軸對(duì)稱圖形與等腰三角形教材結(jié)構(gòu)關(guān)系解讀

1、滬科版數(shù)學(xué)8上 軸對(duì)稱圖形與等腰三角形教材結(jié)構(gòu)關(guān)系解讀一教材內(nèi)容與目標(biāo)本章的主要內(nèi)容是從生活中的圖形入手，學(xué)習(xí)軸對(duì)稱及其基本性質(zhì)，欣賞、體驗(yàn)軸對(duì)稱在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用在此基礎(chǔ)上，利用軸對(duì)稱，探索等腰三角形的性質(zhì)，學(xué)習(xí)它的判定方法，并進(jìn)一步學(xué)習(xí)等邊三角形軸對(duì)稱是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的一種現(xiàn)象，是密切數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的重要內(nèi)容在本章第1小節(jié)“軸對(duì)稱圖形”中，教科書(shū)立足于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷，從觀察現(xiàn)實(shí)生活中的對(duì)稱現(xiàn)象開(kāi)始，引出軸對(duì)稱圖形和圖形的軸對(duì)稱的概念，從整體上概括出軸對(duì)稱的特征結(jié)合探索對(duì)稱點(diǎn)的關(guān)系，歸納得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分的性質(zhì)（解決折疊問(wèn)題）。接下來(lái)，用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱，從數(shù)

2、量關(guān)系的角度刻畫(huà)了軸對(duì)稱教科書(shū)從觀察和實(shí)驗(yàn)入手，歸納得出坐標(biāo)平面上一個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸或y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，并進(jìn)一步探討了如何利用這種規(guī)律在平面直角坐標(biāo)系中作出一個(gè)圖形關(guān)于x軸或y軸對(duì)稱的圖形第2節(jié)，通過(guò)折疊及線段垂直平分線尺規(guī)作圖，討論了垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理等腰三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性質(zhì)外，還有許多特殊的性質(zhì)由于它的這些特殊性質(zhì)，使它比一般三角形應(yīng)用更廣泛而等腰三角形的許多特殊性質(zhì)，又都和它是軸對(duì)稱圖形有關(guān)，這也是教科書(shū)把這部分內(nèi)容安排在本章的一個(gè)重要原因在本章第3小節(jié)“等腰三角形”中，利用等腰三角形的軸對(duì)稱性，得出了“等邊對(duì)等角”“三線合一”等性質(zhì)，

3、并進(jìn)一步討論了等腰三角形的判定方法以及等邊三角形的性質(zhì)與判定方法的內(nèi)容第4節(jié)通過(guò)折疊及角線段垂直平分線尺規(guī)作圖，討論了角垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理【重、難點(diǎn)】在本章，軸對(duì)稱的性質(zhì)是本章的重點(diǎn)，軸對(duì)稱的應(yīng)用，利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱等都是圍繞這一性質(zhì)進(jìn)行的另外，等腰三角形的性質(zhì)和判定也是本章的重點(diǎn)，它們是證明線段和角相等的重要根據(jù)，應(yīng)用也比較廣泛按照整套教科書(shū)對(duì)于推理證明的安排，在“全等三角形”已經(jīng)要求讓學(xué)生會(huì)用符號(hào)表示推理（證明）的基礎(chǔ)上，對(duì)于一些圖形的性質(zhì)（如線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰（邊）三角形的性質(zhì)與判定等），仍是要求學(xué)生證明由于學(xué)生剛開(kāi)始接觸用符號(hào)表示推理，雖然教科書(shū)控

4、制了證明難度，但是相對(duì)于上一章，推理的依據(jù)多了，圖形、題目的復(fù)雜程度也增加了，因此會(huì)使一些學(xué)生感到無(wú)處下手，這是本章教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，要注意幫助學(xué)生克服這一難點(diǎn)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形，探索軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分的性質(zhì)；2探索簡(jiǎn)單圖形之間的軸對(duì)稱關(guān)系，能夠按照要求作出簡(jiǎn)單圖形經(jīng)過(guò)一次或兩次軸對(duì)稱后的圖形；認(rèn)識(shí)和欣賞軸對(duì)稱在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，能利用軸對(duì)稱進(jìn)行簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)；3了解線段垂直平分線及角平分線的概念，探索并掌握其性質(zhì)；了解等腰三角形、等邊三角的有關(guān)概念，探索并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法；4能初步應(yīng)用本章所學(xué)的知識(shí)解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡(jiǎn)單

