8.5空間向量及其運(yùn)算

1、1.空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為0的向量0單位向量長度(模)為1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合的向量ab共面對量平行于同一個平面的向量2.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(a0)，b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得ba.推論如圖所示，點(diǎn)P在l上的充要條件是ta其中a叫直線l的方向向量，tR，在l上取a，則可化為t或(1t)t.(2)共面對量定理假如兩個量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(*，y)，使得p*ay

2、b.推論的表達(dá)式為*y或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有*y或*yz，其中*yz 1 .(3)空間向量基本定理假如三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(*，y，z)，使p*e1ye2ze3，空間中不共面的三個向量e1，e2，e3叫作這個空間的一個基底.3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角a，b是空間兩個非零向量，過空間任意一點(diǎn)O，作a，b，則AOB叫做向量a與向量b的夾角，記作a，b，其范圍是0a，b，若a，b，則稱a與b相互垂直，記作ab.兩向量的數(shù)量積已知空間兩個非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫做向量a，b的數(shù)量積，記作ab，即

3、ab|a|b|cosa，b.(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合律：(a)b(ab)；交換律：abba；支配律：a(bc)abac.4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積aba1b1a2b2a3b3共線ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夾角a，b(a0，b0)cosa，b【思考辨析】判定下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)空間中任意兩非零向量a，b共面.()(2)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(ab)ca(bc).()(3)對于非零向量b，由abbc，則ac.()(

4、4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同.()(5)若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有0.()(6)對空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若*yz(其中*，y，zR)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面.()1.如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若a，b，c，則向量 (用a，b，c表示).答案abc解析()c(ba)abc.2.與向量(3，4,5)共線的單位向量是 .答案和解析由于與向量a共線的單位向量是，又由于向量(3，4,5)的模為5，所以與向量(3，4,5)共線的單位向量是(3，4，5)(3，4,5).3.如圖，在四周體OABC中，a，b

5、，c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則 (用a，b，c表示).答案abc解析abc.4.(教材改編)已知a(2,4，*)，b(2，y,2)，若|a|6，且ab，則*y的值為 .答案1或3解析依題意得解得或5.(教材改編)正四周體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點(diǎn)，則EF的長為 .答案解析|2()22()1222122(12cos 120021cos 120)2，|，EF的長為.題型一空間向量的線性運(yùn)算例1(1)已知在空間四邊形OABC中，a，b，c，點(diǎn)M在OA上，且OM2MA，N為BC的中點(diǎn)，則 (用a，b，c表示).(2)如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的

6、中點(diǎn).化簡 ；用，表示，則 .答案(1)abc(2)解析(1)明顯()abc.(2)().()，().引申探究1.若本例(1)中將“點(diǎn)M在OA上，且OM2MA”改為“M為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且2”，則 .答案abc解析如圖所示，()()abc.2.若本例(2)中條件不變，沖突改為：設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)，且，若*yz，試求*，y，z的值.解()，由條件知，*，y，z.思維升華用已知向量表示某一向量的方法用已知向量來表示未知向量，確定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的要害.要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.在

7、立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍舊成立.在三棱錐OABC中，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是ABC的重心，用基向量，表示，.解()().題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)求證：BD平面EFGH；(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對空間任一點(diǎn)O，有().證明(1)如圖，連結(jié)BG，則()，由共面對量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面.(2)由于()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(3)找一點(diǎn)O，并連結(jié)OM，OA，OB，OC，O

8、D，OE，OG，如圖所示.由(2)知，同理，所以，即EH綊FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.所以EG，F(xiàn)H交于一點(diǎn)M且被M平分.故()().思維升華(1)證明點(diǎn)共線的方法證明點(diǎn)共線的沖突可轉(zhuǎn)化為證明向量共線的沖突，如證明A，B，C三點(diǎn)共線，即證明，共線，亦即證明(0).(2)證明點(diǎn)共面的方法證明點(diǎn)共面沖突可轉(zhuǎn)化為證明向量共面沖突，如要證明P，A，B，C四點(diǎn)共面，只要能證明*y或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有*y或*yzOC(*yz1)即可.共面對量定理事實(shí)上也是三個非零向量所在直線共面的充要條件.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A1B上的點(diǎn)，F(xiàn)是AC上的點(diǎn)，且A1E2EB，CF2AF，則E

