第13講：符號微積分及符號方程求解

1、第第13講講 符號微積分符號微積分 與符號方程求解與符號方程求解2數(shù)值微積分中可以進(jìn)行極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積數(shù)值微積分中可以進(jìn)行極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級數(shù)展開等解析運(yùn)算，也可以進(jìn)行多元函分、級數(shù)展開等解析運(yùn)算，也可以進(jìn)行多元函數(shù)的微積分運(yùn)算，同樣符號運(yùn)算也可以進(jìn)行上數(shù)的微積分運(yùn)算，同樣符號運(yùn)算也可以進(jìn)行上述各種操作。述各種操作。在運(yùn)算的同時，結(jié)合圖形的顯示可以更好地幫在運(yùn)算的同時，結(jié)合圖形的顯示可以更好地幫助我們理解微積分的概念和計算。助我們理解微積分的概念和計算。3n本講教學(xué)目標(biāo)本講教學(xué)目標(biāo) 掌握符號極限運(yùn)算掌握符號極限運(yùn)算 掌握符號微積分運(yùn)算掌握符號微積分運(yùn)算 了解符號級數(shù)和符號積分變換了

2、解符號級數(shù)和符號積分變換 掌握符號函數(shù)圖形的繪制掌握符號函數(shù)圖形的繪制 掌握符號方程和方程組的求解掌握符號方程和方程組的求解4n13.1 符號極限符號極限極限是微積分的基礎(chǔ)，微分和積分都是極限是微積分的基礎(chǔ)，微分和積分都是“無窮無窮逼近逼近”時的結(jié)果。時的結(jié)果。函數(shù)函數(shù)limit用于求極限，其格式為：用于求極限，其格式為：nlimit(f,x,a) 計算當(dāng)變量計算當(dāng)變量x趨近于常數(shù)趨近于常數(shù)a時，時，f(x)函數(shù)的極限值。函數(shù)的極限值。nlimit(f,a) 計算計算findsym(f)確定的自變量，即確定的自變量，即x趨近于趨近于a時時f(x)的極限值。的極限值。nlimit(f,x,a,r

3、ight) 變量變量x從右邊趨近于從右邊趨近于a。nlimit(f,x,a,left) 變量變量x從左邊趨近于從左邊趨近于a。5n例例1：求極限求極限 syms x; %定義符號變量定義符號變量 %確定符號表達(dá)式確定符號表達(dá)式 f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/sin(x)3； %求函數(shù)的極限求函數(shù)的極限 w=limit(f) w = -1/2xeextgxxx3sin0sin) 1(2) 1(lim6n例例2：計算函數(shù)的各種極限。計算函數(shù)的各種極限。syms x a t h;limit(sin(x)/x) % sin(x)/x 趨于趨于0 (默認(rèn)默認(rèn))

4、 limit(1/x,x,0,right) % 1/x趨于趨于0的右極限的右極限limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0) v = (1 + a/x)x, exp(-x);limit(v,x,inf,left) % x趨于無窮時的左極限趨于無窮時的左極限nans = 1 nans = infnans = cos(x)nans = exp(a), 07n13.2 符號函數(shù)微分與求導(dǎo)符號函數(shù)微分與求導(dǎo) 1、單變量函數(shù)、單變量函數(shù)n函數(shù)的一般引用格式為：函數(shù)的一般引用格式為： diff(S) 由由findsym函數(shù)確定默認(rèn)變量函數(shù)確定默認(rèn)變量 diff(S, v) diff(S, n)

5、 diff(S, v, n)n其中：其中： S：符號函數(shù)表達(dá)式，可能有多個符號參數(shù)：符號函數(shù)表達(dá)式，可能有多個符號參數(shù) v：以符號：以符號 v 進(jìn)行微分或求導(dǎo)運(yùn)算進(jìn)行微分或求導(dǎo)運(yùn)算 n：對：對S進(jìn)行進(jìn)行n次求導(dǎo)，默認(rèn)為次求導(dǎo)，默認(rèn)為18n例例3：求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù) x = sym(x); % 定義符號變量定義符號變量 diff(sin(x2) % 求導(dǎo)運(yùn)算求導(dǎo)運(yùn)算 ans = 2*cos(x2)*xdxxd2sin9n例例4：求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)syms a t x;f=a,t3;t*cos(x), log(x);df=diff(f) %求矩陣求矩陣f對對x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)dfdt2=diff(f,t,2) %

