數(shù)列知識(shí)點(diǎn)與常用解題方法歸納總結(jié)

1、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及常用解題方法歸納總結(jié)等差數(shù)列的定義與性質(zhì)d ( d為常數(shù))，a定義：an+ ann a1n 1 d等差中項(xiàng)：x, A,y成等差數(shù)列=2A_x y前n項(xiàng)和Sna1+ annn n 1一 na1d22性質(zhì)：an'是等差數(shù)列(1) 若 m ' n _ p q，貝 H am 'an _ apaq ；(2) 數(shù)列2 n y，a2 n ,，ka n* b仍為等差數(shù)列;Sn , S2 n_Sn , S3n_ S2n ?仍為等差數(shù)列;(3) 若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a d, a, a d；(4) 若an , b n是等差數(shù)列Sn , Tn Ju三(5) an為等差數(shù)列Sn

2、 an2am _ S _一2m 1 ；| T -bm2 m 1n的常數(shù)項(xiàng)bn ( a, b為常數(shù)，是關(guān)于為0的二次函數(shù))Sn的最值可求二次函數(shù)Sn2 an項(xiàng)，即：r當(dāng)> -<打ana10, d0,解不等式組Van當(dāng)<a10, d>0,由.an +R可得:an10=如:等差數(shù)列a n_Sn F-18, a 衛(wèi)aa(由叭j 1n 23 3a n 1a又S3a13 33a 2a22 bn的最值；或者求出a n中的正、負(fù)分界>0L'可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值。10Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值。a an 1 n 2 _3, S3 1，貝U n3 ,：an 111Snai

3、滬 an n2n11 n18 n "27)二、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)(2) Sn ， S2n Sn，S3 n S2 n ?仍為等比數(shù)列等比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列JG 2- xy，或G冃冬xyna1(q - 1)前n項(xiàng)和：=< (Sn.1 «a1 11qn（要注意！）-(q 1)* ” 1q性質(zhì)：an是等比數(shù)列+ 二=n 1 q -定義：一1-q （ q為常數(shù)，q 一 0）an(1 )若 m n p q,貝U am anap aq三、求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法1、公式法2、由 Sn 求 an ;（n1時(shí)，a1 S1 ,-2時(shí)，anSn S n3、求差（商）法:如：a n

4、滿足解:n 1時(shí)，1a112 a2?2 _ 21a2丄2廿1 5 ,122+1n ch2練習(xí)得:數(shù)列?a2_1an 2 , Gn2n 52n 1 5,-an214 (n 1)2 n+ +Sa n滿足Sn n 12n1 (n 2)5an 1 ,3a1(注意到an 1 Sn 1 Sn代入得:=' 4，求 a n + _Sn 1Sn又S14 , Sn是等比數(shù)列，Snn 2 時(shí)，an Sn Sn 1?34例如：數(shù)列an中，a1一 3，n 1+=n，求 a nn 1ana aa12n 1a解：23? n? n aa1a2n和23n4、疊乘法3又 ai - 3 , ana1n5、等差型遞推公式 由

5、anan 1 f (n) , a1ao,求an,用迭加法時(shí)，a2a1fa3a2f ? ?兩邊相加，得:anan 1 f (n)an "a1f (2) f ( 3) ?f ( n)anao+ +f (3)?f (n)練習(xí)數(shù)列 an ,a11,an3n 1+an 1an326、等比型遞推公式+(ananca n 1 dd為常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an ca n 1 c 1 xc 1 ,)c an 1 x令(c1)x d, xand是首項(xiàng)為a 1c 1d一 ,c為公比的等比數(shù)列c 1 Gna11/ n 1c1 Gna1 dc 1c n1練習(xí)數(shù)列 an 一'滿足 ai - 9, 3

6、an 1 an- 4,求 an7、倒數(shù)法三、例如：a1 ©1，an _ 1 -an 1 an 21.十-1，n 12a n，求anan 21 為等差數(shù)列，an Gn由已知得:a12求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法an 211=+an 12a n2，公差為1an1、公式法：等差、等比前n項(xiàng)和公式裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。如：a n是公差為d的等差數(shù)列，求111 f 11 K _解：由d：諾0ak ak 1 ak ak d d ak ak 1* 1 ,1 '111d=ka+丿k 1 ak ak 1k 1d akk 1=1(1.jr|-1T.二 1+

