最值問題(垂線段與輔助圓)

1、垂線段最短與輔助圓三大模型：1. 垂線段最短：如圖，直線 BC與直線外一點 A，點 A到直線 BC的距離 AD最短31.例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為（ 0,4），直線 y x 3與x軸、 y 軸分4別交于 A、B，點 M 是直線 AB上的一個動點，則PM 長的最小值為 5.6 。2如圖，已知 ?OABC 的頂點 A、 C分別在直線 x=1 和x=4上， O是坐標(biāo)原點，則對角線 OB 長的最小值為 【考點】 平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)【分析】 當(dāng) B 在 x 軸上時， 對角線 OB 長的最小， 由題意得出 ADO= CEB=90 °，OD=1 ， OE=4，由平行四

2、邊形的性質(zhì)得出 OA BC， OA=BC ，得出 AOD= CBE ，由AAS 證明 AOD CBE ，得出 OD=BE=1 ，即可得出結(jié)果【解答】解：當(dāng)B在x軸上時，對角線 OB長的最小，如圖所示：直線 x=1與x軸交于點 D， 直線 x=4 與 x 軸交于點 E，根據(jù)題意得： ADO= CEB=90 °， OD=1 ，OE=4 ，四邊形 ABCD 是平行四邊形，OA BC ， OA=BC ， AOD= CBE， 在AOD 和CBE 中， AOD CBE（AAS ）， OD=BE=1 ， OB=OE+BE=5 ； 故答案為： 5方法二：OH=5, 當(dāng) BH 最小也就是等于 0時 O

3、B 最小=52. 輔助圓 1：直角三角形構(gòu)造以斜邊為直徑的外接圓AB2C2.例：如圖， RtABC 中，ABBC，AB=6 ，BC=4 ，P 是ABC 內(nèi)部的一個動點，且滿足 PAB= PBC，則 線段 CP 長的最小值為（ B ）D答案：2【考點】點與圓的位置關(guān)系；圓周角定理【分析】首先證明點 P在以AB 為直徑的 O上，連接OC與 O交于點 P，此時 PC最小， 利用勾股定理求出 OC 即可解決問題【解答】解： ABC=90 °， ABP+ PBC=90 °， PAB= PBC， BAP+ ABP=90 °， APB=90 °，點P在以AB為直徑的

4、O上，連接 OC交O于點P，此時 PC最小，在 RT BCO 中， OBC=90 °， BC=4 ，OB=3 ，OC=5，PC=OC=OP=5 3=2 PC 最小值為 2 故選 B BC=8 ，點 F在邊 AC上，并且 CF=2，點 E小值是為邊 BC上的動點，將 CEF沿直線 EF翻折，點 C落在點 P處，則點 P到邊AB 距離的最答案：3如圖，在 Rt ABC 中， C=90 °， AC=6 ，BC=8 ，點 F在邊 AC 上，并且 CF=2 ，點 E 為 邊 BC 上的動點，將 CEF 沿直線 EF 翻折，點 C 落在點 P 處，則點 P 到邊 AB 距離的最小值是

5、1.2 （構(gòu)造以 F 為圓心， FC 為半徑的圓，再過點 F 作 AB 的垂線段）考點】翻折變換（折疊問題） 【分析】如圖，延長 FP交AB于M，當(dāng) FPAB 時，點 P到AB 的距離最小，利用AFM ABC ，得到= 求出 FM 即可解決問題【解答】解：如圖，延長 FP交AB 于M，當(dāng) FPAB時，點 P到AB的距離最小 A= A ， AMF= C=90°， AFM ABC ，= = ，CF=2，AC=6 ，BC=8，AF=4 ，AB=10， = ，F(xiàn)M=3.2 ，PF=CF=2 ，PM=1.2 點P到邊AB 距離的最小值是 1.2故答案為 1.2【點評】本題考查翻折變換、最短問題

6、、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理垂線段最短 等知識，解題的關(guān)鍵是正確找到點 P 位置，屬于中考?？碱}型PFCA，則線相關(guān)練習(xí)： 1如圖，直角三角形 ABC中, AC=1，BC=2，P為斜邊 AB上一動點 PE BC， 段 EF 長的最小值為2如圖，菱形 ABCD中，AB=2，A=120°，點P，Q，K 分別為線段 BC， CD， BD 上的任意一點，則 PK+QK 的最小值為 3如圖所示， 已知點 N（1，0），直線 y=x+2 與兩坐標(biāo)軸分別交于 A，B 兩點， M， P分別是線段 OB，AB上的動點，則 PM+MN 的最小值是4（3分）（2015?咸寧）如圖，已知正方形 ABC

7、D 的邊長為 2，E是邊 BC 上的動點， BFAE 交 CD 于點 F，垂足為 G，連結(jié) CG下列說法： AG>GE； AE=BF ； 點 G運動的 路徑長為 ； CG 的最小值為 1其中正確的說法是（把你認(rèn)為正確的說法的序號都填上）5、如圖，在矩形 ABCD中， AB4， AD6，E是 AB 邊的中點， F是 將 EBF沿 EF所在直線折疊得到 EBF，連接 BD，則 BD 的A、 2 10 2B、6C、 2 13 2DB、6的動點，）D、B46. 如圖，菱形 ABCD的邊 AB=8， B=60°， P是 AB 上一點， 將梯形 APQD沿直線 PQ折疊， A 的對應(yīng)點為

