等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)

1、2.3.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1熟練掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)以及其與二次函數(shù) 的關(guān)系；2. 在學(xué)習(xí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的同時(shí)感受數(shù)形結(jié)合的基本思想，會由等差數(shù) 列前n項(xiàng)和公式求其通項(xiàng)公式.【自學(xué)園地】1. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：已知數(shù)列an是等差數(shù)列，3是其前n項(xiàng)和.(1) 若 m, n, p, q, k 是正整數(shù)，且 m + n = p+ q= 2k,貝U am+ an= ap+ aq = 2ak.(2) am, am + k, am+ 2k , am+ 3k,仍是等差數(shù)列，公差為 kd.(3) Sn , S2n Sn , S3n| 仍成等差，且

2、公差為 Md.(4) 若項(xiàng)數(shù)為2n，貝US奇與S偶中項(xiàng)數(shù)相等，且S偶 S奇 nd ;&S禺-(a1a2n 1 )anan 1n /2 (a2a2n)若項(xiàng)數(shù)為2n 1，則S奇S偶(n1)( d)a2n 1a2n 1 (n 1)dan ;Stnan，S偶(n1)an ；S2m(2n1)an ;&n.a2n 1)nS役J 2a2n 2)門 1(5)兩個等差數(shù)列an , bn的前n項(xiàng)和Sn, Tn之間的關(guān)系為=.若數(shù)列an , bn是公差分別為d1, d2的等差數(shù)列，則數(shù)列pan , an+ p, pan+ qbn都是等差數(shù)列(p, q都是常數(shù))，且公差分別為 pd1, d1, pd1

3、+ qd2.(1)當(dāng) a10,d0時(shí)，Sn有最大值，n是不等式an 0的正整數(shù)解時(shí)取得;an 1 0(2)當(dāng) a10 ,d0時(shí)，Sn有最大值，n是不等式an 0的正整數(shù)解時(shí)取得.an 1 0(II)當(dāng)數(shù)列中有某項(xiàng)值為0時(shí)，n應(yīng)有兩解.SmSm 1am 10 .5. 知三求二問題：等差數(shù)列數(shù)列前 n項(xiàng)和公式中各含有4個元素：Sn,門,印耳與Sn,n®,d，已知其中3個量，即可求出另外1個；綜合通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式， 已知其中3個量即可求出另外2個量.【典例精析】1. (1)已知等差數(shù)列 an , ai a4盹 2，求S|5 (2) 等差數(shù)列an前m項(xiàng)和為30，且前2m項(xiàng)和為100，求

4、其前3m項(xiàng)和.(3) 有一個項(xiàng)數(shù)為2n 1的等差數(shù)列，求它的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比.(4) 有一個項(xiàng)數(shù)為2n 1的等差數(shù)列中，若所有的奇數(shù)項(xiàng)的和是165,所有偶數(shù)項(xiàng) 的和是150，則項(xiàng)數(shù)n等于(5) 等差數(shù)列an前12項(xiàng)之和為354,其中奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比為 27:32,求公差d (6) 等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn， Sn m ,Sm n ,(m, n N且m n)，求Sm n2. 等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn ,Tn之比為殂 如，求玉及Tn2n 3b15bn3. 等差數(shù)列an中，Sn為前n項(xiàng)和，a1 13, S3 S1，問此數(shù)列前多少項(xiàng)的和最 大？4. 在等差數(shù)列 an

5、 中，as 12,S12 0, S13 0 .(1) 求公差d的范圍；(2) 問S,S2,S3,|,S2中哪個值最大？5已知數(shù)列an中，a1= 60，an+1= an+ 3,則 冏|+ |a2| + |aa| + + |a3o|等于()6. 等差數(shù)列an中，S321, S624，求數(shù)列a*的前n項(xiàng)和為人.17已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且an，求Snn(n 1)8.已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an，求Snn|（n 2）【鞏固練習(xí)】1. 一個有11項(xiàng)的的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和是 30,則它的中間項(xiàng)是（）2. 設(shè)&是等差數(shù)列2補(bǔ)的前門項(xiàng)和，若色丄，則魚 （）S6 3$23 11

6、1A.-B.-C.-D.-103893. 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若a1 = 2, S3 = 12,則a6等（）A. 8B. 10C. 12D.144. 下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列an的四個命題：P1 :數(shù)列an是遞增數(shù)列；P2:數(shù)列nan是遞增數(shù)列；P3 :數(shù)列是遞增數(shù)列；P4:數(shù)列an + 3nd是遞增數(shù)列.其中的真命題為（）A . P1 , P2B.P3, P4C. P2, P3D.P1, P45. 已知等差數(shù)列an中，a7 + a9 = 16, S11 =，則a2的值是（）A. 15B.30C. 31D.646. 在遞減等差數(shù)列an中，若a1 + a5= 0,則Sn取最大

7、值時(shí)n等于（）A . 2B.3C . 4D.2 或 37. 在等差數(shù)列an中，若a2 + a4 + a6+a8 + ae= 80,則a7 a8的值為 （）A. 4 B.6C. 8D.10&已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和是15,偶數(shù)項(xiàng)之和為 30,則其公差為（）9. 已知等差數(shù)列®中，a5比，公差d>0，則使得前n項(xiàng)和&取得 最小值時(shí)的正整數(shù)n的值是()A.4 和 5B.5 和 6C.6 和 7D.7 和 810. 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和S滿足S3= 0, S5 =-5.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.11等差數(shù)列an中，S3 21,

8、S6 24,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和T?！菊n后作業(yè)】1. 設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Se= 4a3, a? =- 2,則a9=()A. - 6B. - 4C.- 2D.22. 在等差數(shù)列an中，a9 = a2 + 6,則數(shù)列an的前11項(xiàng)和Sn =()A. 24B.48C. 66D.1323. 設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為Sn,若a6= 2且S5= 30,則Sb等于()A.31B .32C.33D.344. 設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a2= 3, a6= 11,貝U S7等于()A .13B.35C .49D.635. 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足a13= S13= 13,則a1的值等于.6. 在等差數(shù)列an中，a1= 7,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n = 8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為.7. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an+ 2Sn Sn-1 = 0(n2) a1=.(1)求證：是等差數(shù)列；(2) 求a