7、 ?許(_ T1)irh1ajd一嚴(yán)a20a2a3ann 1 亠二丄丄-1IId"aan帶丿練習(xí)求和：1亠-1 2 11?+2 3112 3? n(an - ?- ?,Sn 一 2 一3、錯(cuò)位相減法：'為等差數(shù)列，若an bn'為等比數(shù)列，求數(shù)列an b n （差比數(shù)列）前和，可由Sn qSn求Sn其中q為bn的公比。如：Sn 1 2x 3x 2 4x3? nx n 11nxx -S n M x 2x 2 3x 3 ' 4x 4 ' ? n 1 x n 1 nx n 22Sn - a1ana2an 1?a1an ?x匸1時(shí)，x n) nxnSn2 -1

8、 x1 - Xx - 1 時(shí)，4 亠一n (n +1Sn - 123?n -2x Sn-1*x 嫌 2 賤？4、倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫(xiě)，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加。Sn "a1 '=0 ? v aaa2n 1n 相加Sn an an 1? a2 a1練習(xí)2x已知 f (x)，則 f (1) f (2) f21 xf (由 f ( x)亠 f -JIV Jx22T1(1X f ( 3) f 3f (4) f-L 卜4x1L 1x-x 21-2代2応2r ( 1f知|-為4 -、/1)原式_ f(1)f f嚀ff誥f 一LV2，J1"1 11 1 1 = 3 )2

9、 2例1設(shè) an是等差數(shù)列，若 a2=3 , a 7 =13，則數(shù)列 an前8項(xiàng)的和為（A. 128B. 80 C. 64 D . 56 （福建卷第 3 題）略解： a2 +a 7 = a 1 +a 8 = 16 ,.an前 8 項(xiàng)的和為 64，故應(yīng)選 C .例2已知等比數(shù)列 an 滿足a< a2 - 3 , a2 ' a3 6，則a7（）A. 64B. 81C. 128D. 243 （全國(guó) I 卷第 7 題）答案：A.例3已知等差數(shù)列an中，a2 一 6 , ar 15，若bn " a2n，則數(shù)列：bn的前5項(xiàng)和等于（略解：故答案是C.B. 45C. 90-a =3d

10、=9，二 d=3 , b2例4記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，C. 6略解： S4 S2 S2 二 4d 12,dD. 186（北京卷第7題）b =a510S2 - 4,S4 -20二3，故選例5在數(shù)列 an中，an汙4n 5 , a1需a22.（安徽卷第15題）常數(shù)，則ab -答案：1.例6在數(shù)列 an中，A. 2 In nC. 2 nln n答案：A.=30 , b的前5項(xiàng)和等于n，則該數(shù)列的公差 d （錯(cuò)誤！未找到引用源。第4題）B.，其中90,a, b為1 fa1 - 2 , an 1 wan 岱 In(1)，則 an 三(nB .2 ( n 1)ln n.1 n ln n (江西卷第 5

11、題)例7設(shè)數(shù)列an中，a1 = 2,an1=an雖n +1 ,則通項(xiàng)an=（四川卷第16題)此題重點(diǎn)考查由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，抓住 數(shù)相同是找到方法的突破口.=o + +aan1 n n 1+an 1 , an 系略解：a12, an 1亠性-護(hù)*3 n 31,an n 1 二 anu 承七-+(an 1n= 論)+ -11 , an 1+ =.加，得,a3a221,a2a1n - 3 II 211 1 ,a12 1.n- 1 n1 .將以上各式相n n 11，故2應(yīng)填nn廿+1.2x4項(xiàng)的系數(shù)為例8若（x+非）n的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開(kāi)式中2 x（）A. 6B.

12、7C. 8D . 9 （重慶卷第 10 題）答案：B.使用選擇題、填空題形式考查的文科數(shù)列試題，充分考慮到文、理科考生在能力上的差異，側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考查，命題設(shè)計(jì)時(shí)以教材中學(xué)習(xí)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的公式應(yīng)用為主，女口，例4以前的例題. 例5考查考生對(duì)于等差數(shù)列作為自變量離散變化的一 種特殊函數(shù)的理解；例6、例7考查由給出的一般數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式的能力；例8則考查二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)、等差數(shù)列等概念的綜合運(yùn)用.重慶卷第1題，浙江卷第4題，陜西卷第 4題，天津卷第 4題，上海卷第14題，全國(guó)H卷第 客觀題，可供大家作為練習(xí).19題等，都是關(guān)于數(shù)列的例9已知 an是正數(shù)組成的數(shù)列

