2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)平面解析幾何高考專題突破五高考中的圓錐曲線問題學(xué)案文北師大版

1、【考點(diǎn)自測】高考專題突破五高考中的圓錐曲線問題1. （2017 全國出）已知雙曲線 C：= 1（a>0, b>0）的一條漸近線方程為y=gx,且與橢圓得+=1有公共焦點(diǎn)，則 C的方程為（ 12 322A.百10= 1 y .B.4-5=122c.x- - v_= 122D.x4-y3= 1答案解析,5 b 5由y= 2x,可信a= 2 .由橢圓22x y行+=1的焦點(diǎn)為(3,0)12 3，(3,0),可得a2+ b2=9. 由可得a2=4,2-1，x所以c的方程為-4b2=5.25=1.故選B.22x y2. （2017 全國出）已知橢圓 C:孑+=1（ a>b>0）的

2、左、右頂點(diǎn)分力1J為 A, A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx- ay+2ab=0相切，則 C的離心率為（）B. ¥ C.答案解析由題意知,A1A2為直徑的圓的圓心為（0,0）,半徑為a.又直線bxay + 2ab=0與圓相切,圓心到直線的距離d= J2ab / a,解得 a=J3b,e=c=鼻=Ji- a a1 3 .故選A.3. （2017 全國I ）已知F為拋物線C: y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線11, l 2,直線11與C交于A B兩點(diǎn)，直線l 2與C交于D, E兩點(diǎn)，則| AB + | DE的最小值為（）A. 16 B . 14 C . 12 D .

3、10答案 A解析因?yàn)镕為y2=4x的焦點(diǎn),所以F(1,0)由題意知直線11, 12的斜率均存在，且不為、一 ，一一， 一 ，一一，1 ,0,設(shè)11的斜率為k,則12的斜率為故直 k1線 11, 12的萬程分別為 y = k(x- 1), y=k(x1).y=k(x1 2 222由 2/ 得 kx (2 k + 4)x+k = 0.y = 4x,顯然，該方程必有兩個不等實(shí)根.2k + 4設(shè) A(x1, y1) , Rx2, y2),則 x + x2 = -2, x1x2= 1,k所以 | AB =5 + k2 Ix1-x2| =、1 + k2 + x2 j 4x1x2同理可得| DE = 4(1

4、 +k2).所以 | AB +1 DE = 41;2-K 4(1 + k2)在 1+1 + k k8+4X2= 16,= 8+4 H當(dāng)且僅當(dāng)k2=3,即k=±l時，取得等號.k故選A.4. （2017 北京）若雙曲線x2 3= 1的離心率為 小,則實(shí)數(shù)m= 答案 2解析由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知a= 1, b2=mi c=11 + m c _故雙曲線的離心率e=.=小小=#,225. (2017 山東)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，雙曲線、一b2=1(a>0, b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A, B兩點(diǎn)，若| AF + | BF = 4| OF

5、,則該雙曲線的漸近線方程為 答案 y=±解析 設(shè) A(xi, yi) , B(X2, y2),x y得 a2y2 2pb2y+a2b2= 0, 廠1，由a bx2 = 2py,顯然，方程必有兩個不等實(shí)根.2pb2 yd y2= a2.又I AF| + | BF| =4| OF ,a*.雙曲線的漸近線方程為2 y=± 2 x.P P P r ，yi+5 + y2+?= 4x 2，即 yi + y2=p,2pb2. b2 1丁 = P,即孑=2,題型分類深度剖析IE例典題深度剖析重點(diǎn)難點(diǎn)密堆探究題型一求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程22例1 (2018 佛山模擬)設(shè)橢圓勺+3=1( a&g

6、t;b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2,上頂點(diǎn)為B.若a b| BE| = | F1F2I = 2,則該橢圓的方程為()0 X22 .c X22C.萬 + y = 1B.3+y = 1x1 2 .D.4+y = 1答案 A解析 | BF2| = | F1F2I =2,a=2c= 2,22 ' a= 2, c= 1,b= >/3,橢圓的方程為 二 十 七=1.43思維升華求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、簡單性質(zhì),解得標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)，從而求得方程.跟蹤訓(xùn)練1已知雙曲線 "b2=1(a>0, b>0)的一個焦點(diǎn)為F(2,0