9、F與平面A1B1CD的位置關(guān)系為 .答案平行解析取a，b，c為基底，易得(abc)，而abc，即，故EFDB1，且EF平面A1B1CD，DB1平面A1B1CD，所以EF平面A1B1CD.題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用例3如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn).(1)求證：MNAB，MNCD；(2)求MN的長；(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.(1)證明設(shè)p，q，r.由題意可知，|p|q|r|a，且p、q、r三向量兩兩夾角均為60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.即MNAB.同理可證M

10、NCD.(2)解由(1)可知(qrp)，|2(qrp)2q2r2p22(qrpqrp)a2a2a22()2a2.|a.MN的長為a.(3)解設(shè)向量與的夾角為.()(qr)，qp，(qr)(qp)(q2qprqrp)(a2a2cos 60a2cos 60a2cos 60)(a2).又|a，|cos aacos .cos .向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為.思維升華數(shù)量積的應(yīng)用(1)求夾角，設(shè)向量a，b所成的角為，則cos ，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角.(2)求長度(距離)，運(yùn)用公式|a|2aa，可使線段長度的計(jì)算沖突轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算沖突.(3)解決垂直沖突，利

11、用abab0(a0，b0)，可將垂直沖突轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算沖突.如圖所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60.(1)求AC1的長；(2)求證：AC1BD；(3)求BD1與AC夾角的余弦值.解(1)記a，b，c，則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112()6，|，即AC1的長為.(2)abc，ba，(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600.，AC1BD.(3)bca，ab，|，|，(bca)(

12、ab)b2a2acbc1.cos，.AC與BD1夾角的余弦值為.10.“兩向量同向”意義不清致誤典例已知向量a(1,2,3)，b(*，*2y2，y)，并且a，b同向，則*，y的值分別為 .易錯爭論將a，b同向和ab混淆，沒有搞清ab的意義：a、b方向相同或相反.解析由題意知ab，所以，即把代進(jìn)得*2*20，(*2)(*1)0，解得*2或*1，當(dāng)*2時，y6；當(dāng)*1時，y3.當(dāng)時，b(2，4，6)2a，兩向量a，b反向，不符合題意，所以舍往.當(dāng)時，b(1,2,3)a，a與b同向，所以答案1,3溫馨提示(1)兩向量平行和兩向量同向不是等價的，同向是平行的一種狀況.兩向量同向能推出兩向量平行，但反過

13、來不成立，也就是說，“兩向量同向”是“兩向量平行”的充分不必要條件；(2)若兩向量a，b滿意ab(b0)且0則a，b同向；在a，b的坐標(biāo)都是非零的條件下，a，b的坐標(biāo)對應(yīng)成比例.方法與技巧1.利用向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的前提.2.利用共線向量定理、共面對量定理可以證明一些平行、共面沖突；利用數(shù)量積運(yùn)算可以解決一些距離、夾角沖突.3.利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運(yùn)算或證明往解決沖突.失誤與防范1.向量的數(shù)量積滿意交換律、支配律，即abba，a(bc)abac成立，但(ab)ca(bc)不確定成立.2

14、.求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要留意兩種角的范圍不同，最終應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.A組專項(xiàng)前提練習(xí)(時間：40分鐘)1.在下列命題中：若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b確定不共面；若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；已知空間的三個向量a，b，c，則對于空間的任意一個向量p總存在實(shí)數(shù)*，y，z使得p*aybzc.其中正確命題的個數(shù)是 .答案0解析a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故不正確；依據(jù)自由向量的意義知，空間任兩向量a，b都共面，故錯誤；三個向量a，b，c中任兩個確定共面，但它們?nèi)齻€卻不確定共面，故不正

15、確；只有當(dāng)a，b，c不共面時，空間任意一向量p才能表示為p*aybzc，故不正確，綜上可知四個命題中正確的個數(shù)為0.2.已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，則實(shí)數(shù)的值為 .答案2解析由題意知a(ab)0，即a2ab0，所以1470，解得2.3.如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，若0，則 .答案解析連結(jié)A1C1，C1D，則EF是三角形A1C1D的中位線，與共線，則，.4.空間四邊形ABCD的各邊和對角線均相等，E是BC的中點(diǎn)，那么下列關(guān)系正確的是 .；與的大小不能比較.答案解析取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF綊CD，由于，

