第四屆復賽試題

1、第四屆華杯賽復賽試題133.875X-+38-K0.09-0 155- 04 54-j 5_2 9 1T1 .化簡:2-i+C4.32-1.68-l)x -1 + 1 625 11 735242. 電視臺要播放一部30集電視連續(xù)劇。如果要求每天安排播出的集 數(shù)互不相等，該電視連續(xù)劇最多可以播幾天？3. 個正方形的紙盒中，恰好能放入一個體積為628立方厘米的圓柱體，紙盒的容積有多大？（圓周率 =3.14 ）。4. 有一筐蘋果，把它們?nèi)确趾筮€剩 2個蘋果，取出其中兩份，將它們?nèi)确趾筮€剩2個；然后再取出其中兩份，又將這兩份三等分后還剩2個，問：這筐蘋果至少有幾個？5. 計算：*唁+噲小護吩七吩

2、6 .長方形ABC凋長為16米，在它的每條邊上各畫一個以該邊為邊長的正方形，已知這四個正方形的面積和是 68平方米，求長方形 ABCD的面積7. “華羅庚”金杯少年數(shù)學邀請賽，第一屆在 1986年舉行，第二屆 在1988年舉行，第三屆是在1991年舉行，以后每2年舉行一屆。第 一屆“華杯賽”所在年份的各位數(shù)字和是： A1= 1 + 9+ 8+ 6 = 24。前二屆所在年份的各位數(shù)字和是：A2=1 + 9 + 8 + 6 + 1 + 9+ 8 +8=50問：前50屆“華杯賽”所在年份的各位數(shù)字和A50=?&將自然數(shù)按如下順次排列：1 2 6 7 15 163 5 8 14 174 9 13 10

3、 12 11在這樣的排列下，數(shù)字3排在第二行第一列，13排在第三行第三列，問：1993排在第幾行第幾列？9. 在下圖中所示的小圓圈內(nèi)，試分別填入 1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)字，使得圖中用線段連接的兩個小圓圈內(nèi)所填的數(shù)字之差（大數(shù)字減小數(shù)字）恰好是1、2、3、4、5、6、7這七個數(shù)字。10. -丿-除以3的余數(shù)是幾？為什么?11. A B、CD E、F六個選手進行乒乓球單打的單循環(huán)比賽（每人 都與其他選手賽一場），每天同時在三張球臺各進行一場比賽，已知 第一天B對D,第二天C對E,第三天D對F，第四天B對C,問：第 五天A與誰對陣？另外兩張球臺上是誰與誰對陣？12 .有一批長度分別為

4、1、2、3、4、5、6、7、& 9、10和11厘米的細木條，它們的數(shù)量都足夠多，從中適當選取3根本條作為三條邊，可圍成一個三角形。如果規(guī)定底邊是 11厘米長，你能圍成多少個不同 的三角形？13. 把下圖a中的圓圈任意涂上紅色或藍色。問：有無可能使得在同 一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？請說明理由。圖14. 甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓練：他們同時從同一地點出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達出發(fā)點后立即回頭加2速跑第二圈，跑第一圈時，乙的速度是甲速度的，甲跑第二圈時速丄度比第一圈提高了二，乙跑第二圈時速度提高了。已知甲、乙二人第二次相遇點距第一次相遇點190米，問：這條橢圓形跑道長多少

5、米？15. 下圖中的正方形 ABC啲面積為1，M是AD邊上的中點。求圖中陰 影部分的面積。16四個人聚會，每人各帶了 2件禮品，分贈給其余三個人中的二 人，試證明：至少有兩對人，每對人是互贈過禮品的。1. 12. 73. 84. 23815.-6. 157. 6298. 第24行，第40列9. 在A B C D、E、F、H處，順次在小圓圈內(nèi)填入 1、3、8 2、7、4、5、610. 111.第五天A與B對陣，另2張球臺上的對陣是 C對D, E對F12.3613.沒有可能14.跑道長為400米 15.圖中陰影部分面積是-。16. 送禮后，四人八件禮品平均每人2件，若有一人多于2件，則一定是3件，