13、，ai=1，且點(diǎn)(- an , an. 1 )(n N* )在函數(shù) y=x2+1的圖象上.（I）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;()若數(shù)列 bn 滿足 b1=1 , bn+1 =bn+ 2an，求證:bn bn+2 V b2n+1 .（福建卷第略解：（I）由已知，得等差數(shù)列.故 an=1+（ n-1）n（）由（I）知，a =n20題）an+1 -a n=1，又a1 =1,所以數(shù)列 an是以 x仁n.從而2.Xn+1 n, bn n n-1-b =2=( b -b )+( bn-1n-2-b )+ ? +1為首項(xiàng)，公差為 1的21) +b1(b -bn-1n-2=2 +2 +?+2+1=2 n-1 .

14、bn?bn+2-b n 1 =（2-1）（2對(duì)于第（）小題，我們也可以作如下的證明:n 八n+2-1)-(2n+ 1-1)2=-2 n v0,.bnn+2 V2nn+1T b2 = 1,b n bn +2 - b n 1 =( bn+1 -2 )(b n+1 +2)- b-2n+1) =2n ( bn-2n) =? =2n ( b1-2)=2n ( bn+2nnbn +1 -2=-2 n<0,. bn-b n+2<b?n+1.例10是等差數(shù)列;略解:2n+1n 1 =2bn+1 -2n+12 =nn+12 ( bn+1 -2)在數(shù)列 an中，a1=1, an 1 = 2an + 2

15、n .(i)設(shè)b（H）求數(shù)列an；的前n項(xiàng)和Sn .（全國(guó)I卷第(I) bn 礙1-bn = n2ann丄2an w2an2nn =1 ,2ann _ n 1_219題).證明：數(shù)列 ；bnn為等差數(shù)列，b1 -bn - n , an -n2n 1Sn二 1 20 2 21i+(n F 2n 2 + nhn相 減，得即差是一個(gè)常數(shù).可' bn為等差數(shù)列的結(jié)論，2Sn -1-21 2-22 （n 1） 2n 1n 2n.兩式Sn=n2n 亠2°一 212n：=n 2n 一2n 十 1 = （n一1）2n*1 .對(duì)于例10第（I）小題，基本的思路不外乎推出后項(xiàng)減前項(xiàng)差相等，以用迭

16、代法，但不可由b2-b1=1, b 3 -b 2 =1等有限個(gè)的驗(yàn)證歸納得到犯“以偏蓋全”的錯(cuò)誤.第（）小題的“等比差數(shù)列”，在高考數(shù)列考題中出現(xiàn)的頻率很高，求和中運(yùn)用的“錯(cuò)項(xiàng)相減”的方法，在教材中求等比數(shù)列前 n項(xiàng)和時(shí)給出，是“等比差數(shù)列”求和時(shí)最重要的方法.一般地，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最為重要的內(nèi)容常常并不在結(jié)論本身，而在于獲得這一結(jié)論 的路徑給予人們的有益啟示.例9、例10是高考數(shù)學(xué)試卷中數(shù)列試題的一種常見(jiàn)的重要題型，類似的題目還有浙江卷第18題，江蘇卷第19題，遼寧卷第20題等，其共同特征就是以等差數(shù)列或等比數(shù)列為依托構(gòu)造新的數(shù)列.主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查推

17、理與運(yùn)算能力.考慮到文、理科考生在能力上的差異，與理科試卷側(cè)重于理性思維，命題設(shè)計(jì)時(shí)以一般數(shù)列為主，以抽象思維和邏輯思維為主的特點(diǎn)不同；文科試卷則側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考查，以考查具體思維、演繹思維為主.例11等差數(shù)列ana13nSnbi b1_ 1的各項(xiàng)均為正數(shù)，-，前項(xiàng)和為為等比數(shù)列，111且 b2 S2_64, b3S3 - 960 . (I )求 an 與 bn ;(H )求和：一.(江西卷第 19S1S2Sn略解:(I )設(shè) an 的公差為d , bn的公比為q，依題意有S2b2 二(6 d) q 64,! _ 2 _S3b3 二(9 3d )q 二 960.題)d 6 ,d _