5、的實(shí)際問(wèn)題，在觀察、操作、想象、論證、交流的過(guò)程中，發(fā)展空間觀念，激發(fā)學(xué)習(xí)空間與圖形的興趣二、本章編寫(xiě)特點(diǎn)1有機(jī)的整合“圖形與幾何”領(lǐng)域的相關(guān)內(nèi)容，利用變換研究圖形的性質(zhì)在以往的教科書(shū)中，等腰三角形的有關(guān)內(nèi)容一般安排于介紹三角形的內(nèi)容之中，利用三角形的全等研究等腰三角形的性質(zhì)和判定在本套教科書(shū)中，等腰三角形的有關(guān)內(nèi)容安排在了“軸對(duì)稱”一章，學(xué)生學(xué)完了軸對(duì)稱的相關(guān)性質(zhì)之后，利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)研究等腰三角形的性質(zhì)，再利用三角形的全等的知識(shí)給以證明，這是本章編排上的一個(gè)特點(diǎn)等腰三角形是一個(gè)很好的軸對(duì)稱圖形，它的許多性質(zhì)都與它是軸對(duì)稱圖形有關(guān)利用它的軸對(duì)稱性，不僅有助于發(fā)現(xiàn)等腰三角形的一些性質(zhì)，而且

6、也能為利用三角形全等的知識(shí)證明一些性質(zhì)提供思路，在教科書(shū)的編寫(xiě)中，充分重視了這一點(diǎn)例如，教科書(shū)引出等腰三角形概念時(shí)，不是直接給出定義，而是直接通過(guò)一個(gè)“探究”欄目，讓學(xué)生自己剪出一個(gè)三角形這個(gè)剪三角形的過(guò)程，就是利用軸對(duì)稱得到一個(gè)等腰三角形的過(guò)程這個(gè)過(guò)程還保留下了中間折疊的痕跡，它就是等腰三角形的對(duì)稱軸接下來(lái)教科書(shū)安排的“思考”欄目是前面“探究”的繼續(xù)，受剪出等腰三角形的過(guò)程的啟發(fā)，學(xué)生很容易想到它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，折痕就是它的對(duì)稱軸通過(guò)找出其中重合的線段和重合的角利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，可以很容易的引導(dǎo)學(xué)生得出等腰三角形的兩個(gè)性質(zhì)：“等邊對(duì)等角”以及“三線合一”在進(jìn)一步證明這兩個(gè)性質(zhì)的過(guò)程中，

7、關(guān)鍵是要添加輔助線，而有了前面的“探究”“思考”的鋪墊，如何添加這個(gè)輔助線也就是水到渠成的了再如，利用等腰三角形的軸對(duì)稱性，可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形中許多相等的線段或角，如兩底角平分線、兩腰的中線、兩腰的高等教科書(shū)也安排了這樣一個(gè)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”，讓學(xué)生利用等腰三角形的軸對(duì)稱性去發(fā)現(xiàn)一些等腰三角形中的相等的線段和角，利用圖形的運(yùn)動(dòng)研究圖形的性質(zhì)等腰三角形是一種軸對(duì)稱圖形，教科書(shū)將等腰三角形的相關(guān)內(nèi)容安排在軸對(duì)稱之后，就是要利用軸對(duì)稱研究等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)一步利用三角形的全等證明這些性質(zhì)將圖形的運(yùn)動(dòng)與圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的證明有機(jī)整合，利用運(yùn)動(dòng)研究圖形，得到圖形的性質(zhì)，再通過(guò)推理證明這些結(jié)論2注意聯(lián)系

8、實(shí)際人們生活在三維空間，豐富多彩的圖形世界給“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)提供了大量真實(shí)的素材本章的內(nèi)容具有豐富的實(shí)際背景，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用，因此在教學(xué)中要注意聯(lián)系實(shí)際，從實(shí)際出發(fā)引入概念，并將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中例如，軸對(duì)稱現(xiàn)象在生活中是很常見(jiàn)的，教科書(shū)選用了從天安門(mén)到故宮的鳥(niǎo)瞰圖作為章頭圖，在第1節(jié)的開(kāi)頭，也舉出了如自然景觀、分子結(jié)構(gòu)、建筑物、藝術(shù)作品、日常生活用品、窗花等實(shí)際例子，讓學(xué)生感受對(duì)稱現(xiàn)象的無(wú)處不在，通過(guò)觀察這些圖形，引出軸對(duì)稱的概念在實(shí)際教學(xué)中，可以結(jié)合當(dāng)?shù)貙?shí)際選擇一些軸對(duì)稱圖形的例子，這些素材不僅應(yīng)包括人們所習(xí)慣的標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形，更應(yīng)包括豐富多彩的現(xiàn)實(shí)世界中的二、三維圖