6、求矩陣求矩陣f對對t的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)dfdxdt=diff(diff(f,x),t) %求二階混合導(dǎo)數(shù)求二階混合導(dǎo)數(shù) xxttadxdlncos3xxttadtdlncos322xxttadxdtdlncos32df = 0, 0 -t*sin(x), 1/x dfdt2 = 0, 6*t 0, 0 dfdxdt = 0, 0 -sin(x), 0 10n2、求偏導(dǎo)數(shù)的、求偏導(dǎo)數(shù)的jacobian命令命令設(shè)列向量每一個分量設(shè)列向量每一個分量 w,v 為為 自變量自變量 x,y 的函數(shù)，即的函數(shù)，即則則jacobian命令計算矩陣命令計算矩陣Jacobian命令的一般形式為：命令的一般形式為

7、： J = jacobian(w;v,x,y),(),(yxvyxwf),(),(yxvwJ11n例例5：直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為球形坐標(biāo)，即，直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為球形坐標(biāo)，即， % 分別用分別用 l 和和 f 來表示兩個角度來表示兩個角度 syms r l f % 定義符號變量定義符號變量 x = r*cos(l)*cos(f); y = r*cos(l)*sin(f); z = r*sin(l); J = jacobian(x; y; z, r l f)sinsincoscoscosrzryrxJ = cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)

8、cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f) sin(l), r*cos(l), 0 12n13.3 符號函數(shù)積分符號函數(shù)積分 其語法格式分別為：其語法格式分別為： R = int(S) R = int(S,v) R = int(S,a,b) R = int(S,v,a,b)其中：其中： S：為符號表達(dá)式，可能有多個參數(shù)：為符號表達(dá)式，可能有多個參數(shù) v：以：以 S 中的符號中的符號 v 進(jìn)行求積分運(yùn)算進(jìn)行求積分運(yùn)算 a,b：定積分下限、上限，不指表示求不定積分：定積分下限、上限，不指表示求不定積分13n例例6：求積分求積分 syms x i

9、nt(1/(1+x2) ans = atan(x)n例例7：計算二重不定積分計算二重不定積分 syms x y F = int(int(x*exp(-x*y),x),y) F = 1/y*exp(-x*y)dxx211dxdyxexy14n例例8：求積分求積分syms x y zf2=int(int(int(x2+y2+z2,z,sqrt(x*y),x2*y),y,sqrt(x),x2),x,1,2)vf2=vpa(f2) % 結(jié)果用結(jié)果用32位數(shù)字表示位數(shù)字表示 f2 = 1610027357/6563700-6072064/348075*2(1/2) +14912/4641*2(1/4)+

10、64/225*2(3/4)vf2 = 224.92153573331143159790710032805 2122222)(xxyxxydzdydxzyx15n13.4 級數(shù)級數(shù) 13.4.1 級數(shù)符號求和級數(shù)符號求和n求無窮級數(shù)的和需要符號求和函數(shù)求無窮級數(shù)的和需要符號求和函數(shù)symsum，其調(diào)，其調(diào)用格式為：用格式為： symsum(s,v,n,m)n其中：其中：s 表示級數(shù)的通項，是一個符號表達(dá)式；表示級數(shù)的通項，是一個符號表達(dá)式； v 是求和變量，省略時使用默認(rèn)變量；是求和變量，省略時使用默認(rèn)變量； n 和和 m 是求和的開始項和末項。是求和的開始項和末項。16n例例9：求級數(shù)求級數(shù)

11、1/12+1/22+1/32+1/42+ 的和。的和。 syms k symsum(1/k2,1,Inf) % k為為1到無窮大到無窮大 ans = 1/6*pi2即即 1/12+1/22+1/32+1/42+ =2/617n13.4.2 函數(shù)的泰勒展式函數(shù)的泰勒展式將函數(shù)展開為冪級數(shù)，其調(diào)用格式為：將函數(shù)展開為冪級數(shù)，其調(diào)用格式為： r = taylor(f) r = taylor(f,n,v) r = taylor(f,n,v,a)其中其中nf：被展開函數(shù)被展開函數(shù)nv：對變量對變量v進(jìn)行泰勒展開進(jìn)行泰勒展開nn：取展式的前取展式的前n項，即項，即v的的n-1次冪，缺省值為次冪，缺省值為6