7、),且雙曲線的漸近線與圓(x 2)2+y2 = 3相切，則雙曲線的方程為()22B.135=122A. 8 13 =1_ X22C.3-y=12D. x2-y= 13答案 D22解析 雙曲線 £ bl的一個焦點(diǎn)為F(2,0),則 a2+b2=4,b雙曲線的漸近線方程為y=±ax,由題意得聯(lián)立解得b=，3, a=1,所求雙曲線的方程為x2 1=1,故選D.題型二圓錐曲線的簡單性質(zhì)例2 (1)(2018屆遼寧凌源二中聯(lián)考322)已知雙曲線C： »1y6=1(a>0)的一個焦點(diǎn)為(5,0),則雙曲線C的漸近線方程為()B. 4x±/4iy=0D. 4x

8、± 3 y = 0A 4x±3y= 12C. 16x±9y=0答案 D解析由題意得c=5,則a2=c216=9,即a=3,所以雙曲線的漸近線方程為y=±4x,3即 4x±3y= 0,故選 D. 2_ _ 2x=2pt ,(2)(2016 天津)設(shè)拋物線 ，(t為參數(shù)，p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l .過拋物線上y=2pt一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為 B.設(shè)Cp, 0 ', AF與BC相交于點(diǎn)E.若| CF =2| AF ,且 ACE的面積為3，2,則p的值為.答案 ，6x= 2pt2, 解析由：y= 2pt又| CF =2| AF| 且

9、 | CF7 p2P2=3p,(p>0)消去t可得拋物線方程為y2= 2px( p>0),3I AB = | AF| = 2p,可得Mp,陋p).易知 AE小 FEC|AE |AB 1= _.|FE |FC 2'故及ACE= -Saach -X 3 p x 33= *p2=3 但p2= 6, - p>0,p=(y6.思維升華 圓錐曲線的簡單性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線漸近線是?？碱}型，解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握各性質(zhì)的定義,及相關(guān)參數(shù)間的聯(lián)系. 掌握一些常用的結(jié)論及變形技巧，有助于提高運(yùn)算能力.跟蹤訓(xùn)練2 (2017 全國H)若雙曲線 C：22x y

10、孑一=1(a>0, b>0)的一條漸近線被圓(x 2)2 +y2 = 4所截得的弦長為2,則C的離心率為A. 2B. 3 C. 2 D.13答案解析設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為圓的圓心為(2,0),半徑為2,由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為22-12;乖.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得尸2b| 2=娟，解得b2=3a2.所以C的離心率e = ca2+ b2 一a1 + /2.故選A.例3 (2017 浙江)如圖，已知拋物線 x2=y，點(diǎn) A,拋物線上的點(diǎn)Rx,y)-2< x< 2 ；過點(diǎn)B作直線(1)求直線AP斜率的取值范圍;(2)求 | PA I PQ的最大值.解(1)由

11、Rx, y),即 P(x,題型三最值、范圍問題21設(shè)直線AP的斜率為k,x .41則 k=1= x 2,x+213因?yàn)橐?<x<2.所以直線AP斜率的取彳1范圍為(1,1) .,1,1 ckx y+ 2k+ 4= 0，(2)聯(lián)立直線AP與BCW方程(.93 八x+ky-k-= 0,42,2t=r k + 4k+ 3 解得點(diǎn) Q的橫坐標(biāo)是 xq= -2位2+ 1).因?yàn)?| PA =小 + k2 Jx + 2 !=41+ k2(k+ 1),2| PQ =3 + k2( xq- x)=-(一廠2=),:k + 1所以 |PA - I PQ = (k1)( k+1)3,令 f(k)=-(

12、k-1)(k+1)3, 2 因?yàn)?f' ( k) = (4 k- 2)( k+1),所以f(k)在區(qū)間11,3 1、上單調(diào)遞減.因此當(dāng)1-k=2時，I PA I PQ 取27將取大值-.思維升華 圓錐曲線中的最值、范圍問題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度 考慮，通過建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等根據(jù)圓錐曲線的幾何意義求方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的簡單性質(zhì)的角度考慮,最值與范圍.跟蹤訓(xùn)練3 (2016 山東)平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:牙+b2=1(a>b>0)的離心率是 g拋物線E： x2=2y的焦點(diǎn)F是C的一