8、A，當(dāng) CA的D.是CD邊上一動點，）CQ的長為（的小 CE123BP=3，最小時，A. 5B. 77. 在 Rt ABC中， C=90°6，若以 DE為直徑的圓與斜邊 AB91A. B. 55 16 24C. D.55AC=8，D、于 M 、C. 8E分別是 AC、BC 上的一點，且 DE=6， ，則 MN 的最大值為（ ）38如圖 4，已知直線 yx 3與 x軸、 y軸分別交于 A、B兩點，P是以 C（0,1）為圓心，4（2）如圖，點 E是 BC邊的中點，點 F 為線段 AB上的動點，在 ABC繞點 C順時針旋轉(zhuǎn) 過程中，點 F的對應(yīng)點是 F1，求線段 EF1 長度的最大值與最小

9、值的差。2.【分析】根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，作點P 關(guān)于 BD 的對稱點 P，連接 PQ 與 BD 的交點即為所求的點 K ，然后根據(jù)直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知 PQ CD 時 PK+QK 的最小值，然后求解即可【解答】解：如圖， AB=2， A=120°，點 P到 CD 的距離為 2× 3 = 3 ，2PK+QK 的最小值為 3【題后思考】 本題考查了菱形的性質(zhì)， 軸對稱確定最短路線問題， 熟記菱形的軸對稱性和利 用軸對稱確定最短路線的方法是解題的關(guān)鍵4（3分）（2015?咸寧）如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為 2，E是邊 BC 上的動點，

10、 BFAE 交CD于點 F，垂足為 G，連結(jié) CG下列說法： AG>GE； AE=BF ； 點 G運動的 路徑長為 ； CG 的最小值為 1其中正確的說法是 ? （把你認(rèn)為正確的說法的序號都填上）（以 AB為直徑作圓，圓心為 O，連接 CO 與圓弧交于點 G） （本人認(rèn)為此答案不對，應(yīng)該是 2， 4） 考點：四邊形綜合題 分析：根據(jù)正方形對角線的性質(zhì)可得出當(dāng)E移動到與 C重合時， AG=GE ，故 錯誤；求得BAE= CBF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 AB=BC ， ABC= C=90°，然后利用 “角角邊”證明ABE 和BCF 全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得AE=BF ，判斷

11、出 正確；根據(jù)題意， G 點的軌跡是以 A 為圓心以 AB 長為半徑的圓弧 BD 的長，然后求 出弧 BD 的長度，判斷出 正確；正方形的對角線減去圓弧的半徑就是 CG 的最小值， 通過計算從而判斷出 錯誤解答：解：在正方形 ABCD 中，AE、BD 垂直平分，當(dāng) E移動到與 C重合時， AG=GE ，故 錯誤； BFAE ， AEB+ CBF=90 °， AEB+ BAE=90 °， BAE= CBF，在 ABE 和 BCF 中， ABE BCF （AAS ），故 正確；根據(jù)題意， G 點的軌跡是以 A 為圓心以 AB 長為半徑的圓弧 BD 的長，圓弧 BD 的長 =，故

12、 正確；CG的最小值為 AC AB=4 2，故 錯誤； 綜上所述，正確的結(jié)論有 故答案為 點評：本 題考查了正方形的性質(zhì)， 全等三角形的判定與性質(zhì)， 弧長的計算， 勾股定理的應(yīng)用， 熟記性質(zhì)并求出 ABE 和 BCF 全等是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更 形象直觀5.A 7.D 8.CC. 8AH=HB=82 =4；如圖，過 C 作 CH A ABCD是菱形， B=60 ABC為等邊三角形；B. 7CHD. 123ABC為等邊沿HP=6. 如圖，菱形 ABCD的邊 AB=8， B=60°， P是 AB上一點， BP=3， Q 是 CD邊上一動點， 將梯形 APQD沿直線 PQ

13、折疊， A 的對應(yīng)點為 A，當(dāng) CA的長度最小時， CQ的長為（ ）形的判定和性質(zhì)，最值問題形；過 C 作 CHAB，則 AH=HB；連 折疊后 A 的對應(yīng)點 A應(yīng)落在 CH上， Q=1，所以 CQ=7.A. 5連接 DH；考點】 菱形的性質(zhì)，梯形，軸對稱（折疊），等邊 分析】 如下圖所示，由題意可知， 接 DH；要使 CA的長度最小， 則梯形 A 且對稱軸 PQ 應(yīng)滿足 PQDH；因 BP=3解答】 解：BP=3，要使 上，且對稱軸HP=1CA的長度最小，則梯形PQ 應(yīng)滿足 PQDH； 由作圖知， DHPQ 為平行四邊形DQ=HP= 1，CQ=CD-DQ=8-1=7.故正確的答案為： B【點

14、評】 本題綜合考查了菱形的性質(zhì)，梯形，軸對稱（折疊），等邊三角形的判定和性質(zhì)， 最值問題 本題作為選擇題，不必直接去計算，通過作圖得出答案是比較便捷的方法。 弄清 在什么情況下 CA的長度最小（相當(dāng)于平移對稱軸）是解決本題的關(guān)鍵.答案：我認(rèn)為以上答案不對，點A'應(yīng)該落在以點 P 為圓心 PA長為半徑的一段圓弧上，所以當(dāng) A'落在 CP上時， CA'的長度最小， PA沿線段 PQ對折可得 APQ= CPQ，再利用平行 得內(nèi)錯角相等及等角對等邊得出 CQ=CP=79.解：（ 1）證明： ABAC，B1CBC 1 B， B ACB， 2 ACB（旋轉(zhuǎn)角相等）， 1 2 BB1 CA1過 A 作 AF BC于 F，過 C作 CEAB 于 E AB AC，AFBC BF CF3 cos ABC ， AB 5，5BF3BC6 B1C BC 6CEAB BE B1E 3 6 1855BB1 36 ， CE 4 6552