第六屆華杯賽決賽二試試題及答案

1、第六屆華杯賽決賽二試試題1. “一，'“是四位數(shù)，a,b,c,d均代表I , 2, 3, 4中的某個數(shù)字，但彼此下同，例如2134。請寫出所有滿足關(guān)系：av b, b>c, cv d的四位數(shù)來.2. 在1997行和1997列的方形棋盤上每格都裝有一盞燈和一個按鈕，按鈕每按一次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態(tài)，即由亮變不亮，不亮變亮。如果原來每盞燈都是不亮的，請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮？3. A , B兩地相距I05千米，甲、乙二騎車人分別從A, B兩地同時相向出發(fā)，甲速度為每小時40千米，出發(fā)后I小時45分鐘相遇，與乙在M地相遇，然后繼續(xù) 沿各自方

2、向往前騎。 在他們相遇3分鐘后，甲與迎面騎車來的丙在 N地相遇，而丙在C地追及上乙。若甲以每小 時20千米的速度，乙以每小時比原速度快2千米的 車速，二人同時分別從 A, B出發(fā)，則甲、乙二人在 C點相遇。問丙的車速是多少 ？丄L1AC P 肌 NB4. 圓周上放有N枚棋子，如右圖所示，B點的一枚棋子緊鄰 A點的棋子。小洪首先拿走 B 點處的I枚棋予，然后順時針每格一枚拿走 2枚棋子，連續(xù)轉(zhuǎn)了 10周，9次 越過當(dāng)將 要第10次越過A處棋子取走其它棋子時，小洪發(fā)現(xiàn)圓周上余下 20多枚棋子。著N是I4的 倍數(shù)，請幫肋小洪精確計算一下圓周上還有多少枚棋子？5. 八個學(xué)生8道問題。（a）若每道題至少

3、被 5人解出，請說明可以找到兩個學(xué)生，每道題至少被這兩個學(xué)生中的一 個解出。（b）如果每道題只有4個學(xué)生解出，那么（a）的結(jié)論一般不成立。試構(gòu)造一個例子說明這點。 6長邊和短邊的比例是 2: 1的長方形稱為基本長方形。 用短邊互不相同的基本長方形拼圖， 要求任意兩個長方形之間：（1）沒有重疊部分；（2）沒有空隙。試用短邊互不相同且最小短邊為1的五個基本長方形拼接一個更大的長方形，若-"'/ 丁 了 】，分別為5個短邊，我們將大長方形記為（"，"，）。例如（1 , 2, 5, 6, 12）就可以拼成一個長方形（見示意圖，圖中數(shù)字是所在長方形短邊之長），是一個

4、解答。請盡可能多地寫出其它的解答（不必畫圖）。注意：示意圖是用解答中 5個基本長方形拼成的一個長方形的 拼圖方法，存在其它拼圖方式，但只要五個基本長方形相同則認(rèn)為是同一解答。126125參考答案1. 【解】b只能在3、4中取，c只能在1 , 2中取b、c取定后，a、d不難選取，共有 5個滿足要求的，即 1324; 1423; 2314; 2413; 3412。2. 【解】當(dāng)一盞燈經(jīng)奇數(shù)次變換后是亮的，經(jīng)偶數(shù)次變換后是滅的所以只需將某一行（或某一列）的按鈕均變換一次，這樣，非此行（或列）的格子均變換1次，而該行（或列）的格子均變換了 1997次，所以每盞燈均經(jīng)過奇數(shù)次變換，結(jié)果都亮了。這也是最少

5、的變換次數(shù)，因為如果減少一次變換，就會造成被減少變換的格子所在的列（或行）的燈不亮3. 【解】設(shè)當(dāng)甲以 40千米/小時騎車與丙在 N地相遇時，乙位于 P地，如上圖當(dāng)甲以40千米/小時的速度騎車與乙在M地相遇時.1-甲騎車的路程：AM= 40X= 70（千米），乙騎車的路程：BM= 105 70= 35（千米），7則乙的速度是：35十二=20（千米/小時）_3_3分鐘后，丙乙相距：PN= （40 + 20） Xi, = 3（千米），_3_乙騎車到P的路程：BP= 35 + 20X '11= 36（千米），105乙從P騎車到c的路程：PC=工 二X 22 36= 19（千米），乙從P到C所

6、用的時間：19-20= 二（小時）193_23 乙從P到C所用的時間也是丙從 N到C所用的時間，所以，丙的車速是：3： + 20=.?（千米/小時）23-答：丙的車速是-千米/小時.4. 【解】設(shè)圓周上余 a枚棋子，從第9次越過A處拿走2枚棋子到第10次將要越過A處棋 子時，小洪拿走了 2a枚棋子，所以在第 9次將要越過A處棋子時，圓周上有 3a枚棋子.依 此類推，在第8次將要越過 A處棋子時，圓周上有:a枚棋子，在第 1次將要越過 A 處棋子時，圓周上有丁 a枚棋子，在第1次將要越過A處棋子之前，小洪拿走了 2（ 丁 a 1） + 1 枚棋子，所以 N= 2（a 1） + 1+ J a= J

7、 a 1.N=a 1 = 59049a 1是14的倍數(shù)。N就是2和7的公倍數(shù)，所以a必須是奇數(shù)；又 N= (7 X 8435+ 4)a 1 = 7X 8435a+ 4a 1,所以 4a 1 必須是 7 的倍數(shù).當(dāng) a= 21, 25, 27, 29 時，4a 1不是7的倍數(shù)，當(dāng)a= 23時,4a 1 = 91 = 7X 13,是7的倍數(shù).答：圓周上還有23枚棋子.5. 【解】(a)設(shè)解題最多的人解出 d道題將解出的題數(shù)相加，八個人至多解出8d道，另一方面，每題至少被 5個人解出，八個人至少解出 8X5道題。所以8d> 8X 5, d> 5 d= 8時， 結(jié)論成立d= 7時，必有人解

8、出剩下的一道題，這兩人為所求，d= 6時，剩下的兩道題，各有5人解出，5+ 5> 7。所以至少有一人同時解出這兩道題，他與解題最多的人為所求，d=5時。另三道題每道各有 5人解出，設(shè)這三道題是 6, 7, 8，解出6的人數(shù)與解出7的人 數(shù)之和為10,而除解題最多的人外只有 7人，所以，有三人同時解出6, 7二題，又解出8的人數(shù)為5, 3+ 5= 8>7,所以必有一人同時解出6, 7, 8這三道題，他與解題最多的人為所求。(b)如表，表中如果*位于第i行，第j列，則表示第i個學(xué)生正確解答第j題.A I七八*23鼻4*51 *-6ft718*6. 【解】共有16組解答，它們是(1 , 2,2, 5, 5, 7, 25) ; (1,2, 2, 5, 5,14,5) ;(1, 2,2,25, 2, 5, 3,625); (1,2, 2.25 , 2.5, 7.25) ; (1 , 2,5 , 5.5 , 6); (1 ,2 ,5 ,6 ,11) ;(1, 2. 2.5 ,4.5 ,7);(1 , 2 ,2.5 ,4.5 , 14) ; (1 ,2, 2.5 , 4.5 ,7) ;(1 ,2 ,2.5, 4.5 ,14) ; (1 , 2, 5 ,12 ,1014.5) ;(1 , 2 , 5 ,