9、形，使學(xué)生欣賞現(xiàn)實(shí)世界中與軸對(duì)稱有關(guān)的圖案，并能夠從中發(fā)現(xiàn)軸對(duì)稱的特征除了注意從實(shí)際例子引出軸對(duì)稱內(nèi)容的學(xué)習(xí)以外，教科書(shū)也給出了一些應(yīng)用軸對(duì)稱的例子，如利用軸對(duì)稱的觀點(diǎn)來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)生活中的有關(guān)現(xiàn)象、簡(jiǎn)單的利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案、利用軸對(duì)稱解決一些有關(guān)最大、最小的選址問(wèn)題等等，教科書(shū)也注意體現(xiàn)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，體現(xiàn)一個(gè)具體抽象具體的過(guò)程3注意讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、論證的過(guò)程在內(nèi)容處理上，教科書(shū)加強(qiáng)了實(shí)驗(yàn)幾何的成分，將實(shí)驗(yàn)幾何與論證幾何有機(jī)結(jié)合論證幾何在培養(yǎng)人的邏輯思維能力方面起著重要作用，而實(shí)驗(yàn)幾何則是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效工具，在培養(yǎng)人的直覺(jué)思維和創(chuàng)造性思維方面起著重大的作用對(duì)于本章中的一些概

10、念、性質(zhì)、公理和定理，教科書(shū)大多是通過(guò)“留空”、設(shè)問(wèn)、設(shè)置“思考”“探究”“歸納”以及“數(shù)學(xué)活動(dòng)”等欄目，讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖、折紙、剪紙、度量或做試驗(yàn)等活動(dòng)，探索發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論，經(jīng)歷知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”過(guò)程，在探究活動(dòng)的過(guò)程中發(fā)展創(chuàng)新思維能力，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式在發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，再經(jīng)過(guò)推理證明這些結(jié)論，使得推理證明成為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，使圖形的認(rèn)識(shí)與圖形的證明有機(jī)整合例如，對(duì)于等腰三角形“等邊對(duì)等角”“三線合一”的性質(zhì)的得出，教科書(shū)通過(guò)設(shè)置一個(gè)“探究”“思考”欄目，讓學(xué)生剪出等腰三角形，并進(jìn)一步利用軸對(duì)稱的性質(zhì)思考其中相等的線段和相等的角，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)接下來(lái)，從上面的

11、操作過(guò)程啟發(fā)，通過(guò)做出等腰三角形的對(duì)稱軸，得到兩個(gè)全等的三角形，從而利用三角形的全等證明等腰三角形的這兩個(gè)性質(zhì)這種處理，將實(shí)驗(yàn)幾何與論證幾何有機(jī)的整合在一起，使學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)觀察、實(shí)驗(yàn)、探究、歸納、推理、證明的認(rèn)識(shí)圖形的全過(guò)程，把推理證明作為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論之后的自然延續(xù)，完成好由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過(guò)渡三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題1注意知識(shí)間的聯(lián)系本章的內(nèi)容較多，課程標(biāo)準(zhǔn)“圖形與幾何”領(lǐng)域中圖形的性質(zhì)、圖形的運(yùn)動(dòng)、圖形與坐標(biāo)各個(gè)部分的內(nèi)容在本章都有涉及，教學(xué)時(shí)要注意把握各個(gè)部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，有機(jī)的整合各個(gè)部分的內(nèi)容本章從認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形開(kāi)始，又進(jìn)一步介紹了兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱（兩個(gè)

12、圖形成軸對(duì)稱），要注意這兩個(gè)概念間的區(qū)別：軸對(duì)稱圖形指的是一個(gè)圖形沿對(duì)稱軸折疊后這個(gè)圖形的兩部分能完全重合，說(shuō)的是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，而兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形之間的位置關(guān)系，這兩個(gè)圖形沿對(duì)稱軸折疊后能夠重合它們的聯(lián)系：定義中都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分，這兩個(gè)圖形就是關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱，反過(guò)來(lái)，如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形從運(yùn)動(dòng)的角度來(lái)看，成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的任何一個(gè)可以看作由另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱得到，一個(gè)軸對(duì)稱圖形由它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱拓展而成另外，教科書(shū)還安排了用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱的內(nèi)容，從數(shù)的

