親歷美國數(shù)學(xué)課

1、離表姐家很近，盡管在不同的州，但是距離不到兩個(gè)小時(shí)的車程，所以周末 或者節(jié)假口偶爾也去表姐家玩。上個(gè)周末禮拜六，我就陪著我那差不多12歲的 侄兒聽了一堂初中數(shù)學(xué)課。這個(gè)侄兒還是以前在北京出生的，三歲就隨父母來到 了新澤西，所以漢語講得一點(diǎn)都不好。 美國的公立中小學(xué)建筑我自然見了很多， 通常每個(gè)學(xué)校只有一棟建筑，而且一般不超過坷層。小學(xué)（Elementary School） 一般規(guī)模較小，通常只有幾百人，初中（Middle School）較大一些，高中（High School）更大，一般的高中注冊學(xué)生大約在一千到兩T多人，有的人口稠密的地 區(qū)，據(jù)說一所高中可以有五千學(xué)生（例如在芝加哥）。大家可以

2、想像，兩千學(xué)生 全部集中在一棟建筑里，那棟建筑肯定是很大的，不熟悉的人進(jìn)去后有時(shí)會(huì)覺得 置身于城堡之中，摸不清方向。中小學(xué)雖然見得多，但是若論在中小學(xué)聽課， 我這真還是破天荒第一次。其實(shí)別說聽課，之前我可連中小學(xué)的大門（指教學(xué)樓 的大門，不是指校門，因?yàn)橐话銢]有校門與I制墻）都沒有邁進(jìn)過。這堂課是數(shù)學(xué) 課，大約兩個(gè)小時(shí)。出于好奇，我征得那位教師的允許后，也興致勃勃地和十來 個(gè)孩子一起坐在教室里，聽完了這堂兒何課。下面我就將這堂課實(shí)錄下來，供有 興趣的朋友參考。 可能先得交代兒句，這堂課的學(xué)生雖然都只是初一年級(jí)（六年級(jí)），但是卻 是高中課程。事實(shí)上那位教師，科林斯女士（也是位博士，只是不知是教育

3、學(xué)博 士還是數(shù)學(xué)博士，我也不好意思去問），是高中教師而不是初中教師。也就是說， 能上這堂課的學(xué)生都是學(xué)校的“尖子生”，因此這堂課可能并沒有什么代表意義， 和通常的課堂可能有比較大的差別。但是我只聽過一堂課，所知也只有這些。美 國的中小學(xué)義務(wù)教育一共是十二年， 有的地方六年級(jí)算小學(xué)， 有的算初中 （像我 這侄兒， 雖然是六年級(jí)， 但是算初中） ；有的地方高中有四年，有的只有三年, 不同的州、不同的縣、其至不同的城鎮(zhèn)規(guī)定都不一樣，但是加起來都必須是十二 年，因此高中畢業(yè)生通常都是十八歲，和咱們差不多。美國的學(xué)校沒有什么統(tǒng)編 教材。其實(shí)別說什么全國統(tǒng)編教材，即使在同一學(xué)校，不同的老師教材也不一樣，

4、有的共至壓根兒就沒有教材（特別是小學(xué)）。而且，通常情況下即使有教材，那 教材也是由學(xué)校發(fā)的。 美國的學(xué)校由于人種和文化背景等原因，學(xué)生水平相差很大（你看我們?nèi)朔N 和文化其實(shí)很單一的，但是學(xué)生所學(xué)相差也不小，對不對？美國學(xué)生的差距就更 大了）。通常美國學(xué)生按照人種分為亞裔、高加索血統(tǒng)白人（也就是“傳統(tǒng)”的 歐洲血統(tǒng)人，例如盎格魯-撤克遜、斯拉夫、口爾曼人等)、西班牙血統(tǒng)人、黑人 等，其中亞裔和高加索血統(tǒng)白人的智商明顯高于黑人和西班分血統(tǒng)人。因?yàn)楣?學(xué)校的教育必須立足于中下游學(xué)生，所以有些比較聰明的、學(xué)有余力的學(xué)生就會(huì) 覺得學(xué)校的課程過于簡單，所以基本上每個(gè)學(xué)區(qū)、每個(gè)學(xué)校都開設(shè)有各俱特色的 天才

