親歷美國數(shù)學(xué)課

1、離表姐家很近，盡管在不同的州，但是距離不到兩個小時的車程，所以周末 或者節(jié)假口偶爾也去表姐家玩。上個周末禮拜六，我就陪著我那差不多12歲的 侄兒聽了一堂初中數(shù)學(xué)課。這個侄兒還是以前在北京出生的，三歲就隨父母來到 了新澤西，所以漢語講得一點都不好。 美國的公立中小學(xué)建筑我自然見了很多， 通常每個學(xué)校只有一棟建筑，而且一般不超過坷層。小學(xué)（Elementary School） 一般規(guī)模較小，通常只有幾百人，初中（Middle School）較大一些，高中（High School）更大，一般的高中注冊學(xué)生大約在一千到兩T多人，有的人口稠密的地 區(qū)，據(jù)說一所高中可以有五千學(xué)生（例如在芝加哥）。大家可以

2、想像，兩千學(xué)生 全部集中在一棟建筑里，那棟建筑肯定是很大的，不熟悉的人進去后有時會覺得 置身于城堡之中，摸不清方向。中小學(xué)雖然見得多，但是若論在中小學(xué)聽課， 我這真還是破天荒第一次。其實別說聽課，之前我可連中小學(xué)的大門（指教學(xué)樓 的大門，不是指校門，因為一般沒有校門與I制墻）都沒有邁進過。這堂課是數(shù)學(xué) 課，大約兩個小時。出于好奇，我征得那位教師的允許后，也興致勃勃地和十來 個孩子一起坐在教室里，聽完了這堂兒何課。下面我就將這堂課實錄下來，供有 興趣的朋友參考。 可能先得交代兒句，這堂課的學(xué)生雖然都只是初一年級（六年級），但是卻 是高中課程。事實上那位教師，科林斯女士（也是位博士，只是不知是教育

3、學(xué)博 士還是數(shù)學(xué)博士，我也不好意思去問），是高中教師而不是初中教師。也就是說， 能上這堂課的學(xué)生都是學(xué)校的“尖子生”，因此這堂課可能并沒有什么代表意義， 和通常的課堂可能有比較大的差別。但是我只聽過一堂課，所知也只有這些。美 國的中小學(xué)義務(wù)教育一共是十二年， 有的地方六年級算小學(xué)， 有的算初中 （像我 這侄兒， 雖然是六年級， 但是算初中） ；有的地方高中有四年，有的只有三年, 不同的州、不同的縣、其至不同的城鎮(zhèn)規(guī)定都不一樣，但是加起來都必須是十二 年，因此高中畢業(yè)生通常都是十八歲，和咱們差不多。美國的學(xué)校沒有什么統(tǒng)編 教材。其實別說什么全國統(tǒng)編教材，即使在同一學(xué)校，不同的老師教材也不一樣，

4、有的共至壓根兒就沒有教材（特別是小學(xué)）。而且，通常情況下即使有教材，那 教材也是由學(xué)校發(fā)的。 美國的學(xué)校由于人種和文化背景等原因，學(xué)生水平相差很大（你看我們?nèi)朔N 和文化其實很單一的，但是學(xué)生所學(xué)相差也不小，對不對？美國學(xué)生的差距就更 大了）。通常美國學(xué)生按照人種分為亞裔、高加索血統(tǒng)白人（也就是“傳統(tǒng)”的 歐洲血統(tǒng)人，例如盎格魯-撤克遜、斯拉夫、口爾曼人等)、西班牙血統(tǒng)人、黑人 等，其中亞裔和高加索血統(tǒng)白人的智商明顯高于黑人和西班分血統(tǒng)人。因為公立 學(xué)校的教育必須立足于中下游學(xué)生，所以有些比較聰明的、學(xué)有余力的學(xué)生就會 覺得學(xué)校的課程過于簡單，所以基本上每個學(xué)區(qū)、每個學(xué)校都開設(shè)有各俱特色的 天才

5、學(xué)生培養(yǎng)計劃” (Gifted/Talented Programs) o除了豐富多彩的課外活動 外(這些課外活動通常包括體育、藝術(shù)、音樂、探險、數(shù)學(xué)、科學(xué)等興趣小組和 俱樂部)，這些比較聰明的孩子所開設(shè)的課程也比普通學(xué)生的更難。比如就數(shù)學(xué) 而言，他們通常初中就學(xué)高屮的內(nèi)容，高中學(xué)大學(xué)的內(nèi)容。 美國的中學(xué)所開設(shè)的課程，如果將雜七雜八的課程都算的話，估計上白門， 但是最主要的課程，還是和我們差不多:數(shù)學(xué)、閱讀(Reading).英語(English, 主要側(cè)重于寫作)、 科學(xué)(Science,以物理為主)、 社會科學(xué)(Social Science, 可能以歷史和文化為主)和生物(Biology),

