數(shù)列易錯(cuò)題帶答案

1、（i）n 420081 若數(shù)列、的通項(xiàng)公式分別是an =（-1廠2007 £ , bn =2 ，且nan ： bn ,對(duì)任意n N "恒成立，則常數(shù)a的取值范圍是（）AJ-2,1B. 一2, :： C. I-2,11 D. -：,12已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn二-丄n2 -空n，則使a -2006成立的最小2 2正整數(shù)n為（）A.2009B.2010C.2011D.20123 .在數(shù)列 an / 中,a1 =14,3an =3a n"+1 * 2，則使a n a n 42匚0成立的n值是（）A.21B.22C.23D.244 .已知等比數(shù)列an滿足an 0

2、, n =1,2,山，且a5an$=22n（ n _3），且當(dāng)n_1時(shí)，log2a1 log2 a J| log2 a2n j =（）2 2 2A.n（2n1）B.（n 1）C.nD.（n-1）5.已知 an?為等差數(shù)列，a1 + a3 + a5=105, a2 a4 a6 =99，以 Sn表示 的前n項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是A. 21 B . 20 C . 19 D . 186 .已知數(shù)列 a f的通項(xiàng)公式是 an - -n2 12n- 32 ,其前n項(xiàng)和是Sn,則對(duì)任意的n a m （其中m, n N *）, Sn - Sm的最大值是7 .設(shè)等差數(shù)列：an 1的前n項(xiàng)和為Sn，若S

3、9 = 72 ,則a? *4*9 =。1 S48.設(shè)等比數(shù)列an的公比q ，前n項(xiàng)和為Sn，則 一 =.2 a4:；旦1,當(dāng)an為偶數(shù)時(shí)，卄9 .已知數(shù)列 滿足：a= m（ m為正整數(shù)），a. 1 =二2右a6= 1 ,Qan十1,當(dāng)a*為奇數(shù)時(shí)。則m所有可能的取值為 。10.如果能將一張厚度為 0.05mm的報(bào)紙對(duì)拆，再對(duì)拆.對(duì)拆50次后，報(bào)紙的厚度是多少？你相信這時(shí) 報(bào)紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎？（已知地球與月球的距離約為 4 108米）11 已知(X+厶)n的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.2仮(1) 求n的值；(2) 求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).12.已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和S

4、n=n2 2n ,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式 an ；1(2)設(shè) 20 二 an -1 ,且二+b|b2b2b3 b3b4111-，求bnbn 1213.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn = 2n bn為等比數(shù)列，且a b1,b2(aa1 b.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;a(2)設(shè)Cnn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn。bn14.數(shù)列9n九勺各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意n N*，總有an,Sn,an2成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列a '的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列"bn 的前n項(xiàng)和為Tn，且bn =ln n x一2-，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)1,el ( e是an常數(shù),e = 2 . 718

5、28)和任意正整數(shù) n ,總有Tn:： 2 ；(3)正數(shù)數(shù)列中，an卅=(Cn(門乏N*).求數(shù)列：cn ?中的最大項(xiàng)。115.數(shù)列、an f 前 n 項(xiàng)和 Sn且 a1 = 1,an 彳 sn ° (1)求 a：,3a3, a4的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式。16.等差數(shù)列的首項(xiàng)a1 0 ,前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)I m時(shí)，Sm=s。問n為何值時(shí)Sn最大?17.數(shù)列an中，&1 = 1 ， a? = 2，數(shù)列an an 1是公比為q(q 0)的等比數(shù)列。(i)求使an an 1 ' an 1an 2- an -2an -3成立的q的取值范圍；(u)求數(shù)列an的前2n項(xiàng)的和S2n .1

6、 , ,18.求Sn11+21+2+31 +2 + 3 十+n19 .設(shè)無窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.32(i)若首項(xiàng)a ，公差d =1，求滿足Sk2 =(Sk)的正整數(shù)k ；2k(n )求所有的無窮等差數(shù)列an，使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有Sk2 =(Sk)2成立20 已知數(shù)集A dap, |已？仁 印：a2 ： H|an, n_2具有性質(zhì)P ；對(duì)任意的aji, j 1乞i乞j乞n , a3與-兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A.ai(I)分別判斷數(shù)集 1,3,4?與11,2,3,6?是否具有性質(zhì)P，并說明理由;(n)證明：a, nal ' al ' ana ；a1- 1 ,且ji_j