18、 解之，得iq 二L2， 一 5n或(舍去，為什么？)故 an 二 3 2(n1) 2n，1, bn 二 8n-1 .8;40占q.二乍3(H)-3H 5+ (Snnnn11亠1-卜川1- 1-(t-1 仇1 1 汕.1 一一 1S1S2Sn132435X八n(n 2)232435IIH1 -11(仁 11 ) 一;+3 2n-n n 222 n 1 n 242( n 1)(n2)其內(nèi)容還往往是一般數(shù)列的內(nèi)容，其方法是研究數(shù)列并且往往不單一考查數(shù)列， 而是與其他內(nèi)容相綜合，數(shù)列綜合題對(duì)能力有較高的要求，有一定的難度，以體現(xiàn)出 對(duì)合理區(qū)分“裂項(xiàng)相消”是一些特殊數(shù)列求和時(shí)常用的方法. 使用解答題形

19、式考查數(shù)列的試題， 通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的一般方法， 對(duì)解決綜合問(wèn)題的考查力度. 較高能力的考生起到重要的作用. 例12設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn 2an 2n(,I)求a1, S4 ；()證明:a 一n 1 2an是等比數(shù)列；(山)求的通項(xiàng)公式.(四川卷第21題)略解：(I )-i-2an 1 二Sn 1 - 2n 1aS1,2 a1二 S1 于 2 ,所以 a1 = 2, S = 2 .由 2a S + 2n 知，nnx1處斟礬+an 1Sn2n 1得,an 1二 Sn ' 2n 1anJa2 -S1 ' 22 - 2 22 - 6, S2 一 8a3 S2 23 - 8 23

20、- 16, S3 24a4S3 24 "40(H)由題設(shè)和式知，an -1 2an Sn 2n 1 Sn 2“ 一 2n 12n 2n ,"+ "2a 'an 1 n是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.(出)an 豈an =2an丄）4 2 （an2an 2）勺|抻2n氣 a2- 2a2 1a仁f 刪 1 21此題重點(diǎn)考查數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式求數(shù)列的特定項(xiàng)，通項(xiàng)公式等. 推移腳標(biāo)，兩式相減是解決含有 Sn的遞推公式的重要手段，使其轉(zhuǎn)化為不含Sn的遞推公式，從而有針對(duì)性地解決問(wèn)題.在由遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，首項(xiàng)是否可以被吸收是易錯(cuò)點(diǎn).同時(shí)，還應(yīng)注意到題目

21、設(shè)問(wèn)的層層深入，前一問(wèn)常為解決后一問(wèn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，為求解下一問(wèn)指明方向.2 n，n例 13 數(shù)列 an 滿足 ai-0, a2 - 2, an 2 _ （1-cos ）an 4sin 2 , n 臺(tái) 1,2,3,|丨,2 2（I）求，并求數(shù)列-的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)a3 ,a4anSkai a 3 m a 也 1Tk - a2 a4l| a2k ,Wg 2Sk （k N ） ，求使 Wk 1的所有k的值，并說(shuō)明理由.（湖2+Tk南卷第20題)略解：(I)2 珥2 兀'*2_.2 -a3 c(1 cos )a1 4sin - a14 y 4, a4 匚(1 cos 凰)a2 4sin(塑

22、2a2 - 4,a22k+ = Vcos2 (2 k 1) azk 7T4si n 2 (2 k 1)aa2號(hào)*4即a2匕旨2k=4.2所以數(shù)列-a2 k 1是首項(xiàng)為0、公差為42的等差數(shù)列，因此a2k 1 一 4（k 一 1）.當(dāng)22般地，當(dāng)n - 2k -1(kN ）時(shí)，2 2. . 2r in = 2k (kN )時(shí)，a2k 卡二(1*cos)a2k 斗 4sin-2 =2a2k ,所以數(shù)列 a 是首項(xiàng)W -k 1Wk2k2k 12k 0,即 Wk 1 Wk .又 W61,所以當(dāng)k6時(shí)，222k為2、公比為2的等比數(shù)列5因此a2k2k.故數(shù)列祚an的通項(xiàng)公式為2 (n 1 )n-k2k1

23、 ( N),an n.22 ,n - 2k土!4|l(k N).(II )由（1）知，* +111*a -+)11+= ffrHI aSka1a32k 1-0 -44( k 1) 2k (k 1),Tka2a42k2 22I|l2k -2k12, WkHO.k( k(1)2Skk( k1丿2 Tk2k' 1于是，W1 -0, W2-1, W3 -3JW4 -3,W55二-,W6 二 15 .22416F面證明:當(dāng)k-6時(shí)5Wk1.事實(shí)上，當(dāng)k6時(shí)，Wk 1.故滿足 Wk 1的所有k的值為3,4,5.數(shù)列知識(shí)點(diǎn)回顧第一部分：數(shù)列的基本概念1 理解數(shù)列定義的四個(gè)要點(diǎn)數(shù)列中的數(shù)是按一定“次序