6、是除自己之外其他3人的禮物各一件。因此，這個人與得 到自己禮物的2個人組成兩個互送對。若四人每人都得到別人的兩件 禮物，他自己的兩件禮品不能集中只送一人，因此，他與接受他禮品 中一人為一互送對，除了一互送對外，還有兩人，其中任選一人，與 前面推理一樣，可得到另一互送對。華杯賽第四屆復賽31 +引其91.【解】原式的分子= 匸31K40原式的分母=425X-_ 2冥至+史25五11744242353544242A 35 . 357 丿 4424丄n 芳丄芳十X十=:H !1-S3 _ 31=二4 =一 :所以。原式等于1。2. 【解】如果播8天以上，那么由于每天播出的集數(shù)互不相等，至少有 1 +

7、 2+3+4 + 5 + 6+7+ 8= 36 集， 所以30集連續(xù)劇不可能按照要求播 8天以上，另一方面1 + 2+3 + 4 +5+6+ 9= 30所以最多可以播7天，各天播出的集數(shù)分別為1, 2, 3, 4, 5, 6, 9。3. 【解】圓柱的高與底面直徑都等于正方體的邊長，即6.28 = 3.14 X迪長丫邊長XI 26.28所以（邊長r = 11- X4= 8,即紙盒的容積是8立方厘米。4. 【解】如果增加4個蘋果，那么第一次恰好三等分，而且每份比原來多2個蘋果。第二次，第三次也是如此。第三次分成的每一份比原來多2個蘋果，又由于第二次分成的兩份蘋果，總數(shù)是偶數(shù)，所以第三次分成的每一份

8、，蘋果數(shù)都是偶數(shù)，因此，第三次分成的每一份至少是4個蘋果。第二次分成的每一份至少是4X 3-2= 6（個），第一次分成的每一份至少是6X 3-2= 9（個），從而這筐蘋果至少是9X 3- 4=23（個）【又解】如果增加4個蘋果，那么第一次恰好三等分（每份比原來多2 個），第二次取兩份（比原來兩份多4個），也恰好三等分（每份比原來 多2個），最后取兩份（比原來兩份多4個），也恰好三等分。由于最后 一次分，總數(shù)是偶數(shù)（因為取兩份分），所以每份也是偶數(shù)，又比原來 的每份多2個，所以現(xiàn)在每份至少是 4個，從而上一次每份至少是 4X33二=6（個），再上次每份至少是6X二=9（個），最初是9X 3=27

9、（個），原來這筐蘋果至少27-4= 23（個）。5. 【解】原式=(1 +3+ 5 + 7+9+ 11 + 13+15+ 17) +( )1 _ 181+-6. 【解】如圖，將二匚向右延長，廠-向上延長，交于E點，那么正 方形的面積。等于長方形 ABCD周長一半的平方，即64平方厘 米。長方形ABCDf：是全等的，而正方形l-與2心 的面積之和，等于題中已給的四個正方形面積和的一半，即二X 68= 34平方厘米。64- 34= 30平方厘米應等于長方形 ABC面積的2丄倍。所以ABCD勺面積是二X 30= 15平方厘米。7. 【解】按所給的規(guī)律，前 50屆在20世紀內(nèi)有7次賽事，在21世紀 內(nèi)

10、有43次賽事。在20世紀內(nèi)，已知A2= 50，其余5屆年份各位數(shù)字的和是:5 X (1 + 9+ 9) + (1 十 3+5+ 7+ 9) = 95+ 25= 120從而A = A+ 120=仃0在21世紀內(nèi)的前45屆年份的數(shù)字和是:2 X45+ (1 +2+3+ 8) X5+ (1 +3+ 5+7+ 9) X 9= 495,前43屆年份的數(shù)字和是:495 2-8-7- 2-8-9 = 459于是 A50 = 170 + 459= 629。8. 【解】奇數(shù)斜行中的數(shù)由下向上遞增，偶數(shù)斜行中的數(shù)由上向下遞增。第n斜行中最大的數(shù)是二n(n + 1)丄第62斜行中最大的數(shù)是二X 62 X 63= 1