7、- a n ；ai+a2+川 +an(川)證明：當(dāng)n =5時(shí)，a1,a2,a3,a4,as成等比數(shù)列.參考答案1. A【解析】【錯(cuò)解分析】此題容易錯(cuò)在不知道討論奇偶性，以及n是偶數(shù)時(shí)，要從2開始。1【正解】當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，由an ： bn得a ： 2，a .1 ；n1當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)，由 an ： bn 得-a : 2， -a_2,a_-2，n因此常數(shù)a的取值范圍是1-2, 1 .2. B【解析】【錯(cuò)解分析】此題容易錯(cuò)選為A, C, D,錯(cuò)誤原因主要是不能準(zhǔn)確的根據(jù)等差數(shù)列求和公式的性質(zhì)求出d = -1且a2。【正解】設(shè)數(shù)列.的公差是d，則【解析】由a5 a2n5 =22n( n亠3)得: Bn

8、血葺!)d呻2 g£n一一 n-08nd 1 口 dasa1 7d且a -2 2 2 2 2d - -1 且 a<)= 2 ,an =2 (n 1) =3 n c 2006 n a2009因此使an ”2006成立的最小正整數(shù) n=2010，選B.3. A【解析】【錯(cuò)解分析】此題容易錯(cuò)選為B,錯(cuò)誤原因是沒有理解該數(shù)列為等差數(shù)列。2 244 2n【正解】由已知得 an 1 -an 一 ,an =14 (n-1)(-一)= , a.an3 3344 - 2n 40 - 2n=<0, (n - 20)( n - 22) ： 0,20 ： n ： 22，因此 n =21，選 A.

9、3 34. C93 b，解得:a1 = 2,q = 2 ,a5a1j再由 an 0得：4as a 2 I 為=2 .【解析】由a1 + a3 + as =105 得 3a3 =105,即 a 35，由a2 a4 a6=99 得 3a4 = 99 即所以an= 2 ,log2 a2n 1 = 2n -1,log2a1'log2a3 IIIlog2 a2nn2an - 0a4 =33 ,. d -2 , an = a4 (n -4) (-2) = 41 - 2n，由得 n = 20 ,選 B&十V06. 10【解析】【錯(cuò)解分析】此題容易錯(cuò)選認(rèn)為求最大項(xiàng)?！菊狻坑蒩n二-n212n

10、-32=一(n-4)(n-8). 0 得 4 ： n ： 8 ,即在數(shù)列!an /中，前三項(xiàng)以及從第9項(xiàng)起后的各項(xiàng)均為負(fù)且a4 =a8 =0，因此Sn -Sm的最大值是 a5 a6 a7 = 3 4 3=107. 24【解析】；0是等差數(shù)列，由S9 =72,得.S9 =9a5, a8,'r 82+84+89=(82+89)+84= 5 + a§) + 84 = 3a5 = 248. 15【解析】1-q4(1 _q),84 pq3,.§384q3(1-q)=159. 4 532【解析】(1 )若 a1當(dāng)m仍為偶數(shù)時(shí),1 -q二m為偶數(shù),ma8-為偶,故a2m83 二號(hào)

11、二m_ 224mm故=1 ：m = 32_3232代當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),3a4 = 3a3 1 m 1- ag 二433m 1 m 1故1得m=44 4(2)右a1 = m為奇數(shù)，則a2 = 3a1 1 3m 1為偶數(shù)，故83必為偶數(shù)23m+1 十,3m+1彳十曰匕a6，所以=1可得m=516 1610.可建一座橋【解析】【錯(cuò)解分析】 對(duì)拆50次后,報(bào)紙的厚度應(yīng)理解一等比數(shù)列的第 n項(xiàng)，易誤理解為是比等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和。米為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列。從而對(duì)拆 50次后紙的厚度是此等比數(shù)列的第51項(xiàng)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得851=0.05 x10x2°=5.63 X彳0而地球和月球間的

12、距離為 4 X 1衽5.63 X Yb故可建一座橋。9 T3 =7xT4 =7x°【正解】對(duì)拆一次厚度增加為原來的一倍，設(shè)每次對(duì)拆厚度構(gòu)成數(shù)列 an,則數(shù)列an是以3=0.05匯10311. (1) 8【解析】【錯(cuò)解分析】此題容易錯(cuò)在：審題不清楚，誤用前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差。 0 1 2 1 1 2【正解】(1)由題設(shè)，得 Cn盲 Cn =2 - Cn ,即n -9n *8=0，解得n= 8, n = 1 (舍 去).(2)設(shè)第r + 1的系數(shù)最大，則21 Cr丄r t C8 .2 -,丄亠即；一2(r T)解得r 丄2r 912 或 r= 3.所以系數(shù)最大的項(xiàng)為 T3 =7x5