6、其中最重要的是數(shù)學(xué)和閱讀。我這 侄兒的數(shù)學(xué)、閱讀和科學(xué)都在“天才班”(其實這沒有什么，中國人的孩子一般 都不套的，何況他父母都是早年北大畢業(yè)生)。一般情況下，我覺得美國孩子的 閱讀、寫作學(xué)得不算差，生物和科學(xué)(以物理為主)也算學(xué)得馬馬虎虎，唯一的 例外就是數(shù)學(xué)，學(xué)得非常差。 去學(xué)校之前，我拿了侄兒所在的天才教育班數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)劃。教學(xué)規(guī)劃上面是 這樣寫的： 六年級： 七年級： 八年級： 代數(shù) I (Algebra I) 兒何，代數(shù) II (Geometry, Algebra II) 代數(shù) IL 矩陣，統(tǒng)計(Algebra II Matrices, Statistics) 微積分預(yù)備課I,微積分預(yù)備

7、課II (Pre-calculus I, II) 微積分I,微積分II (Calculus I, II) d一年級：微積分 III (Calculus III),概率統(tǒng)計(Probability & Statistics) 十二年級：常微分方程(Differential Equations),線性代數(shù)(Linear Algebra) 侄兒所在的這個學(xué)區(qū)，6-8年級算初中，9-12年級算高中。大家看到, 對普通的美國學(xué)生而 言， 上而所列的6-9年級的課程其實是高中課程，10-12年級的課程其實是 大學(xué)課程。學(xué)生們在高中學(xué)些大學(xué)課程其實好處大大的，首先，在高中學(xué)這些課 程，特別是聲望比較

8、好的高中通過這些課程的考核后，其成績大學(xué)是承認(rèn)的，所 以這不但節(jié)省了時間，而且還節(jié)省了錢，因為高中教學(xué)是免費的，而大學(xué)是要收 學(xué)費的，特別地，這些孩子很多都會被名牌大學(xué)錄取，考慮到名牌大學(xué)的不 俗學(xué)費，所以節(jié)省的錢其實不少；其次，學(xué)生如果能在高中通過這些考試，這也 間接地證明了其能力，所以這也給他們申名牌大學(xué)提供籌碼。我問侄兒，代數(shù)I 主要包括些什么。侄兒說，主要是多項式、分解因式、一元一次方程、一元 一次不等式、一元二次方程等。我乂問，按照課程規(guī)劃，你們不是要到七年級才 學(xué)幾何嗎？為什么現(xiàn)在學(xué)幾何，而且在周木？表姐給我解釋道，因為侄兒念小學(xué) 時那所小學(xué)開設(shè)的兒何過于簡單，只會算一些周長和面積

9、，兒何預(yù)備知識不足， 所以學(xué)校安排給幾何有所缺陷的孩子周末補課，因此這不算正式的兒何課。真正 的兒何要下學(xué)期開設(shè)。 我開車送侄兒去髙中。諾大的停車場幾乎是滿的，原來許多高中學(xué)生周末自 己開車來學(xué)校搞體育比賽(美國16歲即可拿駕照開車)，有的家長也來湊熱鬧， 幫自己的孩子助威。這所高中是州內(nèi)很好的一所，一千多學(xué)生，一棟兩層的教學(xué) 樓，深紅色的磚外表，顯得結(jié)實而乂古色古香。 轉(zhuǎn)到一個僻靜處才找到一個停車 位置， 隨侄兒走進教學(xué)樓主門。原以為主門處有值班員守候著，不料里面居然沒 有，空蕩蕩的，那份安靜和清涼，不經(jīng)意之間給人帶來一絲寒意。進門后拐了兒 個彎，到了指定的教室。走進教室一看，數(shù)學(xué)教師科林斯

10、女士已經(jīng)在那里準(zhǔn)備著 投影儀，還有一個白人小姑娘，臉頰曬得黑黑的，顯然是學(xué)生之一，在幫助老師 整理課桌。教室里大約有二十來張座位，顯得有些零亂。小姑娘見我這樣一個陌 生人來到，似乎略有不適，害羞地說了句嗨，然后繼續(xù)低頭整理課桌。 我給科林斯老師打了個招呼，說我從來沒有聽過美國中學(xué)生的課，您是否介意我 聽一堂課?？屏炙估蠋熜Φ?，當(dāng)然不介意，榮幸之至，You are absolutely welcome, 然后乂問你是不是懂?dāng)?shù)學(xué)(Do you understand math?)我不料科林斯老師會來 如此一問，一怔之下我只得說，我的專業(yè)是計算機科學(xué)和工程(Computer Science and E

11、ngineering) o科林斯老師哈哈笑道,原來如此，那你肯定懂了, 希望我剛才的問題沒有冒犯你 我和侄兒協(xié)助那位小女孩三下五除二將課桌擺得整整齊齊。 不一會兒， 上課 開始了，學(xué)生也都到齊了。我數(shù)了數(shù)，包括侄兒在內(nèi)，一共是十個學(xué)生，五個男 孩，五個女孩；四個學(xué)生看起來像中國人（其中兩個女孩）。我在最后一排撿了 個座位坐下，同時為了表示對老師的尊敬，我裝模做樣地拿出個筆記本做筆記。 其實我從小就是個喜歡交頭接耳的人，哪里學(xué)會了作筆記 . 很多時間里其實 我在考慮著給屈原前輩寫首七絕，力求心能二用。老師在臺上講她的，我在下面 寫詩，花一個小時寫首七絕打油，總沒有問題吧？ 教材很厚，精裝的，很重