13、角度刻畫(huà)軸對(duì)稱的內(nèi)容包括關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)或圖形的坐標(biāo)的變化以及由點(diǎn)或圖形坐標(biāo)的變化引起點(diǎn)或圖形軸對(duì)稱的內(nèi)容這里的關(guān)鍵是要讓學(xué)生感受圖形軸對(duì)稱之后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化，把“形”和“數(shù)”緊密的結(jié)合在一起，把坐標(biāo)思想和圖形變換的思想聯(lián)系起來(lái)2滿足學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需求，為學(xué)生提供個(gè)性化學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間本章內(nèi)容中有許多需要發(fā)揮學(xué)生想象和個(gè)性的活動(dòng)，如欣賞軸對(duì)稱圖案，利用軸對(duì)稱進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)，探究對(duì)稱軸是與坐標(biāo)軸平行（垂直）時(shí)軸對(duì)稱的坐標(biāo)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)等腰三角形中相等的線段等等，這些內(nèi)容都為學(xué)生個(gè)性化的學(xué)習(xí)提供了空間教學(xué)時(shí)應(yīng)有意識(shí)地滿足學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需求真正為學(xué)生提供個(gè)性化學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間例如，對(duì)于利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)

14、圖案，不同學(xué)生可能會(huì)有不同的創(chuàng)意，也會(huì)有不同的操作方法（如折疊、剪紙、扎眼、計(jì)算機(jī)等）完成自己的創(chuàng)意，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生大膽想象、大膽嘗試，不能用唯一的標(biāo)準(zhǔn)判斷全體學(xué)生的成果，要把關(guān)注點(diǎn)放在活動(dòng)中的數(shù)學(xué)層面上，看學(xué)生是否真正理解了軸對(duì)稱變換的特點(diǎn)3注意推理證明的教學(xué)對(duì)于推理證明的要求，教科書(shū)是按“說(shuō)點(diǎn)兒理”“說(shuō)理”“簡(jiǎn)單推理”“用符號(hào)表示推理”等分層次安排的在這一章，不僅要求學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出一些有關(guān)圖形的結(jié)論，還要求學(xué)生對(duì)這些結(jié)論進(jìn)行證明，使推理證明成為學(xué)生探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性學(xué)過(guò)等腰三角形后，推理的依據(jù)逐漸多了，題目的復(fù)雜程度也增加了，因此，如何尋找證明的

15、思路也成為本章教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)教學(xué)時(shí)，要克服這一難點(diǎn)，關(guān)鍵是要加強(qiáng)證明題前分析的教學(xué)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)分析證題思路，找出證明的途徑因?yàn)閷W(xué)過(guò)的定理多了，從已知出發(fā)可以有多種途徑選擇，分析問(wèn)題時(shí)要結(jié)合結(jié)論一起考慮，采用“兩頭湊”，教學(xué)時(shí)可向?qū)W生介紹這種方法另外，以前學(xué)生證明問(wèn)題時(shí)，主要考慮利用全等三角形，也總習(xí)慣于找全等三角形雖然涉及利用等腰三角形性質(zhì)的問(wèn)題都可以利用全等三角形來(lái)解決，但要注意糾正這種不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢(shì)可結(jié)合具體問(wèn)題讓學(xué)生自己分析，尋找證明方法對(duì)于可以直接利用等腰三角形性質(zhì)、判定，垂直平分線的性質(zhì)的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生選擇簡(jiǎn)便方法在與等腰三角形有關(guān)的一些命題的證明過(guò)程中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問(wèn)題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見(jiàn)的輔助線雖然“三線和一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作那條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問(wèn)題的復(fù)雜程度也不同，需要具體問(wèn)題具體分析，這一點(diǎn)要注意3重視現(xiàn)代信息技術(shù)工具的應(yīng)用信息技術(shù)工具的使用能為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力的學(xué)習(xí)工具利用信息技術(shù)工具，可以很方便地制作圖形，可以很方便地讓圖形動(dòng)起來(lái)許多計(jì)算機(jī)軟件還具有測(cè)量功能，這也有利于我們?cè)趫D形的運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)