24、”排列的，在這里，只強(qiáng)調(diào)有“次序”，而不強(qiáng)調(diào)有“規(guī)律” 因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而次序不同，那么它們就是不同 的數(shù)列.在數(shù)列中同一個(gè)數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn).項(xiàng)a n與項(xiàng)數(shù)n是兩個(gè)根本不同的概念.數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從 小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不一定是數(shù)列.2 數(shù)列的通項(xiàng)公式 一個(gè)數(shù)列 a n 的第n項(xiàng)a n與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，如果用一個(gè)公式an = f (n)來(lái)表示，就把這個(gè)公式叫做數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式。若給出數(shù)列 a n 的 通項(xiàng)公式，則這個(gè)數(shù)列是已知的。若數(shù)列 a n 的前n項(xiàng)和記為S n ,則S n與anSi ,n - 1

25、的關(guān)系是：an =Sn Sn -1 . n 2第二部分：等差數(shù)列1 .等差數(shù)列定義的幾個(gè)特點(diǎn)：公差是從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它前一項(xiàng)的差(同一常數(shù))，即d = an an 1 (n > 2)或 d = a n 1 a n (n N ).要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，必須對(duì)任意n N , a n a n-1 = d (n > 2)或d = an 1 一 an都成立.一般米用的形式為： 當(dāng)n>2時(shí)，有a n a n -1 = d (d為常數(shù)). 當(dāng)n N 時(shí)，有a n 1 a n = d (d為常數(shù)). 當(dāng)n >2時(shí)，有a n 1 a n = an an 1成立.若判斷數(shù)列 a

26、n 不是等差數(shù)列，只需有 a3 a 2工a 2 a 1即可.2 等差中項(xiàng),a + ba +若a、A、b成等差數(shù)列，即A=，則A是a與b的等差中項(xiàng)；若A= b，a b則a、A、b成等差數(shù)列，故 A= 是a、A、b成等差數(shù)列，的充要條件。由2于a n = an 1 an 1 ，所以，等差數(shù)列的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。23 等差數(shù)列的基本性質(zhì)公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d.公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd.若 a n 、 b n 為等差數(shù)列，則 a n ±）n 與ka n + b（k、b為非零常數(shù)）也是

27、等差數(shù)列.對(duì)任何m、n N，在等差數(shù)列 a n 中有：a n = am + （n m）d，特別地，當(dāng)m = 1時(shí)，便得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等差數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般 性.、一般地，如果I，k，p，?， m，n，r，?皆為自然數(shù)，且I + k + p + ?=m + n + r + ?（兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等），那么當(dāng)a n 為等差數(shù)列時(shí)， 有：ai +ak + a p + ? = am + a n + a p + ? .公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd（ k為取出項(xiàng)數(shù)之差）.如果 a n 是等差數(shù)列，公差為 d，那么，a n，an

28、1，?， a 2、a 1也是等差數(shù)列，其公差為一d;在等差數(shù)列 a n 中，a m+i ai = a m柿ak = md .（其中在等差數(shù)列中，從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng) （有窮數(shù)列末項(xiàng)除外）都是它前后兩項(xiàng)的 等差中項(xiàng).當(dāng)公差d>0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大；當(dāng)d V 0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減少而減小；d = 0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個(gè)常數(shù).設(shè)ai，a m，a n為等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且 ai與a m，am與a n的項(xiàng)距差之比1_m =（'工一1），則 a m =m n4 .等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S n =an ）與S n = na1 + n（n 1） d的比較冃ij n項(xiàng)

29、口公式公式適戶范圍相1同點(diǎn)22n( a1+ an )S n =2用于已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和末項(xiàng)都是等差數(shù) 列的前 n項(xiàng) 和公式S n = na1 d2用于已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差5 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S n的基本性質(zhì)數(shù)列 a n 為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列 a n 的前n項(xiàng)和S n可以寫(xiě)成Sn = an2 + bn的形式（其中a、b為常數(shù)）.在等差數(shù)列 a n 中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n （n N£ 皿*）時(shí)，S當(dāng)項(xiàng)數(shù)為（2n 1） （n N ）時(shí)，S偶一S奇=an ,若數(shù)列 a n 為等差數(shù)列，則S n , S 2n S n , S 3n S 2 n , ?仍然成等 差數(shù)列，公差為n 2d