16、90，由于0，.5.已知a，b是異面直線，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，則異面直線a，b所成的角等于 .答案60解析如圖，設(shè)a，b，c，則abc，所以cos，所以異面直線a，b所成的角等于60.6.在空間四邊形ABCD中，則的值為 .答案0解析方法一如圖，令a，b，c，則()()()a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.方法二如圖，在三棱錐ABCD中，不妨令其各棱長都相等，則正四周體的對棱相互垂直.0，0，0.0.7. A，B，C，D是空間不共面四點(diǎn)，且0，0，0，則BCD的外形是 三角形(填銳角、直角、鈍角中的一個).答案銳角解析由于()()220，

17、所以CBD為銳角.同理BCD，BDC均為銳角.8.設(shè)OABC是四周體，G1是ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG3GG1，若*yz，則(*，y，z)為 .答案(，)解析如圖所示，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE.()()()()，*yz.9.已知空間中三點(diǎn)A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè)a，b.(1)求向量a與向量b的夾角的余弦值；(2)若kab與ka2b相互垂直，求實(shí)數(shù)k的值.解(1)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a與向量b的夾角的余弦值為.(2)方法一kab(k1，k,2).ka2b(k2，

18、k，4)，且kab與ka2b相互垂直，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2或k，當(dāng)kab與ka2b相互垂直時，實(shí)數(shù)k的值為2或.方法二由(1)知|a|，|b|，ab1，(kab)(ka2b)k2a2kab2b22k2k100，得k2或k.當(dāng)kab與ka2b相互垂直時，實(shí)數(shù)k的值為2或.10.如圖，在棱長為a的正方體OABCO1A1B1C1中，E、F分別是棱AB、BC上的動點(diǎn)，且AEBF*，其中0*a，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O*yz.(1)寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；(2)求證：A1FC1E；(3)若A1、E、F、C1四點(diǎn)共面，求證：.(1)解E(a，*,0)，F(xiàn)(a*，

19、a,0).(2)證明A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，(*，a，a)，(a，*a，a)，a*a(*a)a20，A1FC1E.(3)證明A1、E、F、C1四點(diǎn)共面，、共面.選與為在平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(1，2)，使12，即(*，a，a)1(a，a,0)2(0，*，a)(a1，a1*2，a2)，解得1，21.于是.B組專項(xiàng)力量提升(時間：30分鐘)11.已知a，b，c是空間的一個基底，ab，ab，c是空間的另一個基底，一向量p在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(4,2,3)，則向量p在基底ab，ab，c下的坐標(biāo)是 .答案(3,1,3)解析設(shè)p在基底ab，ab，c下的坐標(biāo)為*

20、，y，z.則p*(ab)y(ab)zc(*y)a(*y)bzc，由于p在a，b，c下的坐標(biāo)為(4,2,3)，所以p4a2b3c，由得即p在ab，ab，c下的坐標(biāo)為(3,1,3).12.已知ABCDA1B1C1D1為正方體，()232；()0；向量與向量的夾角是60；正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|.其中正確命題的序號是 .答案解析中()22223()2，故正確；中，AB1A1C，故正確；中A1B與AD1兩異面直線所成角為60，但與的夾角為120，故不正確；中|0，故也不正確.13.(2015浙江)已知e1，e2是空間單位向量，e1e2，若空間向量b滿意be12，be2，且對于任意*，yR，|b(*e1ye2)|b(*0e1y0e2)|1(*0，y0R)，則*0 ，y0 ，|b| .答案122解析方法一對于任意*，yR，|b(*e1ye2)|b(*0e1y0e2)|1(*0，y0R)，說明當(dāng)*0，yy0時，|b(*e1ye2)|取得最小值1.|b(*e1ye2)|2|b|2(*e1ye2)22b(*e1ye2)|b|2*2y2*y4*5y，要使|b|2*2y2*y4*5y取得最小值，需要把*2y2*y4*5y瞧成關(guān)于*的二次函數(shù)，即f(*)*2