5、學(xué)生培養(yǎng)計(jì)劃” (Gifted/Talented Programs) o除了豐富多彩的課外活動(dòng) 外(這些課外活動(dòng)通常包括體育、藝術(shù)、音樂、探險(xiǎn)、數(shù)學(xué)、科學(xué)等興趣小組和 俱樂部)，這些比較聰明的孩子所開設(shè)的課程也比普通學(xué)生的更難。比如就數(shù)學(xué) 而言，他們通常初中就學(xué)高屮的內(nèi)容，高中學(xué)大學(xué)的內(nèi)容。 美國的中學(xué)所開設(shè)的課程，如果將雜七雜八的課程都算的話，估計(jì)上白門， 但是最主要的課程，還是和我們差不多:數(shù)學(xué)、閱讀(Reading).英語(English, 主要側(cè)重于寫作)、 科學(xué)(Science,以物理為主)、 社會(huì)科學(xué)(Social Science, 可能以歷史和文化為主)和生物(Biology),

6、其中最重要的是數(shù)學(xué)和閱讀。我這 侄兒的數(shù)學(xué)、閱讀和科學(xué)都在“天才班”(其實(shí)這沒有什么，中國人的孩子一般 都不套的，何況他父母都是早年北大畢業(yè)生)。一般情況下，我覺得美國孩子的 閱讀、寫作學(xué)得不算差，生物和科學(xué)(以物理為主)也算學(xué)得馬馬虎虎，唯一的 例外就是數(shù)學(xué)，學(xué)得非常差。 去學(xué)校之前，我拿了侄兒所在的天才教育班數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)劃。教學(xué)規(guī)劃上面是 這樣寫的： 六年級(jí)： 七年級(jí)： 八年級(jí)： 代數(shù) I (Algebra I) 兒何，代數(shù) II (Geometry, Algebra II) 代數(shù) IL 矩陣，統(tǒng)計(jì)(Algebra II Matrices, Statistics) 微積分預(yù)備課I,微積分預(yù)備

7、課II (Pre-calculus I, II) 微積分I,微積分II (Calculus I, II) d一年級(jí)：微積分 III (Calculus III),概率統(tǒng)計(jì)(Probability & Statistics) 十二年級(jí)：常微分方程(Differential Equations),線性代數(shù)(Linear Algebra) 侄兒所在的這個(gè)學(xué)區(qū)，6-8年級(jí)算初中，9-12年級(jí)算高中。大家看到, 對普通的美國學(xué)生而 言， 上而所列的6-9年級(jí)的課程其實(shí)是高中課程，10-12年級(jí)的課程其實(shí)是 大學(xué)課程。學(xué)生們在高中學(xué)些大學(xué)課程其實(shí)好處大大的，首先，在高中學(xué)這些課 程，特別是聲望比較

8、好的高中通過這些課程的考核后，其成績大學(xué)是承認(rèn)的，所 以這不但節(jié)省了時(shí)間，而且還節(jié)省了錢，因?yàn)楦咧薪虒W(xué)是免費(fèi)的，而大學(xué)是要收 學(xué)費(fèi)的，特別地，這些孩子很多都會(huì)被名牌大學(xué)錄取，考慮到名牌大學(xué)的不 俗學(xué)費(fèi)，所以節(jié)省的錢其實(shí)不少；其次，學(xué)生如果能在高中通過這些考試，這也 間接地證明了其能力，所以這也給他們申名牌大學(xué)提供籌碼。我問侄兒，代數(shù)I 主要包括些什么。侄兒說，主要是多項(xiàng)式、分解因式、一元一次方程、一元 一次不等式、一元二次方程等。我乂問，按照課程規(guī)劃，你們不是要到七年級(jí)才 學(xué)幾何嗎？為什么現(xiàn)在學(xué)幾何，而且在周木？表姐給我解釋道，因?yàn)橹秲耗钚W(xué) 時(shí)那所小學(xué)開設(shè)的兒何過于簡單，只會(huì)算一些周長和面積