30、若兩個(gè)等差數(shù)列 a n 、 b n 的前n項(xiàng)和分別是S n、T n （n為奇數(shù)），則S a n 1n = 2Tnbn 12在等差數(shù)列 a n 中，S n = a， S m = b (n > m)，貝U S m nn m(a b)n m等差數(shù)列a n 中,Sn是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)（n , Snnn）均在直線d .+ (a1 )上2記等差數(shù)列a n 的前n項(xiàng)和為Sn 若a1 >0，公差dV 0，貝U當(dāng)且a n 1 O時(shí)，S n最大；若ai V 0，公差d > 0，則當(dāng)an O且an 1 50時(shí),Sn最小.第三部分：等比數(shù)列1 .正確理解等比數(shù)列的含義12anq = _(n社N &

31、#187;an由定義可知，等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都不為要證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，必須對(duì)任意0，因而公比a-n-Han.或=q a = q (nna o>2）都成立.2 .等比中項(xiàng)與等差中項(xiàng)的主要區(qū)別 如果G是a與b的等比中項(xiàng)，那么 G，即G2=ab士 ab .所以,只要兩個(gè)同號(hào) 的數(shù)才有等比中項(xiàng)， 而且等比中項(xiàng)有兩個(gè)， 它們互為相反數(shù)；如果A是a與b的等差中項(xiàng)，那么等差中項(xiàng)A唯一地表示為A=a b，其中,-一a與2沒(méi)有同號(hào) 的限制在這里，等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)既有數(shù)量上的差異,又有限制條件的不同.3 等比數(shù)列的基本性質(zhì)公比為q的等比數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng),構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列,此數(shù)列仍是等比數(shù)列，其

32、公比為q m （m為等距離的項(xiàng)數(shù)之差對(duì)任何m、n 一，在等比數(shù)列中有：N a n m = 1時(shí)，便得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有普遍性.一般地，如果t , k, p, ?, m , n , r, ?皆為自然數(shù)，且nma n = am q特別地，當(dāng)m + ? = m + n + r + ?（兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等），那么當(dāng)an 為等比數(shù)列時(shí)，有:at . a k . a p .? = a m . a n . a p .?若 a n 是公比為q的等比數(shù)列，則| a n |、a 2n 、一1ka n 、 an也是等比數(shù)列，其公比分別為| q |、q 2 、q、如果 a n 是等比

33、數(shù)列，公比為 q，那么，a 1， a3，a5， a2 n 1以q 2為公比的等比數(shù)列.如果a 是等比數(shù)列，那么對(duì)任意在-，都有nn N兩個(gè)等比數(shù)列各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，2an 2= an且公比等于這兩個(gè)q是指從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比， 順序不要錯(cuò)，即或 q = *>(n 2)an 數(shù)列的公比的積.當(dāng)q > 1且a 1 >0或0 v q v 1且a 1 v 0時(shí)，等比數(shù)列為遞增數(shù)列； 當(dāng)a 1 > 0且0 v q v 1或a1 v 0且q > 1時(shí)，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)q = 1時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)q v 0時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.4 等比數(shù)

34、列前n項(xiàng)和公式S n的基本性質(zhì)如果數(shù)列a n 是公比為q的等比數(shù)列，那么，它的前n項(xiàng)和公式是a1° q n）,當(dāng) q1 時(shí). 1 q也就是說(shuō)，公比為 數(shù)值，分段的界限是在 弄清公比q是可能等于 工1進(jìn)行討論.na1 ,當(dāng) q T 時(shí),q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是q的分段函數(shù)的一系列函 q = 1處因此，使用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式，必須要 1還是必不等于1，如果q可能等于1，則需分q = 1和q當(dāng)已知a 1 , q, n時(shí)，用公式S n = a1 （1 - q n ）；當(dāng)已知a 1 , q, an時(shí)，用公式 S n = a1 an q=S m + qS n .(2)S 3n - S

35、2 n , ?仍然成等比數(shù)1 一 q若S n是以q為公比的等比數(shù)列，則有S n m若數(shù)列 a n 為等比數(shù)列，貝IS n , S 2n - S n ,列.若項(xiàng)數(shù)為3n的等比數(shù)列（q工1）前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為S1與T 1，次n項(xiàng)和與次n項(xiàng)積分別為S2與T 2，最后n項(xiàng)和與n項(xiàng)積分別為S3與T 3，則S1 ,S2 , S3成等比數(shù)列，T 1 , T 2 , T 3亦成等比數(shù)列.二、難點(diǎn)突破1 .并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式在形式上也不一 定唯一.已知一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式更不是唯一的.2 .等差（比）數(shù)列的定義中有兩個(gè)要點(diǎn)：一是“從第2項(xiàng)起”，二是“每一項(xiàng)與它