13、個頂點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是E上的動點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線l與C交于不同的兩點(diǎn) A, B,線段AB的中點(diǎn)為D.直線ODW過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn) M求證：點(diǎn)M在定直線上； , S 直線l與y軸交于點(diǎn) G記PFG勺面積為S, PDM勺面積為S2,求士的最大值及取得最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo).(1)解由題意知"am =乎，可得a2=4b2,因?yàn)閽佄锞€E的焦點(diǎn)為fJo, 1 j,所以b=a= 1,所以橢圓C的方程為x2+4y2= 1.(2)證明 設(shè)Pmi£ (m>0),由x2= 2y,可得y' = x,所以直線l的斜率為m因此直線m2l的方程

14、為y- - = nmx- n).2 m 即 y = mx-.設(shè) A(x1, y1), B(x2, v2 ， D(xo, yo).2+ 4y2= 1,聯(lián)立方程彳m2y=mx- k得(4 m+ 1) x2 - 4m3x + m4- 1 = 0.由 A>0,得 0<訴72 +，5(或 0<m<2+4) . (*)L4m32m3公m2m-m2-、，y01且xi+x2=zm=，因此x0=4mn，將其代入y=mx-5，得"=而不彳因?yàn)間=4m 1所以直線ODT程為y = - 4mx,1r 1y = 丁x,1聯(lián)立方程£4m 得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM= 4,x=m 1,

15、所以點(diǎn)M在te直線y=二上.42解 由知直線l的方程為y= mx-號,令X"得y=_m，所以G,m2) m 八12m又P0萬產(chǎn)：，2 D加丹,所以 S = 2 - I GF m=(m：1 m2-m2(4m2+ 1)；112m2+12m3+S2= - I PM , I mi xo| = -x274m+ 1.2m2+ 1 28(4m2+1 jS 2 4m2+1 m2+ 1 所以ST2m12.設(shè) t = 2m2+ 1,則 11 =S22,一1 jt + 1)_2t +t -1t2= t211 c一廿戶2,11 rr當(dāng)f = 2,即t = 2時,S1_ 9三取到最大值S24此時m=*，滿足(

16、*)式，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為14.因此I的最大值為9,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為題型四定點(diǎn)、定值問題例4 (2017 益陽、湘潭調(diào)研)已知動圓P經(jīng)過點(diǎn)N1，。)，并且與圓 M (x+1)2+y2=16相 切.求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)設(shè)Gm,0)為軌跡C內(nèi)的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)G且斜率為k的直線l交軌跡C于A, B兩點(diǎn)，當(dāng)k為何值時，co =| GA2+ | GB2是與m無關(guān)的定值，并求出該定值.解 (1)由題設(shè)得 | PM+| PN=4>| MN=2,，點(diǎn)P的軌跡C是以M N為焦點(diǎn)的橢圓，. 2a=4,2 c= 2,b=也2c2 =J3,22，點(diǎn)P的軌跡C的方程為+ = 1.(2)設(shè) A(xi, y>

17、; B(X2, y2), Gm,0)( -2<mc2), 直線 l ： y= k(x- m),y=k(x-m)由 x2 y2口 + 十 1'得(3 + 4k2) x2 8k2mx+ 4k2n2 -12=0,8mk4k2n212x1 + x2=4k2+3' x1x2= 4k2+3 'y1 + y2= k(x-n) + k(x2-n) y1 y2= k2( x1 n)( x2 n)=k( x+ x2) 2km=6mk4k2+3.=k2x1x2 k2n( x1 + x2) + k2n2=3.4k +322_22_ 22 . I GA + |GB=(x1一 n) +y+(

18、x2 n) +y2=(x1 + x2)2 - 2x1x2- 2n(x1 + x2) +2n2+ (y + yz)22y1y2= (k2+1)-6n24k2-3+q224 3+4k2 .'44k +3 3 =|GA2+| GB2的值與 n無關(guān)，4 k23=0,解得 k= 土 乎.此時 3 = | GA2+ | GB2= 7.思維升華求定點(diǎn)及定值問題常見的方法有兩種(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.跟蹤訓(xùn)練4已知橢圓C： 9x2 + y2= m2( m> 0),直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C

19、 有兩個交點(diǎn)A, B,線段AB的中點(diǎn)為M(1)證明：直線 OM勺斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過點(diǎn)§ m；延長線段 OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB否為平行四邊形？若能, 求此時l的斜率；若不能，請說明理由.證明 設(shè)直線l ： y=kx + b(kw0, bw0),A：xi, yi) , B(x2, y2), Mxm, yq .將y=kx + b 代入 9x2 + y2=m,得(k2+9)x2+2kbx+b2m= 0,故xm=xi + x2 kb9b= k2+9' yM= kxM+ b=k2T9.，一一 yM 9 -于是直線O郵斜率 k0M= xm= -k，即 k&#

