(xiàng)。如果零()上面的系數(shù)符號(hào)與零()下面的系數(shù)符號(hào)相反，則表明這里有一個(gè)符號(hào)變化。例如，對(duì)于下列特征方程式勞斯表為現(xiàn)在觀察第一列中的各項(xiàng)數(shù)值。當(dāng)趨近于零時(shí)，的值是一很大的負(fù)值，因此可以認(rèn)為第一列中的各項(xiàng)數(shù)值的符號(hào)改變了兩次。由此得出結(jié)論，該系統(tǒng)特征方程式有兩個(gè)根具有正實(shí)部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果零()上面的系數(shù)符號(hào)與零()下面的系數(shù)符號(hào)

11、不變，則表示系統(tǒng)有純虛根。例如，對(duì)下列特征方程式勞斯表為可以看出，第一列各項(xiàng)中的上面和下面的系數(shù)符號(hào)不變，故有一對(duì)虛根。將特征方程式分解，有 解得根為 ， (3) 某行所有各項(xiàng)系數(shù)均為零的情況 如果勞斯表中某一行的各項(xiàng)均為零，或只有等于零的一項(xiàng)， 這表示在 s 平面內(nèi)存在一些大小相等但符號(hào)相反的特征根。 在這種情況下，可利用全零行的上一行各系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程，式中s均為偶次。將輔助方程對(duì)s求導(dǎo)，用所得的導(dǎo)數(shù)方程系數(shù)代替全零行，然后繼續(xù)計(jì)算下去。至于這些大小相等，符號(hào)相反的根，可以通過(guò)解輔助方程得到。系統(tǒng)特征方程式為試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 勞斯表中的各項(xiàng)為 由上表可以看出，行的各項(xiàng)全

12、部為零。為了求出-各項(xiàng)，將行的各項(xiàng)組成輔助方程為將輔助方程對(duì)s求導(dǎo)數(shù)得用上式中的各項(xiàng)系數(shù)作為行的各項(xiàng)系數(shù)，并計(jì)算以下各行的各項(xiàng)系數(shù)，得勞斯表為 從上表的第一列可以看出，各項(xiàng)符號(hào)沒(méi)有改變，因此可以確定在右半平面沒(méi)有特征方程式的根。另外，由于行的各項(xiàng)皆為零，這表示有共軛虛根。這些根可由輔助方程求出。本例中的輔助方程式是由之求得特征方程式的大小相等符號(hào)相反的虛根為， ， 穩(wěn)態(tài)誤差及其計(jì)算誤差本身是時(shí)間t的函數(shù)，在時(shí)域中以表示。穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)誤差，即為誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量，則穩(wěn)態(tài)誤差為 系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) 故 將系統(tǒng)誤差的拉氏變換E(s)代入(3-38)，得穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算公式為 控制系統(tǒng)的型

13、別控制系統(tǒng)的一般開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成 式中為開(kāi)環(huán)放大系數(shù)或稱為開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)；、為時(shí)間常數(shù)；N表示開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)。這是一個(gè)很重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)。根據(jù)N的數(shù)值，可將系統(tǒng)分為幾種不同類型。N0的系統(tǒng)稱為0型系統(tǒng)；N1的系統(tǒng)稱為I型系統(tǒng)；N=2的系統(tǒng)稱為II型系統(tǒng)。當(dāng)N2時(shí)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定是很困難的。因此，一般采用的是0型、I型和II型系統(tǒng)。典型輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)于不同輸入函數(shù)，下面分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。1. 單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍輸入()下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，由式(3-40)得 定義 稱為位置誤差系數(shù)，則 0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 I型或高于I型的系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差為 2. 單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差單位斜坡輸入()的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差定義 稱為速度誤差系數(shù)。則 對(duì)于0型系統(tǒng)所以 對(duì)于I型系統(tǒng)所以 對(duì)于II型或更高型系統(tǒng)所以，0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入；單位反饋的型系統(tǒng)能跟