36、 前一項(xiàng)的差（比）等于同一個(gè)常數(shù)”.這里的“從第2項(xiàng)起”是為了使每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)都確實(shí)存在，而 同一個(gè)常數(shù)”則是保證至少含有3項(xiàng).所以，一個(gè)數(shù)列是等差（比）數(shù)列的必要非充分條件是這個(gè)數(shù)列至少含有3項(xiàng).3 數(shù)列的表示方法應(yīng)注意的兩個(gè)問(wèn)題： a n 與a n是不同的，前者表示數(shù)列ai , a 2 , ?, a n , ?，而后者僅表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)；數(shù)列ai , a 2 , ?,an , ?，與集合 a 1 , a 2 , ?, an , ?,不同，差別有兩點(diǎn)：數(shù)列是一列有序排布的數(shù)，而集合是一個(gè)有確定范圍的整體；數(shù)列的項(xiàng)有明確的順序性， 而集合的元素間沒(méi)有順序性.4 注意設(shè)元的技巧時(shí)，等比數(shù)

37、列的奇數(shù)個(gè)項(xiàng)與偶數(shù)個(gè)項(xiàng)有區(qū)別，即：對(duì)連續(xù)奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的等比數(shù)列，若已知其積為S，則通常設(shè)？，aq 2 丁 aq 1 72a, aq, aq , ?;對(duì)連續(xù)偶數(shù)個(gè)項(xiàng)同號(hào) 的等比數(shù)列，若已知其積為 S，則通常設(shè)？，aq 3 , aq 1 ,aq, aq3 ,5 一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件是該數(shù)列各項(xiàng)均不為0，因此，在研究等比數(shù)列時(shí)，要注意a n #0，因?yàn)楫?dāng)an = 0時(shí)，雖有a2n = a n 1 an .1成立，但a n 不是等比數(shù)列，即“ b 2 = a c”是a、b、c成等比數(shù)列的必要非充分條件；對(duì)比等差數(shù)列a n , 2b = a + c ”鳧、b、c成等差數(shù)列的充要條件，這一點(diǎn)同學(xué)們 要

38、分清.6 由等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列各項(xiàng)均不為 0 ,因此，判斷一數(shù)列是否成等比 數(shù)列，首先要注意特殊情況 “0” 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式蘊(yùn)含看分類討論思想， 需分分q = 1和q勺進(jìn)行分類討論，在具體運(yùn)用公式時(shí)， 常常因考慮不周而出錯(cuò).數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)定時(shí)練習(xí)題（滿分為100分+附加題20分，共120分；定時(shí)練習(xí)時(shí)間120分鐘）一、選擇題 （本大題共15小題，每小題3分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的）1 1）1 下列四個(gè)數(shù)中，哪一個(gè)是數(shù)列 n（ n丿中的一項(xiàng)（）(A ) 380(B) 39(C)35(D ) 232 .在等差數(shù)列 an中，公差d - 1 ,a4口

39、 r+Jpi.半匚a178 ,貝U a2 a4 a®*卅a20的值為（)(A) 40(B) 45(C)50(D) 553 .一套共7冊(cè)的書(shū)計(jì)劃每2年出冊(cè)，若各冊(cè)書(shū)的出版年份數(shù)之和為13979 ,則出齊這套書(shū)的年份是（)(A) 1997(B ) 1999(C)2001(D) 20032倍，又它的首項(xiàng)為1，且4 .一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)和的中間兩項(xiàng)的和為24，則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(5.(A)12(B)10(C) 8(D)已知1是a2與b2的等比中項(xiàng)，又是1與1的等差中項(xiàng)，則.a丄b ”的值是(A) 1 或 12(B)2 .2 a b(C) 1 或 13(D)首項(xiàng)

40、為一24的等差數(shù)列，從第(A ) d10項(xiàng)開(kāi)始為正，則公差 d的取值范圍是(C) 8 < d 3一 < 3d. 3(D)如果-1 ,a,b,c ,-9成等比數(shù)列，那么(A) b=3, ac=9(B) b=-3, ac=9(C)b=3, ac=-9(D)b =-3, ac =-9在等差數(shù)列 a n 中，已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13 ,貝 U a 4 +a 5 +a6等于(A. 409 .已知某等差數(shù)列共有A.5B.410 .若互不相等的實(shí)數(shù)( )A. 4 B11 .在等比數(shù)列A. 81B. 4210項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為C. 3a,b, c成等差數(shù)列，.2 C. - 2a