20、176;M. k=-9.所以直線OM勺斜率與l的斜率的乘積為定值.(2)解 四邊形OAP睢為平行四邊形.因?yàn)橹本€l過點(diǎn)m由中判別式 A=4k2b2 4(k2 + 9) - ( b2-n2)>0 ,得 k2n2>9b2- 9m2,k 又b= m- 3m所以2 2k 22k m>9m- 3ml - 9m,得k2>k26k,所以k>0.所以l不過原點(diǎn)且與 C有兩個交點(diǎn)的充要條件是k>0, kw3.9由(1)得OM勺方程為y= -x. k設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xp,9,Jy=-kx，由 k.9x2 + y2 = m2,/口 2k2m行 xP=9kr i土 kmxP 3 ,

21、 k2+ 9將點(diǎn)，m>坐標(biāo)代入l的方程得b53產(chǎn),因此xm=四邊形OAP的平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xp= 2xmkm(k 3)3(k2 + 9 y土 km于是口 = 2X3 , k +9解得 ki = 45，k2=4+77.因?yàn)閗 >0, kiW3, i =1,2 ,所以當(dāng)l的斜率為4寸或4 + 47時，四邊形 OAP的平行四邊形.題型五探索性問題例5（2018 泉州模擬動直線l與橢圓相交于）如圖，橢圓 E： £+b2=1（a>b>0）的離心率是平，過點(diǎn) P（0,1）的A, B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為2

22、2.（1）求橢圓E的方程;（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn) P不同的定點(diǎn)Q,使得黑=圖恒成立？若| Q畢 1PB存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解（1）由已知，點(diǎn)（42, 1）在橢圓E上,2,1,孑+b2 jI因此 a a2-b2=c2,I乙亞解得 a= 2, b=d2,所以橢圓E的方程為22x y7+i=1.（2）當(dāng)直線l與x軸平行時，設(shè)直線l與橢圓相交于 C, D兩點(diǎn)，如果存在定點(diǎn) Q滿足條件,即| QC = IQD,所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè) Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0 , V。.當(dāng)直線l與x軸垂直時，設(shè)直線l與橢圓相交于 M N兩點(diǎn)，則M N的坐標(biāo)分別為（0, V2）（0,-

23、啦），回=心|y。-也| a/2-1田 |QN IPN'|y0 + V2r<2+1,解得yo= 1或yo= 2,所以若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條彳%則 Q點(diǎn)坐標(biāo)只可能為（0,2）.證明如下：對任意直線l ,均有窩一暮，其中Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）.| QB | PB當(dāng)直線l的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立;當(dāng)直線lx2聯(lián)立$4+2=1,得(2k2+1)x2+4kx2=0,其判別式的斜率存在時，可設(shè)直線 l的方程為y = kx+1, A, B的坐標(biāo)分別為（xi, yi） ,（x2,y2），4k 所以 x1 + *2= .2,2k +1, 11 x1 + x2因此 x1+x2=F7=

24、2k易知點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（一X2, y2）,y1 2 kx1 - 1又 kQA=XiXiy2 2 kx2 11=一 k+ = kx2 x2x2所以kQA= kQB，即Q A, B'三點(diǎn)共線,所以|QA |QA |x1|PA|QB |QB I |X2|PB'故存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q0,2）,使得1"QAjPA恒成立.| QB 1PB思維升華（1）探索性問題通常采用定順推法”，將不確定性問題明朗化. 其步驟為假設(shè)滿足條件的元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在，用待定系數(shù)法設(shè)出， 列出關(guān)于待定系數(shù)的方 程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素 （點(diǎn)、直線、曲線或參

25、數(shù)）存在；否則，元素（點(diǎn)、直線、 曲線或參數(shù)）不存在.（2）反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題常用的方法.跟蹤訓(xùn)練5 （2018屆珠海摸底）已知橢圓G,拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上，G的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn) Q從每條曲線上各取兩個點(diǎn)，其坐標(biāo)分別是（3, 25），（ 2, 0）, （4,-4),乎；(1)求G, G的標(biāo)準(zhǔn)方程;M n且滿足Oim_ On(2)是否存在直線l滿足條件：過G的焦點(diǎn)F;與C交于不同的兩點(diǎn) 若存在，求出直線方程；若不存在，請說明理由.解 設(shè)拋物線C2: y2 = 2px(pw0),2一，y則有 L=2p(xw0), x據(jù)此驗(yàn)證四個點(diǎn)知(3, 2，3), (4, 4)在拋物