9、，兒何預(yù)備知識(shí)不足， 所以學(xué)校安排給幾何有所缺陷的孩子周末補(bǔ)課，因此這不算正式的兒何課。真正 的兒何要下學(xué)期開設(shè)。 我開車送侄兒去髙中。諾大的停車場幾乎是滿的，原來許多高中學(xué)生周末自 己開車來學(xué)校搞體育比賽(美國16歲即可拿駕照開車)，有的家長也來湊熱鬧， 幫自己的孩子助威。這所高中是州內(nèi)很好的一所，一千多學(xué)生，一棟兩層的教學(xué) 樓，深紅色的磚外表，顯得結(jié)實(shí)而乂古色古香。 轉(zhuǎn)到一個(gè)僻靜處才找到一個(gè)停車 位置， 隨侄兒走進(jìn)教學(xué)樓主門。原以為主門處有值班員守候著，不料里面居然沒 有，空蕩蕩的，那份安靜和清涼，不經(jīng)意之間給人帶來一絲寒意。進(jìn)門后拐了兒 個(gè)彎，到了指定的教室。走進(jìn)教室一看，數(shù)學(xué)教師科林斯

10、女士已經(jīng)在那里準(zhǔn)備著 投影儀，還有一個(gè)白人小姑娘，臉頰曬得黑黑的，顯然是學(xué)生之一，在幫助老師 整理課桌。教室里大約有二十來張座位，顯得有些零亂。小姑娘見我這樣一個(gè)陌 生人來到，似乎略有不適，害羞地說了句嗨，然后繼續(xù)低頭整理課桌。 我給科林斯老師打了個(gè)招呼，說我從來沒有聽過美國中學(xué)生的課，您是否介意我 聽一堂課?？屏炙估蠋熜Φ?，當(dāng)然不介意，榮幸之至，You are absolutely welcome, 然后乂問你是不是懂?dāng)?shù)學(xué)(Do you understand math?)我不料科林斯老師會(huì)來 如此一問，一怔之下我只得說，我的專業(yè)是計(jì)算機(jī)科學(xué)和工程(Computer Science and E

11、ngineering) o科林斯老師哈哈笑道,原來如此，那你肯定懂了, 希望我剛才的問題沒有冒犯你 我和侄兒協(xié)助那位小女孩三下五除二將課桌擺得整整齊齊。 不一會(huì)兒， 上課 開始了，學(xué)生也都到齊了。我數(shù)了數(shù)，包括侄兒在內(nèi)，一共是十個(gè)學(xué)生，五個(gè)男 孩，五個(gè)女孩；四個(gè)學(xué)生看起來像中國人（其中兩個(gè)女孩）。我在最后一排撿了 個(gè)座位坐下，同時(shí)為了表示對老師的尊敬，我裝模做樣地拿出個(gè)筆記本做筆記。 其實(shí)我從小就是個(gè)喜歡交頭接耳的人，哪里學(xué)會(huì)了作筆記 . 很多時(shí)間里其實(shí) 我在考慮著給屈原前輩寫首七絕，力求心能二用。老師在臺(tái)上講她的，我在下面 寫詩，花一個(gè)小時(shí)寫首七絕打油，總沒有問題吧？ 教材很厚，精裝的，很重

12、。美國的教科書就這樣，乂簡單乂羅嗦，像八股文 境鴨似的手把手教讀者，那種謹(jǐn)小慎微，那種苦口婆心，倒似乎生怕讀者不會(huì)一 個(gè)蘿卜一個(gè)坑會(huì)走錯(cuò)腳步從而墜入萬丈深淵似的，我一直不誓歡這種羅嗦的風(fēng)格, 盡管我說話羅嗦。我喜歡簡潔簡明的教材，例如俄羅斯人編寫的，短短兒頁能囊 括很多內(nèi)容。 今天補(bǔ)習(xí)的內(nèi)容是第五章三角形，一開始就嘗試用三角形全等（Congruent Triangles） i證明等腰三角形的兩個(gè)底角相等（Congruent） ,以及其逆定理 （Converse Theorem） o看來上次課他們已經(jīng)講述了三角形全等的判定，學(xué)生們對 幾個(gè)判定方法都能對答入流，大家對證明這個(gè)定理似乎都沒有什么困難