41、n中,a1= 1, a10 = 3,則B. 27 527C.4315,偶數(shù)項(xiàng)之和為D. 2c,a,b成等比數(shù)列，且D . - 4a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 =C. 3D.4530,則其公差為()a 3b c - 10，貝U a -()D. 24312 .在等比數(shù)列an中，a1 2，前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列an 1也是等比數(shù)列，則Sn等于rr(A) 2n 廣 2(B) 3n(C) 2n(D) 3n_ 1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的定義和求和公式，著重考查了運(yùn)算能力。13.設(shè)t事是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若aaa一15,a a a- 80 ,則a aaan1231 2 312131

42、()A.120B.105C90D.7514.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S735，則a<()A.8B. 7C6D515 .設(shè)Sn是等差數(shù)列的前卄S31S6ann項(xiàng)和，若，則S12=()S63/、3（）1（）1/、1() .（）_A “10B3C8D 9、填空題（本大題共 5小題，每小題 3分，共 15分把答案填在題中橫線上）1 .在數(shù)列an中，an _ 一 1.，且 Sn二 9，則.J nn 12 .等比數(shù)列 an的前三項(xiàng)為x， 2x苛2，3x 3，則a4 一3. 若數(shù)列 an 滿足：a1 口，an 1 一 2an 斤 1, 2, 3?.則 ar a2農(nóng)宀"an -4.

43、設(shè)Sn為等差數(shù)列 £n的前n項(xiàng)和，S = 14 , S10 - S = 30，則So =.475. 在數(shù)列 an中，若a1 一 1, an 1 _ an一 2（n型1），則該數(shù)列的通項(xiàng)an 一三、解答題（本大題共 4小題，每小題 10分，共 40分）1 .已知an為等比數(shù)列，a3 - 2, a2* a4=，求an的通項(xiàng)式。32. 設(shè)等比數(shù)列 an匚的前n項(xiàng)和為Sn , S4 一 1, &一 17,求通項(xiàng)公式an 一 ？23. 已知正項(xiàng)數(shù)列a n，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an +5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列 a n的通項(xiàng)an .4 .數(shù)列（I ）求 En

44、的通項(xiàng)公式;an的前n項(xiàng)和記Sn , a11, an 1 2Sn 1 n（H）等差數(shù)列n ：的各項(xiàng)為正，其前 項(xiàng)和為 ，且 二 ，又11 2 *33bnTnT315 a b , a 2b ,a成等比數(shù)列，求 Tn本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力與運(yùn)算能力。滿分 分。1b12解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac =(- 1 )x(9)=9, bx b = 9且b與奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，故 b = - 3，選 B8.B解：在等差數(shù)列 1 an 中，已知 a廣 2,S2 a3l3,d=3, a5=14 , a4 a5 a6 =3a5=42，選 B.9.C5al +20d = 15 解：d

45、 3 ,故選 C.10. D5ai 25d30解：由互不相等的實(shí)數(shù)a,b, c成等差數(shù)列可設(shè)a = b - d, c = b + d，由a 3b c = 10可得b=2，所以a = 2 d , c = 2 + d，又c, a, b成等比數(shù)列可得 d = 6，所以a = 4，選D11.A解：因?yàn)閿?shù)列 an是等比數(shù)列，且a1= 1 , a10 = 3, 所以 a2a3a4a5a6a7a8a9 =(a2a9)(a3a8)( a4a7)( a5a6)= ( a1a10) 4= 34= 81,故選 A12.C【解析】因數(shù)列'an：為等比，貝y an - 2qn刁，因數(shù)列：an ' 1'也是等比數(shù)列，2(an J +1) 二(an +1)(a n 卡 確1)an (1q22q) 1：0豈 q 口 12an 1- 2an 1T'十 an .a 2aann 2 _ n 1即an -2，所以Sn - 2n，故選擇答案 C。13. B【解析】 an j是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1a2 ' a 15, a1a2a3二80，則a2 5 ,a aaa (5 - d)(5 d) =16，二 d=3 , a = a 10d 二 35 , an 1213 一 105，選 b.1 312214. D【解析】Sn是等差數(shù)列an匚的前n項(xiàng)和，若S7二7a4二35,