26、線上，易得，拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 G: y2=4x； 22設(shè)橢圓 G： a2+b2= 1(a>b>0),把點(diǎn)(一2,0),卜盧，乎«弋入可得a2=4, b2= 1.x22所以橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為-+y2=1.4(2)由橢圓的對稱性可設(shè) G的焦點(diǎn)為F(1,0),當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x= 1.直線l交橢圓Ci于點(diǎn)N 1,Om On o,不滿足題意.當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線 l的方程為y=k(x1),并設(shè) M(x1, y1) , N(x2, y2),k(x-1 )x2+ 4y2= 4,消去 y,得(1 +4k2)x28k2x+4(k21) =0,08k24

27、 k2 1'是 x1 + x2=2 x1x2=2 ,1+4k '1 + 4k 'y1y2=k(x1 1) , k(x21),2=k x1x2k2( x1 + x2) + k2="一差2, 1 + 4k由 OMlOn 得 Om On= o, 即 x1x2+yy2= 0.一一m 4 k213k2k24將代入式，得 黃菊一不？= 皆=°， 解得k=±2.經(jīng)檢驗(yàn)，k=±2都符合題意.所以存在直線l滿足條件，且l的方程為2xy2=0或2x+y2=0.課時作業(yè)3基礎(chǔ)保分練1.已知橢圓C的離心率為孚，點(diǎn)A, B, F分別為橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和

28、右焦點(diǎn)，且&ABF=1更 2(1)求橢圓C的方程； (2)已知直線l： y=kx+m被圓Q x2 + y2= 4所截得的弦長為2爐，若直線l與橢圓C交于 M N兩點(diǎn)，求 MOIW積的最大值.22解(1)由題意知，橢圓 C的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為a2+b2= 1(a>b>0),34'2 c2 a2 b2 e = -2= 2-a a1. a2= 4b2,即a= 2b,可得c=,b,Sk ABF=1132| AF - | OEB =2(a-c) b= 1-2-,b= 1, a= 2,x22，橢圓C的萬程為-+ y =1.(2)由題意知，圓 O的半徑r = 2,

29、弦長l = 2，3,圓心O到直線l的距離d= I 匕業(yè)-邰2 = 1, 即-j= 1,所以 ni= 1 + k2.Z= kx+ m,22.2消去 y,得(1 + 4k )x + 8km奸 4( m-1) = 0, a =16(4k2-ni+1) =48k2>0, . .kw。，設(shè) Mxi, y1), Nx2, v2 ，則 Xi + X2= 一8km1 + 4k2'24m 4XlX2=-1 4k '| MN =，1 + k, y(Xi - X2 j =1 + k2 + X2 j 4X1X2=巾 + k2=1 + k28km、24m42477-21 + 4k !1 + 4k4

30、 ,4k -m+ 14k2+ 14 ：3| k|4k2+ 1_4#3k：fk2+1)=4k2 +1，A MON勺面積為& MON=MNX1 =2,3k2 k2+ 14k2+l，令 t = 4k2+ 1>1,貝 U S= 2過E作斜率CD的中點(diǎn).當(dāng)t = 3,即k=±言-時， MON勺面積取到最大值 1.2. (2018 新余聯(lián)考)如圖所示，已知點(diǎn)E(m,0)為拋物線y2 = 4X內(nèi)的一個定點(diǎn),分別為k1, k2的兩條直線，分別交拋物線于點(diǎn)A, B, C D,且M N分別是(1)若m= 1, k1k2= 1,求 EMNT積的最小值;(2)若k1+k2= 1,求證：直線 M

31、N±定點(diǎn).解 當(dāng)m= 1時，E為拋物線y2= 4x的焦點(diǎn)，.k1k2=-1, /.ABICD直線 AB的方程為y=k1(x1),設(shè)A(xi,y1),B(X2,y2),由;y2=ki?T > y = 4x,得 kiy2- 4y 4ki= 0,顯然方程有兩不等實(shí)根,4yi+y2=7, yiy2=_4) kiyi +y22?,',xi + x2.AB的中點(diǎn)為M1 2xi + x2= y+ i +y"+ i = A+ 2.kikikii 2 i? kJ同理，點(diǎn) N2k2+i, 2ki).1(2)證明4.直線 AB的方程為 y = ki(xn),設(shè) A(xi, yi)