12、na：在在a點(diǎn)展開，缺省值是點(diǎn)展開，缺省值是018n例例10：對函數(shù)對函數(shù) 進(jìn)行各種泰勒展開。進(jìn)行各種泰勒展開。 syms x% 對函數(shù)在對函數(shù)在0點(diǎn)展開，并取階數(shù)為點(diǎn)展開，并取階數(shù)為5 r = taylor(exp(x) % 對函數(shù)在對函數(shù)在0點(diǎn)展開，并取階數(shù)為點(diǎn)展開，并取階數(shù)為7 s = taylor(exp(x), 7) % 對函數(shù)在對函數(shù)在2點(diǎn)展開，并取前點(diǎn)展開，并取前3項項 t = taylor(exp(x), 3, 2) r = 1+x+1/2*x2+1/6*x3+1/24*x4+1/120*x5 s = 1+x+1/2*x2+1/6*x3+1/24*x4+1/120*x5 +1/

13、720*x6 t = exp(2)+exp(2)*(x-2)+1/2*exp(2)*(x-2)2xe19n13.5 符號積分變換符號積分變換常見的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換常見的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換和和Z變換。變換。13.5.1 傅立葉傅立葉(Fourier)變換變換n傅立葉變換的函數(shù)是：傅立葉變換的函數(shù)是： Fourier(f,x,t) 求求f(x)的傅立葉像函數(shù)的傅立葉像函數(shù)F(t) ifourier(F,t,x) 求像函數(shù)求像函數(shù)F(t)的原函數(shù)的原函數(shù)f(x)20n13.5.2 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)變換變換拉普拉斯變換的函數(shù)是：拉普拉斯變換的函數(shù)是：

14、 laplace(fx,x,t) 求求f(x)的拉普拉斯像函數(shù)的拉普拉斯像函數(shù)F(t) ilaplace(Ft,t,x) 求像函數(shù)求像函數(shù)F(t)的原函數(shù)的原函數(shù)f(x)n13.5.3 Z變換變換當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)呈現(xiàn)為一個離散的數(shù)列呈現(xiàn)為一個離散的數(shù)列f(n)時，對數(shù)時，對數(shù)列列f(n)進(jìn)行進(jìn)行z變換的變換的MATLAB函數(shù)是：函數(shù)是： ztrans(fn,n,z) 求求fn的的Z變換像函數(shù)變換像函數(shù)F(z) iztrans(Fz,z,n) 求求Fz的的z變換原函數(shù)變換原函數(shù)f(n)21n13.6 符號函數(shù)圖形繪制符號函數(shù)圖形繪制 13.6.1 曲線的繪制曲線的繪制n可由可由ezplot函

15、數(shù)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式：函數(shù)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式： ezplot(f) 繪制函數(shù)繪制函數(shù) f 的圖形的圖形 ezplot(f,min,max) 繪制函數(shù)繪制函數(shù) f 在區(qū)間在區(qū)間 min,max 內(nèi)的圖形內(nèi)的圖形 ezplot(f,xmin,xmax,ymin,ymax) 繪制函數(shù)繪制函數(shù)f 在在 xminxxmax、yminyymax 的圖形的圖形 ezplot(x,y) 繪制參數(shù)方程繪制參數(shù)方程 x = x(t)、y = y(t) 的的 曲線圖形曲線圖形 ezplot(x,y,tmin,tmax) 繪制參數(shù)方程繪制參數(shù)方程 x = x(t)、y = y(t) 在區(qū)間內(nèi)的曲線圖形在區(qū)間內(nèi)的曲線圖形22nezplot3 函數(shù)用于繪制三維參數(shù)曲線。該函數(shù)的調(diào)函數(shù)用于繪制三維參數(shù)曲線。該函數(shù)的調(diào)用格式為：用格式為：ezplot3(x,y,z) n在默認(rèn)區(qū)間內(nèi)繪制參數(shù)方程在默認(rèn)區(qū)間內(nèi)繪制參數(shù)