13、,T49=7x2 .12. ( 1 ) an 二2"1小 N*(2) Tn-1 -n 1【解析】n=1的驗(yàn)證。an 二 Sn - Sn=2n 1【錯(cuò)解分析】(1)在求通項(xiàng)公式時(shí)容易漏掉對(duì) (2)在裂項(xiàng)相消求數(shù)列的和時(shí)，務(wù)必細(xì)心?！菊狻拷猓?1)vSn=n2+2n 當(dāng)n_2時(shí), 當(dāng) n=1 時(shí)，ai=S=3, a. =2x1 +1 =3 ,滿足上式.故 an =2n 1,n N *11(2) 2bn=an 1, bn(an-1)(2n 1-1)= n221 1 1 1 bnbn in(n 1) n n 1b?b3dbq1bnbn 111111=十一一r 122334-1 一丄n 1n

14、 n n +113. (1) an =4n -21(2) Tn =-(6n -5)4n5【解析】【錯(cuò)解分析】()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式時(shí)，容易遺忘對(duì)n=1情況的檢驗(yàn)。(2)錯(cuò)位相減法雖然是一種常見方法，但同時(shí)也是容易出錯(cuò)的地方，一定要仔細(xì)?！菊狻拷猓?1)當(dāng)n =1時(shí),印=S = 2;當(dāng) n _2時(shí),an =Sn _Sn=2n2 _2(n _ 1)2 =4n _2,故an的通項(xiàng)公式為an =4n-2,即an是a2,公差d=4的等差數(shù)列1設(shè)bn的通項(xiàng)公式為q,則Rqd = b1, d = 4, q .4故bn石2治即的通項(xiàng)公式為b“舟(2)an4乎=(2 n_1)4n,4Tn12n- - cn

15、= 1 3 45 4 川'川(2n1)4 ,-1 4 3 42 5(2n-3)4nJ (2n- 1)4n=CiC2兩式相減得:13Tn -2(41 42 43 亠亠4n1) (2n -1)4n (6n -5)4n 5=9【(6n -5)4n 5.914. (1) an 二 n . ( n N )【解析】(2)見解析(3) C2 山【錯(cuò)解分析】(1)對(duì)2Sn二an2 an的轉(zhuǎn)化，要借助于 an與Sn的關(guān)系。(2 )放縮法是此題的難點(diǎn)?！菊狻拷猓?1)由已知:對(duì)于2 n N ,總有 2Sn =an - an成立(n-得2an =an2 anan 4 u-a n an an,an 4均為正

16、數(shù)，an -anj =1(n > 2)數(shù)列a 是公差為1的等差數(shù)列又n=1時(shí),(2)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)Xi1,e 1和任意正整數(shù)n,總有bnlnn x廠w an1+<1n.丄.丄.11 22 3n -1 n丄n -1.2-2n n2/(3)解：由已知a2 = G =2= c - 2 ,a3a5二 5=3= C2=c45 =5= c4二 3 3,玄4 二 C3 4 C3 二 4 4 二.2, =5 5易得G ；： C2 ,C2- C3猜想n > 2時(shí)，Cnl是遞減數(shù)列令f x =,則X】.護(hù)xX - Inxx2x.當(dāng)乂_3時(shí)，1 nx 1,貝U1-Inx：O，即f x : 0.

17、在3,亠-內(nèi)f x為單調(diào)遞減函數(shù).由 an 1 - Cnn 1 知 In cnIn n 1n 1 n > 2 時(shí),In Cn 是遞減數(shù)列即:Cn ?是遞減數(shù)列.又C|:C2,數(shù)列Bn ?中的最大項(xiàng)為115. a2=,慶=,a4 =391627n 一2【解析】【錯(cuò)解分析】此題在應(yīng)用Sn與an的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為 a.-Sn對(duì)于任意n值都成立，忽略了對(duì) n=1的情況的驗(yàn)證。易得岀數(shù)列為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論?！菊狻恳浊蟮胊?11an 1 -a-s-Snj33二項(xiàng)開始為等比數(shù)列故an1寧31 ,=3 an n 一 2 得 an 11 n =11 4 r3 3二彳彳二嚴(yán)。由 a1=1,an*=£