32、, Rx2, y2),由y= ki(x mj,2,|y =4x,得kiy24y 4kim= 0,顯然方程有兩不等實(shí)根.yi + y2=yiy2= 4m,ki儀i + x2yi + y2、AB的中點(diǎn)為一，F(xiàn) )，, yi ,一 y2, 一 xi + x2= + mki ki4ki=ki+ 2m=記.,. kMN= = kik2ki + k2. .直線 MN y- 1-= kik2 X- ki即 y= kik2(x m + 2,直線MN1過定點(diǎn)(m,2).4x相交于求出該3. (2017 衡水聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，過點(diǎn)C(2,0)的直線與拋物線 y21. B兩點(diǎn)，設(shè) A(xi, yi)

33、, B(X2, y2).求證：yiy2為定值；(2)是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在, 直線方程和弦長；如果不存在，請說明理由.(i)證明 方法一 當(dāng)直線AB垂直于x軸時，yi = 2也，y2=-2/因此yiy2= 8(定值).當(dāng)直線AB垂直于x軸時，設(shè)直線AB的方程為y=k(x 2),y= k(x-2 2由2 J 得 ky4y8k=0.y = 4x,yiy2= - 8.因此有yiy2= 8,為定值.方法二顯然直線AB的斜率不為0.設(shè)直線AB的方程為my= x-2,my= x- 2,由4 2得 y? 4my-8=0.ly =4x,，yiy2=8,為定值.(

34、2)解 設(shè)存在直線l: x= a滿足條件, 則AC的中點(diǎn)為E2112, £ I,I AC =叱xi-2 2+yi.因此以AC為直徑的圓的半徑r = 2| AC = 2V(xi-2 2+y2 = 27x2+4,一一八、,. Xi+2又點(diǎn)E到直線x=a的距離d= 121- a故所截弦長為2j2=力於+4尸償當(dāng)a)=#2+ 4 (xi+ 2 2a j=yj 4(1 a ,i + 8a4a2.當(dāng)1 a=0,即a=1時，弦長為定值 2,這時直線方程為 x=1.4. 已知橢圓 C： x2+2y2 = 4.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn) A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y=2上，且OALO

35、B試判斷直線 AB與圓 x2 + y2=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.22解(1)由題意知，橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+y2=1,所以 a2=4, b2 = 2,從而 c2=a2b2=2.因此 a= 2, c= 2.故橢圓C的離心率e=a 2(2)直線AB與圓x2+y2 = 2相切.證明如下：設(shè)點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為(xo, yo), (t, 2),其中x0w0.因?yàn)?OALOB 所以 OA- OB= 0,即 tx o+ 2yo= 0,解得 t = xo.t2 .一當(dāng)xo=t時，yo=萬，代入橢圓C的方程，得t = ±J2,故直線AB的方程為x=±42,圓心O到直線AB的距離d=

36、M2.此時直線 AB與圓x2+y2 = 2相切.,一，yo - 2當(dāng)xowt時，直線 AB的方程為y- 2=-(x-1).x。一 tIP( yo 2) x (xo t)y+2xoty o= o.圓心O到直線AB的距離,|2 Xo_ty o|d12L.，一/(yo 2)+ (xo t )又 x2+2y2=4, t = - -y-, xo2y22xo十 一一 一xo故 d/2=1 22 , 4yo ,.、/xo+ yo + 2+42.,24 + xoxo匚4 42V2./xo+ 8xo+ 16V2x2此時直線AB與圓x2+y2 = 2相切.綜上，直線AB與圓x2 + y2=2相切.V技能提升練5. (2018 商丘質(zhì)檢)橢圓C： £+、= 1(a>b>0)的離心率e= 4,a+b=3.(1)求橢圓C的方程;(2)如圖所示，A, B D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N,直線AD交BP于點(diǎn)M設(shè)BP的斜率為k, MN的斜率為 m證明：2mv k為定值.“3 c解因?yàn)閑=t=一,2 a2.1所以a=1c, b=1c.代入 a+b= 3 得，c= 313, a= 2, b= 1.x22故橢圓C的方