13、（本來很 簡單，是不是），但是科林斯老師還是要求每個(gè)學(xué)生很嚴(yán)格、很詳細(xì)地寫出推導(dǎo) 步驥，說幾何的精箭和美就在于其邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)。他們的表述和我們以前的不一樣， 我們以前的半面兒何證明，通常都是因?yàn)?所以.的格式，對不對？他們則 列成兩欄，寫成如下的格式： Statement （論斷） Reason （理由） 證完后科林斯老師乂要求大家用笛卡兒標(biāo)架（平面解析兒何）去證明結(jié)論。 證完后科林斯老師乂要求大家將這個(gè)命題的逆命題（Converse）,反命題 仃nverse）以及逆反命題（Contrapositive）,并且引述了很簡單的形式邏輯。 總之，就我看來，課程的內(nèi)容很簡單，但是科林斯老師牽涉得很雜，

14、而且她似乎 在刻意傳授某種系統(tǒng)而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S（注：這個(gè)天才教育計(jì)劃的主要冃的就是培養(yǎng) 學(xué)生的口學(xué)能力）。如此這般大約過去了半個(gè)小吋。 隨后科林斯老師用投影儀展示了大約和上面這個(gè)圖差不多的圖形，其中 仁 N是所在邊的中點(diǎn)，然后要求大家直觀猜測所有可能的結(jié)論。大家七嘴八舌，三 個(gè)臭皮匠頂個(gè)諸葛亮似的，自然很快地猜到了 MN/BC, MN = BC*l/2o當(dāng)然， 大家都知道，這就是很簡單的中位線定理。不過呢，有位看起來像中國人的小女 孩也猜了個(gè)不對的結(jié)論，那就是三角形AMN的面積是三角形ABC的面積的一半。 科林斯老師先感謝這個(gè)學(xué)生的猜測，問她怎么會(huì)猜到這個(gè)結(jié)論。小姑娘說，因?yàn)?MN只有BC的一半，

15、所以對應(yīng)的三角形的面積也應(yīng)該只有一半。老師又問，從 圖上看，你覺得小三角形的面積有大三角形的面積一半嗎？小姑娘說，看起來是 沒有，大約只有三分之一，但是因?yàn)殚L度剛好一半，所以我覺得面積也應(yīng)該有一 半。我在后面看了，暗笑不已。天，要說服這個(gè)小姑娘可不容易呢，盡管她也承 認(rèn)面積看起來沒有一半，但是她很依賴門己的理性（盡管這種理性導(dǎo)致的猜測是 錯(cuò)的），幾乎到了寧信度無自信也的地步，且看科林斯老師如何說服她。 大家知道小三角形的面積只有大三角形而積的四分之一。要證明這點(diǎn)非常 簡單，科林斯老師假設(shè)L是BC的中點(diǎn)，連接LM,LN,這樣四個(gè)小三角形全等， 所以AMN的面積只有ABC的四分之一。小姑娘顯然被說

16、服了，但是科林斯老師 并未“罷休”，她先要小姑娘口算1/2 * 1/2是多少。小姑娘似乎有些迷惑， 因?yàn)檫@是小學(xué)二年級(jí)的算術(shù)，對不對，但還是遵照吩咐說了 1/40老師然后 耍這個(gè)小姑娘繼續(xù)說岀三角形的面積公式，小姑娘回答說是底線乘高然后除以2o 科林斯老師笑道，現(xiàn)在好了，小三角形的底線長度是大三角形的兒分之兒？小姑 娘答曰二分之一。那么高呢?小姑娘答曰二分之一。那么，1/2 * 1/2是多少？ 小姑娘羞澀一笑，道，1/4。 隨后科林斯老師乂像以前那樣要大家給出這個(gè)命題的逆命題、反命題、逆反 命題并且從形式邏輯出發(fā)判斷真?zhèn)?，然后用解析兒何證明了中位線定理。 休息幾分鐘后，繼續(xù)上課。科林斯老師先講述了什么是中線、垂線、角平分 線和垂直平分線，然后每個(gè)人發(fā)個(gè)作圖的工具，要求大家嚴(yán)格作圖，分別將三角 行的三條中線、垂線、角平分線和垂直平分線畫好，看能得出什么結(jié)論。當(dāng)然， 大家知道，這三條中線、垂線、角平分線和垂直平分線各自相交于一點(diǎn)，分別稱 為重心、