18、;sn 得9273n-2n -2an1乩n _ 2 故31 、 故該數(shù)列從第316.故若I m為偶數(shù)，當(dāng)當(dāng)I m為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n =n = m時(shí)，Sn最大。2I m 二 1時(shí)Sn最大2【解析】【錯(cuò)解分析】 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。n(n T ) d 2【正解】由題意知Sn= f n =dn22 2-1 a d n此函數(shù)是以n為變量的二次x =- m時(shí)f x取得最大值，但由于 n N ，故若I m為偶數(shù)，當(dāng)n = ! m時(shí)，Sn最大。2 2當(dāng)I亠m為奇數(shù)時(shí)，當(dāng) n = 1m_1時(shí)sn最大。2

19、1 + >/517. (I) 0 ： q(u) S2n =3n2【解析】【錯(cuò)解分析】 對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤。再者學(xué)生沒有從 定義出發(fā)研究條件數(shù)列an an 1是公比為q( q0)的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù) 列而找不到解題突破口。使思維受阻。2an 2an 3 二 anan iq【正解】解：(I)丁數(shù)列an an彳是公比為q的等比數(shù)列，二an dan = anan dq，由anan 1' an Ian 2- an:：；2an：；3得2”丄2anan 1 anan 2 anan N = 1 7 7即 q ： 0( q 0 )，

20、解得0 : q :1.52(II )由數(shù)列an -an 1是公比為q的等比數(shù)列,得 an 1an 2ananHt=q二出an二q，這表明數(shù)列an的q，又 a 1， a 2，:當(dāng) q = 1 時(shí),18.所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是S2n =a1 a2 a3a' a?./a?n= (a1 ' a2 a - an) - (a? *4 *6a?n)_ 印(1 -qn) a2(1 -qn)3(1 -qn)-?1-q1-q1-q當(dāng)q =1時(shí)，S2n = a1a2 ' a3 a J H ' a2n，a2n= (a1 a2 ' a' -

21、 an) - (a： *4 *6 a：.)=(11 1 1)(2222) =3n .2nn 1【解析】n(n 1)【錯(cuò)解分析】本題解答時(shí)一方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵 消中間項(xiàng)的過程中，對(duì)消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤?！菊狻坑傻炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和公式得1 2n =21 - 1 1=2(-)，-取1, 2，3，就分別得到丄 12 3 侶7 n n(n 1) n n 11' 12'123111111二 Sn =2(-) 2(-) 2(-2(22 33 41 2n=2(1 )= n+1n+1(n)見解析19. ( i) k = 4【

22、解析】以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力.學(xué)生在解第(n)【錯(cuò)解分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識(shí)，時(shí)極易根據(jù)條件“對(duì)于一切正整數(shù)k都有S 2k2= (Sk)2成立”這句話將k取兩個(gè)特殊值確定出等差數(shù)列的3【正解】解：(I )當(dāng)a-,d2由 Sk2 =(Sk)2,得-k4 +k2首項(xiàng)和公差，但沒有認(rèn)識(shí)到求解岀的等差數(shù)列僅是對(duì)已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條 件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。n(n -1)3 n(n -1)1 2=1 時(shí) Sn 二 natd nn nn 1 2 2 2 2=(k2 k)2，即 k3(k -1) =0 又 k = 0,所以k = 4.24(II )設(shè)數(shù)

23、列a-的公差為d，則在Sn2 =(Sn)2中分別取k=1,2,得2S1 = (SJ§4=(S2)2C = a1 ,即 4 32 124a1d = (2a1d)2 2由(1 )得 印=0或6=1.當(dāng)a, =0時(shí)，代入(2)得d =0或d=6,-H-*若 at = 0, d = 0,則 an =0,Sn = 0,從而 Sk =(SQ2 成立，若 a1 =0,d =6,則 an =6( n -1),由 S3 =18,(S3)2 = 324,& =216 知(S3 )2,故所數(shù)列不符合題意.當(dāng)a- “時(shí)，代入得4,6d=(2，d)2,解得d=0或d=2若 at =1,d =0,貝Van =1,Sn = n,從而 Sk =(Sk)2成立；若 a- =d,d =2,則 a. =2 n,Sn 3 亠 一 (2 n -1) = n2