12、。美國的教科書就這樣，乂簡單乂羅嗦，像八股文 境鴨似的手把手教讀者，那種謹(jǐn)小慎微，那種苦口婆心，倒似乎生怕讀者不會一 個蘿卜一個坑會走錯腳步從而墜入萬丈深淵似的，我一直不誓歡這種羅嗦的風(fēng)格, 盡管我說話羅嗦。我喜歡簡潔簡明的教材，例如俄羅斯人編寫的，短短兒頁能囊 括很多內(nèi)容。 今天補習(xí)的內(nèi)容是第五章三角形，一開始就嘗試用三角形全等（Congruent Triangles） i證明等腰三角形的兩個底角相等（Congruent） ,以及其逆定理 （Converse Theorem） o看來上次課他們已經(jīng)講述了三角形全等的判定，學(xué)生們對 幾個判定方法都能對答入流，大家對證明這個定理似乎都沒有什么困難

13、（本來很 簡單，是不是），但是科林斯老師還是要求每個學(xué)生很嚴(yán)格、很詳細(xì)地寫出推導(dǎo) 步驥，說幾何的精箭和美就在于其邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)。他們的表述和我們以前的不一樣， 我們以前的半面兒何證明，通常都是因為.所以.的格式，對不對？他們則 列成兩欄，寫成如下的格式： Statement （論斷） Reason （理由） 證完后科林斯老師乂要求大家用笛卡兒標(biāo)架（平面解析兒何）去證明結(jié)論。 證完后科林斯老師乂要求大家將這個命題的逆命題（Converse）,反命題 仃nverse）以及逆反命題（Contrapositive）,并且引述了很簡單的形式邏輯。 總之，就我看來，課程的內(nèi)容很簡單，但是科林斯老師牽涉得很雜，

14、而且她似乎 在刻意傳授某種系統(tǒng)而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S（注：這個天才教育計劃的主要冃的就是培養(yǎng) 學(xué)生的口學(xué)能力）。如此這般大約過去了半個小吋。 隨后科林斯老師用投影儀展示了大約和上面這個圖差不多的圖形，其中 仁 N是所在邊的中點，然后要求大家直觀猜測所有可能的結(jié)論。大家七嘴八舌，三 個臭皮匠頂個諸葛亮似的，自然很快地猜到了 MN/BC, MN = BC*l/2o當(dāng)然， 大家都知道，這就是很簡單的中位線定理。不過呢，有位看起來像中國人的小女 孩也猜了個不對的結(jié)論，那就是三角形AMN的面積是三角形ABC的面積的一半。 科林斯老師先感謝這個學(xué)生的猜測，問她怎么會猜到這個結(jié)論。小姑娘說，因為 MN只有BC的一半，

15、所以對應(yīng)的三角形的面積也應(yīng)該只有一半。老師又問，從 圖上看，你覺得小三角形的面積有大三角形的面積一半嗎？小姑娘說，看起來是 沒有，大約只有三分之一，但是因為長度剛好一半，所以我覺得面積也應(yīng)該有一 半。我在后面看了，暗笑不已。天，要說服這個小姑娘可不容易呢，盡管她也承 認(rèn)面積看起來沒有一半，但是她很依賴門己的理性（盡管這種理性導(dǎo)致的猜測是 錯的），幾乎到了寧信度無自信也的地步，且看科林斯老師如何說服她。 大家知道小三角形的面積只有大三角形而積的四分之一。要證明這點非常 簡單，科林斯老師假設(shè)L是BC的中點，連接LM,LN,這樣四個小三角形全等， 所以AMN的面積只有ABC的四分之一。小姑娘顯然被說

16、服了，但是科林斯老師 并未“罷休”，她先要小姑娘口算1/2 * 1/2是多少。小姑娘似乎有些迷惑， 因為這是小學(xué)二年級的算術(shù)，對不對，但還是遵照吩咐說了 1/40老師然后 耍這個小姑娘繼續(xù)說岀三角形的面積公式，小姑娘回答說是底線乘高然后除以2o 科林斯老師笑道，現(xiàn)在好了，小三角形的底線長度是大三角形的兒分之兒？小姑 娘答曰二分之一。那么高呢?小姑娘答曰二分之一。那么，1/2 * 1/2是多少？ 小姑娘羞澀一笑，道，1/4。 隨后科林斯老師乂像以前那樣要大家給出這個命題的逆命題、反命題、逆反 命題并且從形式邏輯出發(fā)判斷真?zhèn)危缓笥媒馕鰞汉巫C明了中位線定理。 休息幾分鐘后，繼續(xù)上課。科林斯老師先講述了什么是中線、垂線、角平分 線和垂直平分線，然后每個人發(fā)個作圖的工具，要求大家嚴(yán)格作圖，分別將三角 行的三條中線、垂線、角平分線和垂直平分線畫好，看能得出什么結(jié)論。當(dāng)然， 大家知道，這三條中線、垂線、角平分線和垂直平分線各自相交于一點，分別稱 為重心、