11、953。第63斜行中最大的數(shù)是1953+ 63= 2016。所以1993位于第63斜行。第63斜行中數(shù)是由下向 上遞增，左邊第一位數(shù)字是1954,因此，1993位于第63斜行由上向下數(shù)第(1993 1954 + 1) = 40位，即原陣列的第(63 40+ 1) = 24行, 第40列。答：1993排在第24行，第40列9. 【解】【解】填法很多，下圖就是一種:10. 【解】33、66、99除以3，余數(shù)是0,所以只須看表達式 卡+ 22+ 44 十55+ 77 + 88除以3余幾。注意：如果a除以3余a1,b除以3余4,那aXb除以3所得的余數(shù) 就是a Xb1除以3所得的余數(shù) 因為 4、7除以

12、 3余 1，所以 44、77除以 3，余數(shù)也是 1因為 5、8除以 3余 2，所以 55、88除以 3，余數(shù)與 25， 28除以 3的余 數(shù)相同。而24= 16除以3余1,所以25= 24X 2除以3余2, 2*= 2、24 除以3余1（ = 1X 1）于是 112244十 557788除以 3,所得余數(shù)與 141211 除以 3,所得余數(shù)相同,即余數(shù)是 111. 【解】第二天B不能對A,否則B對A。D對F與第三天D對F矛 盾，所以應當B對F、A對D第三天B也不能對A，否則C對E與第二天c對E矛盾，應當B對E（不能B對C,與第四天矛盾），A對C,第四天B對C，D對E，所以 第五天B對A，D對C

13、, E時F。12. 【解】一個三角形,任何兩條邊的長度之和,比余下的一條邊長。在本題中，設底邊是11厘米的三角形其余二邊分別是 a及b,則必有11 va+ b此外，為確切起見，可設 a6,于是（a , b）的可能的值便有（11 ， 11）；（10， 1O）， （10， 11）；（9， 9）， （9， 10）， （9， 11）；（8，8）， （8， 9）， （8,10） ， （8， 11）；（7， 7）， （7， 8）， （7， 9）， （7，10）， （7， 11）；（6， 6）， （6 ， 7）， （6， 8）， （6， 9）， （6， 10）， （6， 11）；（5， 7）， （5， 8）

14、， （5， 9）， （5， 10）（5 ， 11）；（4， 8）， （4， 9），(4 ,10), (4 , 11) ; (3 , 9) , (3 ,10) , (3 , 11); (2 ,10), (2 ,11) ; (1 , 11)共 36 種答：能圍成36個不同的三角形。13. 【解】假設每條線上紅圈都是奇數(shù)個，那么5條線上的紅圈數(shù)相加仍是奇數(shù)。但另一方面，5條線上的紅圈數(shù)相加時，由于每一個圈都在兩條線上,因而都被計算了 2次，從而相加的總和應當是偶數(shù)兩方面的結果矛 盾，所以不可能使同一條線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)。14. 【解】讓我們畫兩個示意圖(上圖)，并設一開始時甲的速度是 a,于是乙的

15、速 度便是二a。再設跑道長是L，則甲、乙第一次相遇點，按甲前進方向 距出發(fā)點為匚。甲跑完第一圈，乙跑了二，乙再跑余下的I ，甲已丄 4折返，且以a(1 +二)=-:a的速度跑，所以在乙跑完第一圈時，甲已折2 2 11返跑了二，這時，乙折返并以3 a（1十二）=a的速度跑著。從這時445起，甲、乙速度之比是l；a+a =；，即5： 3。所以在二人第二次相L 53遇時，甲跑了余下的的；，而乙跑了它的-，即第二次相遇時距出發(fā)3 Z Z31_點;X 3 o可見兩次相遇點間的距離是（二一；）L = 190（米），即= 190（米），L= 400（米）答：跑道長為400米15. 【解】需要利用 AMI BC時， GAMAGCB的邊對應成比例GA _GM _ AM即二 二二 7：-,于是孔甌f 。月=2, g載 GM = 2。因為正方形ABCD勺邊長為1。所以丄丄 丄m =二 X 1X1=-,2丄 丄二_=二 X1X 二=2 21從而 ；hh X L1 ,2 2 11二一亠=二，二=二 X - = .m I:+ 二土 =+杠=3即陰影部分的面積是